ARITMÉTICA - LANNING

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ARITMÉTICA 
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Es grato poner a disposición de los docentes 
y estudiantes el presente texto de consulta 
titulado “ARITMÉTICA” que ha sido realizado 
mediante un trabajo arduo y constante 
enfocándonos en diferentes prospectos de 
universidades de todo el sur y de otras 
instituciones superiores. 
 
El presente texto forma parte de la colección 
de libros del GRUPO EDUCATIVO INGENIO y 
cumple el principio de desarrollar las 
habilidades que el alumno necesita conocer 
y ejercitar. 
 
Sugerimos que se ponga a disposición de las 
personas interesadas del tema y pueda 
consultar las fuentes que se alojan en este 
manual educativo. 
 
 
Los promotores. 
 
 
ARITMÉTICA 
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Título 
Aritmética 
 
Autor 
Academia Lanning Cusco 
 
Diseño y Arte 
Academia Lanning Cusco 
 
Docentes ciclo virtual 2020 
------- 
RICHART MAMANI CARLOS 
DEIVIS QUISPE CANQQUERI 
WASHINGTON QUISPE HUALLPA 
GERMAN MAMANI MERMA 
YBSEN CHILLIHUA OBLEA 
SANTOS CHINO PAUCAR 
ELVIO CONDORI 
CHRISTIAN PALOMINO PILARES 
YOEL MESCCO 
LISANDRO QUISPE SULLCA 
MICHEL RODRIGUEZ DURAN 
JHON ANCO HUAMAN 
CLIMACO CARRASCO 
CHRISTIAN PORTILLO HUAMAN 
YORDY PAVEL MONTERROSO 
MIRKO PANIURA LOAYZA 
BERNE ADOLFO QUISPE 
JHONATHAN HUILLVA TOLEDO 
FREDY APAZA 
DENNIS COELLO TINTAYA 
 
 
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Contenido 
 
CAPÍTULO I : TEORÍA DE CONJUNTOS 
 
CAPÍTULO II : NUMEROS REALES 
 
CAPÍTULO III : 
 
CAPÍTULO IV : 
 
CAPÍTULO V : 
 
CAPÍTULO VI : 
 
CAPÍTULO VII : 
 
CAPÍTULO VIII : 
 
CAPÍTULO IX : 
 
CAPÍTULO X : 
 
 
 
ARITMÉTICA 
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ARITMÉTICA 
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NOCIÓN DE CONJUNTOS. 
Un conjunto es toda agrupación o colección de objetos (personas, animales, 
cosas, etc.) determinados por una propiedad común. 
 Los conjuntos por determinación se escriben entre llaves { . . . }. 
 Los conjuntos también se entienden en oraciones simples. 
 
Ejemplo: El conjunto de días de un mes. 
 
Notación. 
Los conjuntos se denotan o se nombran normalmente con las letras 
mayúsculas del abecedario. Ejemplo: A, B, C, D,… 
 
Elemento. 
Vienen a ser los objetos que forman un conjunto que según su cantidad 
determinan el tipo de conjunto. 
 Los elementos alfanuméricos o con letras se escriben entre comas (,). 
 Los elementos numéricos se escriben entre puntos (.) y comas (,) es 
decir (;). 
 
Cardinal de un Conjunto “n(A)”. 
Determina la cantidad de elementos que tiene un conjunto y se representa 
por un número natural inclusive el cero “0”. 
 
Determinación de un Conjunto: 
Se divide en 2: 
 
1. Por Comprensión. 
Cuando se da a sus elementos una o más características, o propiedades, de 
tal manera que los diferencien de los elementos de otros conjuntos. También 
se llama Constructiva de un Conjunto. 
En este tipo de determinación existe la expresión (x/x) que se entiende 
como: “x” tal que “x”. 
Los conjuntos de este tipo se tienen que comprender, entender sus 
características y condiciones, así poder o no escribir por extensión. 
Ejemplo: A = {x/x es vocal}. 
Teoría de Conjuntos 
 
 
ARITMÉTICA 
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2. Por Extensión. 
O en forma tabular, se escriben o se enumeran uno a uno cada uno de los 
elementos y así poder determinar su cardinal. 
Ejemplo: A= {a, e, i, o, u}. n(a) =5 
CLASES DE CONJUNTOS 
 
1. Conjunto Nulo o Vació. 
Es cuando no tiene elementos o carece de elementos existentes 
racionalmente en nuestra realidad. 
 
Denotación: Vació = { }, Nulo = ø { } = ø 
 
Ejemplos. 
 A x / x es un elefante de 500 toneladas  B x / x x  
1
C x 0
x
 
  
 
 
 
2. Conjunto Unitario. 
También conocido como singletón son aquellos que tienen un único 
elemento y n(a)=1. 
 
Ejemplo: 
* A = {1}, * B = {0}, * C = {23}, 
* D = {{}}, * E = {ø} 
 
3. Conjunto Finito e Infinito. 
Un conjunto es finito cuando consta de un determinado número de 
elementos distintos y que al encontrarlos de uno en uno se pueda acabar 
en un determinado tiempo. El conjunto infinito es todo lo contrario, es 
decir la operación de contar los diferentes elementos de uno en uno no 
tenga cuando terminar. 
 
4. Conjunto Disjuntos. 
Son aquellos que no tienen ningún elemento en común. 
 
Ejemplo 
A = {1; 3; 5; 7} 
B = {0; 2; 8; 9} 
 
5. Conjunto Juntos. 
A B
 
 
ARITMÉTICA 
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Son aquellos que tienen cierta cantidad de elementos comunes. 
 
Ejemplo: 
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} 
B = {0; 2; 8; 9} 
 
6. Conjunto Comparables. 
Es cuando un conjunto está totalmente incluido en otro. 
 
Ejemplo: 
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} 
B = {2; 3; 5} 
7. Subconjunto de un conjunto. 
Los subconjuntos son aquellos formados por los elementos de un conjunto 
encerrados entre llaves. 
 El conjunto vació es un subconjunto de cualquier conjunto. 
 El conjunto A es subconjunto de sí mismo. 
 
Sea A={1;2;3;4;5}: Los subconjuntos de “A” son: { }, {2}, {2;5}, A; etc., 
etc. … 
 
8. Conjunto Potencia o Potencia de un Conjunto. 
Es aquel conjunto que tiene como elementos a todos los subconjuntos del 
conjunto original. 
 
Ejemplo: 
Si A = {a;b;c} El conjunto Potencia es PA. 
PA = {{};{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c};A} 
 
Por lo tanto: 
n
An(P ) 2 Donde “n” es la cantidad de elementos de A. 
 
9. Conjunto de Subconjuntos Propios. 
Es ídem al anterior, solo que no se considera al conjunto primitivo. 
 
Ejemplo: 
SA = {{};{a};{b};{c};{a,b};{a,c};{b,c}} 
Por lo tanto: 
n
An(S ) 2 1  
 
10. Conjunto Universal (U). 
A B
A
B
 
 
ARITMÉTICA 
8 
 
Llamado también universo, es el conjunto de todos los elementos que 
pueden ser considerados para un asunto en particular. 
 
RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS 
 
RELACIÓN DE PERTENENCIA () Y NO PERTENENCIA ( ) 
 
La relación necesariamente tiene que ser de elemento a conjunto. 
 
Elemento ó Conjunto  
 
RELACIÓN DE INCLUSIÓN () Y NO INCLUSIÓN ( ). 
 
La relación es de Subconjunto a Conjunto. 
Subconjunto ó Conjunto  
 
Ejemplo. 
 
Sea: A = {1;2;3} y B = {0;1;2;3;4} 
 
A  B : “A esta incluido en B, porque los elementos de A Pertenecen a B”. 
B  A : “B incluye al conjunto A”. 
 
 
DIAGRAMAS DE VENN EULER 
 
Son líneas cerradas o figuras geométricas ya sea en forma regular o 
amorfas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OPERACIONES CON CONJUNTOS 
 
 
 
ARITMÉTICA 
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1. Unión de Conjuntos ( ): 
 
Ejemplo. 
Si: A = {1; 3: 5} 
B = {0; 1; 2; 3}  A  B = {0; 1; 2; 3; 5} 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
2. Intersección de Conjuntos ( ): 
Ejemplo. 
Si: A = {1; 2; 3; 4: 5} 
B = {0; 1; 3; 4; 6; 7}  A B = {1; 3; 4} 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Diferencia de Conjuntos ( – ): 
Ejemplo. 
Si: A = {2; 3; 4: 5; 7} 
B = {0; 1; 2; 4; 5; 6}  A – B = {3; 7} 
 
 Gráficamente: para A – B 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo. 
Si: A = {2; 3; 4: 5; 7} 
B = {0; 1; 2; 4; 5; 6}  B – A = {0; 1; 6} 
 
A B A B
B
A
A B A B
B
A
A B A B
B
A
 
 
ARITMÉTICA 
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Gráficamente: Para B – A 
 
 
 
 
 
 
4. Simetría o Diferencia Simétrica ( ). 


 
A B = (A B) (A B)
A B = (A B) (B A)
A B = B A

  
Por lo tanto “son todos los elementos no comunes”. 
 
Ejemplo. 
Si: A = {1; 2; 4: 6} 
B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7}  A  B = {0; 3; 5; 6; 7} 
 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
5. Complemento de un conjunto. 
Entonces: A’ = Ac = Complemento del conjunto A. 
A' U A  
Ejemplo. 
Sea: U = {1;2, 3; 4; 5; 6; 7} 
A = {2; 3; 5; 7} 
 
El complemento será Ac = {1; 4; 6} 
Gráficamente: 
 
 
 
 
 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
A B A B
B
A
A B A B
B
A
U
A
A
 
 
ARITMÉTICA 
11 
Determinar de forma tabular los 
siguientes conjuntos: 
 
1. C={(x+2) N/xZ,-5x -3} 
a) {-3,-2,-1} b) {-3,-2} c) {-
1,-2} 
d) { } e) {1,2,3} 
 
2. E={(2-x) N/-3<2x+1<3} 
a) {-3,-2} b) {2,3} c) {3,4} 
d) {4,5} e) { } 
 
3. C={2xN/-2x+34} 
a) {0,4} b) {0,1,2} c) {1,2} 
d) {2,4} e) {2} 
 
4. Si: K={ x N/2<
3x 1
5

<8} 
a) {1,2} b) {2,4} c) {3,4} 
d) {4,9} e) {2,3} 
 
5. Determinar en forma constructiva 
el siguiente conjunto C={8,27,64} 
a) {x/xN; 8  x  64} 
b) {2x/xN; 4  x  32} 
c) {x2/xN; 2  x  4} 
d) {x3/xN; 5  x  5} 
e) {x3/xN; 2  x  4} 
 
6. Cuánto vale (a+b+c+d) si los 
siguientes conjuntos son unitarios: 
A = {a+c, 5} 
B = {a-b, 6} 
C = {b-c, 7} 
a) 6 b) 8 c) 10 
d) 12 e) 16 
 
7. Hallar el cardinal del conjunto: 
K = { 2x  N / -1< x+3 < 4 } 
a) 8 b) 9 c) 7 
d) 2 e) 1 
8. Cuántos subconjuntos tiene 
F = { (x+1) N/ xZ ; *–7<x<–1} 
a) 0 b) 1 c) 3 
d) 5 e) 2 
 
9. Si A = { (x+1) / xN; 2  x < 3 }, 
hallar n(P(P(P(P(A) ) ) ) ). 
a) 23 b) 216 c) 232 
d) 264 e) 24 
 
10. Si el conjunto A tiene 127 
subconjuntos propios, B tiene 32 
subconjuntos y la intersección de A y 
B tiene 7 subconjuntos propios. 
¿Cuántos elementos tiene el 
conjunto potencia de la unión de A y 
B? 
a) 512 b) 1024 c) 
2048 
d) 4096 e) 16 
 
11. El conjunto A={a, a, Ü, 8, [],10}, 
Cuántos subconjuntos de 2 
elementos tiene. 
a) 8 b) 21 c) 20 
d) 15 e) 10 
 
12. Si de 6 profesores se deben 
formar grupos de por lo menos 3 
profesores. ¿Cuántas posibilidades 
se tienen? 
a) 42 b) 36 c) 12 
d) 19 e) 60 
 
13. Si A y B son conjuntos disjuntos 
con cardinales que son números 
consecutivos. Calcular n(A) + n(B) 
si: 
n(P(A) ) + n(P(B) ) = 3072 
a) 20 b) 22 c) 21 
d) 28 e) 23 
 
14. Cuántas proposiciones son 
verdaderas en: A={2,3,{4},  } 
 
 
ARITMÉTICA 
12 
 
I. 2  A IV.   A 
II. {2} A V.   A 
IV {3} A VI. {2,3} A 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
15. Cuántas proposiciones son falsas 
en: B={ 3, {3}, 0, {{4}}, 5 } 
I. 3B IV. {0}B VII. {0,3}B 
II. {3}B V. {{4}} B VIII. 
{{3}}B 
III. {3} B VI.   B IX.{{3},3} B 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 5 e) 6 
 
16. Cuántas proposiciones son 
verdaderas en: C={ 2, 3, {2,3},  , {2} 
} 
I.  C IV.{2}C VII.{2,  }C 
II.   C V. {2,3} C VIII.{{2}} C 
III. {3} C VI. {  }B IX. {3,2}C 
a) 4 b) 5 c) 7 
d) 8 e) 6 
 
17. Si: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } 
B = { 2, 4, 6, 8 } 
C = { 3, 4, 5, 6 }; hallar. 
[(AB)  (B  C) ]  (C – B) 
a) {3} b) {3,5} c) {5} 
d) { } e) {4,5} 
 
18. Si: A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } 
B = { 2, 4, 6, 8 } 
C = { 1, 3, 4, 8, 9 }, hallar. 
[(A  B)  (B  C) ] [(B-C)  (CB) 
] 
a) {4} b) {2,6} c) 
{2,4,8} 
d) {8} e) {2} 
 
19. De los 60 alumnos que componen 
un aula; 32 juegan fútbol y 25 juegan 
voley, ¿cuántos juegan 
exclusivamente un deporte, si 10 no 
practican ninguno? 
a) 25 b) 18 c) 50 
d) 43 e) 46 
20. En un grupo de 120 personas se 
sabe que 70 leen el “Comercio”; 60 
“Ojo”; 30 “La Republica”, si cuatro 
leen los 3 diarios. ¿Cuántos leen por 
lo menos 2 de ellos? 
a) 32 b) 34 c) 36 
d) 38 e) 40 
 
21. En una institución se determinó 
una encuesta en el cual se ve que el 
30% de sus alumnos les gusta 
Álgebra y que al 50% les gusta 
Aritmética. Si las sumas de los que 
solo les gusta Aritmética es el 44% 
del total de alumnos y que a 780 
alumnos no les gusta, ni Álgebra ni 
Aritmética, determinar a cuantos 
alumnos les gusta Aritmética. 
a) 100 b) 1500 c) 
3000 
d) 960 e) 2200 
 
22. En los tres primeros exámenes 
de una academia de 100 alumnos, 40 
de ellos aprobaron el primero; 39 el 
segundo y 48 el tercero, aprobaron 
10 los tres exámenes. 21 no 
aprobaron examen alguno, 9 
aprobaron los 2 primeros exámenes, 
pero no el tercero; 19 no aprobaron 
los 2 primeros exámenes, pero si el 
tercero. Calcúlese cuantos alumnos 
aprobaron por lo menos 2 exámenes. 
a) 19 b) 28 c) 38 
d) 40 e) 48 
 
23. En la Academia Preuniversitaria 
“Antonio Raimondi” rindieron 
 
 
ARITMÉTICA 
13 
exámenes para becas, siendo los 
resultados: 
 10 aprobaron Matemática y física. 
 7 aprobaron Matemática y 
Química. 
 9 aprobaron Química y Física. 
 17 aprobaron Matemática. 
 19 aprobaron Física. 
 18 aprobaron Química, por ser del 
grupo Primera Opción. 
 4 aprobaron los tres cursos. 
Hallar cuantos alumnos dieron 
examen. 
a) 23 b) 32 c) 28 
d) 26 e) 24 
 
AUTOEVALUACIÓN 
 
24. D={(x+3) /xN,-3x0} 
a) {-6,-5,-4} 
b) {0,1,2} 
c) {} 
d) {0,1,2,3} 
e) {1,2} 
 
25. C={4(x-3) N/-1  x-1  3} 
a) {0,1,2,3} 
b) {0,1,2,3,4} 
c) {1,2,3,4} 
d) {2,3,4} 
e) {2,3} 
 
26. Determinar en forma 
constructiva el siguiente conjunto 
B={2,4,6,8} 
a) {2x+2/xN; 0  x  3} 
b) {2x/xN; 1  x  4} 
c) {2x-2/xN; 2  x  5} 
d) {2x/xN; 0<x<5} 
e) todas. 
 
27. Si: A={x/xN, x  16} 
a) {-1; 0; 1; 2; 3; . . . ;15} 
b) {1; 2; 3; . . . ;15} 
c) {0; 1; 2; 3; . . . ;15} 
d) {0; 1; 2; 3; . . . ;16} 
e) {1; 2; 3; . . . ;16} 
 
28. Determinar en forma 
constructiva el siguiente conjunto 
A={0, 2, 4} 
a) {2x/xZ; 0  x  2} 
b) {(x/2) /xN; x  8} 
c) {
2
x -1
2
 
 
 
 
Z / xN; x  3} 
d) {(5x – 1) Z / 1/5  x  1} 
e) {(x+4) N / x  0} 
 
29. Determine por extensión el 
siguiente conjunto: B = 
{2,9;28;65;126;217;...;1332} 
a) B = {x/x = 2n2-3, n   ;1  n  12} 
b) B = {x/x = (n + 1) 3, n   ;n<12} 
c) B = {x/x = n3+1, n   ;1  n  11} 
d) B = {x/x = n3-1, n   } 
e) B = {x/x = n3+5, n   1<n<13} 
 
30. Si U={x/x son los naturales} 
 A 2x / x U x 6    
 x 4B / x A2

  
 2y 1C / y B3

  
Cuál es conjunto cardinal de C. 
a) 1 b) 2 c) 5 
d) 2 e) 4 
 
 
 
ARITMÉTICA 
14 
 
31. Cuántas proposiciones son falsas 
en: D={1, {2}, 3, {4}, 0} 
I. {2}  D IV. {0} D 
II. {1,3} D V. 0 D 
IV {{4}} D VI. {3} D 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
32. Hallar (a+b–c) si el siguiente 
conjunto es un Singleton. 
B = { a ; b + c ; a – c + 4 ; 7 } 
a) 6 b) 15 c) 3 
d) 2 e) 1 
 
33. Cuántos subconjuntos tiene 
B = { 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3 } 
a) 16 b) 8 c) 4 
d) 3 e) 7 
 
34. Cuántos subconjuntos tiene 
C = {  , {  } } 
a) 2 b) 4 c) 8 
d) 1 e) 16 
 
35. Si n(A) significa: número de 
elementos del conjunto A y siendo A 
y B, 2 conjuntos tales que: n(A U B) 
= 30, n(A–B)=12 y n(B–A)=8. Hallar 
el valor de 5n(A) – 4n(B) 
a) 34 b) 40 c) 38 
d) 28 e) 36 
 
36. Si A y B son dos conjuntos 
disjuntos y se sabe que el cardinal 
de A es 4 y que el conjunto B tiene 
64 subconjuntos. ¿Cuántos 
subconjuntos tendrá AB? 
a) 1024 b) 512 c) 256 
d) 2048 e) 16 
 
37. Cuántos subconjuntos propios 
tiene aquel conjunto que tiene 15 
sub. conjuntos cuaternarios. 
a) 511 b) 127 c) 63 
d) 1023 e) 2047 
 
38. Indicar cuál de las siguientes 
afirmaciones son correctas: 
I. Si (A–B)  (B–A) = A  B 
entonces: AB=  . 
II. Si A – B =  , entonces A  B 
III. Si A = { 3, 5 }, entonces 3 A 
a) solo I b) solo II c) 
solo III 
d) solo I y II e) Todas 
 
39. Hallar n(P(AB)), si: 
A = { x = ab / 2 < a < b < 7 } 
B = { x = ab / a < b < 5 } 
a) 2 b) 64 c) 128 
d) 256 e) 512 
 
40. Para dos conjuntos A y B: 
n(A) +n(B) =1; n(AC–BC) =7 
n(AB) =4; n(ACBC) =11 
Calcular n(BC) 
a) 17 b) 18 c) 19 
d) 20 e) 21 
 
41. Una persona come huevos y/o 
tocinos en su desayuno cada mañana 
durante el mes de Enero. Si come 
tocino 25 mañanas y huevos 18 
mañanas ¿Cuántasmañanas comió 
huevos y tocino? 
a) 31 b) 43 c) 15 
d) 12 e) 20 
 
42. En un grupo de 100 personas se 
sabe que 40 gustan del curso de 
Aritmética, 30 de Álgebra y 60 de 
Geometría. Si a 3 personas les gusta 
los 3 cursos. ¿A cuántas personas les 
gusta exactamente 2 cursos? 
 
 
ARITMÉTICA 
15 
a) 24 b) 16 c) 14 
d) 30 e) 34 
 
43. De 100 estudiantes se sabe que 
73 estudian Historia y de las 40 
mujeres, 12 no estudian Historia. 
¿Cuántos hombres no estudian 
Historia? 
a) 28 b) 15 c) 14 
d) 12 e) 31 
 
44. De cierto número de figuras 
geométricas se sabe que 60 son 
cuadriláteros; 40 son rombos, 30 
son rectángulos. ¿Cuántos son 
cuadrados? 
a) 10 b) 12 c) 8 
d) 1 e) 6 
 
45. De un grupo de 75 alumnos se 
observó. 
 40 son hombres. 
 50 son del ciclo semianual 
 hay 15 señoritas que no son del 
ciclo semianual. 
¿Cuántos son los hombres que no 
estudian en el ciclo semianual? 
a) 20 b) 25 c) 40 
d) 15 e) 10 
 
TAREA DOMICILIARIA 
 
Determinar de forma tabular los 
siguientes conjuntos: 
46. D={(x+4) N/-2<3x+1<0} 
a) {0,1,2} b) {1,2} 
c) {4,5,6} d) {5,6} 
e) {4,5} 
 
47. C={3xN/-2x+13} 
a) {0,1,2,3} b) {0,1, ... ,6} 
c) {0,1, ... , 5} d) {1,2, ... ,5} 
e) {1,2, ... ,6} 
 
48. C={(5x+1) N/-3  x+3  6} 
a) {0,1, ... ,14} 
b) {1,2, ... ,15} 
c) {0,1,2,...,15} 
d) {0,1,...,16} 
e) {0,1,2,...,13} 
 
49. Si: B={(3x) /xZ,-2  x  3} 
a) {-3, 0, 3, 6, 9, 12} 
b) { 0, 1, 3, 6, 9} 
c) {-3, 0, 3, 6, 9} 
d) {-6, -3, 0, 3, 6} 
e) {--6, -3, 0, 3, 6, 9} 
 
50. Si: C={(
x
2
) /xN, x  7} 
a) { 0, 1, 2, 3 } 
b) {0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, 7/2} 
c) {0, 1/2, 3/2, 5/2, 7/2} 
d) {0, 1/2} 
e) {0, 1/2, 1, 4/2, 6/2} 
 
51. Si: D={(3x) N/ xZ, -3  x  2} 
a) {0, 1, 2} 
b) {0, 3, 6} 
c) {-3, 0, 3, 6} 
d) {-6, -3, 0, 3, 6} 
e) { } 
52. Si: E={(
x
1
2
 )  R /xZ,-1  x  2} 
a) {-6,-5,-4} b) {0,1/2,1} 
c) {3/2, 1} d) {-1,0,1,2,} 
e) {1/2 , 1} 
 
53. Si: F={(x/4) Z/xN, x  10} 
a) {1,2} b) {0,1,2} 
 
 
ARITMÉTICA 
16 
 
c) {,5,6} d) {45,6} 
e) {0,1,2,3,4,5} 
 
54. Si: G={
x 1
2
 
 
 
N/xZ, x  9} 
a) {0,4,8} b) {0,1,2,3,4,} 
c) {1,2,3,4,5,6} d) {0,1,3,5,7} 
e) {0,2,4,6} 
 
55. Si: J={(3x/2) N/-3  x  4} 
a) {0,1,2,3} b) {0,3} 
c) {1,2,3,4} d) {2,3,4} 
e) {2,3} 
 
56. Si: K={( 1 –2x ) Z/-2  x  3} 
a) {0, 1} b) {-3,-1} 
c) {-3, 0, 3} d) {-3,-1,1,3} 
e) {1,3} 
 
57. Si: L={( x+3 ) N / -7  x  -1} 
a) {0,1, 2} b) {0, 1} 
c) {-1, 0, 1} d) { } 
e) {1,2} 
 
58. Si: 
2
M Z / 2< 1 – x< 1
x 1
  
    
  
 
a) {1, 2} b) {0, 1, 2} 
c) {-1, 0, 1} d) { } 
e) {1} 
59. Determinar en forma 
constructiva el siguiente conjunto 
C={1,4,9,16,25} 
a) {x/xN; 1  x  25} 
b) {2x/xN; 0  x  16} 
c) {x2/xN; 1  x  5} 
d) {x3/xN; 1  x  5} 
e) {x3/xN; 0  x  5} 
 
60. Determinar en forma 
constructiva el siguiente conjunto 
D={-2;0;2,4;8;10;…;20} 
a) {x/xZ; -1  x  10} 
b) {2x/xZ; 0  x  16} 
c) {2x/xZ; 1  x  5} 
d) {2x/xZ; 1  x  5} 
e) {x/xZ; 0  x  5} 
 
61. Si A = { 2, 3 }, hallar n(P(P(A))) 
a) 4 b) 8 c) 16 
d) 32 e) 64 
 
62. A={(x/2) / x Z ; -1  x  5}, 
Cuántos subconjuntos de 3 
elementos tiene. 
a) 35 b) 10 c) 21 
d) 5 e) 6 
 
63. Hallar el cardinal de la potencia 
del conjunto que tenga 56 
subconjuntos con 3 elementos. 
a) 32 b) 64 c) 128 
d) 256 e) 512 
 
64. Se tiene dos conjuntos 
comparables A y B cuyos cardinales 
son números impares consecutivos. 
Calcular el mayor de n(P(A)); si 
N(P(B) ) este comprendido entre 100 
y 200. 
a) 64 b) 128 c) 
1024 
d) 512 e) 648 
 
 
 
AFIRMAR O NEGAR LAS 
SIGUIENTES PROPOSICIONES 
SEGÚN LOS CONJUNTOS. 
 
 
ARITMÉTICA 
17 
 
A = {2;{a} ;{1;3};{v}} y 
B = {a;b};2;{7};{{v}};a} 
 
 2 A ................ 
 aB ................ 
 7B ................ 
 7 A ................ 
 {v} B ................ 
 bB ................ 
 {b}B ................ 
 {b, a}B 
 ................ 
 {1; 2} A ................ 
 {{3; 1}} A ................ 
 {3; {1}} A ................ 
 {{{v}}} A ................ 
 {3; v}A 
 ................ 
 2 A ................ 
 {v} B ................ 
 {{1}}B ................ 
 {{1; 3}} A ................ 
 {2; {7}; {v}} B ................ 
 {{2}; {7}; {{v}}} B 
 ................ 
 {{a}; {1 ;3};{v}} A 
 ................ 
  A ................ 
   ................ 
 PA ................ 
 {0}PA ................ 
 {{a}}PA ................ 
 {{{1}}} PA 
 ................ 
 {{{{v}}}} PB ................ 
   PB ................ 
   ................ 
 A A ................ 
65. Dados los conjuntos unitarios: 
A = {( x y ) , 8} 
B = {( y x ) , 4}, hallar ( x + y ) 
a) 20 b) 30 c) 40 
d) 45 e) 25 
 
66. Si: A = { 1, 2, 3, 4 } 
B = { 2, 4, 6, 8 } 
C = { 1, 3, 5, 7 }; hallar. 
[(A  B) C – (B  C) ]C – [(B–C)  (A–
B) ] 
a) {5,7} b) {6,8} c) 
{7,8} 
d) {5,8} e) { } 
 
67. Si: A = { 1, 2, 4, 6 } 
B = { 2, 4, 6, 7 } 
C = { 1, 4, 6, 9 } 
D = [(ACC) C  (B  C) C]C 
E= [(B–C)  (C–B) ]; 
Hallar (DE) 
a) {2,6} b) {3,5} c) { 
} 
d) {1,3} e) {4} 
 
68. Dados los conjuntos: 
A = { 0, {  }} 
B = { 0,  , {  }, {0} } 
C = P( AB ) 
D = P( B – A ) 
Hallar: (CD) 
a) {  } b) {{0, {  } } ;  } 
c) { {  }, { {0} } } d) {{  ,{0}}} 
e) {  ,0} 
 
69. En un grupo de 100 personas 
se ve que 60 visten de color rojo; 40 
de amarillo y 30 de negro. Si 5 
visten de los tres colores ¿Cuántas 
 
 
ARITMÉTICA 
18 
 
personas visten exactamente de un 
color? 
a) 35 b) 20 c) 75 
d) 85 e) 65 
 
70. De un cierto grupo de 
estudiantes 9 conocen bastante bien 
los cursos de Aritmética y Álgebra 
pero no de Geometría, 8 saben solo 
Aritmética y 4 responden solo 
Álgebra; 31 saben Geometría o 
Álgebra de los cuales 7 saben 
Aritmética pero no Álgebra y 2 saben 
Álgebra y Geometría 
pero no Aritmética. Si 4 alumnos 
conocen los 3 cursos bastante bien. 
¿A cuántos alumnos se ha hecho 
referencia? 
a) 55 b) 33 c) 39 
d) 40 e) 48 
 
71. De un total de 120 alumnos se 
observa lo siguiente: 45 aprobaron 
física, 46 química; 38 matemáticas, 
7 aprobaron física y química; 8 
aprobaron química y matemática; 10 
aprobaron matemática y física; y 12 
no aprobaron ninguno de ellos. 
¿Cuántos aprobaron al menos 2 
cursos? 
a) 17 b) 22 c) 13 
d) 24 e) 15 
 
72. En un colegio, 100 alumnos 
han rendido 3 exámenes: de ellos 30 
aprobaron el primero, 39 el segundo 
y 48 el tercero; 15 no aprobaron 
ninguno, 15 aprobaron los dos 
primeros; 11 aprobaron el segundo y 
el tercero; y 12 aprobaron el primero 
y el tercero. ¿cuántos aprobaron los 
3 cursos? 
a) 6 b) 7 c) 8 
d) 9 e) 10 
 
73. En una reunión de 100 
personas, 60 son mujeres; sabiendo 
que la mitad de los presentes hablan 
inglés y que 28 mujeres no hablan 
inglés. ¿cuántos hombres no hablan 
inglés? 
a) 32 b) 24 c) 22 
d) 18 e) 26 
 
74. De un grupo de 100 personas 
que van a una fiesta, 40 son 
mujeres; 2/5 de los asistentes 
bailan. Hallar la diferencia de la 
cantidad de varones que no bailan y 
mujeres que no bailan. 
a) 40 b) 60 c) 10 
d) 20 e) 30 
 
75. De 500 alumnos de un colegio, 
100 siempre caminan para ir al 
colegio, 280 alumnos usan bicicleta 
y 285 alumnos usan el servicio de la 
combi. ¿Cuántos alumnos utilizan 
siempre la combi? 
a) 40 b) 110 c) 115 
d) 125 e) 120 
 
76. De 80 personas, 20 gustan de 
fútbol, 30 de volley, 40 de básquet y 
7 de los 3. ¿cuántos practican 2deportes, si a 10 solo le gusta 
estudiar? 
a) 6 b) 10 c) 12 
d) 20 e) 25 
 
77. De un grupo de 100 personas 
se sabe que a 80 les gusta la toada, a 
60 rock pesado y 30 bals. ¿a cuántos 
 
 
ARITMÉTICA 
19 
les gusta exactamente 2 de ellos, si 5 
les gusta bailar los tres ritmos? 
a) 40 b) 80 c) 60 
d) 50 e) 70 
 
78. Al estadio Garcilaso asistieron 
100 personas: 50 eran hincha del 
Universitario, 45 de Alianza Lima, 
30 de Alianza y Cristal, 25 de la U y 
cristal, 10 de los tres equipos, pero 
20 solo de Cristal. Determinar 
quienes simpatizan con Alianza 
Lima. 
a) 48 b) 18 c) 30 
d) 10 e) 8 
 
79. Una encuesta realizada a 500 
estudiantes de la Academia 
“Raimondi” sobre la preferencia de 
una o más de las asignaturas de 
Aritmética, Álgebra y Geometría 
durante el presente ciclo, reveló los 
siguientes datos: Prefieren 
Aritmética; 329; Álgebra 186, 
Geometría 295, Aritmética y Álgebra 
83, Aritmética y Geometría 217, 
Álgebra y Geometría 63. ¿Cuántos 
estudiantes prefieren las tres 
asignaturas? 
a) 60 b) 62 c) 52 
d) 50 e) 53 
 
80. Una sección de nuestra 
Academia está formada por 35 
alumnos entre varones y mujeres, se 
sabe que: 
 7 hombres aprobaron Aritmética. 
 6 hombres aprobaron Álgebra. 
 5 hombres y 8 mujeres no 
aprobaron ninguno de los dos 
cursos. 
 5 aprobaron los dos cursos. 
 11 aprobaron solo aritmética. 
Si en total hay 16 hombres. ¿Cuántas 
mujeres solo aprobaron lenguaje? 
a) 5 b) 4 c) 3 
d) 2 e) 1 
 
81. De los residentes de un 
edificio se ha observado que 29 de 
ellos trabajan y 56 son mujeres, de 
las cuales 12 estudian pero no 
trabajan. De los varones, 32 trabajan 
o estudian y 21 no trabajan ni 
estudian. ¿Cuántas mujeres no 
estudian ni trabajan, si 36 varones 
no trabajan? 
a) 34 b) 36 c) 32 
d) 37 e) 39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARITMÉTICA 
20 
 
 
 
 
 
 
 
Número real es cualquier número racional o irracional. 
 
Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un 
número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con 
infinitas cifras no periódicas. 
 
Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los 
puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto 
al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y 
con ella se representan todos los números enteros. 
 
 
 
 
 
Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la 
recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante 
aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la 
recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar 
en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal 
manera se la denomina recta real. 
 
A diferencia de los naturales y de los enteros, los números racionales no 
están colocados de manera que se puedan ordenar de uno en uno. Es decir, 
no existe “el siguiente” de un número racional, pues entre dos números 
racionales cualesquiera hay otros infinitos, de modo que si se representan 
sobre una recta, ésta queda densamente ocupada por ellos: si tomamos un 
trozo de recta, un segmento, por pequeño que sea, contiene infinitos 
números racionales. Sin embargo, entre medias de estos números 
densamente situados sobre la recta existen también otros infinitos puntos 
que no están ocupados por racionales. Son los números irracionales. 
 
El conjunto formado por todos los números racionales y los irracionales es 
el de los números reales, de modo que todos los números mencionados hasta 
ahora (naturales, enteros, racionales, irracionales) son reales. Estos 
19
.....21012.....
Números Reales 
 
 
ARITMÉTICA 
21 
números ocupan la recta numérica punto a punto, por lo que se le llama 
recta real. 
 
Entre los números reales están definidas las mismas operaciones que entre 
los racionales (suma, resta, multiplicación y división, salvo por cero). 
 
 
 
 
ADICIÓN 
 
: , (a,b) a b     + 
Propiedades: 
 Clausura o cerradura: a,b a b     
 Conmutativa: a b b a   
 Asociativa: (a b) c a (b c)     
 Elemento neutro aditivo (modulativa): a 0 0 a a    
 Elemento inverso aditivo: a , !( a) / a ( a) ( a) a 0           
 
MULTIPLICACIÓN 
 
: , (a,b) a b     
Propiedades: 
 Clausura o cerradura: a,b a b     
 Conmutativa: a b b a   
 Asociativa: (a b) c a (b c)     
 Elemento neutro multiplicativo (modulativa): a 1 1 a a    
 Elemento inverso multiplicativo: 
1 1 1
a {0}, !(a ) / a.a a .a 1
  
       
 Distributiva: a (b c) a b a c      
 
PROPIEDADES PARA LA IGUALDAD 
 
Para a,b y c  , se cumplen: 
 Reflexiva: a a 
 Simétrica: a b b a   
 Transitiva: a b b c a c     
 
PROPIEDADES PARA LA RELACIÓN DE ORDEN 
 
 Tricotomía: a,b a b a b a b        
 
 
ARITMÉTICA 
22 
 
 Transitiva: a,b,c : a b b c a c       
 Uniformidad o monotonía: a,b,c  
 Si a b a c b c     
 Si a b a c b c si c 0      
 Si a b a c b c si c 0      
 
 
INTERVALOS 
 
 Se trabaja con los números reales. 
 Entre dos números reales diferentes existen infinitos números reales. 
 Para una mejor visualización del problema se trabaja en la recta 
numérica. 
 
Existen: 
 
INTERVALOS ABIERTOS 
 
 Se denota por: 
a,b  , ]a,b[ , (a,b)ó a x b  
 
 Cuando no se llega a tomar los valores de los limites, por ejemplo : 
 
x  2; 5, quiere decir que los valores de x son mayores que 2 y menores 
que 5, pero no llega a tomar los valores de 2 y 5. 
 
Su grafica sería: 
 
 
 
INTERVALOS CERRADOS 
 
 Se denota por: 
a,b  , [a,b]ó a x b  
 
 Cuando se toma todos los valores incluyendo los limites, por ejemplo: 
 
“x”  [ 2; 5 ], quiere decir que los valores de “x” son mayores o iguales 
que 2 y menores o iguales que 5, en otras palabras toma los valores 
desde 2 hasta 5. 
2 5
 
 
ARITMÉTICA 
23 
 
Su gráfica sería: 
 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. En el sistema de los números 
reales, verificar la verdad o falsedad 
de las siguientes proposiciones. 
I. Entre dos números reales 
diferentes existen infinitos 
números reales. 
II. El conjunto de los reales es 
denso. 
III. El número “0” (cero) le 
pertenece a los irracionales. 
IV. 
1 1
a ; ! / a. 1
a a
     
a) VFFF b) VVFF 
c) VFVF d) FVFV 
e) FVFV 
 
02. En el sistema de números reales 
verificar la verdad o falsedad de las 
siguientes proposiciones: 
I. La ley de tricotomía está dado 
por: 
(a b) (a b) (b a ), a,b       
II. La ley transitiva está dado por: 
(a b) (b c) (a c), a,b,c       
III. Si a b a c b c, a,b,c       
IV. Si a b a.c b.c, a,b,c     
a) VVFF b) FVFV 
c) VFFV d) FVVF 
e) FVVV 
 
03. Señala el axioma de los números 
reales: 
I. Si a b , entonces (a b)    
II. a b :(a / b)    
III. a;b y c : a(b c) ab bc     
a) Sólo I b) Sólo II 
c) Sólo III d) I y II 
e) I y III 
 
04. En los reales afirmamos: 
I. Si : 
2
a 0 a 0   
II. Si : a b ac bc   
III. Si : 
1 1
0 a b 0 b a
 
     
Son verdaderas: 
a) Todas b) Sólo I 
c) I y III d) I y II 
e) Ninguna 
 
05. Indique la tabla de verdad de : 
I. 
a b
 a ; b : + 2
b a

   
II. 
2
 a ; b : (a 5) 0

    
III. 
2
 y : y 2y 4 0     
a) VFF b) VVV 
c) VVF d) FFV 
e) FVF 
 
06. Dado: x 0; y 0; x y z 0     
Desigualdad que no siempre es 
verdadera 
a) x z y z   b) x z y z   
c) xz yz d) 
2 2
x / z y / z 
2 5
 
 
ARITMÉTICA 
24 
 
e) 
2 2
xz yz 
 
07. Si: A 4,7  y  B 1,9 , 
Hallar  A B B 
a) 4,1b)  7,9 
c) 1,7 d)   
e) 4,1 
08. Si: A 2,10 y B 5,12 , hallar 
   B A B A  
a)    2,5 10, 2 
b) 5,10 
c)  2,5 10,12 
d)  2,5 10,12 
e)   
 
09. Si: A 5,3 ,   B 2,5  y 
C 0,9 hallar  B C A 
a)  0,3 
b)  5, 2  
c)    5, 2 0,3  
d)  2,0 
e)    5, 2 0,3  
 
10. Si:  A 5,0 ,   B 3,2  y 
 C 0,7 hallar  A C B  
a)    5, 3 2,7  
b)  3, 2 
c)    5, 3 2,7  
d)  2,7 
e)  5, 3  
 
11. Si:  A 0,7 ,  B 0,5 y 
 C 0,10 hallar    B A C B .  
a)  
b)  0 5,10 
c)  5,10 
d)    05,10 
e)    5,10 0 
 
12. Si:  A 2,7 ,   B 5,7  y 
 C 2,7  
a)    5, 2 7  
b)  5, 2  
c)    5, 2 7  
d)  5, 2  
e)  5,7 
 
13. Si:  A 10,10 ,   B 0,10 y 
 C 0, 20 . Hallar  B C A 
a)  10, 20 
b)  10, 20 
c)    10, 20 0,10  
d)  0,10 
e)    10, 20 0,10 
 
14. Si: A 3,3  
 B 5,5  y C 9,9  
Hallar    
C C
C B B A  
a) 9,9 
b)  5,5 
c)  3, 9 9,3  
d)  9, 3 3,9  
e)     9, 3 3,9 5,5    
 
15. Si:    A 4,4 , B 4,4    y 
 C 5, 4  . 
 
 
ARITMÉTICA 
25 
Hallar    
C
A B A C   
a)  ,  
b)  5, 4  
c)  5, 4  
d)    , 5 4,    
e)   , 5 4,    
 
 
 
ARITMÉTICA 
26 
 
AUTOEVALUACIÓN 
 
16. Dados los conjuntos 
A = {xR / x  2} 
B = {xR / x  6} 
C = {xR / x  10} 
Entonces el valor de: 
[(A – C) U(R – B) ]B, es: 
a) -,6] b) [2,6] c) -,2] 
d) R e)  
 
17. Dados los conjuntos: 
A = {xR / –3 < x < 2} 
B = {xR / 0 < x  4} 
C = {xR / –4 < x  6} 
El valor de: (A – B)  C es: 
a) [-3,0] b) -4,0 c) -
3,0 
d) -4,0] e) -3,0] 
 
18. En la recta numérica real, dado 
los intervalos: 
A = {xR / x < 2} 
B = {xR / x > 4} 
C = [2,4] 
Calcular: [(AUB) C]C 
a) 2,4] b) [2,4 c) R 
d)  e) [4,+ 
 
19. Si: A = {xR / -5 < x  8} 
B = {xR / x2 – 3x + 2 < 0} 
Hallando: (A – B) C U [0, 8], se 
obtiene: 
a) -,-5] U [0,+ 
b) -,-5] U 1,2 U 8,+ 
c) [-5,1] U 0,+ 
d) -5,1 U 1,2 
e) -,5 U 0,+ 
 
20. Dados los conjuntos: 
A = {xR / x  8} 
B = {xR / – 10  x < 3} 
C = {xR / 0  x  20} 
Hallar: A – (B  C) 
a) -,0] U [3,8 b) -,0 U 
3,8 
c) -,0 U [3,8] d) -,0 U 
3,8] 
e) [0,3 
21. Si: 
 
A 3;2
B 0 : 4
C 4,6]
  

 
 
Hallar 
c C
(B C) (A B)   
a) -2 , 0 b) -3 , 0 c) -2 
, 0] 
d) -3, 0] e) -3, 2] 
 
22. Si: 
A = {xZ / x  -8} 
B = {xZ / x < -2} 
C = {xZ / -8 < x  3} 
La suma de los cubos de los 
elementos de 
(A-B) C, es: 
a) 8 b) –27 c) 27 
b) 30 e) –8 
 
23. Dados los conjuntos: 
 
 
 
A x / 3 x 2
B x / 1 x 5
C x / 5 x 8
    
   
    
 
Hallar (A – B)  C 
a) [-3,1] b) [2,4] c) 2,4 
d) -3,1 e) -3,1] 
 
24. Si: A= 2,5] y B= [4,6. Hallar (A-
B)’ es: 
a) -,2]U[4,+ b) 2,4 
c) [2,4] d) -,2]U[5,+ 
e)  
 
25. Dados los conjuntos: 
A = {xR / 6< x < 12} 
B = {xR / 8 < x  15} 
C = {xR /x 15} 
 
 
ARITMÉTICA 
27 
Hallar 
c c
(A B) C  
a) [15, + b) 15, + c) 8, 
+ 
d) 12, + e) -, 15 
 
 
 
ARITMÉTICA 
28 
 
 
TAREA DOMICILIARIA 
 
26. Si A = <4; 8> , B= [ 6; 9> 
Hallar (A – B). 
a)<4;9> b)<4; 6> c)<6; 
8> 
d)< 8; 9> e)<4; 8> 
 
27. Si A = < 2; 6] , B = <4; 7 ] 
Hallar (B – A). 
a) [2; 4] b) < 2; 7] c) <4; 
6] 
d) [2; 5] e) < 6; 7] 
 
28. Si A = [ 2; 5 ] , B = [ 4; 8 ] 
Hallar (A  B). 
a) [2; 8] b) [2; 8> c) <2; 
5] 
d) [2; 5] e) <2; 8] 
 
29. Si A= [1; 6] , B= [ 4; 9 ] 
Hallar (AB) 
a) <1; 4] b) [4; 6] c) 
<4; 6] 
d) [4; 6 > e) [1; 9] 
 
30. Si A= [ 2; 5 > , B = [ 3; 8 ] 
Hallar ( A  B ). 
a) [ 2; 3 >  [ 5 ; 8 ] 
b) [ 2; 3 >  < 5 ; 8 ] 
c) < 2; 3 >  [4 ; 8 ] 
d) < 2; 3 ]  < 5; 8 ] 
e) [ 2 ; 3 ]  [ 5; 8 ] 
 
31. Si A = < 2 ; 6 ] , B = < 5; 8 > 
Hallar (A  B ). 
a) [ 2; 5 ]  [ 6 ; 8 ] 
b) <2 ; 5 ]  [ 6; 8 > 
c) < 2; 5 ] < 6 ; 8 > 
d) [ 2; 5 ]  < 6; 8 > 
e) <2 ; 5 >  [ 5; 8 ] 
 
32. Si A = [ 2 ; 8 > , B = [5; 6 ] 
Hallar ( A  B ). 
a) [ 2 ; 5 ]  [ 6 ; 8 ] 
b) < 2; 5 ]  < 6 ; 8 > 
c) < 2; 5]  [ 6 ; 8 ] 
d) [ 2; 5 >  < 6; 8> 
e) [ 2; 5 >  [ 6 ; 8 ] 
33. Si A= [2 ; 5 ] , B= < 3; 6] , 
C= [4 ; 8 ] . Hallar (AB) – C 
a) [ 2 ; 4 ]  < 6 ; 8 > 
b) < 2; 5 ]  < 6 ; 8> 
c) [ 2; 6 ]  < 5; 8 ] 
d) [ 2; 4 > 
e) [ 2; 4 ]  < 5 ; 8 > 
 
34. Si A = [2; 6] , B= < 3; 8 > 
Hallar (A B) . 
a) < - ; 2]  [3 ;  > 
b) [- ; 2 ]  < 3;  > 
c) < - ; 3 ]  < 6 ;  > 
d) < - ; 4 ]  [ 6 ;  > 
e) < - ; 2 ]  [ 5 ;  > 
 
35. Si A=< 2 ; 6 ]; B=[1; 4] , C= [ 3; 
5> 
Hallar (A B) C  . 
a) [ 2; 4 ]  < 3; 5 > b) [ 3; 4 
] 
c) < - ; 4]  [6 ;  > d) < 3; 4 
> 
e) < - ; 3]  [5 ;  > 
 
36. Si: 2x  8,6  , indicar a que 
intérvalo pertenece  x 5 . 
a) 1,3 b)  9, 2  c)  4,3 
d) 1,8 e) N.A. 
 
37. Si: x+2 3,7  ,decir a que 
intérvalo pertenece  3 2x . 
a)  7,13 b) 7,13 
 c) 7,13 
d) 13, 7 e)  13,7 
 
 
ARITMÉTICA 
29 
 
38. Si:   4 3x 5,16   , decir a que 
intérvalo pertenece 
2
x . 
a)  0,9 b) 16,9 c) 0,16 
d) 9,16 e)  
 
 
ARITMÉTICA 
30 
 
 
 
 
SISTEMA DE NÚMEROS NATURALES 
 
Número natural es el que sirve para designar la cantidad de elementos que 
tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. 
 
Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa 
por N: 
 
Nº = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…} 
 
El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. 
 
Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, 
pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 
 
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),… 
 
Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas 
civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más 
elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. 
 
Entre los números naturales están definidos las operaciones adición y 
multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números 
naturales es también un número natural, por lo que se dice que son 
operaciones internas. 
 
La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la 
diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo 
es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el 
conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de 
otro, cualesquiera que sean éstos. 
 
La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos 
números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el 
dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los 
números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro 
(salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los 
números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto. 
PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS NATURALES 
 
 
ARITMÉTICA 
31 
 
La adición de números naturales cumple las propiedades asociativa, 
conmutativa y elemento neutro. 
 
 
Propiedad Asociativa: 
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: 
 
(a b) c a (b c)     
 
Por ejemplo: 
(7 4) 5 11 5 16     
7 (4 5) 7 9 16     
 
Los resultados coinciden, es decir: 
 
(7 4) 5 7 (4 5)     
 
Propiedad Conmutativa: 
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: 
 
a b b a   
 
En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 
 
7 4 4 7   
 
Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden 
efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin 
tener en cuenta el orden.Propiedad Modulativa o del elemento neutro: 
El 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea 
el número natural “a”. 
Se cumple que: 
a 0 a  
 
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES 
 
La multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa, 
conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la 
suma. 
 
 
ARITMÉTICA 
32 
 
 
 
Propiedad Asociativa: 
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: 
(a.b).c a.(b.c) 
Por ejemplo: 
(3.5).2 15.2 30  
3.(5.2) 3.10 30  
 
Los resultados coinciden, es decir: 
(3.5).2 3.(5.2) 
 
Propiedad Conmutativa: 
Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: 
a.b b.a 
Por ejemplo: 
 
5.8 8.5 40  
9.4 4.9 36  
2.3 3.2 6  
 
Propiedad Modulativa o del elemento neutro 
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el 
número natural a, se cumple que: 
a.1 a 
 
Propiedad Distributiva del producto respecto de la suma: 
Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que: 
a.(b c) a.b a.c   
 
Por ejemplo: 
5.(3 8) 5.11 55   
5.3 5.8 15 40 55    
 
Los resultados coinciden, es decir: 
5.(3 8) 5.3 5.8   
 
 
ARITMÉTICA 
33 
 
SISTEMA DE NÚMEROS ENTEROS 
 
Número entero es cualquier elemento del conjunto formado por los números 
naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por 
: 
 
 ..., 11 , 10,..., 2, 1, 0, 1, 2, ... ,10, 11, ...     
 
Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como 
los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto 
elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, 
los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…). 
 
Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se 
designa |a| y que es igual al propio “a” si es positivo o cero, y a “ – a ” si es 
negativo. Es decir: 
 
• si a  0, a a ; por ejemplo, 5 5 
 
• si a  0, a a  ; por ejemplo, 5 ( 5) 5     . 
 
El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo. 
 
Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son 
operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin 
embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es 
múltiplo del divisor. 
 
SUMA DE NÚMEROS ENTEROS 
 
Para sumar dos números enteros se procede del siguiente modo: 
 
• Si tienen el mismo signo se suman sus valores absolutos, y al resultado se 
le pone el signo que tenían los sumandos: 
7 11 18  
7 11 18    
• Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro 
negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor: 
7 ( 5) 7 5 2     
7 5 (7 5) 2       
 
 
ARITMÉTICA 
34 
 
14 ( 14) 0   
 
LA SUMA DE NÚMEROS ENTEROS TIENE LAS SIGUIENTES 
PROPIEDADES: 
 
Propiedad Asociativa: (a b) c a (b c)     
Propiedad Conmutativa: a b b a   
Propiedad del elemento neutro: El cero es el elemento neutro de la suma: 
a 0 a  
 
Propiedad del elemento opuesto: Todo número entero a, tiene un opuesto –
a: 
a ( a) 0   
 
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS 
 
Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y 
el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo 
o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este 
procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los 
factores se denomina regla de los signos y se sintetiza del siguiente modo: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
    
    
    
    
 
 
LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS TIENE LAS SIGUIENTES 
PROPIEDADES: 
 
Propiedad Asociativa: (a.b).c a.(b.c) 
Propiedad Conmutativa: a.b b.a 
Propiedad del elemento neutro: el 1 es el elemento neutro de la 
multiplicación: a.1 a 
 
Propiedad Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma: 
a.(b c) a.b a.c   
 
RESTA O SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS ENTEROS 
 
 
 
ARITMÉTICA 
35 
Para restar dos números enteros se le suma al minuendo el opuesto del 
sustraendo: 
a b a ( b)    
Por ejemplo: 
5 ( 3) 5 3 8     
2 5 ( 2) ( 5) 7        
RESUMEN: 
SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES 
Se llama sistema de números Naturales a un conjunto: 
{ 0,1,2,.... }  
Provisto de las siguientes operaciones: 
 Adición: (a,b) a b  
 Multiplicación: (a,b) a b  
Operaciones que están totalmente definidas que cuentan con una relación 
de orden menor o igual (  ) 
 
ADICIÓN: 
Propiedades: 
 Clausura : Si a,b a b    
 Conmutativa : A + B = B + A 
 Asociativa : A + ( B + C ) = ( A + B ) + C 
 Modulativa : El cero es el elemento neutro aditivo: 
 A + 0 = A ,  A. 
 
MULTIPLICACIÓN 
Propiedades: 
 Clausura : Si a,b a b    
 Conmutativa : A x B = B x A 
 Asociativa : A x ( B x C ) = ( A x B ) x C 
 Distributiva : A x ( B + C ) = A x B + A x C 
 Modulativa : El uno es el elemento neutro multiplicativo. 
 A x 1 = A ,  A 
 Elemento absorbente : 0 n n 0 0    
 
Para a,b se cumple: 
 Dicotomia : a,b a b ó a b    
 Reflexiva : a a a    
 Simetría : Si a b b a   
 
 
ARITMÉTICA 
36 
 
 Transitiva : Si a b y b c a c    
 
SUSTRACCIÓN: 
 
Sea a, b ; a b a b c
(b a)
     
 
 
DIVISIÓN: 
a b
Sea a, b ; a b c 
b a
       
 
“La sustracción y la división están parcialmente definidos 
en el sistema de los números naturales” 
 
SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS 
Además de cumplir con las mismas propiedades de la adición, la 
multiplicación y la división del sistema de los números naturales, también 
cumple con tener la sustracción totalmente definida. 
SUSTRACCIÓN O RESTA 
 – MINUENDO S USTRAENDO DIFERENCIA 
 
Propiedades: 
 El inverso aditivo: El inverso aditivo de x es –x , que cumple: 
 x + ( –x ) = 0, para cualquier x. 
El inverso aditivo de 2 es –2; 
El inverso aditivo de 5 es –5; 
El inverso aditivo de –7 es 7; 
 La suma de los términos de una sustracción es el doble del minuendo : 
M+S+D=2M 
 
 Si a un número de dos cifras se le resta el mismo número, pero con sus 
cifras en orden inverso resulta: ab ba xy  , donde x y 9  
 Si a un número de tres cifras se le resta el mismo número, pero con sus 
cifras en orden inverso resulta: 
 abc cba mnp  , donde: n m p 9   
Nota: Las dos últimas propiedades no funcionan con números capicúas. 
 
COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA) 
El complemento aritmético de un número es lo que le falta a éste para 
formar una unidad del orden inmediato superior. 
 
 
ARITMÉTICA 
37 
C.A.( 4 ) = 10 – 4 = 6 
C.A.( 82 ) = 100 – 82 = 18 
C.A.( 992 ) = 1000 – 992 = 8 
C.A.(abcd) 10000 abcd  
Método Práctico: Sirve para cualquier sistema de numeración. 
- Se resta la primera cifra significativa de la derecha de la base en la que 
está el número. 
- El resto de las cifras se resta de la base menos uno. 
 
Ejemplo: 
C.A. ( 347865426 ) = 652134574 
(8) (8)C.A.(13254 ) 64524 
 
DIVISIÓN 
 Inverso multiplicativo : 1/A es el inverso multiplicativo de A que cumple 
: 
 A x 1/A = 1 
 
Ejemplo: 
El inverso de 
5
2
 es 
2
5
 por que 
5 2
 = 1
2 5
 
 
I.- DIVISIÓN EXACTA: Cuando el residuo es cero. 
D d 
 q
 , D d.q  
D = Dividendo 
d = divisor 
q = cociente 
rd = residuo por defecto 
re = residuo por exceso 
 
II.- DIVISIÓN INEXACTA: Cuando existe residuo. 
 II.a.- DIV. INEX. POR DEFECTO: 
D d 
 q
rd 
 , D d.q r.d   
II.b.- DIV. INEX. POR EXCESO: 
 
 
ARITMÉTICA 
38 
 
D dq+ 1
re
 
 , D d(q 1) r.e    
Nota: 
 0 < r < d 
 rd + re = divisor 
 residuo mínimo = 1 
 residuo máximo = divisor - 1 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
1. En los números naturales cuales 
de las siguientes proposiciones son 
correctas. 
I. La suma es una operación que 
cumple con la propiedad de 
clausura. 
II. La sustracción cumple con la 
propiedad de clausura. 
III. El módulo de la multiplicación es 
el cero. 
IV. Todo número tiene inverso 
aditivo en los números enteros. 
a) I b) I; II c) 
I; III 
d) I; IV e) II; IV 
 
2. De las siguientes proposiciones: 
I. Entre los números enteros p y p+1 
existe otro número entero. 
II. El conjunto de los números 
naturales es denso. 
III. La operación de la sustracción 
está totalmente definida en el 
sistema de los números enteros. 
IV. 
A , ! a a , ! a / a ( a)
 ( a) a 0
          
   
 
Son verdaderas: 
a) I y II b) II y III c) II y 
IV 
d) III y IV e) Sólo II 
 
3. En el sistema de los números 
naturales 
¿Cuál de las proposiciones es falsa? 
I. La multiplicación cumple con la 
propiedad de la clausura. 
II. El elemento neutro para la 
adición es único. 
III. La sustracción cumple con la 
propiedad de la clausura. 
IV. El elemento neutro en la 
multiplicación es la unidad. 
V. La división no cumple la 
propiedad de la cerradura. 
a) I b) II c) 
III 
d) IV e) I y II 
4. Indicar cuantas de las siguientes 
proposiciones son falsas en el 
sistema de los números enteros. 
I. El elemento neutro 
multiplicativo es único. 
II. La operación de la división está 
totalmente definida. 
III. La suma de cualquier número 
entero y su inverso aditivo es 
diferente de cero. 
VI. La operación de la multiplicación 
cumple con la propiedad de la 
clausura o cerradura. 
a) 1 b) 2 c) 0 
d) 3 e) 4 
 
 
 
ARITMÉTICA 
39 
5. Determine la verdad o falsedad de 
las siguientes proposiciones: 
I. Para todo a  Z, se tiene 
2
a
a
a
 . 
II. a, b, c  , si a b a c b c     . 
III. Para todo a  existe un 
único b  donde a x b = a. 
a) VVV b) VV c) FFF 
d) FVF e) FFV 
 
6. Cuántos números enteros hay 
entre los números N y N + 1. 
a) 2 b) 1 c) una 
infinidad 
d) la mitad de uno e) no existe 
 
7. Cuántos números Reales hay 
entre los números N y N + 1. 
a) 2 b) 1 c) (2N+1)/2 
d) una infinidad e) no existe 
 
8. Cuantos números naturales 
existen entre los números naturales 
a y a+1? 
a) una infinidad b) a c) no 
existe 
d) la mitad de a e) (2a+1)/2 
9. En los números naturales si la suma 
es igual a uno de los sumandos, el otro 
sumando es: 
a) el elemento inverso aditivo 
b) el elemento neutro aditivo 
c) el elemento neutro multiplicativo. 
d) mayor que el otro sumando 
e) menor que el otro sumando. 
 
10. En los números reales si el 
producto es igual a uno de los 
factores, el otro factor es: 
a) el elemento inverso aditivo 
b) el elemento neutro aditivo 
c) el elemento neutro multiplicativo. 
d) mayor que el otro sumando 
e) menor que el otro sumando. 
 
11. Hallar la suma de tres números 
naturales, sabiendo que la suma de 
los dos primeros es 92, del primero 
y del tercero es 201 y del segundo y 
tercero es 177. 
a) 231 b) 235 c) 
470 
d) 230 e) 232 
 
12. Hallar la suma del inverso 
multiplicativo de 8/19 con el inverso 
aditivo de 3/8 
a) 22/8 b) 5 c) 4 
d) 2 e) 22 
 
13. La suma de todos los números de 
dos cifras que se puedan formar con 
las cifras 1; 2 y 3 es: 
a) 149 b) 132 c) 158 
d) 198 e) 179 
 
14. En una sustracción, la suma de 
sus términos de 864. ¿Cuál es el 
minuendo? 
a) 324 b) 433 c) 432 
d) 422 e) 442 
15. La suma de los términos de una 
sustracción es 1000, además el 
sustraendo es la quinta parte del 
minuendo. Hallar la diferencia. 
a) 300 b) 100 c) 600 
d) 200 e) 400 
16. En la familia de los números 
naturales cuánto es 8+(–5). 
a) – 3 b) 3 c) 13 
d) 1 e) no procede 
 
17. Hallar la suma de las cifras del 
complemento aritmético de 40386. 
 
 
ARITMÉTICA 
40 
 
a) 26 b) 29 c) 
27 
d) 25 e) 24 
 
18. Del complemento aritmético de 
42433(7) determine la semiresta de 
la mayor y menor cifra. 
a) 3 b) 4 c) 
2 
d) 0 e) 1 
 
19. Hallar: 
E = CA(2)+CA(6)+CA(10)+...+CA(34) 
a) 558 b) 508 c) 458 
d) 500 e) 550 
20. Hallar:  ab cd . Si C.A. 
 abcd ab cd  
a) 44 b) 45 c) 46 
d) 47 e) 48 
 
21. La suma de los términos de una 
sustracción tomados de dos en dos 
son 592; 860 y 484. Hallar el mayor 
de los tres términos. 
a) 368 b) 376 c) 
484 
d) 476 e) 429 
 
22. Si el C.A.  (a)(a 1)(a 2)  es igual a 
34 veces el C.A.  (2a)(a) hallar la 
suma de las cifras del C.A. 
 (a 1)(a)(a 1)  . 
a) 15 b) 16 c) 17 
d) 18 e) 19 
 
23. El producto de dos factores es 
igual a la unidad, si uno de los 
factores es 1/n; entonces el otro 
factor es: 
a) 2n b) 0 c) 
n 
d) 1 e) –n 
 
24. En una multiplicación si se 
agrega 10 unidades al multiplicador, 
el producto inicial aumenta en 300. 
¿Cuál es el valor del multiplicando? 
a) 20 b) 40 c) 
60 
d) 30 e) 15 
 
25. Disminuyendo en tres a los 2 
factores de una multiplicación, el 
producto disminuye en 231. Halle los 
factores, si la diferencia de ellos es 
36. 
a) 57 y 21 b) 56 y 20 c) 59 y 
23 
d) 60 y 24 e) 58 y 22 
26. Si abc 27 ....751  , hallar a b c  . 
a) 5 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 9 
 
27. En una división el cociente es 8 y 
el residuo 20. La suma de todos los 
términos de la división es 336. ¿Cuál 
es el valor del divisor? 
a) 42 b) 32 c) 27 
d) 18 e) 34 
 
28. ¿Cuántos números enteros al ser 
divididos entre 32, originan residuos 
triples del cociente respectivo? 
a) 8 b) 10 c) 12 
d) 14 e) 16 
 
29. En una división el cociente es 
156 y el residuo es 6, al agregar 
1000 unidades al dividendo y al 
repetir la división se obtiene un 
 
 
ARITMÉTICA 
41 
cociente 173 y de residuo 54. Hallar 
el dividendo. 
a) 8742 b) 7242 c) 8552 
d) 8662 e) 8870
AUTOEVALUACIÓN 
30. ¿Cuál es el valor de: 
mnp npm pmn  , si: m n p 18   ? 
a) 2098 b) 1888 c) 
2008 
d) 1998 e) 1898 
31. Hallar la suma del inverso 
multiplicativo de 8/19 con el inverso 
aditivo de 3/8 
a) 22/8 b) 5 c) 4 
d) 2 e) 22 
32. En una sustracción el sustraendo 
es 333 y su diferencia es 292. ¿Cuál 
es el valor del minuendo? 
a) 41 b) 625 c) 705 
d) 525 e) 141 
33. ¿En la familia de los números 
naturales cuál será el inverso aditivo 
de “m”, si sabe que “m” es un 
número natural? 
a) m b) 0 c) 1 
d) –m e) no existe 
34. La suma de los tres términos de 
una sustracción es 1120, si el 
sustraendo es los 2/5 de la 
diferencia. Entonces el menor de los 
tres términos se encuentra 
comprendido entre: 
a) 140 y 152 b) 148 y 160 
c) 162 y 180 d) 146 y 158 
e) 152 y 165 
35. Cuál es el CA(CA(CA(970))). 
a) 93 b) 81 c) 84 
d) 3 e) 8 
36. Si:  (9) (9)CA c5a3b00 13b54dd . 
Hallar (a b c d)   . 
a) 16 b) 17 c) 18 
d) 15 e) 19 
37. Si a cada factor de un producto 
se le aumenta 5 unidades, el 
producto se aumenta en 155. Hallar 
el factor mayor si este excede al 
menor en cuatro. 
a) 13 b) 16 c) 17 
d) 18 e) 15 
38. Hallar b+c si se sabe que 
aba K aca7  . 
a) 14 b) 15 c) 16 
d) 13 e) 11 
39. Si aa bb 3388  , hallar a b 
a) 9 b) 10 c) 11 
d) 12 e) 13 
40. Hallar el resto por exceso de 
dividir 54321 entre 67. 
a) 51 b) 16 c) 
50 
d) 17 e) 52 
41. Hallar el cociente de exceso de 
dividir 2456 entre62. 
a) 38 b) 39 c) 40 
d) 24 e) 38 
42. ¿Cuál es el número que al ser 
dividido entre 43, se obtiene 41 
como cociente y 40 como residuo? 
a) 2003 b) 1803 c) 
1903 
d) 1813 e) 1703 
43. Hallar el menor número posible 
que al ser dividido entre 23 se 
obtiene como cociente 43 y resto 
diferente de cero. 
a) 990 b) 989 c) 
988 
d) 890 e) 889 
44. En una división, un número entre 
40, se obtuvo como resto 8. si al 
dividendo y al divisor se le 
 
 
ARITMÉTICA 
42 
 
multiplica por 5 al mismo tiempo, 
decir cuál será el resto de la nueva 
división. 
a) 32 b) 8 c) 40 
d) 35 e) 28 
45. La suma de todos los términos de 
una división es 53, siendo el cociente 
y el residuo 5 y 3 respectivamente. 
Hallar el dividendo. 
a) 45 b) 46 c) 48 
d) 38 e) 50 
46. Al dividir dos números se obtiene 
un cociente que es el triple del 
residuo, además dicha división da un 
residuo máximo de 12. Cuál es la 
suma de las cifras del dividendo. 
a) 12 b) 15 c) 16 
d) 18 e) 10 
 
 
ARITMÉTICA 
43 
TAREA DOMICILIARIA 
 
47. Hallar la suma de tres números 
naturales, sabiendo que la suma de 
los dos primeros es 92, del primero 
y del tercero es 201 y del segundo y 
tercero es 177. 
a) 231 b) 235 c) 
470 
d) 230 e) 232 
 
48. Hallar la suma de las cifras de la 
diferencia de dos números cuyos 
valores son 4253 y 2247. 
a) 8 b) 6 c) 12 
d) 10 e) 15 
 
49. Del complemento aritmético de 
(8)365244 determine la semisuma de 
la mayor y menor cifra. 
a) 1 b) 3 c) 2 
d) 5 e) 4 
 
50. La suma de tres términos de una 
resta es 6858 y el sustraendo es la 
tercera parte del minuendo, hallar la 
diferencia. 
a) 2286 b) 1143 c) 5713 
d) 3401 e) 2186 
 
51. La suma de todos los términos de 
una sustracción es 500 y el 
sustraendo es la quinta parte del 
minuendo. Hallar la diferencia. 
a) 100 b) 400 c) 250 
d) 200 e) 150 
 
52. La suma de todos los términos de 
una sustracción es 600 y el 
sustraendo es la sexta parte del 
minuendo. Hallar el complemento 
aritmético de la diferencia. 
a) 250 b) 150 c) 
850 
d) 750 e) 650 
 
53. La suma de dos números es 800 
y su diferencia es la tercera parte 
del minuendo. Hallar el 
complemento aritmético del número 
mayor. 
a) 520 b) 450 c) 480 
d) 550 e) 640 
54. Hallar un número de tres cifras 
tal que al restarle 120, se obtiene la 
tercera parte de su C.A. dar como 
respuesta la suma de sus cifras. 
a) 10 b) 8 c) 12 
d) 18 e) 7 
 
55. Se tiene un número de 4 cifras 
significativas cuya suma de sus 
cifras es 21, ¿Cuál será la suma de 
las cifras de su C.A.? 
a) 10 b) 14 c) 12 
d) 13 e) 16 
 
56. Hallar el complemento 
aritmético del mayor número de tres 
cifras diferentes en base octal más el 
complemento aritmético del menor 
número de tres cifras diferentes en 
base quinaria. 
a) 110 b) 115 c) 
150 
d) 184 e) 109 
 
57. El multiplicador de una 
multiplicación es 1/12 del 
multiplicando. Cuando ambos se 
aumentan en 4, el producto aumenta 
en 1212. ¿Cuál es el multiplicando? 
a) 276 b) 278 c) 
284 
d) 264 e) 260 
 
58. Si a la edad de Gabriel se le 
divide entre 13, obtenemos 5 de 
residuo y 6 de cociente. ¿Cuántos 
años tiene él? 
 
 
ARITMÉTICA 
44 
 
a) 83 b) 71 c) 84 
d) 72 e) 86 
 
59. Al realizar una división por 
defecto y por exceso notamos que los 
residuos respectivamente fueron 17 
y 15. Calcule el divisor. 
a) 2 b) 30 c) 32 
d) 31 e) 33 
 
60. Determinar el número que al ser 
dividido por defecto y exceso se 
obtuvo como residuos 23 y 18 
respectivamente además de cociente 
62. 
a) 2465 b) 2665 c) 
2365 
d) 2555 e) 2565 
 
61. En una división inexacta, el 
residuo es mínimo. Determine cuál 
es el valor del dividendo, si el 
cociente es 33 y el divisor es 23. 
a) 700 b) 760 c) 
660 
d) 758 e) 658 
 
62. Hallar un número que sea el 
mayor posible que al ser dividido 
entre 123 se obtiene como cociente 
24. 
a) 3004 b) 3074 c) 3704 
d) 3774 e) 2974 
 
63. En una división inexacta el 
residuo es máximo, siendo el divisor 
81 y el cociente es la mitad del 
residuo. ¿Cuál es el valor del 
dividendo? 
a) 3000 b) 3200 c) 3220 
d) 3320 e) 3230 
 
64. Al dividendo y al divisor que es 
15 de una división cuyo resto es 5, se 
les multiplica por 3. ¿Cuál es el 
nuevo resto de la nueva división? 
a) 10 b) 5 c) 30 
d) 15 e) 8 
 
65. En una división de dividendo 
253, el cociente y el resto son 
iguales. ¿Cuál es el divisor; si este es 
el doble del cociente? 
a) 24 b) 19 c) 
21 
d) 22 e) 20 
 
66. ¿Cuántos números se pueden 
dividir entre 62 cuyo resto sea el 
doble de su cociente? 
a) 30 b) 32 c) 
28 
d) 15 e) 61 
 
67. ¿Cuántos números enteros al ser 
divididos entre 32, originan 
residuos triples del cociente 
respectivo? 
a) 8 b) 10 c) 12 
d) 14 e) 16 
 
68. Hallar el resto de dividir 2578 
entre 17. 
a) 10 b) 11 c) 12 
d) 13 e) 14 
 
69. El resto por exceso de dividir 
3174 entre 19 es: 
a) 6 b) 5 c) 7 
d) 4 e) 8 
 
70. Hallar la suma de los residuos 
por defecto y por exceso de dividir 
154286 entre 37. 
a) 35 b) 36 c) 37 
d) 38 e) 39 
 
71. Hallar el cociente por exceso de 
dividir 3148 entre 31. 
 
 
ARITMÉTICA 
45 
a) 11 b) 101 c) 102 
d) 17 e) 32 
 
72. En una división inexacta el resto 
por defecto es el doble del resto por 
exceso y este es el doble del 
cociente. Hallar el dividendo si la 
diferencia de los residuos es 64. 
a) 6184 b) 6272 c) 6564 
d) 7248 e) 7124 
 
73. La suma de dos números es 55, el 
cociente de ellos es 6 y su residuo 
también. Hallar la diferencia de los 
números. 
a) 40 b) 52 c) 41 
d) 38 e) 35 
 
74. Al dividir dos números por 
exceso se obtiene 10 como residuo y 
20 de cociente. Si la suma de los 
números es 305. Hallar la diferencia 
de los mismos. 
a) 305 b) 258 c) 
265 
d) 275 e) 145 
 
 
ARITMÉTICA 
46 
 
 
 
Número racional es el que se puede expresar como cociente de dos números 
enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros son racionales, 
pues se pueden expresar como cociente de ellos mismos por la unidad: 
A
A
1
 
Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de 
todos los números racionales se designa por . 
 
Así como en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un 
siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo 
mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen 
infinitos números. 
 
Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar 
una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al 
expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un 
número decimal exacto o bien un número decimal periódico. 
 
Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del 
denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es 
igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún 
factor distinto de 2 ó 5 la expresión decimal es periódica. 
 
NÚMEROS RACIONALES ( ) 
 
*a
/ a b
b
  
     
  
 
 
DENSIDAD DE LOS RACIONALES 
Dados: a y b  la relación de orden <, se dice que es denso, si existe 
c  tal que a c b  . 
 
Además: 
 El conjunto de los números racionales es un conjunto de conjuntos. 
 El conjunto de los números racionales es infinito y denso, pero no esa 
continuo en la recta numérica real, dado que entre dos números 
racionales existen infinitos racionales, pero a pesar de ello dejan 
algunos vacíos que serían ocupados por los números irracionales. 
       
 
 
ARITMÉTICA 
47 
 
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS RACIONALES 
Para todo x, y, z  : 
 
Adición: 
 Asociativa: x + (y+ z) = (x + y) + z 
 Conmutativa: x + y = y + x 
 Existe elemento neutro aditivo denotado por 0 tal que: x + 0 = x 
 Existe el inverso aditivo de x denotado por -x tal que: x + (-x) = 0 
 
Multiplicación: 
 Asociativa: x.(y . z) = (x . y).z 
 Conmutativa: x.y = y.x 
 Existe elemento neutro multiplicativo denotado por 1 tal que: x .1 = x 
 Para x  0 existe el inverso multiplicativo de x denotado por 
1
x

 tal 
que: 
1
x.x 1

 
 
Además: 
 Cancelativo: x.y = x.z y x  0  y = z 
 Distributiva: x.(y + z) = x.y + x.z 
 
Relaciones de orden: 
 Antisimétrico: x  y  y  z  x = y 
 El orden es total: si x  y  x  y  x  y 
 Orden/adición: si x + z  y +z  x  y 
 Tricotomía: se cumple exactamente uno de los siguientes casos. 
x y x y x y     
 
NÚMEROS FRACCIONARIOS 
Son aquellos números racionales que no son enteros. 
numeros no son numeros
fraccionarios fraccionarios
1 3 1 9 14 8 12
; ; ; ; ;
2 4 5 2 2 4 6
 
 
 
 
FRACCIÓN 
Son aquellos números fraccionarios cuyos términos son números enteros 
positivos. 
 
oN
f / N ;D N D
D
   
      
  
 
 
 
ARITMÉTICA 
48 
 
 
CLASES DE FRACCIONES 
I. Por comparación de sus términos: 
 
* Propia : Numerador menor que el denominador. 
N
 0 1 
D
  
 
* Impropia : Numerador mayor que el denominador. 
N
 > 1 
D
 
II. Por los divisores de sus términos: 
 
* Reductibles : Cuando ambos términos tienen factores comunes. 
 
* Irreductibles : Cuando sus términos no tienen factores comunes. 
 
III. Por su denominador: 
 
* Decimal.- Denominador de la forma: n10...0 10 
 
* Ordinaria.- Denominador NO es de la forma: n10...0 10 
 
IV. Por grupo de fracciones: 
 
* Homogéneas: Cuando varias fracciones tienen el mismo denominador. 
 
* Heterogéneas: Cuando varias fracciones tienen distinto denominador. 
 
NÚMEROS DECIMALES 
 
Clases de números decimales para números Racionales. 
 
Transformación de una fracción decimal en una fracción ordinaria o 
GENERATRIZ 
 
1. Para Decimales Exactos. 
"n " cifras
"n " ceros
abc....z
 0, abc....z 
1000....00
 
 
 
 
ARITMÉTICA 
49 
2. Para Decimales Inexactos: 
a. Para Decimales Periódicos Puros. 
 
"n " cifras
"n " nueves
abc....z
 0, abc....z 
999....99
 
 
b. Para Decimales Periódicos Mixtos. 
"m n " cifras "n " cifras
"n " cifras "m " cifras
"m " cifras "n " cifras
 abc....xy abc....pq 
 0,abc....pq rst....xy 
999....99 000....00


 
 
PRACTICANDO Y COMPROBANDO 
 
GRUPO I: Hallar la generatriz equivalente a: 
1) 0,007 Rpta. 7/1000 
2) 1,0036 Rpta. 2509/2500 
3) 3,004 Rpta. 751/250 
 
GRUPO II: Hallar la generatriz equivalente a: 
1) 0,72 Rpta. 8/11 
2) 1,05 Rpta. 104/99 
3) 2,15 Rpta. 71/33 
4) 3,0045 Rpta. 3338/1111 
 
GRUPO III: Hallar la generatriz equivalente a: 
1) 0,64 Rpta. 29/45 
2) 0,026 Rpta. 599/900 
3) 0, 362 Rpta. 2/75 
4) 1,83 Rpta. 11/6 
5) 1,76 Rpta. 53/30 
6) 2,02 Rpta. 91/45 
 
PROBLEMAS PROPUESTOS 
 
 
ARITMÉTICA 
50 
 
1. ¿Qué fracción de 2/3 le falta a 
5/9 para ser igual a los 3/5 menos 
de los 3/4 más de la tercera parte de 
10/3? 
a) 1/3 b) 1/2 c) 
1/4 
d) 2/9 e) 3/7 
2. Gasté los 2/7 de lo que no gasté y 
aun me queda 45 soles más de lo que 
gasté. ¿Cuánto tenía? 
a) 27 b) 72 c) 81 
d) 108 e) 180 
 
3. De un reservorio sacan 8000 
litros. Si habían 2/3 y quedan 3/5. 
¿Cuántos litros se necesitan para 
terminar de llenarla? 
a) 12000 b) 15000 c) 
80000 
d) 48000 e) 72000 
 
4. Un jugador tiene 432 soles y en 
tres juegos sucesivos apuesta en 
cada uno 1/2 de lo que tiene y pierde 
1/3 de lo que apostó. ¿Cuánto perdió 
en total? 
a) 181 b) 186 c) 
182 
d) 1000 e) 196 
 
5. Calcular el valor de un número, 
sabiendo que si a la cuarta parte de 
sus 2/5 se le agrega los 2/5 de sus 
3/8 y se resta los 3/8 de su quinta 
parte, se obtiene 21 
a) 120 b) 112 c) 
105 
d) 170 e) 117 
 
6. Un alumno resuelve los 3/5 de lo 
que no resuelve. ¿Qué parte del 
examen ha resuelto? 
a) 4/7 b) 5/8 c) 
4/9 
d) 3/8 e) 3/7 
 
 
7. De un juego de 29 cartas se saca 
primero “x” cartas; luego se saca la 
mitad de lo que resta, si todavía 
restan 10 cartas. ¿Cuántas cartas 
sacó la primera vez? 
a) 10 b) 12 c) 9 
d) 20 e) 14 
 
8. De un depósito de agua se saca 2 
litros, más tarde se derrama la 
mitad del líquido enseguida se le 
adiciona 4 litros, finalmente se gasta 
la mitad del agua, quedando 8 litros 
en el recipiente. Calcular la 
capacidad del recipiente. 
a) 18 L b) 26 L c) 24 L 
d) 30 L e) 16 L 
 
9. Encontrar el número racional 
entre 1/7 y 13/28 cuya distancia al 
primero sea el doble de la distancia 
al segundo. 
a) 5/28 b) 7/3 c) 
19/14 
d) 5/14 e) 14/5 
 
10. ¿Cuántas fracciones cuyo 
denominador es 20; son mayores 
que 1/2 pero menores que 6/5? 
a) 10 b) 13 c) 15 
d) 16 e) 8 
 
11. ¿Cuántas fracciones cuyo 
denominador es 60; son mayores 
que 4/3 pero menores que 13/4? 
a) 112 b) 113 c) 
115 
 
 
ARITMÉTICA 
51 
d) 116 e) 114 
 
12. ¿Cuántas fracciones 
comprendidas entre 19/43 y 23/29 
son tales que sus términos son 
números consecutivos? 
a) 2 b) 5 c) 4 
d) 3 e) 6 
 
13. Indicar verdadero (V) o falso (F) 
según corresponda: 
I. 
2
3
 genera un decimal exacto. 
II. 0,2444... ; es un decimal periódico 
mixto. 
III. 3,4444 es un decimal exacto. 
IV. 1,2222...; es un decimal 
periódico puro. 
a) VFVF b) FVFF c) 
FVVV 
d) FFVV e) VVVV 
 
14. ¿Cuál es la fracción equivalente a 
0,12 0,3 0,582  ? 
a) 113/225 b) 1/900 c) 
233/225 
d) 17/250 e) 1/990 
15. Efectuar: 
2 1
(1,3) 3,5
3
  
a) 52/9 b) 53/3 c) 52/9 
d) 54/3 e) 53/9 
 
16. Al simplificar la expresión 
(0,5 0,666... 0,0555...)9 / 10
3,111... 2,0666...
 

 indicar 
la diferencia entre el denominador y 
el numerador de la fracción 
irreductible obtenida. 
a) 2 b) 3 c) 4 
d) 5 e) 6 
 
17. Calcule el valor de “x” si se 
cumple que: 
x
0,5n
9
 
a) 3 b) 2 c) 1 
d) 5 e) 4 
 
18. Hallar una fracción cuya suma de 
términos es 25 y cuando se le suma 
6 unidades al numerador y 9 al 
denominador se obtiene una fracción 
equivalente a 
3
5
. ¿Cuál es la 
diferencia de los términos de la 
fracción? 
a) 7 b) 8 c) 5 
d) 1 e) 3 
19. Si 
m n 34
2 3 12
  y m n 8  , hallar 
n m 
a) 6 b) 4 c) 3 
d) 2 e) 5 
 
20. Si: 0,a 0,b 0,ab 1,42   . 
Hallar a b 
a) 1 b) 4 c) 3 
d) 5 e) 2 
 
21. Calcular “ a n ”, en: 
na
0,83333....
an
 
a) 8 b) 7 c) 9 
d) 6 e) 10 
 
22. Si: 
a
0,a
b
 , además: 
a 2
0,ef
b 2



 
Siendo: a 2 e f   . Hallar a b 
a) 4 b) 14 c) 10 
d) 16 e) 5 
 
23. Hallar “a + b” si: 0,ab 0,ba 1,4  
a) 14 b) 15 c) 18 
d) 13 e) 12 
 
 
 
ARITMÉTICA 
52 
 
24. Si la fracción generatriz: 
1
ab
 
genera el número decimal: 0,0(a 1)b 
¿Cuál es el valor de “a + b”? 
a) 11 b) 12 c) 10 
d) 3 e) 5 
25. En la siguiente ecuación: 
2
x
0,xy
y
 determinar el valor de: y2 
– x2. 
a) 20 b) 35 c) 17 
d) 16 e) 25 
 
AUTOEVALUACIÓN
 
26. En una reunión los 2/3 de los 
asistentes son mujeres y 3/5 de los 
varones son casados en tanto que los 
otros 6 son solteros. ¿Cuál fue el 
número de personas que asistieron a 
la reunión? 
a) 36 b) 45 c) 30 
d) 25 e) 15 
27. Un envase contiene 48 litros de 
agua, si se retiran 3/8 del contenido, 
luego los 2/3 del resto y por último 
los 3/5 del nuevo resto. ¿Cuántos 
litros le quedan? 
a) 20 b) 12 c) 8 
d) 6 e) 4 
28. Se vende 1/3 de un lote de vasos. 
Si se quiebran 30 y quedan todavía 
5/8 del lote. ¿De cuántos vasos 
constaba el lote? 
a) 620 b) 650 c) 
720 
d) 600 e) 670 
29. De un depósito llenode agua se 
extrae la sexta parte. ¿Qué fracción 
del resto se debe volver a sacar para 
que quede sólo los 3/5 de su 
capacidad inicial? 
a) 18/5 b) 18/25 c) 
7/25 
d) 22/25 e) 7/30 
30. Del dinero que tenía gaste 1/2 de 
lo que no gasté, luego perdí 1/3 de lo 
que no perdí, en seguida regale 1/4 
de lo que no regalé. ¿Qué parte del 
total aún me queda? 
a) 1/2 b) 2/7 c) 
2/5 
d) 3/7 e) 3/5 
31. Una tela al ser lavada, pierde 
2/9de su largo y 1/5 de su ancho. 
¿Cuántos metros de tela debe 
comprarse para obtener después de 
lavarlo 224m2. si el ancho de la tela 
original es de 10 metros? 
a) 45 b) 48 c) 12 
d) 24 e) 36 
 
32. Hallar “m” si se sabe que: 
m
0, 2n
11
 
a) 5 b) 9 c) 3 
d) 7 e) 1 
33. Hallar “n” sabiendo que: 
9 2
n,8n
2 3
  
a) 3 b) 1 c) 2 
d) 4 e) 5 
34. Hallar “ m n ”, si: 
n
0,450
m
 y 
además la fracción requerida es 
irreducible. 
a) 61 b) 59 c) 58 
d) 51 e) 60 
35. ¿Cuánto deberíamos disminuir a
 2, 249 , para obtener la unidad? 
a) 1/2 b) 2/3 c) 
 
 
ARITMÉTICA 
53 
3/4 
d) 1 e) 1/5 
36. Si al numerador de una fracción 
irreducible se le suma 1 y al 
denominador se le suma 2, resulta 
ser equivalente a la fracción 
original. La fracción original es 
a) 1/3 b) 1/4 c) 
1/5 
d) 1/6 e) 1/2 
37. Determine la suma de los 
términos de la mayor de las 
fracciones: 
7 3 11 19 11
; ; ; ;
12 5 15 30 20
 
a) 26 b) 31 c) 19 
d) 49 e) 8 
38. Los 
3
5
 de A es B y los 
8
9
 de B es 
C, ¿Qué parte de A es C? 
a) 
4
15
 b) 
7
11
 c) 
8
15
 
d) 
9
4
 e) 
13
14
 
39. ¿Cuál es el valor de “ m n ” si se 
cumple que: 
7
0,nm
15
 
a) 1 b) 5 c) 4 
d) 3 e) 2 
40. Hallar “a” si: 
7
0,a3
30
 
a) 7 b) 1 c) 2 
d) 9 e) 4 
41. Determinar a b sabiendo que 
“a” excede en 6 a “b” y que además: 
0,ab 0,ba 0,8  
a) 15 b) 12 c) 7 
d) 16 e) 27 
 
42. Un determinado tipo de gusano 
se duplica cada 3 días. Luego de 15 
días de haber colocado un cierto 
número de ellos en una caja; ésta 
estaba llena. Si 3 gusanos juntos 
ocupan 1/448 de la caja. ¿Cuántos 
gusanos se pusieron inicialmente en 
dicha caja? 
a) 38 b) 36 c) 42 
d) 40 e) 44 
 
 
ARITMÉTICA 
54 
 
 
TAREA DOMICILIARIA 
 
43. Un tanque que contiene agua 
potable es vaciado de la siguiente 
manera, en cada hora se vacía la 
cuarta parte de lo que había en esa 
hora. Si luego de tres horas quedan 
en el tanque 270 litros. ¿Cuánto 
había al principio? 
a) 1280 L b) 960 L c) 
500 L 
d) 640 L e) 320 L 
 
44. Asumiendo que no se trata de un 
año bisiesto. ¿Qué día del año 
indicará la hoja de un almanaque, 
cuando el número de hojas 
arrancadas excede en 2 a los 3/8 del 
número de hojas que quedan? 
a) 09/04 b) 11/04 c) 
12/04 
d) 10/04 e) 13/04 
 
45. Los 2/3 de los miembros de un 
club son mujeres, 1/4 de los hombres 
están casados, si hay 9 hombres 
solteros. ¿Cuántas mujeres hay en 
total? 
a) 5 b) 10 c) 6 
d) 12 e) 18 
 
46. Un alambre de 130 m, se le dio 3 
cortes de manera que la longitud de 
cada trozo resultante es igual al del 
inmediato anterior aumentado en su 
mitad. ¿Cuál es la longitud del 
menor trozo? 
a) 16 b) 24 c) 12 
d) 36 e) 32 
 
47. Preguntando a Luis por la fecha 
de su matrimonio éste contestó, la 
ceremonia se realizó en 1950 cuando 
la mitad del tiempo transcurrido de 
aquel año era igual a la cuarta parte 
de lo le faltaba por transcurrir. La 
ceremonia tuvo lugar el: 
 
a) 7 de abril a las 14:00 h 
b) 30 de abril a las 17:00 h 
c) 4 de mayo a las 16:00 h 
d) 2 de mayo a las 16:00 h 
e) 18 de mayo a las 15:00 h 
 
48. Un quinto de la población de 
cierto pueblo vive del cultivo de 
flores, 1/4 del resto vive del cultivo 
de árboles frutales y los restantes 
2100 habitantes trabajan fuera del 
pueblo. ¿Cuántos habitantes tiene el 
pueblo en mención? 
a) 3000 b) 3500 c) 4400 
d) 4700 e) 5000 
 
49. La suma de 3 números es 127; si 
la mitad del menor se añade 1/3 del 
mediano y 1/9 del mayor, la suma es 
39. El mayor excede en 4 a la mitad 
de la suma del mediano y del menor. 
Hallar la suma de las cifras del 
mediano. 
a) 3 b) 4 c) 7 
d) 9 e) 6 
 
50. La mitad del total de pasajeros 
(sentados y parados) de un micro, 
más los 2/3 de los que van sentados 
es 80. Si la mitad de los que van 
sentados se pararan y todos los que 
están parados se sentaran, sobrarían 
 
 
ARITMÉTICA 
55 
10 asientos. ¿Cuántos viajan 
parados? 
a) 40 b) 30 c) 20 
d) 10 e) 15 
 
51. Raúl empieza a jugar cartas con 
S/. 700 y cuando va perdiendo los 
3/4 de lo que no pierde, apuesta las 
dos quintas partes de lo que le 
queda, triplicando su apuesta; 
retirándose luego del juego. Gana o 
pierde. ¿Cuánto? 
a) No gana ni pierde b) Gana S/: 
160 
c) Pierde S/. 160 d) Gana S/. 
20 
e) Pierde S/. 20 
52. He comprado 4 artículos por 5 
soles para luego venderlo a 3 por 6 
soles. Si deseo obtener una ganancia 
de 180 soles. ¿Cuántos artículos 
tendré que vender? 
a) 72 b) 144 c) 120 
d) 240 e) 120 
 
53. Dos agricultores P y Q tienen 
respectivamente 8 y 5 hectáreas de 
terreno que desean sembrar. Cuando 
ya habían sembrado 2/7 de cada 
propiedad, contratan a un peón, y a 
partir de entonces los agricultores y 
el peón trabajan en partes iguales. 
¿Cuánto debe aportar cada 
agricultor para pagar al peón, si en 
total deben pagarle 130 soles? 
a) 110:20 b) 120:10 c) 
110:10 
d) 130:10 e) 130:20 
 
54. Sabiendo que perdí 2/3 de lo que 
no perdí luego recupero 1/3 de lo 
que no recupero y tengo entonces 42 
soles. ¿Cuánto me quedaría luego de 
perder 1/6 de lo que no logré 
recuperar? 
a) 36 b) 39 c) 42 
d) 48 e) 60 
 
55. En un colegio la relación de 
hombres y mujeres es como 2/5, la 
relación de hombres en primaria y 
hombres en secundaria es como 7/3. 
¿Cuál es la relación de los hombres 
que están en secundaria y el total de 
alumnos? 
a) 3/17 b) 7/30 c) 4/31 
d) 3/35 e) 8/31 
 
56. ¿Qué fracción representan los 
asistentes que no son hombres 
respecto de los que son hombres, en 
una reunión de 60 personas donde 
las mujeres son la quinta parte del 
total? 
a) 1/12 b) 1/6 c) 1/4 
d) 1/3 e) 1/8 
57. Calcule la suma de los términos 
de la fracción impropia que sumada 
con su inversa da por resultado 
2,083333... 
a) 4 b) 8 c) 11 
d) 7 e) 9 
 
58. A una fracción propia de 
términos consecutivos se le añade 2 
unidades a cada término. Esta nueva 
fracción excede en 1/12 a la original. 
Hallar la suma de los términos de la 
fracción original 
a) 7 b) 5 c) 6 
d) 9 e) 11 
 
59. Dadas 3 fracciones equivalentes 
a R/G, se observa que la suma de sus 
 
 
ARITMÉTICA 
56 
 
denominadores es 165 y la de sus 
numeradores es 77. Hallar (R+G) 
a) 21 b) 23 c) 26 
d) 22 e) 26 
 
60. Los 2/3 de los miembros de una 
sociedad son mujeres, 1/4 de los 
hombres están casados. Si hay 9 
hombres solteros. ¿Cuántas mujeres 
hay en total? 
a) 20 b) 22 c) 24 
d) 18 e) 36 
 
61. Se tiene un recipiente que 
contiene una mezcla de leche, 
alcohol y agua en la relación de 3, 4 
y 5 respectivamente. Se extrae de la 
mezcla 2/5, 1/3, 5/7 y 5/12 de lo que 
iba quedando, resultando el volumen 
final de leche igual a 2 litros. Hallar 
el volumen inicial de agua. 
a) 10 b) 15 c) 50 
d) 30 e) 60 
 
62. En la habitación de del Tío 
Manuel pueden caber 15 mujeres o 
bien 10 hombres. ¿Cuántas parejas 
pueden caber en la mencionada 
habitación? 
a) 5 b) 4 c) 8 
d) 6 e) 9 
63. Pilar compra la mitad de un rollo 
de un alambre menos 12 metros, 
Luis compra un tercio del mismo 
rollo más 4 metros, con lo cual 
recibe 8 metros menos que Pilar. 
¿Cuántos metros compra Pilar? 
a) 52 b) 44 c) 60