Matemáticas1

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Matemáticas
Joaquín Ruiz Basto
4
Álgebra en acción
1:33
Sistema
de aprendizaje
en línea
MATEMÁTICAS 1
Álgebra en acción
Serie integral por competencias
 
 
Joaquín Ruiz Basto
segunda edición ebook 2016
Dirección editorial: Javier Enrique Callejas
Coordinación editorial: Alma Sámano Castillo
Elaboración de rúbricas: Alex Polo Velázquez, páginas: 16-18, 48, 49, 64, 65, 84, 85, 106, 107, 126, 127, 142, 143, 154, 155, 
170, 171, 186, 187
Diseño de interiores y portada: Juan Bernardo Rosado Solís
Supervisor de producción editorial: Miguel Ángel Morales Verdugo
Diagramación: Gustavo Vargas Martínez, Jorge Antonio Martínez Jiménez
Ilustraciones: José Luis Mendoza Monroy, Perla Alejandra López Romo, Leopoldo Trejo
Fotografías: Thinkstock
Se incluyeron reproducciones autorizadas por el Instituto Nacional de Antropología e Historia, México.
Representación de las esculturas Reloj de Sol de Almussafes y Reloj de Sol de Ontiyent, autorizadas y proporcionadas por los es-
cultores Joao Olivares Alfonso y Rafael Amorós.
Agradecemos las facilidades que otorgó el Zoológico de Chapultepec a esta casa editorial.
Matemáticas 1
Álgebra en acción
Serie integral por competencias
Derechos reservados:
©2014, 2016, Joaquín Ruiz Basto
©2014, 2016, Grupo Editorial Patria, S.A. de C.V.
ISBN ebook: 978-607-744-472-5 (Segunda edición)
ISBN ebook: 978-607-438-995-1 (Primera edición)
 
 
Renacimiento 180, Col. San Juan Tlihuaca,
Delegación Azcapotzalco, Código Postal 02400, Cd. de México
Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana
Registro núm. 43
Queda prohibida la reproducción o transmisión total o parcial del contenido de la presente obra en 
cualesquiera formas, sean electrónicas o mecánicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.
Impreso en México / Printed in Mexico
Primera edición ebook: 2004
Segunda edición ebook: 2016
 
 
Grupo Editorial Patria®
División Bachillerato, Universitario y Profesional
Contacto Patria
correo:
Renacimiento # 180, 
Col. San Juan Tlihuaca, 
Azcapotzalco, 02400, 
Cd. de México
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(0155)
 5354 9100
 1102 1300
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fax pedidos:
(0155)
 5354 9109
 5354 9102
WWW
sitio web:
www.editorialpatria.com.mx
Dedicatoria
A Estela, Rodrigo, Leonardo, Christian y Ricardo.
A todos los que contribuyeron para la realización de esta obra.
Contenido
 Parte 1 Desarrollo 
de competencias . . . . . . . 1
B
LO
Q
U
E
1 Resuelves problemas aritméticos 
y algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
B
LO
Q
U
E
2
Utilizas magnitudes y números reales 22
B
LO
Q
U
E
3 Realizas sumas y sucesiones 
de números . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
B
LO
Q
U
E
4 Realizas transformaciones 
algebraicas I . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
B
LO
Q
U
E
6
Resuelves ecuaciones lineales I . . . . 108
B
LO
Q
U
E
5 Realizas transformaciones 
algebraicas II . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
ContenidoIV
Parte 2 Material de consulta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Sección 1. Potencias y raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
Sección 2. Determinantes de sistemas lineales 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Soluciones a ejercicios impares de autoevaluación para la Parte 1 . . . . . . . . . . 209
Soluciones a ejercicios impares de la Parte 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Materiales de apoyo en SALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
B
LO
Q
U
E
7
Resuelves ecuaciones lineales II . . . . 128
B
LO
Q
U
E
8
Resuelves ecuaciones lineales III . . . 144
B
LO
Q
U
E
9
Resuelves ecuaciones cuadráticas I . 156
B
LO
Q
U
E
10
Resuelves ecuaciones cuadráticas II . 172
VGrupo Editorial Patria®
VI Contenido
Competencias genéricas del Bachillerato General
Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres 
deben estar en la capacidad de desempeñar, y que les permitirán a 
los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o 
internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para 
continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convi-
vencia adecuada en sus ámbitos sociales, profesional, familiar, etc., 
por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresa-
do del Sistema Nacional de Bachillerato.
A continuación se enlistan las competencias genéricas:
 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
 2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
 3. Elige y practica estilos de vida saludables.
 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apro-
piados.
 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
Competencias disciplinares básicas del campo 
de las Matemáticas
Competencias disciplinares básicas 
Bloques de aprendizaje
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de 
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la 
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
X X X X X X X X X X
 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. X X X X X X X X X X
 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos 
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
X X X X X X X X X X
 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, 
gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático 
y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.
X X
 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social 
o natural para determinar o estimar su comportamiento.
X X X X X X X X
 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las 
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo 
rodean.
X
 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un 
proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos 
matemáticos y científicos.
X X X X X X X X
VIIGrupo Editorial Patria®
Competencias genéricas del Bachillerato General
Las competencias genéricas son aquellas que todos los bachilleres 
deben estar en la capacidad de desempeñar, y que les permitirán a 
los estudiantes comprender su entorno (local, regional, nacional o 
internacional) e influir en él, contar con herramientas básicas para 
continuar aprendiendo a lo largo de la vida, y practicar una convi-
vencia adecuada en sus ámbitos sociales, profesional, familiar, etc., 
por lo anterior estas competencias construyen el Perfil del Egresa-
do del Sistema Nacional de Bachillerato.
A continuación se enlistan las competencias genéricas:
 1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
 2. Es sensibleal arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.
 3. Elige y practica estilos de vida saludables.
 4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apro-
piados.
 5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.
 6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.
 7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
 8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
 9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su comunidad, región, México y el mundo.
 10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la inculturalidad y la diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
 11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.
Competencias disciplinares básicas del campo 
de las Matemáticas
Competencias disciplinares básicas 
Bloques de aprendizaje
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
 1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de 
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la 
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
X X X X X X X X X X
 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. X X X X X X X X X X
 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos 
matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
X X X X X X X X X X
 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, 
gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático 
y el uso de las tecnologías de la información y comunicación.
 5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o 
natural para determinar o estimar su comportamiento.
X X X X X X X X X
 6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las 
magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo 
rodean.
 7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un 
proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.
 8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos 
matemáticos y científicos.
X X X X X X X X X X
VIII
VIII Contenido
Es el primer libro de la Serie integral por competencias, que ayudará a profesores y estudiantes a organizar y desarrollar 
experiencias de aprendizaje a lo largo del primer semestre escolar del bachillerato general.
 Esta obra se apega al programa oficial de la asignatura y pone el centro de la actividad en el propio estudiante.
 Así, cada uno de los 10 bloques que lo integran inicia exponiendo una situación práctica al estudiante, de su 
entorno social, familiar o personal, que requiere la búsqueda de explicaciones o soluciones.
 La obra propone, en seguida, una secuencia didáctica de actividades, que conduce al alumno a la solución de 
la situación propuesta y que puede realizarse individualmente o en forma colectiva de modo que, a través del aná-
lisis, la reflexión, el estudio, la investigación y el trabajo personal y colaborativo, el estudiante desarrolle habilidades 
cognitivas, haciendo y aplicando sus conocimientos, mismos que podrá ampliar en los segmentos informativos de 
cada lección, que incluyen ejercicios de autoevaluación con solución para los impares.
 Cada bloque contiene, después de cada situación didáctica, un proyecto de trabajo cuyo objetivo es que el 
estudiante desarrolle sus conocimientos y habilidades, y consolide la autonomía en su quehacer.
 Otra fuente complementaria de consulta de contenidos matemáticos para el estudiante se proporciona en la 
segunda parte del libro e incluye soluciones a ejercicios de orden impar.
 La distribución de los contenidos del curso en 10 bloques permitirá al profesor disponer de variados proble-
mas de aplicación práctica para organizar su trabajo en el aula.
 Esta cuarta edición se enriquece con nuevos e interesantes problemas y con modelos de instrumentos para la 
evaluación: rúbricas analíticas, listas de cotejo, guías de observación y lineamientos para la organización y uso de 
un portafolio de evidencias, elementos que, sin duda, serán de gran utilidad para el alumno y el profesor.
Problema propuesto
Situación didáctica
Análisis de la situación
Conocimientos
Consulta
Secuencia didáctica
Proyecto de trabajo
Rúbrica de 
evaluación Segmento informativo
Parte teórica
Ejemplos
Comentarios 
adicionales
 
Aplicaciones
Autoevaluaciones
Sugerencias 
para los 
ejercicios
Presentación
MATEMÁTICAS 1
Álgebra en acción 
Joaquín Ruiz Basto
IXGrupo Editorial Patria®
Parte 1
Desarrollo de competencias
Contenido
 BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
 A. Cambios climáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
 B. Tu computadora personal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
 BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales
 A. Husos horarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
 B. Afluencia turística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
 BLOQUE 3 Realizas sumas y sucesiones de números
 A. Apertura de un restaurante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
 B. Bienes raíces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
 BLOQUE 4 Realizas transformaciones algebraicas I
 A. Embalaje de piezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
 B. Cultivo y venta de pescado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
 BLOQUE 5 Realizas transformaciones algebraicas II
 A. Alimento para ardillas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
 B. Venta de churros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
 C. Limpieza de albercas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
 BLOQUE 6 Resuelves ecuaciones lineales I
 A. Mezcla de dulces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
 B. Banco de ostiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
 BLOQUE 7 Resuelves ecuaciones lineales II
 A. Matrimonios y divorcios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
 B. Esencias para perfumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
 BLOQUE 8 Resuelves ecuaciones lineales III
 A. Selección deportiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
 B. Distribucióny venta de quesos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
 BLOQUE 9 Resuelves ecuaciones cuadráticas I
 A. Víveres para damnificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
 B. Pantalla de plasma PDP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
 BLOQUE 10 Resuelves ecuaciones cuadráticas II
 A. Preservación de pandas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
 B. Amigas y pulseras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Resuelves problemas 
aritméticos y algebraicos
Competencias a desarrollar
n Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación 
de procedimientos aritméticos, algebraicos y geométricos, para la 
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
n Formula y resuelve problemas de porcentajes, descuentos e intereses, etc., 
e interpreta los resultados obtenidos.
n Analiza las relaciones entre dos o más variables de diferentes fórmulas 
matemáticas (área, volumen, etc.) para determinar su comportamiento y lo 
interpreta utilizando tablas y gráficas.
n Elabora modelos aritméticos o algebraicos sencillos de diversas situaciones, 
a través del trabajo colaborativo con una actitud constructiva y aportando 
sus puntos de vista.
n Resuelve los problemas aritméticos o algebraicos que el docente plantea 
proponiendo la manera de solucionarlos, utiliza como apoyo la calculadora.
1B LO Q U E
Objetos de 
aprendizaje
Representación de 
relaciones entre 
magnitudes
Modelos aritméticos o 
algebraicos
8 horas
Desempeños del estudiante 
al concluir el bloque
n Identifica formas diferentes de representar números positivos, decimales en 
distintas formas (enteros, fracciones, porcentajes) y de los demás números 
reales.
n Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas.
n Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al 
efectuarlas.
n Calcula porcentajes, descuentos e intereses en diversas situaciones.
n Emplea la calculadora como instrumento de exploración y verificación 
de resultados.
n Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos 
de diversas situaciones.
n Soluciona problemas aritméticos y algebraicos.
 ¿Qué sabes hacer ahora?
La aritmética es la reina y la esclava de las matemáticas.
Esta singular descripción de la grandeza y utilidad de la aritmética se inspira en una frase 
del famoso matemático alemán Karl F. Gauss, quien vivió en los siglos XVIII y XIX.
Un viejo cuento ruso desafía al escucha afirmando cosas inverosímiles acerca de una 
peculiar venta de huevos crudos realizada por una campesina, quien, sin romper ninguno, 
se quedó al final con un huevo luego de vender al primer cliente la mitad de todos los 
que llevaba más medio huevo y, más tarde, a una segunda persona, la mitad de los que 
quedaron de la primera venta más medio huevo.
¿Podría alguien hacer algo similar al vender de la misma forma cachorritos y mitades de 
ellos y entregarlos vivos? ¿Es aritméticamente posible tal cosa? ¿Podría ayudarte el Álgebra 
a responder esto?
BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos4
A1BLOQUE
 Conocimientos
Números positivos
 Enteros y/o fracciones mayores que 0.
 Fracción común Fracción mixta
 
1
 
4
 
6
 
2
 
7
 
5
 1
2
 
5
 Notación decimal Porcentajes
 0.25 3 1.4 25% 300%
Volumen y altura de un prisma
Volumen = área de la base × altura
Altura = _____________volumen
área de la base
h
Vapor atmosférico
Una columna de aire atmosférico de 1 m2 de 
base contiene entre 15 kg y 25 kg de agua.
Equivalencias métricas
1 kg � 1,000 g
1 m2 � 100 cm � 100 cm � 10,000 cm2
Para agua destilada, a 4 °C:
1 g
=
1 cm 3
 Peso Volumen
 Consulta
En libros de aritmética y de álgebra:
 Números positivos
 Sistema métrico decimal
 Variables numéricas
En Internet:
terraeantiqvae.blogia.com/2006/120701-un-
tsun...
www.librosmaravillosos.com/
 Situación didáctica Cambios climáticos
Diversas historias, mitos y leyendas antiguas, provenientes de civilizaciones de di-
ferentes lugares del mundo —Mesopotamia, Israel, India, América y otros sitios— 
relatan la ocurrencia de catástrofes causadas por inundaciones pluviales.
Algunos científicos consideran que tales fenómenos, acontecidos en épocas diferen-
tes, tuvieron alcance local o regional y fueron originados por cambios meteorológi-
cos y/o geológicos, como erupciones volcánicas, terremotos y tsunamis.
Un conocido relato bíblico, en el cual se refiere el origen del mundo, narra que en 
épocas remotas ocurrió un diluvio universal que cubrió todas las montañas del mun-
do en un lapso de 40 días.
Considerando los conocimientos científicos y los cambios climatológicos actuales, 
¿es factible que pueda ocurrir una catástrofe así?
 Análisis de la situación
 1. La lluvia proviene del vapor de agua atmosférico cuando éste se condensa (es 
decir, pasa del estado gaseoso al líquido).
 2. En sitios distintos —incluso cercanos—, la lluvia alcanza volúmenes diferentes 
debido a que el viento desplaza al vapor atmosférico de un lugar a otro.
 3. Si lloviera simultáneamente en todo el planeta, ningún sitio podría prestar su hu-
medad a otro, puesto que se condensaría en su totalidad el vapor de agua existente 
en la atmósfera.
5Grupo Editorial Patria®
 Rúbrica de evaluación
Elabora un resumen que incluya:
 Un cuadro de equivalencias en el sistema 
métrico decimal, para medidas de capaci-
dad, peso y volumen.
 El desarrollo de la secuencia didáctica 
con las respuestas y operaciones solici-
tadas.
 Una reflexión y conclusiones sobre los 
resultados obtenidos en la secuencia di-
dáctica y en la evaluación sumativa.
 Secuencia didáctica
 1. Durante una lluvia simultánea, toda el agua de la atmósfera caería a la vez sobre 
el planeta, descargando cada columna atmosférica (de 1 m2 de base), una cantidad 
máxima promedio de ______________________ (15 kg/25 kg) de agua.
 2. Suponiendo que la tierra no absorbiera el agua, la altura de la capa de agua sobre 
la superficie terrestre sería ______________________ (la misma/diferente) en to-
dos los lugares del planeta.
 3. Para conocer la altura que alcanzaría la capa de agua por cada columna de aire 
atmosférico, debe dividirse el volumen de agua que contiene la columna entre el 
área de su base (1 m2).
 Volumen máximo de agua: 25 kg � ___________ g � ___________ cm3.
 Área de la base: 1 m2 � ( cm) � ( cm) � __________ cm2.
� � h � 
Volumen máximo de agua
 
Área de la base
 � 
cm2
 
cm2
 � cm.
 4. Así, por cada columna atmosférica del planeta, es decir, en cada m2 de superficie, 
el agua alcanzaría una altura máxima de ___________ cm.
 5. El Monte Everest, la cumbre más elevada del mundo (9 km de altura), rebasaría 
la altura de esta capa de agua,
 
Altura del Monte Everest
 
Altura de la capa de agua
 � 
cm
 
cm
 � 
 
 veces.
 Proyecto de trabajo
 1. Envases ¿Cabe lo mismo en una lata de harina de 12.5 cm de alto 
y base circular de 25 cm de ancho, que en otra con altura doble y 
la mitad de ancho?
 a) Analiza casos de recipientes sencillos con 
base cuadrada donde la altura y ancho sean 
números enteros y representa la infor-
mación en diagramas. Haz lo mismo 
para recipientes cilíndricos. ¿Cómo 
se relacionan ambos casos?
 b) Realiza los cálculos para la situación descrita inicialmente. ¿Qué relación ob-
servas? Generaliza los resultados usando variables para expresar las magni-
tudes (altura: h y diámetro: d); aplícalos al caso de peso de troncos, en vez de 
capacidad de latas, y de depósitos de agua, en lugar de recipientespara harina.
HARINA
HARINA
6 BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Segmento
informativo 1A
 Recuerda
 1. Los dígitos son los números que se escri-
ben con una sola cifra.
 2. Un numeral es el símbolo que representa 
a un número. 
Algunos numerales para el dos:
 Verifica tu avance 
 1. ¿Cuáles son los dígitos en base 10? ¿Y en 
base 2?
 2. ¿Cuál es el origen de la palabra dígito?
 3. ¿A qué sistemas de numeración corres-
ponden estos numerales del dos?
 
 Fíjate en lo siguiente...
En un número decimal, tal como 2.15, a las 
cifras después del punto decimal se les lla-
ma fracción decimal, cola decimal o cifras 
decimales.
 Recuerda
 1. Cuando operamos con números los tér-
minos reciben nombres especiales:
Adición:
 2 � 0.5 � 2.5
 Sumandos Suma
Sustracción:
 2 � 0.5 � 1.5
 Minuendo Sustraendo Resta o diferencia
Multiplicación:
 2 � 0.5 � 1
 Factores Producto
División:
 2 � 0.5 �� 2 
0.5
� Numerador 
Denominador
 � 4
Dividendo Divisor Cociente
 Variables y números reales
 Aritmética y números positivos
En la aritmética ordinaria se usan sólo números positivos, además del cero.
Por estar escritos en base diez (sistema de numeración decimal), a todos se les llama 
números decimales.
2, 1.25, 0.333…, 1.4142, …
Muchas veces el nombre de un número depende de cómo está escrito,
 Fracción común: 
1
 
4
 Un cuarto
 Fracción decimal: 0.25 Veinticinco centésimos
 Porcentaje: 25% Veinticinco por ciento
O también de la clase o conjunto a la cual pertenece:
 Enteros: 0, 1, 2, 3, …
 Naturales o enteros positivos: 1, 2, 3, …
 Fraccionarios: 0.25, 
1
 
4
 , …
Las operaciones con que se combinan estos números son cuatro: adición, sustrac-
ción, multiplicación y división. Junto con los números y signos de operación, se 
emplean signos de agrupación (paréntesis) a fin de construir expresiones numéricas 
para indicar las operaciones.
(3 � 4) � 2 Expresión numérica
Para evitar ambigüedades en expresiones numéricas, se siguen las siguientes reglas 
al operar con los números:
 Orden de las operaciones
1o Se efectúan las operaciones entre paréntesis, de adentro hacia fuera.
2o Se calculan las potencias.
3o De izquierda a derecha se sigue con multiplicaciones y divisiones.
4o Al último, de izquierda a derecha, se ejecutan sumas y restas.
Así, 3 � 4 � 2 � 14 y (3 � 4) � 2 � 14, en tanto que 3 � (4 � 2) � 18.
 Ejemplo 1 Valuando expresiones numéricas
Obtén el valor de las siguientes expresiones numéricas.
 a) 2 � 7 � 3 � 2
 b) 12 � ((4 � 4) � 2)
Solución
 a) 2 � 7 � 3 � 2 � Multiplica primero 3 � 2
 2 � 7 � 6 � Halla la suma 2 � 7
 9 � 6 � 3 Obtén la resta 9 � 6
b) 12 � ((4 � 4) � 2) � Del paréntesis interior obtén 4 � 4
 12 � (8 � 2) � Divide 8 � 2 en el paréntesis
 12 � 4 � 8 Halla la resta 12 � 4
7Grupo Editorial Patria®
 2. La raíz y la potencia de un número se de-
finen mediante multiplicación repetida.
Tercera potencia de 4: 43 � 4 � 4 � 4 � 64
Raíz cúbica de 64: 
3� 64 � 4, pues 43 � 64
Exponente Índice o grado
 25 � 32 3� 8 � 2
 
 Base Potencia Radicando Raíz
Potencias especiales:_____________________________________
 Primera potencia Potencia cero
 41 � 4 (excepto para el cero)
 1001 � 100 20 � 1
 (0.25)1 � 0.25 (3.5)0 � 1
Ejemplo 2
 Recuerda
1. 20% � 20 
100
 � 0.20 pues 0.20 � 100 � 20.
Al operar con potencias de 10
Mueves el punto decimal a la izquierda si 
divides, a la derecha si multiplicas
Tantos lugares como ceros posee la 
potencia de 10.
(101 � 10, 102 � 100, 103 � 1,000, etc.)
 2. Por el contexto del problema, $660.376 
se redondeó a $660.38
Redondeo de cifras decimales
La última cifra decimal que se deja:
Queda igual si la que sigue es menor a 5
Aumenta 1 si la que sigue es 5 o mayor a 5
 Verifica tu avance 
 1. ¿Es 660.37 un redondeo de 660.376?
 2. ¿Tu calculadora redondea o corta las cifras 
decimales?
 3. Con la misma estrategia, aplica el plan: 
costo final por camisa � número de éstas. 
 4. ¿Es correcto razonar: si ahorro 20% y 
pago 15% de impuesto, al final mi pago 
es el costo inicial menos 5%?
 Ejemplo 2 Aritmética en acción: descuento comercial
Compras cinco camisas en promoción, con 20% de des-
cuento. ¿A cuánto ascenderá tu pago si el precio de $143.56 
mostrado en cada etiqueta no tiene incorporado el descuen-
to, ni 15% de impuesto?
Solución
Descomponemos el problema en tres partes:
 1. Se halla el costo inicial de todas las camisas
 Número de camisas � Costo por camisa � Costo inicial 
 5 � 143.56 � 717.80
 2. Le aplicas el descuento
 Costo inicial � 20% del costo inicial � Costo con descuento 
 717.80 � 0.20 � 717.80 � 574.24
 3. Hallas el costo final sumándole el impuesto
 Costo con descuento � 15% de este costo � Costo final 
 574.24 � 0.15 � 574.24 � 660.376
Así, el importe total que pagarás por las cinco camisas será $660.38.
El proceso completo puede resumirse con la expresión numérica:
 (5 � 143.56) � 0.20 (5 � 143.56) � 0.15 � (5 � 143.56 � 0.20 (5 � 143.56)).
 Costo de las camisas con descuento � 15% de impuesto 
 Ejemplo 3 Ilusión aritmética
Estás de vacaciones con dos amigos y entre los tres pa-
gan $300 por una habitación, aportando cada uno $100. 
El hotel les devuelve $50, pero el mozo con que los en-
vía guarda para sí $20 y les regresa $10 a cada uno.
Así, cada uno pagó $90, lo cual hace $270 por los tres; 
más $20 del mozo, dan un total de $290. ¿Qué sucedió 
con los $10 restantes?
Solución
 Pago total � Ingreso hotel � Retención mozo � Devolución 
 300 � 250 � 20 � 30
Comparamos ahora el argumento dado, contra este modelo:
Argumentación presentada 270 � 20 �� 250 � 20 � 20 
Modelo correcto 300 � 250 � 20 � 30 
En ambos casos, los $250 del hotel y los $20 del mozo están incluidos dentro de los 
$270. Por esto, en la argumentación presentada, en vez de sumar los $20 del mozo a 
los $270, debieron sumarse los $30 devueltos.
BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos8
 Ejemplo 4 Duración del cabello
Se calcula que en la cabeza de una persona hay en promedio 180,000 cabellos y que 
mensualmente se caen 3,600 de ellos.
¿Cuánto tiempo permanecerá cada nuevo cabello en tu cabeza?
Solución
 a) Una solución mediante un modelo verbal es la siguiente:
 Total de cabellos � Cabellos que � Años que tarda en 
 caen en un año caerse todo el cabello 
 180,000 � (3,600 � 12) � 4.1666666666…
 Cada cabello nuevo durará, aproximadamente, 4 años en tu cabeza.
 b) Otra forma de abordar el problema es elaborando una tabla, como sigue:
Tiempo Pérdida de cabello
1 mes 3,600 3,600
2 meses 2 � 3,600 7,200
3 meses 3 � 3,600 10,800
1 año 12 � 3,600 43,200
2 años 24 � 3,600 86,400
3 años 36 � 3,600 129,600
4 años 48 � 3,600 172,800
5 años 60 � 3,600 216,000
 
 Podemos observar que en 4 años se pierden 172,800 cabellos, cifra muy cercana 
a 180,000. Agregándole la cantidad del segundo mes se tiene
172,800 � 7,200 � 180,000. Esto dice que la respuesta son 4 años 2 meses.
Ejemplo 4
 Observaciones importantes
 1. Muchos problemas admiten distintos 
pro cedimientos (aritméticos, geométri-
cos, algebraicos, etc.) y distintas formas 
(estrategias) para hallar su solución. En 
este ejemplo se muestran dos estrategias 
para resolverlo. 
 2. Para transformar a meses la fracción de 
año, basta multiplicarla por 12:
 4.16666666666… años �
 4 años � 12 � (0.1666666…) meses �
 4 años � 1.9999… meses �
 4 años 2 meses.
 3. Las fracciones decimales como 
0.1666666666… que poseen una o varias 
cifras que se repiten indefinidamente (perio-
do) se llaman fracciones periódicas.
 Se escriben en forma abreviada con un 
periodo y una línea encima de éste:
0.16 � 0.16666666...
 4. Por lo regular el trabajo con fracciones 
comunes es más preciso y sencillo que 
con fracciones decimales, ya que sus com-
ponentes son dos números enteros:
180,000
 
12 � 3,600
 ��1,800 
432
�(se cancelan dos ceros)
Para simplificar al máximo esta fracción ha-
llamosel mayor divisor común para 1,800 y 
432, mediante descomposición en factores 
primos:
 1,800 432 3 
 600 144 2 
 300 72 3 
 100 24 2 
 50 12 2 
 25 6 
Los divisores comunes se 
escriben a la derecha. Los 
cocientes debajo a la izquierda. 
El proceso termina al no haber 
divisores comunes.
Su producto es el máximo 
común divisor.
mcd � 23 � 32 � 8 � 9 � 72
Dividiendo ambos números entre 72:
1,800
 
432
���25 
6
 ��	�1 
6
� � � � 6 |
4
 
25
1
 ��	�1 
6
	�1 
6
 años � 4 años ��1 
6
 � 12 meses���
4 años � 2 meses
 1. Agrega paréntesis para que
 a) 2 � 7 � 3 � 2 � 10; b) 15 � 6 � 6 � 3 � 45.
En los ejercicios 2 a 4 haz las operaciones y redondea fracciones a centésimos.
 2. 967.42 � 1,000
 3. 0.1631 � 100
 4. (14.02 � 23.19) � (13 � 6)
 Autoevaluación 1A
9Grupo Editorial Patria®
 Sugerencias para la 
autoevaluación 1A
 1. Prueba varias opciones hasta obtener la 
correcta.
2 y 3. Revisa Operaciones con potencias de 
diez y Redondeo de cifras decimales en 
el margen del ejemplo 2.
 4. Los números con fracciones decimales 
se suman en columna alineando el pun-
to. Revisa en el margen: Potencias espe-
ciales.
5 a 7. Divide en cada caso el numerador en-
tre el denominador.
 11. Prueba acomodos. Hay varias soluciones.
 b) Ejemplo: 
 3 � 
4 � 4 � 4
 
4
; 4 � 4 � 4 � (4 � 4)
 c) Más de una solución: 30 � 5 � 5 � 5
 d) Escríbelo (no puede ser el 0, ¿por 
qué?)
 12. Utiliza la siguiente equivalencia:
10 cm
 1 litro 1 kg 1 dm3
10 cm
�
10 cm
�
En los ejercicios 5 a 7: a) escribe cada fracción común en forma decimal; 
b) identifica el periodo en cada número decimal y abrevia su escritura.
 5. 
1
 
3
 6. 
3
 
5
 7. 
7
 
4
En los ejercicios 8 a 10 asocia cada fracción con su nombre: a) Fracción propia, 
b) Fracción impropia, c) Fracción mixta.
 8. 
27
 
3
 9. 
8
 
1
 10. 
12
 
16
 11. Pasatiempos numéricos
 a) Acomoda los dígitos positivos en el triángulo, de modo que en cada lado 
la suma sea igual a 20.
 b) Escribe cada dígito usando sólo 4 cuatros y algunas de las cuatro operacio-
nes básicas.
 c) Expresa el 30 con tres cifras iguales y algunas de las seis operaciones.
 d) ¿Cuál es el menor entero positivo que puedes escribir con dos cifras?
 12. Aguacero Se calcula que la zona metropolitana de la ciudad de México abar-
ca una superficie aproximada de 900 km2. Si lloviera en toda esta zona y el 
agua alcanzara en promedio 1 cm de altura, ¿qué cantidad de agua habría (en 
litros) y cuál sería su peso (en kg)?
BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos10
B1BLOQUE
 Conocimientos
Tanto por ciento
 1. Las siguientes expresiones indican lo
 mismo: 25% �� 25 
100
 ��
��
 2. También, 25% ��1 
4
 . ¿Por qué?
 3. Para obtener 25% de 48, 
multiplica ambos números.
 Así, (25%)(48) � 12, ya que
 (25%)(48) � (0.25)(48) ��1 
4
 (48)
Datos variados
¿Cuál valor tomarías como precio de un kilo-
gramo de limón?
Día 1 2 3 4 5
Kg($) 6.50 6.75 8 7.30 7
El promedio suele ser un buen valor:
6.50 � 6.75 � 8 � 7.30 � 7
 
5
 ��?
 Consulta
En libros de álgebra y otras fuentes.
En la segunda parte del libro:
 Aritmética y números positivos
 Números y variables
En Internet:
www.aaamatematicas.com/equ.htm
 Situación didáctica Tu computadora personal
 Un almacén informa que a partir de la siguiente semana aumentará 10% el 
precio de una computadora portátil, al tiempo que anuncia una rebaja de 10% en 
todos los artículos para esos días.
¿Me conviene comprar el equipo antes de que aumente de precio, o cuando aplique 
la rebaja? ¿Cómo podría predecir cuál será el nuevo precio para cualquier compu-
tadora, bajo estas condiciones?
 Análisis de la situación
 1. ¿Cuánto cuesta una computadora portátil? ¿De qué depende esto?
 2. ¿Cuántos años, en promedio, duran tales equipos? ¿Cuál sería el costo anual de tu 
inversión?
 3. ¿Son iguales los precios durante la rebaja que antes de ésta, en virtud de que el 
porcentaje de aumento es el mismo que el de descuento?
 4. Para un precio particular efectúa los cálculos del nuevo precio con aumento y 
descuento de 10% y compara ambos resultados.
11Grupo Editorial Patria®
 Rúbrica de evaluación
 1. El desarrollo de la secuencia didáctica y 
de la evaluación sumativa, debe mostrar:
 El manejo de porcentajes en forma 
decimal y de fracción común.
 El uso de variables en la elaboración 
de modelos algebraicos.
 La aplicación de los modelos para 
predecir o anticipar resultados.
 El empleo de tablas para organizar 
información en forma sistemática y 
para examinar regularidades.
 2. Trabajo optativo de investigación.
 Hallar un modelo algebraico para la si-
tuación descrita, reemplazando el 10% 
de aumento y descuento por: a) 25%, 
b) a%. Establecer conclusiones para es-
tos casos.
 Secuencia didáctica
 1. Si la computadora cuesta en este momento $10,000, en la siguiente semana se 
tendrá:
 Nuevo precio:
 10,000 � 10%(10,000) � 10,000 � ( ) � ( ) ��
 Nuevo precio con descuento:
� � � �� 10% � ________________ � $ ________________ .
 Como este precio es _________________ (mayor/menor) que el precio actual, 
___________________ (conviene/no conviene) esperar para comprar el equipo en 
oferta la próxima semana.
 2. Para cualquier precio P (en $) que tuviera actualmente el equipo, su nuevo precio, 
con aumento y descuento de 10%, se obtendrá así:
 Nuevo precio:
 P � 10%P � P � __________ P �� __________ P
 Nuevo precio con descuento:
� � � __________ P �� 10%� __________ P �� _________________ � __________ P
 3. Este modelo muestra que, en estas condiciones, el nuevo precio de la computado-
ra en oferta es una _________________ (décima/centésima) menor que el precio 
inicial. Aplicado a un precio P de $10,000 anticipa que el nuevo precio en oferta 
será de $( )(10,000) � $ _____________ y para un precio P � $15,000, será 
de $( )(15,000) � $ ______________ .
 Proyecto de trabajo
 1. Calorías y ejercicio Cuando caminas durante 15 minutos tu 
cuerpo quema 60 calorías. En cambio, montando bicicleta que-
mas 90 calorías.
 a) ¿Cuántas calorías pierdes por minuto al realizar cada una de 
estas actividades?
 b) Escribe un modelo verbal y uno algebraico para saber cuán-
tas calorías quemas al realizar ambas actividades.
 c) Si caminas una hora y después andas media hora en bicicle-
ta, ¿cuántas calorías quemas?
 d) Elabora una tabla para diversas combinaciones de ambos ejer-
cicios hasta completar una hora y media, en intervalos de quince minutos.
 e) Describe las regularidades que observes en renglones y columnas de la tabla 
y predice el dato para 15 minutos a pie y 105 minutos en bicicleta.
12 BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos
Segmento
informativo 1B
 Observaciones importantes
 1. En matemáticas las variables pueden re-
presentar diversas cosas (conjuntos, fun-
ciones, matrices, números, etcétera).
 2. Cuando representan números (como en 
álgebra básica) se les llama variables nu-
méricas (o simplemente variables). 
 Verifica tu avance 
¿Podrías decir que una expresión algebraica 
es una expresión numérica que contiene va-
riables?
 
Al evaluar expresiones algebraicas
Debes sustituir el valor de la variable 
cada vez que ésta aparezca escrita.
 Fíjate en lo siguiente...
Al usar paréntesis y/o variables se omite el 
signo � de multiplicación. También puede 
reemplazarse por un punto a mitad de altura 
entre los símbolos.
 5 � x � 5x � 5 � x 
 � 5(x) � (5)x � (5)(x) 
 Verifica tu avance 
 1. La expresión disminuido en de la 
sustracción, ¿a cuál corresponde en 
la adición? 
 2. ¿Son iguales las expresiones: 
2 menos que y, y 2 menos y?
 
 Observaciones importantes
En la sustracción el orden es importante, lo 
mismo que en la división. No es lo mismo 
a � 6 que 6 � a, ni x/5 que 5/x.
 Números y variables
Una variable es una letra que representa a un número. Los números son los valores 
de la variable. Una expresión que contiene signos de operación,de agrupación, nú-
meros y variables es una expresión algebraica.
3(x � 5) � 2 Expresión algebraica
Al sustituir la variable por un número y efectuar las operaciones indicadas se está 
evaluando la expresión algebraica. El resultado es el valor de la expresión algebrai-
ca y depende del número reemplazado.
El valor de 3(x � 5) � 2 para x � 10 es 3(10 � 5) � 2 � 17
Las expresiones algebraicas, al igual que las expresiones numéricas, pueden ser uti-
lizadas para representar situaciones reales. Las expresiones constituyen el modelo ma-
temático (aritmético o algebraico) de la situación.
 Expresión algebraica Situación que modela
 2x El doble de un número
 x � 5 Un número menos 5
Al escribir modelos es útil identificar las operaciones aritméticas involucradas:
 Situación descrita Modelo algebraico
 Adición 5 más un número 5 � x
 2 más que y y � 2
 Sustracción Un número disminuido en 6 a � 6
 2 menos que y y � 2
 Multiplicación El producto de 5 y un número 5x
 3 veces un número 3y
 División El cociente de un número y 9 x/9
 La quinta parte de un número x/5
Es conveniente también aplicar la siguiente secuencia:
Haz un
modelo verbal
Introduce
variables
Escribe la expresión 
algebraica
 Ejemplo 1 Valuando expresiones algebraicas
Evaluar
 a) 2(7x � 8) � 3(5 � x), cuando x � 2
 b) (x � 1)/5y, cuando x � 4, y � 5
 c) x2 � 4x � 5, cuando x � 10
Solución
 a) 2(7x � 8) � 3(5 � x) Escribe la expresión
 � 2(7(2) � 8) � 3(5 � 2) Sustituye x por 2
 � 2(14 � 8) � 3(3) Realiza operaciones y simplifica
 � 21 Valor de la expresión
13Grupo Editorial Patria®
Ejemplo 1
 Fíjate en lo siguiente...
 1. Cuando en una expresión algebraica 
reemplazas la(s) variable(s) por un valor, 
obtienes una expresión numérica.
expresión 
algebraica
expresión 
numérica
 2. El valor de una expresión algebraica pue-
de ser un número entero o con frac ciones.
 3. En una expresión algebraica una misma 
variable puede aparecer con diversas po-
tencias.
 Verifica tu avance 
Escribe un modelo para el doble y otro para 
el cuadrado de un mismo número.
 a) ¿Son iguales o distintos? ¿Por qué?
 b) Comprueba con diversos números.
 
Ejemplo 2
 Recuerda
 1. El orden de los términos en las sumas y 
multiplicaciones puede cambiarse sin que 
afecte el resultado. Así, es lo mismo 
 5x que x(5); 12.50y que y(12.50);
 5x � 12.50 y que 12.50 y � 5x 
 2. Puedes usar cualquier letra como variable 
(a, m, n, s, t, v, z…) no necesariamente 
x, y.
 Verifica tu avance 
¿Por qué se requieren dos variables distintas 
en el modelo del ejemplo 2?
 
 Observaciones importantes
Los valores en el interior de la tabla están 
dados en pesos ($). Así, el valor 55 indica 
un monto de $55.00 y corresponde a 2 hela- 
dos de yogur y 2 de crema. Es el valor del 
modelo 5x � 12.50y para x � 2, y � 2.
 b) (x � 1) /5y Escribe la expresión
 � (4 � 1)/5(5) Sustituye x por 4 y y por 5
 � 5/25 Realiza operaciones y simplifica
 � 1/5 � 0.20 Valor de la expresión
 c) x2 � 4x � 5 Escribe la expresión
� � � � 102 � 4(10) � 5 Sustituye x por 10
� � � � 100 � 40 � 5 Realiza operaciones y simplifica
� � � � 135 Valor de la expresión
 Ejemplo 2 Álgebra en acción: Fuente de sodas
Trabajas en una fuente de sodas y vendes helados de yogur a $15.00, y de crema a 
$12.50.
 a) Escribe un modelo para calcular el precio de las ventas 
de ambos productos.
 b) ¿Cuánto te pagarán por 4 helados de yogur y 3 de 
crema?
 c) Haz una lista de cobros hasta un máximo de cinco hela-
dos de ambos tipos.
Solución
 a) Modelo verbal:
Número de 
helados 
de yogur
Precio del 
helado de 
yogur
Número 
de helados 
de crema
Precio del 
helado 
de crema
� �
Introduce variables:
x � Número de helados de yogur; y � Número de helados de crema
Escribe la expresión algebraica:
15x � 12.50y Modelo algebraico
 b) Calcula el valor de la expresión algebraica para x � 4, y � 3.
15x � 12.50y � 15(4) � 12.50(3) � 97.50. El pago será de $ 97.50.
 c) Halla el valor del modelo para cada combinación de valores de la tabla.
y Helados de crema
x 
 H
el
ad
o
s 
d
e 
y
o
g
u
r
0 1 2 3 4 5
0 0 12.50 25 37.50 50 62.50
1 15 27.50 40 52.50 65 77.50
2 30 42.50 55 67.50 80 92.50
3 45 57.50 70 82.50 95 107.50
4 60 72.50 85 97.50 110 122.50
5 75 87.50 100 112.50 125 137.50
BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos14
Ejemplo 3
 Fíjate en lo siguiente...
 1. Las fórmulas de las distintas ciencias son 
modelos ya hechos para ciertas situacio-
nes.
 2. d � vt significa: 
distancia � velocidad � tiempo
 3. Puedes hallar el valor de cual- 
quiera de estas variables conocien do el de 
las otras dos.
 Recuerda
 1. Horas Minutos
� 60
� 60
 4 min � (4 � 60) h � 4 
60
 h
1 h � 20 min � 1 h � 20 
60
 h � 
�
�
�
1 � 1 
3
�
�
�
 h � 4 
3
 h.
 2. Puedes multiplicar o dividir* ambos la-
dos de cualquier igualdad por un mismo 
número (*no cero) y la igualdad perma-
nece.
 Ampliando el conocimiento
 1. Los trenes de alta velocidad iniciaron con 
las lentas locomotoras de carbón y vapor 
que cambiaron después a trenes rápidos de 
diesel y derivaron en los actuales vehícu-
los aerodinámicos con tecnología eléctrica 
y levitación magnética.
 2. Los trenes eléctricos recientes, origina-
dos con el tren bala en Japón en la segun-
da mitad del siglo pasado, han alcanzado 
velocidades de hasta 300 kph.
 3. Los trenes de levitación magnética (como 
el Maglev-Transrapid que opera en China) 
se deslizan flotando de 1 a 10 cm sobre la 
vía, mediante un sistema de suspensión y 
propulsión electromagnética.
 4. El principio físico con que opera este tren 
es la repulsión entre polos magnéticos 
iguales, mediante electroimanes en el 
tren y en los muros laterales de la pista, 
que alternan su polaridad. 
 5. Al igual que los 
aviones revolucio-
naron el transporte 
en el siglo xx, se 
considera que los 
trenes de alta velo-
cidad serán el trans-
porte del siglo xxi.
 Ejemplo 3 Fórmulas como modelos matemáticos
Los trenes de alta velocidad, como el tren de levitación 
mag nética, han logrado desarrollar velocidades de hasta 
500 kiló metros por hora. Un tren convencional alcanza, a 
lo sumo, 180 km/h.
a) El tren de alta velocidad que une el aeropuerto de Pu-
dong con la ciudad de Shangai hace 8 minutos de reco-
rrido. ¿Qué distancia cubre el tren, si yendo a 450 km/h 
haría 4 minutos de recorrido?
b) ¿Cuánto tiempo tomaría el recorrido anterior en un tren 
convencional?
 c) ¿Qué velocidad promedio mantiene un tren europeo de alta velocidad que cubre en 
1 hora 20 minutos un trayecto de 400 km entre dos ciudades?
Solución
 a) d � v t Escribe el modelo
 d � 
�
�
�
450 
km
 
h
�
�
�
 
�
�
�
4
 
60
 h
�
�
�
 Sustituye v por 450 
km
 
h
 ; t por 
4
 
60
 h
 d � 30 km Simplifica
La distancia entre el aeropuerto y el centro de Shangai es de 30 km.
 b) Omitimos las unidades (sabiendo que son km, km/h y h).
 d � v t Escribe el modelo
 30 � 180 t Sustituye d por 30; v por 180
 0.17 � t Divide ambos lados por 180
Tardaría 0.17 horas, es decir, 0.17 � 60 minutos � 10 minutos.
 c) d � v t Escribe el modelo
 400 � v 
�
�
�
4
 
3
�
�
�
 Sustituye d por 400; t por 
4
 
3
 1,200 � 4v Multiplica ambos lados por 3
 300 � v Divide ambos lados por 4
La velocidad promedio de este tren de alta velocidad es de 300 km/h.
En los ejercicios 1 a 4 asocia cada expresión con su descripción.
8a 6 � x 6/a x � 8
 1. La suma de un número y 8 2. La diferencia de 6 y un número
 3. Un número multiplicado por 8 4. 6 dividido entre un número
En cada ejercicio del 5 al 10 escribe una expresión algebraica.
 5. El doble de un número 6. El triple de un número
 7. Un tercio de un número 8. La quinta parte de un número
 9. Tres veces un número 10. Un número entre 3
 Autoevaluación 1B
15Grupo Editorial Patria®
 Francisco Vieta
1540 – 1603
Abogado francés, es recordado por descifrar 
códigos secretos españoles durante la guerra 
sostenida entre Francia y España en el siglo 
xvi, y reconocidocomo el padre del álgebra 
moderna por introducir signos para las ope-
raciones y letras para representar números 
(variables). 
 Sugerencias para 
la autoevaluación 1B
 18. Reemplaza los valores dados. Simplifica 
el denominador y multiplica por este valor 
ambos lados de la igualdad. (G = juegos 
ganados, T = juegos jugados, C = carre-
ras anotadas y c = carreras permitidas.)
 19. Escribe el producto de n por dos. ¿Qué 
entero le sigue?
 20. Revisa al inicio de la sección las expresio- 
nes para las operaciones. ¿Qué produce 
el producto de un número por él mismo? 
 21. Usa una variable distinta para cada ve-
locidad. Relaciona los datos numéricos 
mediante restas, sumas o multiplicacio-
nes. Hay varias alternativas (p. ej., y � x � 
110).
En los ejercicios 11 a 14, asocia ambas columnas.
 11. x � 2x � 3x a) El cuadrado de la suma de dos números
 12. 4(x/3) b) La suma de un número con su doble y con su triple
 13. (x � y)2 c) La diferencia de los cuadrados de dos números
 14. x2 � y2 d) Cuatro veces la tercera parte de un número
En los ejercicios 15 a 17 evalúa la expresión para el valor dado.
 15. (x � 9)(x � 4); x � 4
 16. (5x3 � 1)/x2; x � 2
 17. x2 � 2xy � y2; x � 2, y � 2.5
 18. Juegos ganados en el beisbol Obtén el valor del modelo para la variable 
 indicada. G � 
TC 2
 
C 2 � c 2
; G � 25, C � 63, c � 51.
 19. Pares e impares Al multiplicar un entero por el número 2 se obtiene un nú-
mero par. El entero que sigue a un par es un número impar. Si n es un núme-
ro entero, escribe un modelo algebraico para números a) pares; b) impares; 
c) calcula seis valores numéricos para cada expresión.
 20. Área Escribe la expresión algebraica.
x − 1
π veces el radio 
por el radio
 21. Autos Escribe un modelo algebraico que indique la relación entre la velo-
cidad máxima promedio de un auto de carreras (350 km/h) y la de un auto 
ordinario (240 km/h).
 22. Patines Describe con un modelo verbal y otro algebraico lo siguiente: El 
costo de unos patines menos 20% de éste es igual a $825.
BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos16
Nivel Excelente (4) Bueno (3) Satisfactorio (2) Deficiente (1)
 
As
pe
ct
o 
a 
ev
al
ua
r
Presentación
Elabora el reporte a mano con buena 
caligrafía (o bien usando un procesador 
de texto con una impresión bien 
hecha), bien redactado y sin faltas de 
ortografía.
Elabora el reporte a mano con 
buena caligrafía (o bien usando 
un procesador de texto con una 
impresión bien hecha), redacción 
regular y sin faltas de ortografía.
Elabora el reporte a mano con 
regular caligrafía (o bien usando 
un procesador de texto con una 
impresión regular), redacción 
regular y pocas faltas de 
ortografía.
Elabora el reporte a mano con 
mala caligrafía, mal redactado y 
con muchas faltas de ortografía.
Desarrollo
Reporta el precio actual de las 
computadoras portátiles en su 
localidad.
Indica el promedio de duración de 
las computadoras portátiles y el 
costo anual de la inversión en dichos 
equipos.
Presenta todos los pasos para 
calcular el precio de la computadora 
personal con el aumento y la rebaja 
especificados para los tres casos 
indicados.
Reporta el precio actual de las 
computadoras portátiles en su 
localidad.
No indica el promedio de duración 
de las computadoras portátiles o 
el costo anual de la inversión en 
dichos equipos.
Presenta todos los pasos 
para calcular el precio de la 
computadora personal con el 
aumento y la rebaja especificados 
para los tres casos indicados.
Reporta el precio actual de las 
computadoras portátiles en su 
localidad.
No indica el promedio de duración 
de las computadoras portátiles ni 
el costo anual de la inversión en 
dichos equipos.
Omite algunos pasos para calcular 
el precio de la computadora 
personal con el aumento y la 
rebaja especificados para los tres 
casos indicados.
No reporta el precio actual de las 
computadoras portátiles en su 
localidad.
No indica el promedio de duración 
de las computadoras portátiles ni 
el costo anual de la inversión en 
dichos equipos.
Sólo presenta resultados del precio 
de la computadora sin dar ninguna 
justificación.
Dominio 
del tema
Maneja correctamente porcentajes en 
forma decimal y de fracción común.
Usa correctamente variables en la 
elaboración de modelos algebraicos y 
aplica éstos para predecir resultados.
Maneja correctamente porcentajes 
en forma decimal y de fracción 
común.
Usa correctamente variables 
en la elaboración de modelos 
algebraicos pero no sabe aplicar 
éstos para predecir resultados.
Maneja correctamente porcentajes 
en forma decimal y de fracción 
común.
No usa correctamente variables 
en la elaboración de modelos 
algebraicos, pero sí sabe aplicar 
éstos para predecir resultados.
No maneja correctamente 
porcentajes en forma decimal ni de 
fracción común.
No usa correctamente variables 
en la elaboración de modelos 
algebraicos y no sabe aplicar éstos 
para predecir resultados.
Iniciativa
Determina el modelo algebraico para 
los casos de un aumento y descuento 
de 25% y de a% justificando todos los 
pasos de su procedimiento.
Determina el modelo algebraico 
para los casos de un aumento y 
descuento de 25% y de a% pero 
no justifica algunos pasos de su 
procedimiento.
Determina el modelo algebraico 
para los casos de un aumento y 
descuento de 25% y de a% pero 
no justifica su procedimiento.
No determina el modelo algebraico 
para los casos de un aumento y 
descuento de 25% y de a%.
Resultados y 
conclusiones
Determina correctamente el precio de 
la computadora con el aumento y el 
descuento especificados para las tres 
situaciones indicadas.
Concluye correctamente si es mejor 
comprar la computadora antes de que 
aumente de precio o cuando aplique 
la rebaja.
Determina correctamente el precio 
de la computadora con el aumento 
y el descuento especificados 
para dos de las tres situaciones 
indicadas.
Concluye correctamente si es 
mejor comprar la computadora 
antes de que aumente de precio o 
cuando aplique la rebaja.
Determina correctamente el precio 
de la computadora con el aumento 
y el descuento especificados 
sólo para una de las situaciones 
indicadas.
Concluye correctamente si es 
mejor comprar la computadora 
antes de que aumente de precio o 
cuando aplique la rebaja.
No determina correctamente 
el precio de la computadora 
con el aumento y el descuento 
especificados para las tres 
situaciones indicadas.
No concluye correctamente si es 
mejor comprar la computadora 
antes de que aumente de precio o 
cuando aplique la rebaja.
 Rúbrica
Acerca de las rúbricas de evaluación
Las rúbricas son instrumentos que describen las características que deben tener los elementos que se considerarán para la evaluación.
Cuando son de carácter general se denominan “holísticas” y cuando son específicas se llaman “analíticas”.
Las rúbricas que acompañan cada situación didáctica del libro son holísticas y describen de manera general las actividades que se realizarán 
para efectos de evaluación.
Las rúbricas que aquí se presentan, al final de cada bloque, son analíticas e ilustran la forma como pueden evaluarse aspectos particulares por 
niveles de desempeño de los alumnos.
Rúbrica para evaluar el reporte de la situación didáctica “Tu computadora personal” del Bloque 1B.
Nombre del alumno:
 Instrumentos de evaluación
17Grupo Editorial Patria®
Lista de cotejo para el reporte de la situación didáctica “Cambios climáticos” del Bloque 1A.
 Dominio del tema SÍ NO Observaciones
 9. Sabe obtener equivalencias entre múltiplos y submúltiplos de medidas de capacidad, peso y volumen 
en el Sistema Métrico Decimal.
 10. Sabe calcular la altura de un prisma sabiendo su volumen y su área.
 11. Sabe calcular el peso de un volumen dado de agua y viceversa.
 Resultados y conclusiones SÍ NO Observaciones
 12. Calculó correctamente la altura en cm que alcanzaría el agua por cada m2 de superficie.
 13. Comparó correctamente la altura calculada de la capa de agua con la altura del MonteEverest.
 14. Concluyó correctamente si es posible que ocurra una catástrofe como el Diluvio Universal.
 Desarrollo SÍ NO Observaciones
 5. Presenta todos los pasos requeridos para determinar las cantidades pedidas siguiendo una secuencia 
coherente y ordenada.
 6. Elaboró un cuadro de equivalencias en el sistema métrico decimal, para medidas de capacidad, peso 
y volumen.
 Iniciativa SÍ NO Observaciones
 7. Investiga sobre el Diluvio Universal y otras catástrofes en la antigüedad causadas por inundaciones 
pluviales.
 8. Confirma en libros de Física o por Internet el contenido de agua de una columna de 1 m2 de aire 
atmosférico e indica la fuente.
Comentarios generales: __________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
Nombre del estudiante: _______________________________________________ Fecha: ____________________
 Presentación SÍ NO Observaciones
 1. Cuenta con una carátula que incluye al menos el nombre del trabajo que se realiza, el nombre de la 
materia, la fecha de entrega, el nombre del alumno y su matrícula.
 
 2. La redacción es buena o por lo menos satisfactoria.
 3. Tiene pocos o ningún error de ortografía.
 4. Elaboró el trabajo con un procesador de texto como Word, o bien, lo hizo a mano con buena 
caligrafía o por lo menos entendible.
 Lista de cotejo
BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos18
No. Acciones a evaluar
REGISTRO DE 
CUMPLIMIENTO
Observaciones
SÍ NO NA*
1 Calcula cuántas calorías se pierden por minuto al caminar.
2 Calcula cuántas calorías se pierden por minuto al andar en bicicleta.
3 Obtiene un modelo algebraico para determinar el número de calorías quemadas al caminar y andar en bicicleta. 
4 Calcula correctamente el número de calorías quemadas al caminar por una hora y después andar media hora en bicicleta.
5 Elabora una tabla con diversas combinaciones de ambos ejercicios (caminar y andar en bicicleta) que sumen una hora y media en intervalos de quince minutos. 
6 Describe las regularidades que observas en renglones y columnas de la tabla.
7 Calcula correctamente el número de calorías quemadas para 15 minutos de caminata y 105 minutos de andar en bicicleta.
*No aplica. 
Nombre de la materia: Grado y grupo:
Plantel:
Profesor: Clave:
Alumno: Fecha de aplicación:
Desempeño a evaluar: Resolución de problemas aritméticos y algebraicos básicos.
INSTRUCCIONES: Observe si la ejecución de las actividades que se enuncian las realiza el capacitando que se está evaluando y marcar con 
una “X” el cumplimiento o no en la columna correspondiente; asimismo, es importante anotar las observaciones pertinentes.
 Guía de observación para el proyecto de trabajo “Calorías y ejercicio” del Bloque 1B
19Grupo Editorial Patria®
Propósito del portafolio de evidencias Semestre
Observa los resultados del proceso de formación a lo largo del semestre, así como el cambio de los procesos de pensa-
miento sobre ti mismo y lo que te rodea, a partir del conocimiento de los distintos temas de estudio, en un ambiente que 
te permita el uso óptimo de la información recopilada.
Números de 
bloques del libro
Asignatura Nombre del estudiante:
Criterios de reflexión sobre las evidencias Comentarios del estudiante:
¿Cuáles fueron los motivos para seleccionar las evidencias presentadas?
¿Qué desempeños demuestran las evidencias integradas en este portafolio?
¿Qué competencias se desarrollan con las evidencias seleccionadas?
¿Las evidencias seleccionadas cumplieron las metas establecidas en el curso?
¿Qué mejoras existen entre las primeras evidencias y las últimas?
Monitoreo de evidencias
Comentarios del profesor/a:
Núm. Título Fecha de elaboración
1
2
3
4
5
Etapas para realizar tu portafolio de evidencias
 1. Comenta con tu profesor(a) el propósito de tu portafolio y su re-
lación con los objetos de aprendizaje, competencias a desarro-
llar, desempeños esperados, entre otros elementos; acuerden el 
periodo de compilación de los productos (por bloque, bimestre, 
semestre).
 2. Haz un registro de los criterios que debes considerar al seleccio-
nar tus evidencias de aprendizaje.
 3. Comentar con tu profesor(a) todas las dudas que tengas.
Instrucciones para seleccionar las evidencias
 1. Realiza todas las evidencias y así podrás incluir las que elaboraste 
de manera escrita, audiovisual, artística, entre otras.
 2. Selecciona aquellas que den evidencia de tu aprendizaje, compe-
tencias y desempeños desarrollados, y que te posibiliten reflexio-
nar sobre ello.
 3. Todas las evidencias seleccionadas deben cumplir con el propósi-
to del portafolio en cantidad, calidad y orden de presentación.
El portafolio de evidencias es un método de evaluación que consiste en:
 Recopilar los diversos productos que realizaste durante cada bloque (investigaciones, resúmenes, ensayos, síntesis, cuadros comparati-
vos, cuadros sinópticos, el reporte de prácticas de laboratorio, talleres, líneas de tiempo, entre otros), que fueron resultado de tu proceso 
de aprendizaje en este curso.
 No vas a integrar todos los instrumentos o trabajos que realizaste; más bien, se van a integrar aquellos que tu profesor(a), considere son 
los más significativos en el proceso de aprendizaje; 
 Te permiten reflexionar y darte cuenta de cómo fue tu desempeño durante el desarrollo de las actividades de aprendizaje realizadas.
 Portafolio de evidencias
BLOQUE 1 Resuelves problemas aritméticos y algebraicos20
 Estructura
 1. Cuenta con una carátula con datos generales del estudiante.
 2. Cuenta con un apartado de introducción.
 3. Cuenta con una sección de conclusión.
 4. Cuenta con un apartado que señala las fuentes de referencia utilizadas.
 Estructura interna
 5. Parte de un ejemplo concreto y lo desarrolla hasta generalizarlo.
 6. Parte de una situación general y la desarrolla hasta concretizarla en una situación específica.
 7. Los argumentos a lo largo del documento se presentan de manera lógica y son coherentes.
 Contenido
 8. La información presentada se desarrolla alrededor de la temática, sin incluir información irrelevante.
 9. La información se fundamenta con varias fuentes de consulta citadas en el documento.
 10. Las fuentes de consulta se contrastan para apoyar los argumentos expresados en el documento.
 11. Jerarquiza la información obtenida, destaca aquella que considera más importante.
 12. Hace uso de imágenes o gráficos de apoyo, sin abusar del tamaño de los mismos.
 Aportaciones propias
 13. Señala en las conclusiones lo aprendido a través de su investigación y su aplicación a su vida cotidiana.
 14. Las conclusiones desarrolladas son de autoría propia.
 15. Elabora organizadores gráficos para representar de manera sintética grandes cantidades de información.
 Interculturalidad
 16. Las opiniones emitidas en el documento promueven el respeto a la diversidad.
 Total
Con base en el documento Lineamientos de Evaluación del Aprendizaje (DGB, 2011), el objetivo de las listas de cotejo es determinar la presencia 
de un desempeño, por lo tanto, es necesario identificar las categorías a evaluar y los desempeños que conforman cada una de ellas. 
Instrucciones: Marcar con una X, en cada espacio en donde se presente el atributo.
 Tabla o lista de cotejo
21Grupo Editorial Patria®
 Contenido
 1. Desarrolla los puntos más importantes del tema. 0 1 2 3
 2. Utiliza los conceptos y argumentos más importantes con precisión. 0 1 2 3
 3. La información es concisa. 0 1 2 3
 Coherencia y organización
 4. Relaciona los conceptos o argumentos. 0 1 2 3
 5. Presenta transiciones claras entre ideas. 0 1 2 3
 6. Presenta una introducción y conclusión. 0 1 2 3
 Aportaciones propias
 7. Utiliza ejemplos que enriquecen y clarifican el tema. 0 1 2 3
 8. Incluye material de elaboración propia (cuadros, gráficas, ejemplos) y se apoya en ellos. 0 1 2 3Habilidades expositivas
 12. Articulación clara y el volumen de voz permite ser escuchado por todo el grupo. 0 1 2 3
 13. Muestra constante contacto visual. 0 1 2 3
 14. Respeta el tiempo asignado con un margen de variación de más o menos dos minutos. 0 1 2 3
 Total
 Puntaje total
 Material didáctico
 9. El material didáctico incluye apoyos para presentar la información más importante del tema. 0 1 2 3
 10. La información la presenta sin saturación, con fondo y tamaño de letra idóneos para ser consultada por la audiencia. 0 1 2 3
 11. Se apoya en diversos materiales. 0 1 2 3
La escala de clasificación sirve para identificar la presencia de determinado atributo y la frecuencia que presenta. (Lineamientos de evaluación 
del Aprendizaje. DGB, 2011).
Este instrumento puede evaluar actividades de aprendizaje, ejercicios, talleres, prácticas de laboratorio, cualquier tipo de exposición, podrá ser 
adaptado a las necesidades específicas de cada tema.
Instrucciones: Indica con qué frecuencia se presentan los siguientes atributos durante la dinámica a realizar. Encierra en un círculo el número 
que corresponda si: 0 no se presenta el atributo; 1 se presenta poco el atributo; 2 generalmente se presenta el atributo; 3 siempre pre-
senta el atributo.
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�
Utilizas magnitudes 
y números reales
Competencias a desarrollar
n Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de 
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para 
la comprensión y análisis de tasas, razones, proporciones y variaciones, 
situados en situaciones reales.
n Formula y resuelve problemas matemáticos relacionados con los números 
reales, aplicando diferentes enfoques.
n Interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos 
y los contrasta con situaciones reales, tales como problemas sobre la 
discriminación en México.
n Analiza las relaciones entre los diferentes tipos de números.
n Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos 
matemáticos y científicos relacionados con la representación y operación de 
los números reales.
n Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y 
habilidades que emplea al trabajar en equipo para la elaboración de 
materiales didácticos en donde identifican los números reales.
2B LO Q U E
Objetos de 
aprendizaje
Números reales, 
representación y 
operaciones
Tasas
Razones
Proporciones
Variaciones
6 horas
Desempeños del estudiante 
al concluir el bloque
n Ubica en la recta numérica números reales y sus respectivos simétricos.
n Combina cálculos de porcentajes, descuentos, intereses, capitales, 
ganancias, pérdidas, ingresos, amortizaciones, utilizando distintas 
representaciones, operaciones y propiedades de números reales.
n Utiliza razones, tasas, proporciones y variaciones, modelos de variación 
proporcional directa e inversa.
n Construye modelos aritméticos, algebraicos o gráficos aplicando las 
propiedades de los números reales.
 ¿Qué sabes hacer ahora?
Un número real no es otra cosa que un cociente de magnitudes.
A. Kolmogorov
Un mito del antiguo Egipto refiere una lucha entre Horus y Seth, ambos hijos de Osiris e Isis, 
cuya consecuencia es que Toth, dios de la ciencia y de la magia, le restituye a Horus un ojo 
perdido en el combate.
El Ojo de Horus es aún hoy un amuleto en el mundo musulmán y, en la antigüedad, sirvió 
también como medio de numeración en el que cada parte del ojo constituía una fracción 
de heqat (4.8 litros), medida de capacidad empleada para el comercio de volúmenes de 
cereales como el trigo y la cebada.
1
 
2
1
 
16
1
 
8
1
8
1
 
4
1
4
1
 
64
1
 
64
1
 
32
1
32
BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales
A2BLOQUE
24
 Conocimientos
Valor absoluto
La distancia de un número al origen, es su 
valor absoluto.
 �4 �2.5 0 2.5 4
� ��4� � 4 �0� � 0 �4� � 4
� ��2.5� � 2.5 �2.5� � 2.5
Números con signo
 Sumas o restas
 3 � 5 � 8
 
Suma valores absolutos
y
pon signo común
� �3 �5 � �8
 Recuerda: �3 �5 � �3 � (�5)
 Multiplicaciones o divisiones
 4(5) � 20
 (�4) (�5) � 20
 
Signos iguales:
producto positivo
Signos distintos:
producto negativo
 4 (�5) � �20
 (�4) (5) � �20
 Consulta
En libros de álgebra y otras fuentes:
 Los números reales
 Adición y sustracción de números reales
 Multiplicación y división de números 
reales
En Internet:
www.aaamatematicas.com/equ.htm
 Situación didáctica Husos horarios
Existen veinticuatro zonas horarias (husos) en el mundo, que se numeran a partir 
del Meridiano de Greenwich (0). De una a otra, difieren en una hora.
Lí
ne
a 
in
te
rn
ac
io
na
l d
e 
ca
m
bi
o 
de
 fe
ch
a
9:30
Ecuador
Trópico de Cáncer
Trópico de Capricornio
Océano Pacífico
Océano
Atlántico
Océano Índico
0°
N
S
EO
La tabla muestra el número de huso para algunos países o regiones.
Nuestro país posee tres zonas horarias.
ESTADOS UNIDOS DE AMÉRICA
Golfo
de
MéxicoOCÉANO PACÍFICO
N
S
EO
Centro
Montaña
Pacífico
 
País
Hora 
local
País
Hora 
local
Perú �5 México �6
Italia 1 EUA �8
India 5 Japón 9
Brasil �3 Australia 10
 ¿Cuántas horas de diferencia hay entre México y Greenwich? ¿Y entre México y 
Japón? ¿Y entre Perú y EUA?
 ¿Cuál es la hora en nuestro país, cuando en Londres son las 10:00 a.m.? ¿Y en los 
demás países que aparecen en la tabla?
 ¿Qué hora es en Los Mochis y en Mérida, cuando en Ensenada son las 9:45 a.m.?
 Sin mirar el mapa de husos horarios, ¿cuál es el huso de Alaska, si el número de 
huso de Perú es la mitad de aquél? ¿Qué hora es en Alaska, cuando en Perú son 
las 8:12 p.m.?
 Análisis de la situación
 1. Los husos horarios son 24 divisiones en forma de gajo o huso de hilar, centrados 
en meridianos de 15° de longitud.
 2. El huso horario centrado en el meridiano de Greenwich, en Londres, es el refe-
rente para el Tiempo Universal Coordinado (UTC). Se suma 1 hora de un huso al 
siguiente en la dirección en que gira la Tierra (Oeste-Este) y se resta en la direc-
ción contraria.
 3. ¿Qué signo tienen los husos horarios de países al Este y al Oeste de Greenwich? 
¿Qué indica el número del huso horario de un lugar?
25Grupo Editorial Patria®
 Rúbrica de evaluación
 1. Elabora un reporte sobre el desarrollo de 
la secuencia didáctica y acompaña cada 
respuesta con las operaciones realizadas 
con números reales.
 2. Explica por qué se suman o restan horas 
hacia el Este o el Oeste; el significado de 
los signos en los husos horarios y el del 
valor absoluto de un número.
 3. Ejemplifica cómo emplear los husos ho-
rarios para determinar la hora local de un 
lugar a partir de la de otro.
 4. En la evaluación sumativa debes mostrar 
tu dominio al operar números con signo 
y fracciones comunes y/o decimales.
País Capital Mínima Máxima
Austria Viena �4 25
España Madrid 2 31
Estonia Tallin �10 20
Francia París 0.8 25
Grecia Atenas 6 33
Noruega Oslo �7.3 21
Polonia Varsovia �6 24.5
Reino 
Unido
Londres 2 22
 Secuencia didáctica
 1. El huso horario del Centro de México, �6, indica que la hora en esa zona del país 
es 6 horas menos que la de Greenwich. Los husos horarios de la Montaña y del 
Pacífico son ____________ y ____________ e indican que están ____________ y 
____________ horas antes que la hora de Greenwich.
 2. En términos absolutos, entre México y Japón existen ��6 ��9� � ��15� � _______ 
horas de diferencia. Contadas desde cada país, de México a Japón hay 9 � (�6) ��
__________ horas de diferencia, y de Japón a México (�6) ��9 � _________ horas 
de diferencia. Entre Perú y EUA existen ��5 ��( )� � � � � _______ horas 
de diferencia.
 3. Siendo las 10 a.m. en Londres, en México (hora central) son las 10 � (�6) � 4 a.m.; 
en Perú:10 � ( ) __________ � __________ a.m.; en Italia: 10 � ( ) ��________ 
a.m.; en Brasil: 10 � ( ) � _________ a.m.; en EUA: 10 � ( ) � _________ a.m.; 
en Japón: 10 � ( ) � __________ horas; en Australia: __________ horas.
 4. Ensenada, BajaCalifornia, zona Pacífico: 9:45 horas; Los Mochis, Sinaloa, zona 
de la Montaña: 9:45 (�/�) __________ (1;2) ��__________ horas; Mérida, Yuca-
tán, zona __________ , 9:45 (�/�) __________ (1;2) � __________ horas.
 5. Usos horarios: Perú: ( ); Alaska: 2 � ( ) ��__________ . La diferencia de 
Perú a Alaska es ( ) � ( ) � horas. Siendo las 8:12 p.m. en Perú, en 
Alaska serán las 8:12 � � __________ (p.m./a.m.).
 Proyecto de trabajo
 1. Hora local de arribo Saliste a las 7:35 a.m., en avión, de Tijuana a la ciudad de 
Campeche. ¿Cuál fue la hora local de arribo a esta ciudad, si tu viaje registró los 
tiempos mostrados en la tabla?
Tiempo de vuelo 
Tijuana-México
Espera en el aeropuerto 
de la ciudad de México
Tiempo de vuelo 
México-Campeche
1 
3
 
4
 hora 20 minutos 1 
1
 
4
 hora
 2. Temperaturas en Europa La tabla muestra las temperaturas (°C) mínima (mes 
de enero) y máxima (mes de julio) en las capitales de algunos países europeos.
 a) ¿Cuál país es más frío?
 b) ¿Hace más frío en Austria que en Polonia?
 c) Representa las temperaturas mínimas de menor a mayor en una gráfica de 
barras y en una recta numérica
 d) ¿Cuál es la diferencia entre las temperaturas bajo cero?
 e) ¿Cuánto difieren las temperaturas extremas en cada país?
BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales26
Segmento
informativo 2A
 Fíjate en lo siguiente...
 1. Los números reales se pueden describir 
como:
 a) Todos los números con signo (enteros 
o con fracciones).
 b) Los números racionales e irracio-
nales.
 2. Es posible distinguir un racional de un 
irracional mediante su escritura decimal:
Un número
Racional: tiene fracción decimal periódica
125 � 1.250 � 1.249, 4 � 4.0 � 3.9
Irracional: su fracción es no periódica
� 2 � 1.41421..., π � 3.14159...
 Verifica tu avance 
Dos números simétricos: ¿Poseen signos dis-
tintos? ¿Tienen igual valor absoluto?
 
 Observaciones importantes
En la recta numérica:
 1. El punto es la gráfica del número, y éste 
es la coordenada del punto.
 2. Punto y número se usan como sinónimos.
 3. Graficar el número es ubicar el punto.
 4. Los números se ordenan como sigue:
Todo punto a la derecha de otro representa 
un número mayor (	).
−3 −2 −1 0 1 32
−1 es mayor que −3
−1 > −3
2 es mayor que −1
2 > −1
 Verifica tu avance 
¿Por qué todo número positivo es mayor que 
cualquier número negativo?
 
 Los números reales
Los números que se utilizan en álgebra son los números reales. Éstos son el cero y 
todos los números positivos y negativos.
�2, 7, 1.25, 0.16, � 2 , ��π � 3.14159...
Los números reales pueden dibujarse como puntos sobre una recta llamada recta 
numérica. Los puntos representan números negativos si están a la izquierda del 
punto marcado 0 (origen), y positivos si están a su derecha.
Mediante divisiones iguales se sitúan los enteros y entre éstos, las fracciones
� �2 �1 3 ��0.5 4 ��0.3
 �5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5
Los números simétricos:
tienen igual distancia al origen. �3 y 3, �� 2 y � 2 , �0.4 y 0.4
El valor absoluto ���
del número es su distancia al origen. �3� ��3, ��3��� 3, �0� � 0
Los números reales están formados por dos tipos de números:
Números racionales
Números como 3.5 � 7 
2
 , �2 ��� 8 
4
 , 5 � 5 
1
 , 
que se escriben como razón de dos enteros.
Números irracionales
Números como � 2 , �� 5 , 1 
� 2 
 , 
que no pueden escribirse como razón de dos enteros.
Los racionales contienen a los naturales y a los enteros y, por supuesto, a todas las 
fracciones comunes.
 Ejemplo 1 Ordenando números reales
Grafica los siguientes números y determina el orden entre ellos.
 a) 1, � 2, 0, ��6 b) � � 2 , 1 3 
4
 , � 2.5, 4 
5
Solución
 a) 
−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1
 1 	 0 	 � 2 	 � 6
 b) 
�2.5
−3 −2 −1 0 1 2
−√
_
2 = −1.4 
3 3
1– = 1 + –
 
4 4
4
– = 0.8
 5
 1 
3
 
4
 	 4 
5
 	 �� 2 	 � 2.5
Inicial
27Grupo Editorial Patria®
Ejemplo 1b)
 Observaciones importantes
 1. Mediante divisiones de la unidad (de 10 en 
10 en el sistema decimal —sucesivas—, u 
otras divisiones: cuartos, tercios, etc.) 
ubicas racionales que consideras como 
un irracional (�1.4, �1.41, �1.414 son 
aproximaciones a �� 2 ).
 2. A veces las fracciones decimales sólo 
aproximan fracciones comunes
 
�
�
1
 
3
 
 0.3
�
�
�
 .
Simétricos
El simétrico de un número se obtiene 
cambiándole el signo al número.
 Verifica tu avance 
Escribe una lista de cinco enteros sucesivos 
a partir del cero, y sus simétricos. Ordénala.
 
Ejemplo 4
 Fíjate en lo siguiente...
Todo número negativo está a la izquierda del 
0, es decir, es menor que 0: x � 0.
Un número es mayor que otro si al restarle 
este último se obtiene un número positivo:
7 	 3 porque 7 � 3 	 0.
 Verifica tu avance 
¿Cuál es el simétrico de x?, ¿y el de �x?
Evalúa cada una de estas expresiones para 
valores positivos y negativos de la variable. 
¿Qué observas sobre el signo � ?
¿Cuál es el simétrico del 0? ¿Por qué?
 
 Observaciones importantes
 1. Un signo � delante de una variable no in-
dica necesariamente un valor negativo. Si 
x � � 5 entonces su simétrico �x � 5.
 2. Para indicar que una variable x represen-
ta un número positivo, o uno negativo, lo 
correcto es ubicarlo respecto a 0:
x 	 0 ( positivo); x � 0 (negativo)
 Ejemplo 2 Simétricos y distancias al origen
Encontrar el simétrico de cada número y su distancia al origen.
 a) � 4 b) 2.5 c) ��22 
7
Solución
Simétrico Distancia al origen
 a) 4; � � 4� � 4
 b) � 2.5; � 2.5� � 2.5
 c) 
22
 
7
 ; ���22 7 � ��
22
 
7
 � 3.1 
3.1�3.1
42.5−2.5 0−4
 Ejemplo 3 Identificando números reales
Determinar cuáles números son racionales y cuáles irracionales.
 a) � 25 b) ��4.9 
3
 c) � 5 
Solución
 a) Racional b) Racional c) Irracional
� � � 25 � 5 ��4.9 
3
 � ��
49
 
30
 � 5 � 2.23607…
 Ejemplo 4 Modelando con desigualdades y variables
Decir 4 es mayor que 3, equivale a decir 3 es menor que 4. Usando variables y los 
signos de desigualdad mayor que ( 	 ) y menor que (� ), indica cuándo:
 a) Un número es negativo.
 b) Un número es positivo.
 c) Un número es mayor que otro.
Solución
 a) x � 0 b) x 	 0 c) x 	 y. También: x � y 	 0.
 Ejemplo 5 Temperaturas en el país
Una de las regiones más frías del país se localiza en el estado de Chihuahua, en el 
municipio de Temósachic donde la temperatura llega a alcanzar en invierno medicio-
nes bajo cero, como muestra el registro de normales climatológicas.
 a) Ordénalas de menor a mayor.
 b) ¿Cuál fue la menor 
temperatura registrada?
 c) ¿Cuál la mayor?
BLOQUE 2 Utilizas magnitudes y números reales28
Periodo: 1961-1990 (ºC)
Ene Fbo Mar Abr May Jun
�10.2 ��9.8 ��6.4 ��3.8 ��0.5 ��0.5
Jul Ago Sep Oct Nov Dic 
10.7 9.6 6.6 ��2.3 ��6.9 ��9.1
Solución
 a) �10.2 � �9.8 � �9.1 � �6.9 � �6.4 � �3.8 � �2.3 � �0.5 � 6.6 � 9.6 � 10.7.
 b) La temperatura promedio más baja en 30 años fue �10.2 °C, en enero.
 c) En los meses de julio se obtuvo la temperatura promedio más alta: 10.7 °C.
 Ejemplo 6 Viaje en globo aerostático
Durante un viaje promocional de media hora en globo aerostático, el piloto les indica 
cuánto suben o descienden para encontrar las corrientes apropiadas de aire. La gráfi-
ca muestra tales fluctuaciones.
Tiempo (minutos)
0 4 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
x
10 11 13 20 22 24 25 2719.5 30
Al
tu
ra
 (
m
et
ro
s)
 1
 
 
 1
00
4
9
6.5
7.25
4.5 4.5
7.5
7
5.5 5.5
3
 a) Describe la variación vertical en cada intervalo de ascenso o descenso del globo, 
distinguiendo la dirección.
 b) Ordena los datos por tipo de movimiento vertical. En las fluctuaciones, ¿cuál 
ascenso fue mayor? ¿Cuál el mayor descenso?
 c) En todo el viaje, ¿qué hiciste más: subir o bajar?
Solución
 a) Ascenso: 400, 600, 75, 300. Descenso: �100, ��250, ��275, �50, �150, ��550.
 b) 75 � 300 � 400 � 600; �550 � � 275 � ��250 � �150 � �100 ���50. 
Mayor ascenso: �600� metros. Mayor descenso: ��550� � 550 metros.
 c) Descendiste más veces, pero subiste en total 1,375