Cap7_Sucesiones(NotacionSigma)

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MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones 
 
 
 2 
 
Objetivos: 
Se pretende que el estudiante: 
• Determine convergencia o divergencia de sucesiones. 
• Analice Monotonía de sucesiones. 
• Conozca las propiedades de la notación sigma. 
2.1 SUCESIONES 
2.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones 
2.1. SUCESIONES 
2.1.1 DEFINICIÓN. 
Sucesión es una función, denotada como { }na , cuyo 
dominio es el conjunto de los números enteros 
positivos y su rango son números reales. Es decir: 
 
nanfn
IRXIN
=
⊆
)(a
a
. 
 
 
Es común referirse al rango de la sucesión, por tanto la sucesión se 
presenta como una secuencia de términos { }L,,, ,321 aaa . Si la sucesión tiene 
una cantidad determinada de términos se la llamará SUCESIÓN FINITA. Si la 
sucesión tiene una cantidad no definida de términos, se la llamará SUCESIÓN 
INFINITA. 
 
Ejemplo 
 { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
=
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
= LL ,
12
,,
7
3,
5
2,
3
1
12 n
n
n
nan 
 
La manera como se presentó la sucesión en el ejemplo anterior se 
denomina forma explícita, pero se la puede expresar como una formula de 
recursión. 
Ejemplo 
 2;3;1 11 ≥+== − naaa nn 
Es decir: 
 431312 =+=+= aa 
 734323 =+=+= aa 
Y así sucesivamente. 
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MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones 
2.1.2 Convergencia y Límite 
Una sucesión { , es convergente si y sólo si }na nn alim∞→
existe. Caso contrario; es decir, si no existe, se nn alim∞→
dice que la sucesión es divergente. 
Si existe, es decir si nn alim∞→ Lann =∞→lim , significa que: 
 ξξ <−⇒>>∃>∀ LaNntalqueN n0,0 
 
 
Ejemplo. 
 Determinar si { }
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
=
12n
nan es convergente o divergente. 
SOLUCIÖN: 
Para determinar si es convergente o divergente se halla . n
n
alim
∞→
 
2
1
1212
=
+
=
+ ∞→∞→
nn
n
n
n
lim
n
nlim
nn
 
Por tanto, la sucesión es convergente y además converge a 2
1 
 
TEOREMA 
Una condición necesaria y suficiente para que una 
sucesión sea convergente es que sea acotada. 
Note que, para la sucesión anterior la mínima cota superior es 21 y la 
máxima cota inferior es 31 . 
PREGUNTA: ¿POR QUÉ SE DICE MÍNIMA COTA SUPERIOR? ¿POR QUÉ SE DICE 
MÁXIMA COTA SUPERIOR? 
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MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones 
Ejemplo 
Determinar si { } ( ){ }nn na π= sen es convergente o divergente. 
SOLUCION: 
( ) ( ) ( ) ( )
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
π==
π
π
∞→π
ππ
∞→
π
∞→
n
n
n
n
nn
nnn
lim
n
limnlim
sensen
sen 
 Haciendo nu
π= entonces, si ∞→n tenemos que 0→u
 
( )
π=π=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡π=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡π=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
π
→→π
π
∞→
)1(sensen
sen
00 u
ulim
u
ulimlim
uu
n
n
n
. Por tanto 
converge. 
 TEOREMA 
Si y son sucesiones convergentes, entonces: na nb
1. IRkakka nnnn ∈= ∞→∞→ ;límlím 
2. ( ) nnnnnnn baba ∞→∞→∞→ ±=± límlímlím 
3. ( ) nnnnnnn baba ∞→∞→∞→ = límlímlím
4. 
nn
nn
n
n
n b
a
b
a
∞→
∞→
∞→
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
lím
lím
lím si 0lím ≠
∞→
n
n
b 
 
2.1.3 SUCESIONES MONOTONAS 
Una sucesión { }na es monótona si sus términos 
son no decrecientes, es decir: 
 LL ≤≤≤≤≤≤ +1321 nn aaaaa ; 
 ó si sus términos son no crecientes; es decir: 
 . LL ≥≥≥≥≥≥ +1321 nn aaaaa
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MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones 
Lo anterior quiere decir que si se cumple que 1+≤ nn aa o 1
1 ≥+
n
n
a
a
 será 
una sucesión CRECIENTE. Caso contrario, es decir si da que 1+≥ nn aa o 
11 ≤+
n
n
a
a
 será una sucesión DECRECIENTE. 
 
Ejemplo 1 
Determinar si la sucesión 
12 +
=
n
nan es creciente o decreciente. 
SOLUCIÖN: 
 En este caso ( ) 32
1
112
1
1 +
+
=
++
+
=+ n
n
n
nan 
Al dividir ambas expresiones, resulta: 
 
( )( )
( ) nn
nn
nn
nn
n
n
n
n
a
a
n
n
32
132
32
121
12
32
1
2
2
1
+
++
=
+
++
=
+
+
+
=+ 
note que en la última expresión se observa que 11 ≥+
n
n
a
a
 ¿Por qué?. 
Por tanto, la sucesión será CRECIENTE. 
 
 
Ejemplo 2 
Analice la sucesión ( )nna 13 −+= 
SOLUCIÖN: 
Desarrollando la sucesión tenemos 
{ } ( ){ } { }L,4,2,4,213 =−+= nna 
Se observa que la sucesión no es monótona, no es convergente, si es acotada. 
 
 
 
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Ejemplo 3 
Analice la sucesión 
!
2
n
a
n
n = 
SOLUCIÖN: 
1. 0
!
2
=
∞→ n
lim
n
n
)
. El factorial es más creciente que la exponencial por tanto la sucesión converge a 
0. 
2. La sucesión es acotada debido a que es convergente. 
3. ( !1
2 1
1 +
=
+
+ n
a
n
n . Ahora 
( )
( ) 1
2
2
!
1!
22
!
2
!1
2
1
1
1
+
=
+
=
+
=
+
+
n
n
nn
n
n
a
a
n
n
n
n
n
n 
 Se observa que para , 1≥n 1
1
2
≤
+n
 por tanto la sucesión es decreciente. 
 
 
Ejercicios propuestos 2.1 
1. Determine si las siguientes sucesiones son convergentes o divergentes. 
a. 
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
+
nn
n
2
2
2
13
 
b. 
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
+
13
12 2
n
n
 
c. 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧ π
+ 2
sen
1
n
n
n
 
d. 
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
n
n
31 
e. 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−
+
nn
n
23
12
 
f. 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
2
ln
n
n
 
g. 
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
n
n2
11 
 
2. Determine si las sucesiones son crecientes, decrecientes o no monótonas. 
a. 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
+
−
54
13
n
n
 
b. 
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
+ n
n
251
5
 
c. ( )⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−•••• 12531
!
n
n
L
 
d. ( )πnsen
e. 
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
n
n
3
!
 
 
 
 
 
 
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2.2. SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA 
 Sea la secuencia , , . 1a 2a naa L,3
 La suma de estos números, puede ser expresada mediante una 
notación que denota abreviación, el símbolo empleado es el de sigma: 
 ∑
=
=+++
n
i
in aaaaa
1
321 L
 Entonces, la notación sigma significa una suma de término, desde el 
primero hasta el n-ésimo. Podemos tener una suma finita de términos como 
también podemos tener una suma infinita. 
 
Ejemplo 1 
 
{ { { {
4321
4
1
2 17
4
10
3
5
2
2
1
1
=====
+++=
+∑
iiiii
i
i 
 
Ejemplo 1 
 ∑
∞
=
=++++++
1
4321
n
nn LL
 
 2.2.1 Propiedades 
Sean y { }ia { }ib dos sucesiones y sea C una 
constante, entonces 
 1. ∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i aCCa
11
 2. ( ) ∑∑∑
===
±=±
n
i
i
n
i
i
n
i
ii baba
111
 
Alguna formulas que se necesitarán más adelante son: 
 41
MOISÉS VILLENA MUÑOZ Sucesiones 
1. 
( )
2
14321
1
+
=+++++=∑
=
nnni
n
i
L 
2. 
( )( )
6
121321 2222
1
2 ++=++++=∑
=
nnnni
n
i
L 
3. 
( ) 23333
1
3
2
1321 ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ +=++++=∑
=
nnni
n
i
L 
4. 
( )( )
30
1961321
23
4444
1
4 −+++=++++=∑
=
nnnnnni
n
i
L 
¡No olvide demostrarlas! 
 
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