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Calculo_diferencial_en_competencias
ferdinand879h
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Martha Alvarado Arellano Carlos García Franchini
Recursos
en línea
en competencias
Cálculo diferencial
en competencias
Martha Alvarado Arellano
Carlos García Franchini
Tecnológico Nacional de México
Instituto Tecnológico de Puebla
info editorialpatria.com.mx
www.editorialpatria.com.mx
Cd. de México
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinadora editorial: Estela Delfín Ramírez
Supervisor de preprensa: Jorge Antonio Martínez Jiménez
Diseño de portada: Juan Bernardo Rosado Solís/Signx
Ilustraciones: Jorge Antonio Martínez Jiménez
Fotografías: © Thinkstockphoto
Revisión Técnica:
Luis Rafael Liljehult López
Universidad Tecnológica de Puebla
Roberto Hernández Cárdenas
Universidad Mexiquense del Bicentenario
Cálculo diferencial
en competencias
Derechos reservados:
© 2016, Martha Alvarado Arellano/Carlos García Franchini
© 2016, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca
Azcapotzalco, Ciudad de México
Miembro de la Cámara Nacional de la Industrial Editorial Mexicana
Registro Núm. 43
ISBN ebook: 978-607-744-465-7
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de
la presenta obra en cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el con-
sentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México
Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2016
A nuestros hijos Carlos,
Marthy Stívaliz y Johnna,
pero muy especialmente
para la alegría de todos:
Carlos Samuel.
IV w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
ÍNDICE DE CONTENIDO
Prefacio ............................................................................................................................ XI
I. Anexo. Formulario .................................................................................................... XIII
Capítulo 1 Números reales .............................................................. 2
1.1 Focalización ........................................................................................................ 4
Aplicación 1.1.1 .................................................................................. 4
Propiedad de cerradura ................................................................................. 5
Actividad 1.1.1 .................................................................................... 5
Aplicación 1.1.2 .................................................................................. 6
Actividad 1.1.2 .................................................................................... 6
Aplicación 1.1.3 .................................................................................. 7
1.2 Números ............................................................................................................. 8
Actividad 1.2.1 .................................................................................... 8
Actividad 1.2.2 .................................................................................... 9
Aplicación 1.2.1 .................................................................................. 9
Cardinalidad y orden ....................................................................................... 10
Aplicación 1.2.2 .................................................................................. 11
Actividad 1.2.3 .................................................................................... 11
Actividad 1.2.4 .................................................................................... 12
Aplicación 1.2.3 .................................................................................. 13
Aplicación 1.2.4 .................................................................................. 14
Actividad 1.2.5 .................................................................................... 15
1.3 Axiomas del cuerpo de los reales .............................................................. 16
1.4 Propiedades de orden de los números reales ...................................... 17
Algunos teoremas importantes ................................................................... 17
1.5 La recta numérica ............................................................................................ 18
Actividad 1.5.1 .................................................................................... 18
Actividad 1.5.2 .................................................................................... 19
Aplicación 1.5.1 .................................................................................. 21
Aplicación 1.5.2 .................................................................................. 22
1.6 Intervalos ............................................................................................................. 23
1.7 Distancia .............................................................................................................. 25
Aplicación 1.7.1 .................................................................................. 25
Actividad 1.7.1 ..................................................................................... 26
Aplicación 1.7.2 .................................................................................. 27
Aplicación 1.7.3 .................................................................................. 28
1.8 Valor absoluto .................................................................................................... 28
1.9 Lo muy pequeño.............................................................................................. 28
Actividad 1.9.1 .................................................................................... 29
CONTENIDO w V
1.10 Lo muy grande .................................................................................................. 31
Actividad 1.10.1 ................................................................................. 31
Aplicación 1.10.1 ............................................................................... 32
Aplicación 1.10.2 ............................................................................... 33
Actividad 1.10.2 ................................................................................. 34
Ejercicios 1.1 ....................................................................................... 35
Autoevaluación 1.1 ........................................................................... 38
Autoevaluación 1.2 ........................................................................... 39
Autoevaluación 1.3 ........................................................................... 40
Autoevaluación 1.4 ........................................................................... 40
Autoevaluación 1.5 ........................................................................... 41
Autoevaluación 1.6 ........................................................................... 41
1.11 Focalización. Desigualdades ......................................................................... 42
Aplicación 1.11.1 ............................................................................... 43
Actividad 1.11.1 ................................................................................. 43
Aplicación 1.11.2 ............................................................................... 44
1.12 Desigualdad o inecuación ............................................................................. 45
1.13 Análisis de casos .............................................................................................. 47
Procedimiento 1.13 .......................................................................... 47
1.14 Método de verificación................................................................................... 50
Procedimiento 1.14 .......................................................................... 50
1.15 Solución y visualizacióngráfica de la solución empleando
software ............................................................................................................... 52
1.16 Desigualdades que implican valor absoluto .......................................... 54
Procedimiento 1.16.1 ...................................................................... 55
1.17 Soluciones todo o nada ................................................................................. 56
Actividad 1.17.1 .................................................................................. 57
Ejercicios 1.11 ..................................................................................... 58
Autoevaluación 1.7 ........................................................................... 65
Solución a la autoevaluación 1.7 ................................................. 66
Autoevaluación 1.8 ........................................................................... 66
Solución a la autoevaluación 1.8 ................................................. 66
Autoevaluación 1.9 ........................................................................... 67
Solución a la autoevaluación 1.9 ................................................. 67
Autoevaluación 1.10 ......................................................................... 68
Solución a la autoevaluación 1.10 .............................................. 68
Capítulo 2 Funciones ......................................................................... 70
2.1 Focalización: Funciones.................................................................................. 72
Aplicación 2.1.1 .................................................................................. 72
Actividad 2.1.1 .................................................................................... 73
2.2 Componentes en una relación ................................................................... 74
Actividad 2.2.1 .................................................................................... 75
VI w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Aplicación 2.2.1 .................................................................................. 76
Aplicación 2.2.2 .................................................................................. 77
2.3 La función ........................................................................................................... 78
2.4 Acercamiento a la gráfica de una función de � en � ........................ 79
Actividad 2.4.1 .................................................................................... 81
Actividad 2.4.2 .................................................................................... 82
Aplicación 2.4.1 .................................................................................. 84
Acercamiento a las funciones definidas a trozos ................................. 86
Aplicación 2.4.2 .................................................................................. 86
Actividad 2.4.3 .................................................................................... 87
Actividad 2.4.4 .................................................................................... 88
Actividad 2.4.5 .................................................................................... 88
Actividad 2.4.6 .................................................................................... 89
Aplicación 2.4.3 .................................................................................. 90
Aplicación 2.4.4 .................................................................................. 91
2.5 Gráfica de una función de � en � ............................................................ 92
Efectos geométricos en las gráficas .......................................................... 93
2.6 Acercamiento a las operaciones con funciones ................................... 93
Actividad 2.6.1 .................................................................................... 96
Actividad 2.6.2 .................................................................................... 97
Aplicación 2.6.1 .................................................................................. 98
Aplicación 2.6.2 .................................................................................. 99
2.7 Operaciones entre funciones ...................................................................... 100
2.8 Focalización. Función composición ........................................................... 101
Aplicación 2.8.1 .................................................................................. 101
Actividad 2.8.1 .................................................................................... 102
Aplicación 2.8.2 .................................................................................. 102
Aplicación 2.8.3 .................................................................................. 104
2.9 Función composición e inversa .................................................................. 104
2.10 Acercamiento a tipos de funciones ........................................................... 105
Actividad 2.10.1 ................................................................................. 106
Aplicación 2.10.1 ............................................................................... 106
Aplicación 2.10.2 ............................................................................... 107
2.11 Tipos de funciones .......................................................................................... 108
Actividad 2.11.1 ................................................................................. 111
Ejercicios 2.1 ....................................................................................... 112
Autoevaluación 2.1 ........................................................................... 122
Solución a la autoevaluación 2.1 ................................................. 122
Autoevaluación 2.2 ........................................................................... 123
Solución a la autoevaluación 2.2 ................................................. 123
Autoevaluación 2.3 ........................................................................... 124
Solución a la autoevaluación 2.3 ................................................. 124
Autoevaluación 2.4 ........................................................................... 125
CONTENIDO w VII
Solución a la autoevaluación 2.4 ................................................. 126
Autoevaluación 2.5 ........................................................................... 126
Solución a la autoevaluación 2.5 ................................................. 127
Autoevaluación 2.6 ........................................................................... 128
Solución a la autoevaluación 2.6 ................................................. 128
Autoevaluación 2.7 ........................................................................... 129
Solución a la autoevaluación 2.7 ................................................. 130
Capítulo 3 Límites y continuidad ................................................... 132
3.1 Focalización: Límites........................................................................................ 134
Aplicación 3.1.1 .................................................................................. 134
Actividad 3.1.1 .................................................................................... 134
Aplicación 3.1.2 .................................................................................. 136
Actividad 3.1.2 .................................................................................... 137
Aplicación 3.1.3 .................................................................................. 139
3.2 Ellímite ................................................................................................................ 140
3.3 Focalización. Límites laterales ...................................................................... 141
Actividad 3.3.1 .................................................................................... 142
Aplicación 3.3.1 .................................................................................. 143
3.4 Nuevo acercamiento al límite bilateral ..................................................... 144
Actividad 3.4.1 .................................................................................... 144
Aplicación 3.4.1 .................................................................................. 146
3.5 Límites laterales y el límite ........................................................................... 147
3.6 Límites infinitos ................................................................................................. 148
3.7 Límites al infinito .............................................................................................. 148
3.8 Focalización. Continuidad y discontinuidad ............................................ 149
Actividad 3.8.1 .................................................................................... 149
Actividad 3.8.2 .................................................................................... 150
Aplicación 3.8.1 .................................................................................. 151
Aplicación 3.8.2 .................................................................................. 152
3.9 Asíntotas .............................................................................................................. 153
Actividad 3.9.1 .................................................................................... 153
Aplicación 3.9.1 .................................................................................. 154
Actividad 3.9.2 .................................................................................... 155
Aplicación 3.9.2 .................................................................................. 156
3.10 Continuidad ........................................................................................................ 157
3.11 Discontinuidad .................................................................................................. 158
3.12 Teoremas sobre continuidad ....................................................................... 160
Actividad 3.12.1 ................................................................................. 160
Ejercicios 3.1 ....................................................................................... 160
Autoevaluación 3.1 ........................................................................... 171
VIII w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Solución a la autoevaluación 3.1 ................................................. 171
Autoevaluación 3.2 ........................................................................... 172
Solución a la autoevaluación 3.2 ................................................. 173
Autoevaluación 3.3 ........................................................................... 173
Solución a la autoevaluación 3.3 ................................................. 174
Autoevaluación 3.4 ........................................................................... 174
Solución a la autoevaluación 3.4 ................................................. 175
Autoevaluación 3.5 ........................................................................... 175
Solución a la autoevaluación 3.5 ................................................. 176
Capítulo 4 Derivada ........................................................................... 178
4.1 Focalización. Derivada .................................................................................... 180
Aplicación 4.1.1 .................................................................................. 180
Actividad 4.1.1 .................................................................................... 181
Velocidad: razón de cambio ......................................................................... 182
Actividad 4.1.2 .................................................................................... 182
Actividad 4.1.3 .................................................................................... 184
Procedimiento 4.1.3 ......................................................................... 184
Actividad 4.1.4 .................................................................................... 185
Aplicación 4.1.2 .................................................................................. 186
Aplicación 4.1.3 .................................................................................. 186
4.2 Derivada .............................................................................................................. 188
Derivada como pendiente de la recta y diferenciales ........................ 189
Actividad 4.2.1 .................................................................................... 190
Actividad 4.2.2 .................................................................................... 192
Aplicación 4.2.1 .................................................................................. 193
Derivadas sucesivas ........................................................................................ 194
Actividad 4.2.3 .................................................................................... 194
Acercamiento al crecimiento y la concavidad ....................................... 196
Actividad 4.2.4 .................................................................................... 196
Actividad 4.2.5 .................................................................................... 198
Aplicación 4.2.2 .................................................................................. 200
Aplicación 4.2.3 .................................................................................. 202
Aplicación 4.2.4 .................................................................................. 203
Derivadas sucesivas y de orden superior ................................................ 204
4.3 Focalización. Derivada lateral ....................................................................... 204
Actividad 4.3.1 .................................................................................... 204
4.4 Teoremas básicos sobre derivada .............................................................. 206
Actividad 4.4.1 .................................................................................... 206
Actividad 4.4.2 .................................................................................... 208
Actividad 4.4.3 .................................................................................... 210
Aplicación 4.4.1 .................................................................................. 212
Regla de la cadena .......................................................................................... 213
CONTENIDO w IX
4.5 Focalización. Funciones implícitas .............................................................. 214
Actividad 4.5.1 .................................................................................... 215
Derivación implícita ......................................................................................... 216
Derivadas laterales ........................................................................................... 217
Aplicación 4.5.1 .................................................................................. 218
Actividad 4.5.2 .................................................................................... 219
Ejercicios 4.1....................................................................................... 220
Autoevaluación 4.1 ........................................................................... 229
Solución a la autoevaluación 4.1 ................................................. 229
Autoevaluación 4.2 ........................................................................... 230
Solución a la autoevaluación 4.2 ................................................. 230
Autoevaluación 4.3 ........................................................................... 231
Solución a la autoevaluación 4.3 ................................................. 231
Autoevaluación 4.4 ........................................................................... 231
Solución a la autoevaluación 4.4 ................................................. 232
Autoevaluación 4.5 ........................................................................... 232
Solución a la autoevaluación 4.5 ................................................. 232
Autoevaluación 4.6 ........................................................................... 233
Solución a la autoevaluación 4.6 ................................................. 233
Capítulo 5 Aplicaciones de la derivada ........................................ 234
5.1 Focalización. Aplicaciones de la derivada ................................................ 236
Aplicación 5.1.1 .................................................................................. 236
Actividad 5.1.1 .................................................................................... 237
Actividad 5.1.2 .................................................................................... 238
Aplicación 5.1.2 .................................................................................. 239
Aplicación 5.1.3 .................................................................................. 240
5.2 La derivada ......................................................................................................... 241
Derivada como tangente de una curva ................................................... 241
Derivada como velocidad ............................................................................. 241
Derivada como razón de cambio ............................................................... 242
5.3 Focalización. Máximos y mínimos .............................................................. 242
Actividad 5.3.1 .................................................................................... 242
Aplicación 5.3.1 .................................................................................. 244
Actividad 5.3.2 .................................................................................... 245
Aplicación 5.3.2 .................................................................................. 246
5.4 Sensibilidad al cambio. Crecimiento y decrecimiento ........................ 246
5.5 Puntos extremos............................................................................................... 248
Actividad 5.5.1 .................................................................................... 248
Actividad 5.5.2 .................................................................................... 249
Aplicación 5.5.1 .................................................................................. 249
Aplicación 5.5.2 .................................................................................. 251
5.6 Concavidad ......................................................................................................... 252
X w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
5.7 Focalización. Gráficas de funciones ........................................................... 253
Aplicación 5.7.1 .................................................................................. 253
Actividad 5.7.1 ..................................................................................... 255
Actividad 5.7.2 ..................................................................................... 256
Aplicación 5.7.2 .................................................................................. 258
Aplicación 5.7.3 .................................................................................. 261
5.8 Regla de L’Hôpital para cocientes indeterminados .............................. 262
Actividad 5.8.1 .................................................................................... 263
Ejercicios 5.1 ....................................................................................... 263
Autoevaluación 5.1 ........................................................................... 278
Solución a la autoevaluación 5.1 ................................................. 278
Autoevaluación 5.2 ........................................................................... 279
Solución a la autoevaluación 5.2 ................................................. 280
Autoevaluación 5.3 ........................................................................... 280
Solución a la autoevaluación 5.3 ................................................. 281
Autoevaluación 5.4 ........................................................................... 281
Solución a la autoevaluación 5.4 ................................................. 282
Autoevaluación 5.5 ........................................................................... 283
Solución a la autoevaluación 5.5 ................................................. 283
Autoevaluación 5.6 ........................................................................... 284
Solución a la autoevaluación 5.6 ................................................. 284
Autoevaluación 5.7 ........................................................................... 285
Solución a la autoevaluación 5.7 ................................................. 285
Autoevaluación 5.8 ........................................................................... 286
Solución a la autoevaluación 5.8 ................................................. 286
FIGURAS A COLOR*
Capítulo 1 .........................................................................
Capítulo 2 .........................................................................
Capítulo 3 .........................................................................
* Las figuras en color que puedes desacargar
se señalan con este icono:
Visualiza
PREFACIO
Durante más de treinta años he-
mos tenido el honor y la alegría
de atender a miles de jóvenes
que gustosos se acercan a las
aulas, y en muchas ocasiones
se acercan por primera vez al
cálculo diferencial. En ese largo
camino, en el que hemos traba-
jado también con muchos cole-
gas, hemos escuchado siempre
que nuestras asignaturas son
muy áridas, o comentarios con-
trastantes relacionados con que
las matemáticas deben abordar-
se de acuerdo con la especiali-
dad que cursan los estudiantes.
Desde luego, no estamos del
todo de acuerdo con ninguna
de las dos aseveraciones, pero
éstas parecen estar apoyadas
por decenas de textos, que en su contenido y enfoque no
parecen aportar cosas nuevas, salvo acoplarse al nuevo
lenguaje académico, cultural e incluso comercial.
Consideramos que el presente texto es el primero en
su género, ya que trata de abordar el cálculo diferencial
desde una óptica diferente. Se comienza por proponer
un viaje sobre un texto que quisiéramos sea visto como un
hipertexto que permite abordar la realidad desde cada
una de sus páginas, y viajar libremente desde ella a los
aspectos aplicativos, realizar actividades de aprendizaje,
integrar el conocimiento con otras fuentes y practicar con
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I planteamos esta idea. Inicialmente, abordaremos cada
concepto por medio de aplicaciones, en donde deseamos
que el lector observeal concepto en acción y, sin cono-
cerlo, vaya extrayendo su esencia para lograr extraerlo y
saber posteriormente en qué se aplica.
Paralelamente trabajaremos con los conocimientos
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de aprendizaje grupal. Finalmente, se analizará la teoría
para fortalecer el conocimiento y realizar ejercicios que
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Para todos es importante construir nuevas competen-
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Internet
El entorno
Focalización ActividadAplicación
Resolución Ejercicio Teoría Autoevaluación Solución
Facilitador
La clase
Red social
FIGURA I. Hiperrecorrido del texto.
Observable
en la
actividad
Observable
en el
producto
Competencias genéricas
Actitudes
Conocer
Competencia
Saber
hacerD
e
s
e
m
p
e
ñ
o
FIGURA II. Competencias.
El centro de la estrategia didáctica que se promueve
en el texto es la focalización, que consideramos pro-
picia el enfoque hacia lo ya conocido, y buscamos
trasformar por medio de una serie de actividades
y cuestionamientos, a los cuales cada uno habrá de
reflexionar y encontrar respuesta, para después so-
cializar en la clase e incluso contrastar contra la teoría,
de tal forma que se permita reconstruir o fortalecer el
conocimiento sobre cada concepto.
XI
XII w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
las competencias genéricas, pero sobre todo poder mani-
festarlas en nuestros desempeños por medio de la activi-
dad presencial u observable a través de la calidad de los
productos que construimos, sin desprender los tres ele-
mentos que se movilizan en una competencia: las actitu-
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cepto bajo estudio y verlo en acción, pero en cada acti-
vidad habrán de generarse evidencias para demostrar el
desempeño. Colegas profesores: este texto no es lineal; la
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El texto es un libro de trabajo que permite trazar el ca-
lendario de las actividades en el mismo, ya que las tablas
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auxiliarán al lector en todo momento, ya que indican en
cada actividad qué competencias genéricas se fortalecen
y qué debe observarse para evaluar la competencia.
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Visualiza
se deben descargar del código QR que se menciona en la
tabla de contenido del libro.
Martha Alvarado Arellano
Carlos García Franchini
Cada guía para rúbrica indica el tipo de
actividad a realizar y si se recomienda
como trabajo extraclase o para reflexión
grupal. Además, señala si el desempeño
será observable en el producto o en las
actividades, así como las actitudes que
se espera fortalecer y los criterios de cali-
dad que se promoverá para evaluar cada
evidencia.
En cuanto a la sección característica del
producto, esta permite las anotaciones
del programa propio, y finalmente se
aporta una serie de sugerencias sobre
actividades de clase, de búsqueda, de
ampliación de contenidos, de posibles
proyectos, etc.a
FIGURA III. Guía para rúbrica.
APLICACIÓN 4.1.3
ACTIVIDAD PARA REFLEXIONAR Y COMENTAR
CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR.
Actitudes
u Interés por los fenómenos o eventos de la globalidad.
u Gusto por expresar matemáticamente los fenómenos econó-
micos.
Desempeños
u Exposición de los datos y síntesis de la información.
Productos
u No necesario.
Criterios de calidad
i. Comentarios de reflexión en clase sobre la naturaleza de
los índices en la bolsa de valores.
ii. Cita de fuentes consultadas.
iii. Búsqueda del tema de datos económicos de la bolsa de
valores.
Características del producto
} Extensión: una cuartilla.
} Individual ® Equipo ®
} Fecha de entrega:
} Obligatorio ® Optativo ®
Sugerencias
} Producto optativo en equipo.
} Equipos de tres personas.
} Que los equipos expongan sus datos y posición en el tema,
de manera muy breve, respecto de empresas regionales que
coticen en la bolsa.
ACTIVIDAD 4.1.3
EVALUACIÓN POR PRODUCTO.
Actitudes
u Limpieza y exactitud de los trazos en las gráficas.
u Gusto por emplear el lenguaje gráfico como parte de las ma-
temáticas.
Productos
u Reflexión sobre el trazo de la derivada por el método gráfico;
trazo de los tres ejemplos.
Criterios de calidad
i. Respuesta correcta a las tres preguntas.
ii. Trazo gráfico de la derivada de los tres ejemplos.
iii. Trazo correcto de las tangentes.
iv. Aplicación correcta del procedimiento 4.1.3.
Características del producto
} Extensión: libre.
} Individual ® Equipo ®
} Fecha de entrega:
} Obligatorio ® Optativo ®
Sugerencias:
} Producto obligatorio individual.
} Meditar cómo se trazan en la computadora las gráficas de la
derivada a una curva.
I. ANEXO. FORMULARIO
Axiomas de los números reales:
Axioma 0a: Propiedad de cerradura de la suma: para cada x y y,
números reales, la suma x � y es otro número real.
Axioma 0p: Propiedad de cerradura del producto: para cada
x y y, números reales, el producto xy es un número
real.
Axioma 1: Propiedad conmutativa de la suma:
x � y � y � x
Axioma 2: Propiedad asociativa de la suma:
x � (y � z) � (x � y) � z
Axioma 3: Existencia del elemento neutro aditivo. Existe un
número real único 0 tal que:
0 � x � x � 0 � x
Axioma 4: Existencia del inverso aditivo: Para cada número
real x existe un número real �x tal que
x � (�x) � (�x) � x � 0
Axioma 5: Propiedad conmutativa del producto:
xy � yx
Axioma 6: Propiedad asociativa del producto:
x(yz) � (xy)z
Axioma 7: Existencia del elemento neutro multiplicativo: Existe
un número real único, 1 diferente de 0, tal que
1x � x1 � x
Axioma 8: Existencia del inverso multiplicativo o recíproco:
Para cada número real x, pero no para el cero, existe
un número x�1 tal que:
xx�1 � x�1x � 1
Axioma 9: Propiedad distributiva:
x(y � z) � xy � xz
XIII
XIV w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Propiedades de los números reales:
P1.1 Propiedad de tricotomía: Para a y b números reales se ve-
�������������&�������
������
���������������a � b, b � a, a � b.
P1.2 Si a � b es a � c � b � c.
P1.3 Si a � b y c � 0 es ac � bc.
P1.4 Propiedad transitiva: Si a � b, b � c, es a � c.
T1.1 ����
�������� �������&��
���������'�*��a � b � a � c, en-
tonces b � c.
T1.2 Posibilidades de la sustracción: Dado a y b, existe un x tal
que a � x � b, x se designa por b � a.
T1.3 b � a � b � (�a).
T1.4 �(�a) � a.
T1.5 a(b � c) � ab � ac.
T1.6 0a � a0 � 0.
T1.7 ����
����� �������&�� ����������
� ������&�'�*��ab � ac y
a � 0, entonces b � c.
T1.8 Posibilidades de la división: Dados a y b con a � 0, existe
un y sólo un x tal que ax � b. La x se designa por b
a
y se
denomina cociente de b y a. En particular,
1
a
� a�1.
T1.9 Si a � 0, entonces b
a
� ba�1.
T1.10 Si a � 0, entonces (a�1)�1 � a.
T1.11 Si ab � 0 entonces o a � 0 o b � 0. (La o puede implicar
ambos.)
T1.12 (�a)b � �(ab) y (�a)(�b) � ab.
T1.13
a
b
c
d
ad bc
bd
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
+( )
( )
si b � 0 y d � 0.
I. ANEXO: FORMULARIO w XV
T1.14
a
b
c
d
ac
bd
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
( )
( )
si b � 0 y d � 0.
T1.15
a
b
c
d
ad
bc
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= ( )
( )
si b � 0, c � 0 y d � 0.
T1.16 Si a � 0, a2 � 0.
T1.17 1 � 0.
T1.18 Si a � b y c � 0, es ac � bc.
T1.19 Si a � b, es �a � �b. En particular, si a � 0, es �a � 0.
T1.20 Si ab � 0, entonces a y b son ambos positivos o ambos ne-
gativos.
T1.21 Si a � c y b � d, entonces a � b � c � d.
T1.22 Si a � 0, es |x| � a, si y sólo si �a � x � a.
T1.23 Si |x| � a, se sigue que o x � �a o x � a.
T1.24 Desigualdad del triángulo. Para x y y números reales:
|x � y| � |x| � |y|.T1.25 a a2 �
Exponentes
E1 xnxm � xn � m
E2
x
x
x
n
m
n m= −
E3 (xn)m � xnm
E4
1
x
x
n
n= −
E5 (xy)n � xnyn
E6
x
y
x
y
n n
n
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
E6 x x1 2/ �
XVI w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
E7 x xn n1/ �
E8 x x xn m nm m
n
/ = = ( )
E9 xy xy xy x y
n m nm m
n
nm nm( ) = ( ) = ( ) =/
E10 x xmn nm�
E11
x
y
x
y
n
n
n� ; y � 0.
Álgebra
A1 (x � y)2 � x2 � 2xy � y2
A2 (x � y)(x � y) � x2 � y2
A3 (x � y)3 � x3 � 3x2y � 3xy2 � y3
A4 x3 � y3 � (x � y)(x2 � xy � y2)
A5 n! � n(n � 1)(n � 2)...1
A6 0! � 1
A7 n! � n(n � 1)!
A8
n
k
n
k n k
n n n k
k
n n⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
−( ) =
−( )… − +( ) = −( )!
! ! !
1 1 1 …… +( )
−( )
k
n k
1
!
A9
n
k
n
n k
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
A10
n
n
n⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
0
1
A10
i
n
i na a a a
=
∑ = + + +
1
1 2 �
A11 x y
n
k
x y
n
k
n
k n k+( ) = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟=
−∑
0
x y x nx y n n x y
n
k
n n n n
k
n
+( ) = + + −( )
⎛
⎝
⎜− − + +
=
∑1 2 2
0
1
2
�
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ + + +
− −x y nxy yk n k n n� 1
I. ANEXO: FORMULARIO w XVII
A12 Si ax2 � bx � c � 0, entonces x b b ac
a
= − ± −
2 4
2
A13
i
n
i
i
n
ica c a
= =
∑ ∑=
1 1
A14
i
n
i i
i
n
i
i
n
ia b a b
= = =
∑ ∑ ∑± = ±
1 1 1
( )
A15 |a| � a, si a � 0; |a| � �a, si a � 0
A16 |ab| � |a||b|
A17
a
b
a
b
� ; b � 0
A18 |an| � |a|n
A19 Si y � loga x, entonces a
y � x.
A20 loga 1 � 0
A21 loga a � 1
A22 log10 x � log x
A23 loge x � ln x
A24 loga xy � loga x � loga y
A25 log log loga a a
x
y
x y
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= −
A26 loga x
r � r loga x
A27 log a x
x
a
�
ln
ln
Geometría
G1 Área del rectángulo: A � bh
h
b
FIGURA I.1 Rectángulo.
XVIII w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
G2 Área del triángulo: A
bh�
2
G3 Área del trapecio: A
b d
h= +
( )
2
G4 Área del círculo: A � πr 2
G5 Perímetro de la circunferencia: P � 2πr
G6 Arco de círculo: s � rθ, θ radianes.
G7 Área de sector circular: A
r� θ
2
2
, θ radianes.
G8 Área de la esfera: A � 4πr2
G9 Volumen de la esfera: V r� 4
3
3π
h
b
FIGURA I.2 Triángulo.
d
h
b
FIGURA I.3 Trapecio.
r
s
θ
FIGURA I.4 Arco y sector circular.
I. ANEXO: FORMULARIO w XIX
G10 Volumen del cilindro: V � πr2h
G11 Volumen de pirámide: V A h�
1
3 base
G12 Volumen del cono: V r h� 1
3
2π
Geometría analítica
Ga1 Distancia entre los puntos (x1, y1) y (x2, y2):
d x x y y= −( ) + −( )2 1 2 2 1 2
Ga2 Coordenadas del punto medio entre los puntos (x1, y1) y
(x2, y2):
x
x x
=
+1 2
2
, y
y y
=
+1 2
2
r
h
FIGURA I.5 Cilindro.
base
h
FIGURA I.6 Pirámide (cono) genérica.
h
r
FIGURA I.7 Cono.
XX w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Ga3 Pendiente de la recta que pasa por los puntos (x1, y1) y
(x2, y2):
m
y y
x x
=
−
−
2 1
2 1
Ga4 Ecuación de la recta que pasa por el punto (x1, y1) con
pendiente m: y � y1 � m(x � x1)
Ga5 Ecuación de la recta con ordenada en el origen b y pen-
diente m: y � mx � b
Ga6 Pendiente m1 de la recta normal a la recta de pendiente m:
m
m1
1= −
Ga7 Parábola con eje paralelo al eje y vértice
en (x1, y1): y � y1 � k(x � x1)
2, k es cualquier
número real.
Ga8 Circunferencia con centro en el punto (h, k)
y radio r: (x � h)2 � (y � k)2 � r2
FIGURA I.8 Parábola.
FIGURA I.9 Circunferencia.
I. ANEXO: FORMULARIO w XXI
Ga9 Elipse con centro en el punto (h, k) y semiejes para-
lelos a los ejes coordenados:
x h
a
y k
b
−( ) + −( ) =
2
2
2
2
1,
a y b son números reales positivos.
Ga10 Hipérbola con centro en el punto (h, k) y se-
miejes paralelos a los ejes coordenados:
x h
a
y k
b
−( ) − −( ) =
2
2
2
2
1 , a y b son números reales
positivos.
Trigonometría
Tr1 1° � π
180
radianes (rad), 1 rad � 180
π
Tr2 sen θ � a
c
Tr3 cos θ � b
c
Tr4 tan θ � a
b
Tr5 cot θ � b
a
Tr6 sec θ � c
b
Tr7 csc θ � c
a
FIGURA I.10 Elipse.
FIGURA I.11 Hipérbola.
x
b
c
a
FIGURA I.12 Razones trigonométricas.
XXII w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
En el círculo trigonométrico:
Tr8 sen x � a
Tr9 cos x � b
Tr10 tan x � c
Tr11 cot x � d
Tr12 sec x � f
Tr13 csc x � e
Tr14
θ rad sen θ cos θ tan θ
0° 0 0 1 0
30°
π
6
1
2
3
2
3
3
45°
π
4
2
2
2
2
1
60°
π
3
3
2
1
2
3
90°
π
2
1 0 �
180° π 0 �1 0
Tr15 csc x
x
� 1
sen
Tr16 sec
cos
x
x
� 1
Tr17 cot
tan
x
x
� 1
Tr18 tan
sen
x
x
x
�
cos
Tr19 cot
cos
x
x
x
�
sen
d
f e
x
b
r = 1
c
a
FIGURA I.13 Círculo trigonométrico.
I. ANEXO: FORMULARIO w XXIII
Tr20 sen2 x � cos2 x � 1
Tr21 1 � tan2 x � sec2 x
Tr22 1 � cot2 x � csc2 x
Tr23 sen (�x) � �sen x
Tr24 cos (�x) � cos x
Tr25 tan (�x) � �tan x
Tr26 sen
π
2
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =x xcos
Tr27 cos sen
π
2
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =x x
Tr28 tan
π
2
−
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =x xcot
Tr29 Ley de senos:
sen sen senA
a
B
b
C
c
� �
Tr30 Ley de cosenos: c2 � a2 � b2 � 2 ab cos c
Tr31 sen (x � y) � sen x cos y � cos x sen y
Tr32 cos (x � y) � cos x cos y � sen x sen y
Tr33 tan ( )
tan tan
tan tan
x y
x y
x y
± =
±
1 ∓
Tr34 sen 2x � 2 sen x cos x
Tr35 cos 2x � cos2 x � sen2 x � 2 cos2 x � 1
cos 2x � 1 � 2 sen2 x
Tr36 tan
tan
2
2
1 2
x
x
x
=
− tan
Tr37 sen 2
1
2
1 2x x= −( )cos
Tr38 cos 2
1
2
1 2x x= +( )cos
Tr39 2 sen x cos y � sen (x � y) � sen (x � y)
Tr40 2 cos x sen y � sen (x � y) � sen (x � y)
XXIV w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Tr41 2 cos x cos y � cos (x � y) � cos (x � y)
Tr42 2 sen x sen y � cos (x � y) � cos (x � y)
Funciones hiperbólicas
Fh1 senh x
e ex x= +
−
2
Fh2 cosh x
e ex x= −
−
2
Fh3 tanh
senh
cosh
x
x
x
�
Fh4 csch
senh
x
x
� 1
Fh5 sech x
x
� 1
cosh
Fh6 coth
cosh
x
x
x
�
senh
Fh7 senh (�x) � �senh x
Fh8 cosh (�x) � cosh x
Fh9 cosh2 x � senh2 x � 1
Fh10 1 � tanh2 x � sech2 x
Fh11 senh (x � y) � senh x cosh y � cosh x senh y
Fh12 cosh (x � y) � cosh x cosh y � senh x senh y
Derivadas
Considerando u � f(x), v � g(x), c una constante:
D1
d
dx
c � 0
D2
d
dx
u v
du
dx
dv
dx
+( ) = +
I. ANEXO: FORMULARIO w XXV
D3
d
dx
uv u
dv
dx
v
du
dx
( ) = +
D4
d
dx
u
v
v
du
dx
u
dv
dx
v
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
−
2
D5
d
dx
f g x
df
dg
dg
dx
( ( )( ) =
D6
d
dx
u nu
du
dx
n n= −1
D7
d
dx
e e
du
dx
u u�
D8
d
dx
a a a
du
dx
u u� ln
D9
d
dx
u
u
du
dx
ln � 1
D10
d
dx
u
u a
du
dxa
log
ln
� 1
D11
d
dx
u u
du
dx
sen � cos
D12
d
dx
u u
du
dx
cos = −sen
D13
d
dx
u u
du
dx
tan = −sec2
D14
d
dx
u u
du
dx
cot = −csc2
D15
d
dx
u u u
du
dx
sec sec tan�
D16
d
dx
u u u
du
dx
csc csc cot= −
XXVI w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
D17
d
dx
u
u
du
dx
sen− =
−
1
2
1
1
D18
d
dx
u
u
du
dx
cos− = −
−
1
2
1
1
D19
d
dx
u
u
du
dx
tan− =
+
1
2
1
1
D20
d
dx
u
u u
du
dx
sec− =
−
1
2
1
1
D21
d
dx
u
u u
du
dx
csc− = −
−
1
2
1
1
D22
d
dx
u
u
du
dx
cot− = −
+
1
2
1
1
D23
d
dx
u u
du
dx
senh � cosh
D24
d
dx
u u
du
dx
cosh � senh
D25
d
dx
u u
du
dx
tanh � sech2
D26
d
dx
u u
du
dx
coth = −csch2
D27
d
dx
u u u
du
dx
sech sech= − tanh
D28
d
dx
u u u
du
dx
csch csch= − coth
D29
d
dx
u
u
du
dx
senh− =
+
1
2
1
1
D30
d
dx
u
u
du
dx
cosh− =
−
1
2
1
1
I. ANEXO: FORMULARIO w 1
D31
d
dx
u
u
du
dx
tanh− =
−
1
2
1
1
D32
d
dx
u
u u
du
dx
sech− = −
−
1
2
1
1
D33
d
dx
u
u u
du
dx
csch− = −
+
1
2
1
1
D34
d
dx
u
u
du
dx
coth− =
−
1
2
1
1
2� �� ������ �
��
�
������
��� ��
�
�����
Fecha Evidencia
Aplicación 1.1.1
Actividad 1.1.1
Aplicación 1.1.2
Actividad 1.1.2
Aplicación 1.1.3
Actividad 1.2.1
Actividad 1.2.2
Aplicación 1.2.1
Aplicación 1.2.2
Actividad 1.2.3
Actividad 1.2.4
Aplicación 1.2.3
Aplicación 1.2.4
Fecha Evidencia
Actividad 1.2.5
Actividad 1.5.1
Actividad 1.5.2
Aplicación 1.5.1
Aplicación 1.5.2
Aplicación 1.7.1
Actividad 1.7.1
Aplicación 1.7.2
Aplicación 1.7.3
Actividad1.9.1
Actividad 1.10.1
Aplicación 1.10.1
Aplicación 1.10.2
CALENDARIO DEL PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS
Capítulo 1
Números reales
COMPETENCIA DISCIPLINAR DEL CURSO
El alumno es competente si analiza, abstrae y propone soluciones a situaciones que involucren
variación en una sola variable independiente, empleando como herramienta fundamental la
graficación y el cálculo diferencial.
ELEMENTO DE LA COMPETENCIA DISCIPLINAR:
El alumno es competente si aplica correctamente las propiedades de los números reales en la
resolución de desigualdades.
� � �������
�� �� 3
Fecha Evidencia
Actividad 1.10.2
Ejercicios 1.1
Autoevaluación 1.1
Autoevaluación 1.2
Autoevaluación 1.3
Autoevaluación 1.4
Autoevaluación 1.5
Autoevaluación 1.6
Aplicación 1.11.1
Actividad 1.11.1
Aplicación 1.11.2
Actividad 1.17.1
Ejercicios 1.11
Autoevaluación 1.7
Autoevaluación 1.8
Autoevaluación 1.9
Autoevaluación 1.10
Otras evidencias
Fecha Evidencia
4 w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
Aplicación 1.1.1
Muchos conceptos se aprenden con base en la experiencia, y siendo
objetos físicos o ideas les asociamos un nombre para referirnos a
�����������������������<���������
����������
������&��������� ����
siempre se está seguro de que se comunica adecuadamente lo que
es; esos conceptos se denominan primitivos, y un ejemplo de ellos es
el concepto de punto, y otro que empleamos en muchas ocasiones
es el de número. Siempre habrá intentos fallidos o acertados de
�������������������
����
�����
����������
���"��� ��
������������������
"����
��
�������������
��� ������"�����������
�����������������-
junto que agrupa objetos, y cotidianamente efectuamos pruebas de
pertenencia de manera inconsciente o consciente para referirnos a
��������
����=���������������
����
��
����
�� ������ �� �����&��P(x),
luego podemos escribir el concepto C como C � {x�P(x)}, en donde x
es una instancia del concepto y decimos que xεC, o menos estricta-
mente y de manera cotidiana que x es C. Por ejemplo, si P(x) � “la
estrella más cercana a la Tierra”, luego la única instancia x que cum-
����������
���&��������������>*��?�������
��
�����������������
��
de llamar igualmente C � Sol.
@
�������� �����������
����������������K�K�����
��
�������-
�������������
��"���>��
�������� ����?���>������ ����
���� ��
���
�������?����
��������� �� �����&����� ���
�����>��������?��������
de las instancias x�"������ ��� ������
���&�����������
����������
podría ser “medio de transporte acuático”, o posiblemente el con-
cepto “barca”, de donde se observa que a veces un objeto satisface
����
������
������&���� ���������������������������
���
���������
������"���������������������������
��������������
����
����O��
�-
mente para que no se presten a confusiones al comunicarnos.
aW� XY���
�������
���
�%����
�������������%�
����%���
�����������K�KZ
b) ¿Algunos de los objetos que observas son instancias del mismo
�����
�Z
1.1 FOCALIZACIÓN ñ
Cuántos objetos están presentes en nuestra vida o cuántos deseas:
[ ������� ������
��&���������������� �������
���%��
���
��������
��W��
pero también otros que son conceptos abstractos, como las ideas, la
libertad o la paz, entre muchos otros. Cada uno de esos objetos pre-
���
�������
�
���"������
��������"��� ����
�����
�������������
��
pertenece o no a cierta clase. Por ejemplo, si te dan una fruta, debe
�����
��
��%������
��
������������
��
��
�������������������
�������-
�&���XY&�������
��
�����Z�XY&���������"�������������������
��Z
Esos conceptos los has asimilado a lo largo de tu vida, y aparen-
����
�������"�����������
������&���*���������������� ���� ������
pruebas de pertenencia o no pertenencia a un conjunto, clase o ca-
tegoría de objetos.
APLICACIÓN 1.1.1
ACTIVIDAD PARA MEDITAR
Y COMENTAR CON COMPAÑEROS
Y FACILITADOR.
Actitudes
Ñ Puntualidad en la entrega.
Ñ Calidad en el producto.
Desempeños
Ñ Observar trabajo en equipo y partici-
pación en clase.
Productos
Ñ Ensayo con comentarios, dudas y
respuesta a cada uno de los cuestio-
namientos.
Criterios de calidad
i. Claridad y congruencia en la re-
dacción.
ii. Respuesta a todos y cada uno de
los cuestionamientos.
iii. En ningún caso es considerada
como correcta una respuesta
simple del tipo “no, sí, nunca,
siempre, etcétera”.
iv. Manifestación de las propias
ideas, y en caso de definiciones
de libros, revistas o sitios de Inter-
net, citar las fuentes.
v. Originalidad.
vi. Uso de dibujos, animaciones,
esquemas o mapas conceptuales
para clarificar las ideas.
Características del producto
} Extensión: una cuartilla.
} Individual ® Equipo ®
} Fecha de entrega:
} Obligatorio ® Optativo ®
Sugerencias
} Producto optativo.
} Equipos de cuatro integrantes.
CAPÍTULO 1 ���
� ���
��
� w 5
c) ¿Cuáles son los conceptos que pueden describir a los objetos en
���%�
����%��Z
dW� ��������
��
������&��
������������
���
�Propiedad de cerradura
Adicionalmente, transformas esos objetos que pertenecen a tu
mundo, los combinas, los mezclas, los mides, los cuentas y con ello
produces otros que pueden ser o no de la misma clase.
Por ejemplo, si a un conjunto de lápices le agrego otro lápiz,
el resultado sigue siendo un conjunto de lápices; pero si “reúno
adecuadamente” un grupo de hojas, un resorte y dos “pastas” ge-
nero “un cuaderno”, que es un objeto diferente a los objetos que lo
���%��������������� ��������������
����"������� �����&���%��
��
��
es cerrada, y en el segundo es no cerrada.
De igual manera podrás decir si un objeto matemático es un
�!����������� ���� ���������
�
�
��"�����
�� ���������
���
����
��
previamente. Si realizas sumas entre números el resultado es otro
�!����\���������������������� �����&�������
�����
el conjunto de los números que sirven para contar.
X��������
�����
�%����������
����!������ ���
����Z
Actividad 1.1.1
La propiedad de las operaciones sobre los elemen-
tos de un conjunto que se ha analizado se denomi-
na propiedad de cerradura, y se caracteriza por el
hecho de operar objetos de un conjunto y obtener
como resultado objetos del mismo conjunto.
Observa a tu alrededor y concéntrate en las
características de los objetos:
1. Tienes una silla y traes otra silla para cada
����
��
��� �������� X��� � �����&�� �����$�
��
��������
�Z
2. Si buscas a un amigo por teléfono y al no
encontrarlo le dejas un mensaje para que se
������"���
���%&�������
�����
������^�
�����
������X���� �����&���%��
��
����������
�Z�X_�
si en lugar de comunicarse llega a tu casa o te
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������������Z
3. Ve a la cocina de tu casa y prepárate un empa-
��
�
���X���� �����&���%��
��
����������
�Z
4. En la plaza del pueblo se escucha que toca
una banda, y otro músico se agrega al conjun-
to y comienza a tocar la melodía. ¿La opera-
��&���%��
��
����������
�Z
FIGURA 1.1 Ejemplo de objetos.
ACTIVIDAD 1.1.1
EVALUACIÓN POR PRODUCTO.
Actitudes
Ñ Puntualidad en la entrega.
Ñ Calidad en el producto.
Productos
Ñ Ensayo con comentarios, dudas y respuesta a cada uno de los
cinco cuestionamientos.
Criterios de calidad
i. Claridad y congruencia en la redacción.
ii. Respuesta a todos y cada uno de los cuestionamientos.
iii. En ningún caso es considerada como correcta una res-
puesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”.
iv. Manifestación de las propias ideas, y en caso de definicio-
nes de libros, revistas o sitios de Internet, citar las fuentes.
v. Originalidad y unicidad de los ejemplos.
vi. Uso de dibujos, animaciones, esquemas o mapas con-
ceptuales para clarificar las ideas.
Características del producto
} Extensión: una cuartilla.
} Individual ® Equipo ®
} Fecha de entrega:
} Obligatorio ® Optativo ®
Sugerencias
} Producto obligatorio.
} Individual.
6 w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
5. Redacta al menos tres ejemplos de operaciones cerradas y tres
que no lo sean. Discútelos con tus compañeros.
Aplicación 1.1.2
El �������������
� ��
��
�����������&��"������ ���
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�����
��� ���� [�^���� ������ K�`W��=� ��������� ����
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����-
ciones del viento o de las corrientes marinas “chocan” las olas. El
>���"��?��������
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����������������������� �����\���������>�����
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���#���������������
���������������~���
����������
������������
�����"��� ��
��
�
�������"�������� �����&��
no es cerrada.
Las operaciones transforman a los objetos que participan en
ellas, pero es muy importante estar seguro de qué clase de cosas se
tienen en el resultado. Muchas veces se aceptan los resultados de
����� ������������������
���� �����������������
����������������
������
������
��� �����
��
��������������
�
��
������� ���
� ����
����
������������������������ �����&��`�� 5.
Si se pregunta a un niño de primaria posiblemente su respuesta
sea: “no se puede”, ya que su dominio personal está en los en-
teros positivos y el objeto comúnmente aceptado que genera esta
� �����&������������!����� ���
�����
������ ��� �� �������
�
�
��
resolverlo. Al ampliar la clase de los objetos sobre la que actúa la
� �����&�����������
�
��������
��
�������"�������� ����%�������������
expandir nuestro concepto de número al menos hasta los enteros
negativos. Lo mismo ocurre cuando se intenta resolver x` ��K�� 0,
����������
�
��X�������!����Z
Mira a tu alrededor y observa los objetos que te rodean; todos
están hechos por transformaciones entre objetos. Analiza algunos
y contempla la cerradura o falta de ella.
FIGURA 1.2 Ejemplo de operaciones.
Actividad 1.1.2
Existen diferentes tipos de números, de los cua-
les los más comunes son aquellos que se emplean
�������
��'��K��`��������������
��������
�����
���-
mina números naturales ( ).
*� &��"������������
���������
��������
�� :
1. Escribe una historia hipotética de por qué y
�&���������"������>�����
����?������������
���
tipos de números:
a) El cero.
b) Los enteros negativos (��).
ACTIVIDAD 1.1.2
EVALUACIÓN POR PRODUCTO.
Actitudes
Ñ Puntualidad en la entrega.
Ñ Calidad en el producto.
Productos
Ñ Ensayo con la historia hipotética (1) y conclusiones que inclu-
yan las respuestas a (2) y (3).
Criterios de calidad
i. Claridad y congruencia en la redacción.
ii. Manifestación de las propias ideas, y en caso de definicio-
nes de libros, revistas o sitios de Internet, citar las fuentes.
APLICACIÓN 1.1.2
ACTIVIDAD PARA MEDITAR Y DISCUTIR
CON COMPAÑEROS Y FACILITADOR.
Actitudes
Ñ Participación en equipo.
Ñ Manifestación del interés.
Ñ Defensa de las propias propuestas.
Desempeños
Ñ Observar trabajo en equipo y partici-
pación en clase.
Productos
Ñ No necesario.
Criterios de calidad
i. Claridad y congruencia en las ex-
plicaciones y preguntas.
Sugerencias
} Establecer discusión grupal y pregun-
tas dirigidas.
�
CAPÍTULO 1 ���
� ���
��
� w 7
Aplicación 1.1.3
������ ��
�����������������������
�� �����
����&��
����������
������%���������� ������� ������������
�!����������
�����������������������&��������-
��������������&������������
���
�����"�������-
jan lo que está ocurriendo con cada una de las
variables que interesan son números.
���������"����� ���&
�����������������
����-
��������������$����������&�������������@����������
�������
��� �
�&�����������
���������*����
�$���&��
���
&������
��������
��������
����&��
�����������
��
valores, entre otros indicadores.
1. ¿Qué clases de números se emplean para re-
�����
���������
���
����Z
Visita la página:
http://www.banamex.com/economia_
����$������
���������
��������������
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aW� �O ����� ���"��������������� ��� �����&��
��
Finanzas.
2. X��^������
�����"������������������Z
3. X��^������
�����"�����������
���
��Z
4. Cuando una cantidad cambia con el tiempo y quieres conocer
���>���
����?��X"�^����������
��� ��
����� ����Z
5. ¿Qué crees que representa mejor la “historia” de una variable:
����
�������������������������
������Z�X#���"�^Z
6. �����������&��
�������$����X"�^������������������
���
����&����
���"�^Z
7. X��^���%������&��
�� ��
������������'����������
���
&�������
���
��������������
����Z�X#���"�^Z
���
��
�� �����
���� �
��� ������ ���� ��%������&�� ���������� ��
compárala con esta que ya visitaste. Si eres estudiante presencial,
��������� �������������������������������������������%������&��
c) Los fraccionarios o, más correctamente,
los “racionales” (�).
d) Los complejos (�).
2. XY&���������"����� ��
����� �� ��
�
�
����-
���
���������
��������
�Z
3. ¿Crees que las diferentes operaciones sobre
�����!������
������"����������� ���� �����&��
�����������������
�Z
iii. Originalidad.
iv. Uso de mapas conceptuales para clarificar las ideas.
Características del producto
} Extensión: una cuartilla.
} Individual ® Equipo ®
} Fecha de entrega:
} Obligatorio ® Optativo ®
Sugerencias
} Producto obligatorio.
} Equipos de tres personas.
} Exposición de conclusiones por dos equipos.
APLICACIÓN 1.1.3
ACTIVIDAD PARA INVESTIGAR Y DEBATIR GRUPALMENTE.
Actitudes
Ñ Participación en equipo.
Ñ Manifestación del interés.
Ñ Interés por la investigación y la situación económica actual.
Desempeños
Ñ Observar trabajo en equipo y participación en clase.
Productos
Ñ No necesario.
Criterios de calidad
i. Claridad y congruencia en las explicaciones y preguntas.
Sugerencias
} Actividad optativa.
} Establecer debate sobre indicadores de la situación económica
entre dos equipos.
} Preguntas dirigidas.
Ô
http://www.banamex.com/economia_finanzas/es/
divisas_metales/resumen.htm
8 w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
1.2 NÚMEROS ñ
Los números son uno de los elementos fundamentales de las mate-
máticas. Si bien no son los únicos objetos que estudia esta parte de
la ciencia, sí resultan ser un elemento esencial de su génesis.
En la actualidad, después de todo el de-
��������� ���
&����� "��� ��
��� ����
��� ����
�-
��
����������������������� ��&���O����
����
de los mismos; es decir, se construyen sus
características por medio de axiomas y se
parte de las propiedades observadas para
los números naturales � para construir un
sistema más amplio a partir del análisis de
las extensiones a la propiedad de cerradura
������� ����������
����
���
Los números naturales � o enteros posi-
tivos � � �� ���K��`�������� ����
�������
�����
a los enteros negativos �� � {�K���`����������
los que a su vez, y conjuntamente con el cero,
forman el conjunto � �����������`���K�����K��`���������������
������Y���
este conjunto ��������������������
�����&����������
��������������
��
������������������
��
����
��� ����. A este conjunto pertenecen
aquellos números que se forman como cociente entre dos enteros,
donde obviamente el denominador no puede ser cero. El conjunto
de los irracionales (��) corresponde con todos aquellos números
que no son racionales, muchos de los cuales surgen principalmente
��� ���� ������&��
�� ������$����
��
������� ` . De manera par-
ticular, el hecho de que el número π sea irracional es un teorema; es
���������
������� �������������&��
��������������������������������
(� � ��) conforman el conjunto de los números reales �.
Los números sirven para representar las mag-
nitudes presentes en los objetos. Cuando esos ob-
jetos son conjuntos, los números permiten saber
cuántos elementos tiene el conjunto, y a esa ac-
��&��������
��������contar. Sin embargo, existen
objetos que tienen magnitudes que no se pueden
contar sino medir. En el primer caso se les de-
nomina magnitudes discretas, y en el segundo,
magnitudes continuas.
Actividad 1.2.1
Observa por tu ventana y analiza los objetos que
ves:
1. ��������� ��� ������ K�� �����
�
��� �����
���
en los objetos y describe si son magnitudes
discretas o continuas.
Números reales
Racionales
Irracionales
Enteros
negativos
Naturales
Cero
Enteros
FIGURA 1.3 Subconjuntos de los números reales �.
ÓÌ�
Ô
ACTIVIDAD 1.2.1
EVALUACIÓN POR PRODUCTO.
Actitudes
Ñ Puntualidad en la entrega.Ñ Interés en traducir las situaciones al pensamiento matemá-
tico.
Productos
Ñ Respuesta escrita a los cuatro cuestionamientos.
Criterios de calidad
i. Claridad y congruencia en la argumentación.
ii. Manifestación de las propias ideas, y en caso de definicio-
nes de libros, revistas o sitios de Internet, citar las fuentes.
iii. Originalidad y unicidad de las magnitudes (1).
iv. Uso de mapas conceptuales para clarificar la argumen-
tación.
�
CAPÍTULO 1 ���
� ���
��
� w 9
Como ejemplo para ilustrar lo anterior se
�����
�&� ��� "��� ��� ����
��� ��� ��� ������ K���� ���
ella se ven “algunos números”, pero en realidad
hay muchos: desde las propias dimensiones de
las páginas hasta aquellos que se consideraron
para el diseño: el alto de la banda superior, las di-
mensiones de las bandas, el tamaño de las letras,
��� �������&��� ���
������
�� ���� ���������� ��
���
muchos otros. Para los diseñadores también los
����������
����
��
����
��������!������������!��
los físicos, los colores tienen longitudes de onda
Prepara un ensayo sobre la esencia de contar
y medir.
Aplicación 1.2.1
Toma una página de una revista que te guste y
analízala:
Ü ¿Cuántos números ves��������Z
Ü ¿Cuántos números hay��������Z
Ü ¿Hay diferencia entre las preguntas anterio-
���Z�X#���"�^Z
Actividad 1.2.2
Contar y medir son operaciones que se realizan
sobre conjuntos; ambas son operaciones de com-
�����&��
1. ¿Qué cosas se comparan cuando cuentasZ
2. ¿Qué cosas se comparan cuando midesZ
3. ����������"��������
����X��� ��
������
��Z\�
y a la inversa, las cosas que se cuentan, ¿se
��
�����
��Z
Ahora analiza los siguientes objetos abstractos:
2. Los números pares son objetos discretos, pero
¿hay más números pares o más números im-
����Z
3. XY���
����!����������
�����%��������K�����K��
����K�������K����Z�X��������
����
����!��-
�������!������ ����Z�����������&��� ��
���
saberlo.
4. ¿Hay más animales en el mundo que núme-
������ ����Z�����������&��� ��
�����������
ÓÌ�
Ô
Características del producto
} Extensión: una cuartilla.
} Individual ® Equipo ®
} Fecha de entrega:
} Obligatorio ® Optativo ®
Sugerencias
} Producto obligatorio.
} Individual.
Ô
ACTIVIDAD 1.2.2
EVALUACIÓN POR PRODUCTO.
Actitudes
Ñ Puntualidad en la entrega.
Productos
Ñ Ensayo sobre contar y medir, que integre la respuesta a las
tres preguntas.
Criterios de calidad
i. Claridad, congruencia y ortografía en la redacción.
ii. Manifestación de las propias ideas y en caso de definicio-
nes de libros, revistas o sitios de Internet, citar las fuentes.
iii. Respuesta a las preguntas.
iv. Uso de mapas conceptuales para clarificar la argumen-
tación.
v. En ningún caso es considerada como correcta una res-
puesta simple del tipo “no, sí, nunca, siempre, etc.”.
Características del producto
} Extensión: una cuartilla.
} Individual ® Equipo ®
} Fecha de entrega:
} Obligatorio ® Optativo ®
Sugerencias
} Producto obligatorio.
} Individual.
ÓÌ�
Ô
APLICACIÓN 1.2.1
ACTIVIDAD PARA REFLEXIÓN Y ANÁLISIS GRUPAL.
Actitudes
Ñ Participación en equipo.
Ñ Pensamiento crítico.
Ñ Asombro ante la belleza.
Desempeños
} Observar trabajo en equipo y participación en clase.
�
10 w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
"��������!�������~Y���
����!��������������*��
los trazos fueran hechos a mano, ¿las magnitudes
que se han considerado serán magnitudes conti-
�������
�����
��Z
FIGURA 1.4 Usando los números.
ÓÌ�
Ô
Productos
Ñ No necesario.
Criterios de calidad
i. Claridad y congruencia en las explicaciones y preguntas.
Sugerencias
} Actividad optativa.
} Mostrar “fractales” descargados de Internet.
} Preguntas dirigidas.
Ô
Para otro ejemplo en el que debes responder a
����������� �����
��������
����� �����������
����
�
que más te guste, o por ejemplo esta:
http://www.clipart.com/
1. ���
��
������&��
����� ������
������!��������-
mersos, pero en este caso si pudieras mirar el
�&
����"�������� ��
��[��������
�
���� ��
�������������
��W���-
������!������"����
��
������ ��������������������
������������
�
���~��
���������
����� ���
������X*����� ���"�^Z��O �������
2. Ahora observa a tu alrededor. ¿Cuántos números ves y cuántos
�!���������Z
3. XY���������������� ��
��
��'�����"�������������"������Z
4. X�������� ������&�������!�����Z
Los números también representan estética; es decir, permiten
�
��
������belleza; al respecto, puedes visitar la siguiente página:
http://www.enchgallery.com/index.htm
http://www.clipart.com/ http://www.enchgallery.com/index.htm
�Cardinalidad y orden
Toma en una mano cinco monedas y en la otra cinco clips o bolitas
�� � ����X��^�
������������!�������
���������
��Z�X�O��
����
����
������
���"���
���������������� �� ��
�
Z�XY&��� ��
�����
���
�������
��"������� �� ��
�
������� ��Z
La propiedad común se llama cardinalidad y es simplemente
el “número de elementos del conjunto”; así, un número natural
�
��
��������������
��
��
�
�������������
���"���
���������������
���
�����
�
�����
����
��������
��
Si ahora tomas un puñado de monedas en una mano y en la
otra uno de clips, y los comparas, podría ocurrir que tengan el mis-
mo número o que uno tenga más que el otro; los números tienen
esa cualidad: son “ordenados”. Esta cualidad es muy importante,
ya que te permite tomar muchas decisiones a lo largo de toda tu
CAPÍTULO 1 ���
� ���
��
� w 11
1. ��
������������� �����
���&���������� �������
�������
�� ��
����&�'� ��� �� ��� �$"����
��
������
� personas y a la derecha un grupo de m perso-
nas, comparas y ocurre que: a) m � �, b) m � �,
o c) m � �, ¿pueden ocurrir dos de estos casos a
�����$���������������
����&�Z��O ����� ����"�^�
te sirve conocer esto. Proporciona los ejemplos
que consideres pertinentes.
vida, al poder decidir cuál es más grande entre
dos números; es decir, ponerlos en “orden” de
cardinalidad.
Aplicación 1.2.2
��������������K�����K����������
�%����
�������
����
�����"����
��������������
�����
��������
�������
cardinalidad es conocida. Pero, ¿qué puedes de-
cir de la cantidad de calcio que tienen los huesos
��
����������
��������O����"���
�������
�������Z
#����
�����
������������K��������
�����
������
de cristal de laboratorio; desde luego, se obser-
������������
�����
��������
�����
����
������
��
laboratorio se emplea para medir volúmenes; el
volumen es una magnitud continua.
Ü ¿Qué otros dispositivos, aparatos o material
�������� ����>��
��?Z
Ü X��^���
����
��
�� ���
���Z
Ü ¿Cuáles son los límites máximo y mínimo que
��
����
������
�� ���
���Z
Ü X��^�
����O��
��������
�� ���
���Z
Ü X��^��������O��
�
�
Z
Ü X��^�������� ��O�����&�Z
Actividad 1.2.3
La cualidad de orden de los números naturales
��������
�����������&��%��
����
���
��������-
tos caracterizada por
������������������������������������
en la que para obtener el siguiente elemento de la
������&�����
��
������������������������
�� ������
un nuevo elemento de la misma clase, y con ello
se aumenta su cardinalidad. Esta cualidad a su
vez genera otras más interesantes:
APLICACIÓN 1.2.2
ACTIVIDAD PARA INVESTIGACIÓN, REFLEXIÓN Y ANÁLISIS
GRUPAL.
Actitudes
Ñ Participación en equipo.
Ñ Pensamiento lateral y divergente.
Desempeños
Ñ Observar trabajo en equipo y participación en clase.
Productos
Ñ No necesario.
Criterios de calidad
i. Claridad y congruencia en las reflexiones y conclusiones.
Sugerencias
} Actividad optativa.
} Preguntas dirigidas hacia la naturaleza de los conjuntos no
contables.
ÓÌ�
Ô
ACTIVIDAD 1.2.3
EVALUACIÓN POR PRODUCTO.
Actitudes
Ñ Limpieza.
Ñ Puntualidad en la entrega.
Ñ Liderazgo.
Ñ Creatividad.
�
FIGURA 1.6 Un conjunto contable
finito.
FIGURA 1.5 Un conjun-
to contable finito.
12 w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
2. ��������
��
�����������������
����&�'������-
dera a los mismos grupos del numeral previo,
pero ahora llega un tercer grupo y agregas
exactamente la mitad de sus integrantes en
��
����� ����O ����� ��� ��
����&��
���������
algebraica y explica qué ocurre alcomparar
nuevamente el tamaño de los grupos. Emplea
los ejemplos que consideres pertinentes.
3. *� &�� ������ "��� ��
�� �������
���� ��������
exactamente la misma cantidad de dinero (c),
y les pides juntar todo su efectivo en cada
��� ����O �������
����
����&���������������-
te y explica qué ocurre con las cantidades de
������"���������
&������
����� �������� �-
rarlas. Utiliza los ejemplos que consideres
pertinentes.
4. ������� �� �����
����� ��� ������ ��
����&��
���
�������K����
�������������
�
�
���
��
������c
por persona. Si le pides a cada persona que
aporte una cantidad de dinero k y todos te
quedan a deber la misma cantidad q porque
no les alcanza, compara ahora la deuda de
������ "���
����� ��
�� ��� ��� X��^� ������� ��� ��
�� ��
����&�Z�
�� �����
�������
����&���������������
�\��O ��������� ��������
ejemplos que consideres pertinentes.
5. Redacta un ejemplo en el que se puedan observar situaciones
análogas a estas y compártelo con tus compañeros de equipo.
Prepara un ensayo sobre la esencia de comparar y ordenar.
Actividad 1.2.4
Existe un elemento muy importante en los núme-
ros enteros que se denomina cero, que se escribe
0. Seguramente esto no es ninguna novedad para
�� �����X������
�
�
���������
��^�Z
1. Si estuvieras contando y propones 0 como re-
sultado de contar, ¿qué ocurre con el conjunto
"��������$��
�Z
2. X�����������������"�����
�Z
3. Haz un poco de ejercicio, párate y camina cin-
co pasos hacia delante, y después cinco pa-
sos hacia atrás. Si realizaste adecuadamente
��
����
���
�������������� �����&���� ��
��
��
partida. ¿No te moviste nada, o simplemente
��
���
�������������������������Z�XY������-
����&����� ��
���� �����
��������������Z
ÓÌ�
Ô
Productos
Ñ Ensayo sobre las operaciones básicas (comparar y ordenar), que
incluya sus conclusiones y ejemplos de las cinco preguntas.
Criterios de calidad
i. Claridad, congruencia y ortografía en la redacción.
ii. Respuesta a las cinco preguntas.
iii. Uso de diagramas o mapas conceptuales para clarificar la
argumentación.
iv. Originalidad y unicidad de los ejemplos.
Características del producto
} Extensión: una cuartilla.
} Individual ® Equipo ®
} Fecha de entrega:
} Obligatorio ® Optativo ®
Sugerencias
} Producto obligatorio.
} Equipos de tres integrantes.
} Discusión de la pregunta: ¿Son realmente suma, resta, multi-
plicación y división las operaciones aritméticas básicas?
Ô
ÓÌ�
Ô
ACTIVIDAD 1.2.4
EVALUACIÓN POR PRODUCTO.
Actitudes
Ñ Puntualidad en la entrega.
Ñ Liderazgo.
Ñ Cooperación grupal.
Ñ Respeto a las ideas divergentes.
Productos
Ñ Ensayo sobre la naturaleza del cero y sus diferentes interpre-
taciones, incluyendo la discusión y las conclusiones sobre los
ocho cuestionamientos.
Criterios de calidad
i. Claridad, congruencia y ortografía en la redacción.
ii. Uso de diagramas o mapas conceptuales para clarificar la
argumentación.
iii. Respuesta a las ocho preguntas.
�
CAPÍTULO 1 ���
� ���
��
� w 13
4. Continúa con el ejercicio, juega “vencidas”
con tus propias manos, empujando una contra
la otra y aplicando tu fuerza máxima. ¿Cuál
���&��
�� �����
������� �� ��� �$"����
�Z� XNo
aplicaste fuerza, o quizá la que aplicaste con
cada brazo era igual pero de sentido contra-
rio, digamos F � (�FWZ�XY������
����&���� ��-
���
��������������Z
El cero sirve para representar la cardinalidad del
conjunto vacío (y por tanto no estás contando, por-
que no hay nada que contar, lo que explica por qué
el cero no es un número natural), pero su esencia es
mostrar la igualdad de fuerzas o actos que se opo-
nen entre dos objetos. El cero representa el equili-
brio, pero también que aún no hay nada que contar. Las siguientes
��
������������ ��
��������
��������������\��O ����������������
�'
5. ���������
����������
�����&����������������&��
������� ��
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7. Las hormigas transportan una hoja, y en cierto momento todas
jalaban al mismo tiempo y la hoja no se movía.
8. El temblor fue bastante fuerte, pero al cabo de unos momentos
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Dialoga acerca de tus apreciaciones con tus compañeros y con tu
facilitador.
Aplicación 1.2.3
En la red podrás encontrar el juego “Alchemy” en
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http://www.juegosfan.com/alchemy/
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iv. Integración de los diversos puntos de vista en el ensayo.
v. Registro de la participación grupal.
Características del producto
} Extensión: una cuartilla.
} Individual ® Equipo ®
} Fecha de entrega:
} Obligatorio ® Optativo ®
Sugerencias
} Producto obligatorio.
} Equipos de tres integrantes.
} Discusión del concepto de equilibrio desde el punto de vista
de diversas ciencias y artes.
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APLICACIÓN 1.2.3
ACTIVIDAD PARA INVESTIGACIÓN, REFLEXIÓN Y DIVERSIÓN
GRUPAL.
Actitudes
Ñ Competencia sana entre equipos.
Ñ Pensamiento lateral y divergente.
Ñ Alegría en el aprendizaje.
Desempeños
Ñ Observar la competencia sana entre equipos y conclusiones
en situaciones lúdicas.
Productos
Ñ No necesario.
Criterios de calidad
i. Claridad y congruencia en las reflexiones y conclusiones.
ii. Alegría en la actividad.
iii. Participación en la competencia.
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http://www.juegosfan.com/alchemy/
Es momento de que descanses un poco y te di-
viertas con él.
¿Puedes escribir el conjunto de reglas que tie-
ne y convertirlo en un juego con números exclu-
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na “buscaminas”. Escribe su conjunto de reglas y
describe al menos cinco situaciones en las que sin
ver todos los cuadros descubiertos alrededor de
otro se puede saber que existe una o varias minas
ocultas.
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Aplica las reglas encontradas y observa que este
14 w CÁLCULO DIFERENCIAL EN COMPETENCIAS
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no se tuvo suerte. Si no era así, indica en qué posi-
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��con seguridad.
FIGURA 1.7 Buscaminas (http://buscaminas.eu).
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Sugerencias
} Actividad optativa.
} Preguntas dirigidas sobre reglas matemáticas en deportes y
juegos de mesa.
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APLICACIÓN 1.2.4
ACTIVIDAD PARA INVESTIGACIÓN,
REFLEXIÓN Y ANÁLISIS GRUPAL.
Actitudes
} Disposición para el trabajo autóno-
mo y la investigación.
Desempeños
} No necesarios.
Productos
} No necesario.
Criterios de calidad
i. Claridad y congruencia en las re-
flexiones y conclusiones.
ii. Manifestación de las propias
ideas, y en caso de definiciones
de libros, revistas o sitios de In-
ternet, citar las fuentes.
Sugerencias
} Actividad individual optativa.
} Preguntas dirigidas sobre el tema in-
vestigado.
Aplicación 1.2.4
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pretar con el orden de los números. Por ejemplo, ¿sabes por qué el
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cuando un líquido tiene menor densidad es desplazado por otro
con mayor densidad y que ocupe el mismo volumen; por tanto, el
de más alta densidad es más pesado y cae al fondo.
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que el yate está hecho de materiales de más alta densidad que la
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pa —la parte que se hunde sobre el agua— y la cantidad de masa
total del yate no tiene una densidad mayor que la del agua (ésta es
otra forma de interpretar el principio de Arquímedes), por lo que
se observa que el orden entre los números trasciende a las magni-
tudes físicas que representan.
Otro ejemplo muy importante del orden de los números y de
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