fisica ingenierias (1)

Vista previa del material en texto

AUTORIDADES
Dr. ROHEL SÁNCHEZ SÁNCHEZ
Rector de la Universidad Nacional de San Agustín
Dra. ANA MARÍA GUTIÉRREZ VALDIVIA
Vicerrectora Académica
Dr. HORACIO BARREDA TAMAYO
Vicerrector de Investigación
Mag. JOSÉ PAZ MACHUCA
Director CEPRUNSA
Dra. ROXANA ALEMÁN DELGADO
Coordinadora Administrativa
Lic. EMILIO GUERRA CÁCERES
Coordinadora Académico
Dra. MERCEDES NÚÑEZ ZEVALLOS
COMITE DE APOYO CEPRUNSA
Mag. FRESIA MANRIQUE TOVAR
Lic. RONALD CUBA CARPIO 
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
1
1. RECONOCEMOS EL LENGUAJE TÉCNICO Y BÁSICO DE LA FÍSICA
MAGNITUDES FÍSICAS 
 Magnitud: Es todo aquello susceptible de ser medido.
Medir 
Es comparar una magnitud con otra de su misma especie (de la misma 
unidad). 
Clases de magnitudes 
Por su origen 
a) Magnitudes fundamentales
Son las que se eligen como base de un sistema de unidades.
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO DIMENSIÓN 
1 Longitud. 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑚 𝐿 
2 Masa. 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜 𝑘𝑔 𝑀 
3 Tiempo 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑠 𝑇 
4 
Temperatura 
termodinámica. 
Kelvin 𝐾 𝜃 
5 
Intensidad de 
corriente 
eléctrica. 
𝐴𝑚𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜 𝐴 𝐼 
6 
Intensidad 
luminosa 
𝑐𝑎𝑛𝑑𝑒𝑙𝑎 𝑐𝑑 𝐽 
7 
Cantidad de 
sustancia 
𝑚𝑜𝑙 𝑚𝑜𝑙 𝑁 
b) Magnitudes derivadas
Son las que se expresan en función de las magnitudes fundamentales.
Ejemplos: Velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, presión, etc.
Magnitudes auxiliares o complementarias 
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO 
1 Ángulo plano 𝑟𝑎𝑑𝑖á𝑛 𝑟𝑎𝑑 
2 Ángulo sólido 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑒𝑜𝑟𝑎𝑑𝑖á𝑛 𝑠𝑟 
Múltiplos y submúltiplos de las magnitudes fundamentales 
Factor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 
Prefijo 𝑌𝑜𝑡𝑡𝑎 𝑍𝑒𝑡𝑡𝑎 𝐸𝑥𝑎 𝑃𝑒𝑡𝑎 𝑇𝑒𝑟𝑎 𝐺𝑖𝑔𝑎 𝑀𝑒𝑔𝑎 𝑘𝑖𝑙𝑜 ℎ𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑐𝑎 
Símb. 𝑌 𝑍 𝐸 𝑃 𝑇 𝐺 𝑀 𝑘 ℎ 𝑑𝑎 
Factor 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 10−15 10−18 10−21 10−24 
Prefijo 𝑑𝑒𝑐𝑖 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖 𝑚𝑖𝑙𝑖 𝑚𝑖𝑐𝑟𝑜 𝑛𝑎𝑛𝑜 𝑝𝑖𝑐𝑜 𝑓𝑒𝑚𝑡𝑜 𝑎𝑡𝑡𝑜 𝑧𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑦𝑜𝑐𝑡𝑜 
Símb. 𝑑 𝑐 𝑚 𝜇 𝜂 𝑝 𝑓 𝑎 𝑧 𝑦 
Por su naturaleza 
a) Magnitudes escalares
Son las que quedan perfectamente definidas por un valor numérico y su
unidad.
Ejemplos: Masa, energía, temperatura, densidad, carga eléctrica, tiempo,
etc.
b) Magnitudes vectoriales
Son las que quedan definidas por un valor numérico, unidad y dirección.
Ejemplos: Velocidad, aceleración fuerza, campo eléctrico, campo
magnético, etc.
c) Magnitudes tensoriales
Son las que se definen con un mayor número de condiciones (para las que
el carácter escalar o vectorial es insuficiente).
Ejemplos: Presión, momento angular, etc.
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
2
ANÁLISIS VECTORIAL 
Operaciones vectoriales 
Métodos gráficos 
a) M. del triángulo: Posibilita hallar la
resultante de dos vectores. Sean los
vectores �⃗� y �⃗⃗�:
b) M. del paralelogramo:
Posibilita hallar la
resultante de dos vectores.
Sean los vectores �⃗� y �⃗⃗�:
c) M. del polígono: 
Posibilita hallar la 
resultante de “n” 
vectores. Sean los 
vectores �⃗�, �⃗⃗� y 𝑐:
Observación: Si el 
polígono de vectores 
es cerrado, la 
resultante es igual a 
cero. Sean los 
vectores �⃗�, �⃗⃗�, 𝑐 y 𝑑:
 Métodos analíticos 
a) M. del triángulo: Posibilita relacionar los módulos de los vectores que
forman un triángulo vectorial, a través de la:
 LEY DE SENOS:
 LEY DE COSENOS:
𝑎
sen𝜃
=
𝑏
sen 𝛽
=
𝑐
sen 𝛼
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐 cos𝜃 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐 cos 𝛽
𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos𝛼
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
3
b) M. del paralelogramo: Utilizado para hallar la resultante o diferencia de
dos vectores que forman un ángulo entre sí. Sean los vectores �⃗� y �⃗⃗�:
 VECTOR SUMA. - El módulo de la
resultante está dado por:
 VECTOR DIFERENCIA. - El módulo de la 
diferencia está dado por:
Casos especiales: 
 Si 𝛼 = 0° ⇒ 𝑅𝑚á𝑥 = 𝑎 + 𝑏, 𝑹𝒎á𝒙: Resultante máxima.
 Si 𝛼 = 180° ⇒ 𝑅𝑚í𝑛 = 𝑎 − 𝑏, 𝑹𝒎í𝒏: Resultante mínima.
 Si 𝑎 = 𝑛𝐴 ∧ 𝑏 = 𝑛𝐵 ⇒ 𝑅 = 𝑛√𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵 cos𝛼
 Si 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝛼 = 60° ⇒ 𝑅 = 𝑎√3
 Si 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝛼 = 90° ⇒ 𝑅 = 𝑎√2
 Si 𝑎 = 𝑏 ∧ 𝛼 = 120° ⇒ 𝑅 = 𝑎
 Si 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑅 = 2𝑎 cos (
𝛼
2
) 
 Si 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝐷 = 2𝑎 sen (
𝛼
2
) 
Observación: 𝑅𝑚í𝑛 ≤ 𝑅 ≤ 𝑅𝑚á𝑥 
c) M. de descomposición vectorial: Consiste en hallar los vectores
sumandos (componentes) del vector dado. Previamente veamos lo
concerniente a:
VECTOR UNITARIO (Versor). – Es aquél cuyo módulo es la unidad, está
dado por:
Obsérvese que: 𝑎 = |�⃗�| = 1 y �⃗� es un vector no nulo. 
VECTORES UNITARIOS PRINCIPALES: 
En ℝ2: �̂� = (1 ; 0) y 𝑗̂ = (0 ; 1) 
En ℝ3: �̂� = (1 ; 0 ; 0) , 𝑗̂ = (0 ; 1 ; 0) y �̂� = (0 ; 0 ; 1) 
Los vectores unitarios son diferentes: �̂� ≠ 𝑗̂ ≠ �̂� 
Los módulos de los vectores unitarios son iguales: 𝑖 = 𝑗 = 𝑘 = 1 
 DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR EN EL PLANO (ℝ2). – Implica
expresar un vector no nulo, en función de otros dos mutuamente
perpendiculares.
Las componentes del vector �⃗⃗⃗�: 
 La componente en el eje "𝑥": 𝑎𝑥 = 𝑎 cos𝜃
 La componente en el eje "𝑦": 𝑎𝑦 = 𝑎 sen𝜃
 Vectorialmente �⃗� = �⃗�𝑥 + �⃗�𝑦 = 𝑎𝑥 �̂� + 𝑎𝑦𝑗̂
 Escalarmente �⃗� = (𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦) = (𝑎 cos𝜃 ; 𝑎 sen𝜃) = 𝑎(cos𝜃 ; sen𝜃)
Para el vector �⃗⃗⃗�: 
 Su módulo, está dado por:
𝑅 = √𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 cos𝛼 
𝐷 = √𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 cos 𝛼 
𝜇𝑎 =
�⃗�
𝑎
𝑎 = √𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
4
 Su dirección está dada por:
 Su vector unitario, está dado por:
 DESCOMPOSICIÓN RECTANGULAR EN EL ESPACIO (ℝ3). – Implica
expresar un vector no nulo, en función de otros tres mutuamente
perpendiculares.
Las componentes del vector �⃗⃗⃗�: 
 La componente en el eje "𝑥": 𝑎𝑥 = 𝑎 cos𝛼
 La componente en el eje "𝑦": 𝑎𝑦 = 𝑎 cos𝛽
 La componente en el eje "𝑧": 𝑎𝑧 = 𝑎 cos𝜃
 Vectorialmente �⃗� = �⃗�𝑥 + �⃗�𝑦 + �⃗�𝑧 = 𝑎𝑥 �̂� + 𝑎𝑦𝑗̂ + 𝑎𝑧�̂� 
 Escalarmente �⃗� = (𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦 ; 𝑎𝑧) = (𝑎 cos𝛼 ; 𝑎 cos𝛽 ; 𝑎 cos𝜃), luego �⃗� =
𝑎(cos𝛼 ; cos𝛽 ; cos 𝜃)
 Los cosenos de los ángulos directores 𝛼, 𝛽 y 𝜃, se denominan cosenos
directores.
Para el vector �⃗⃗⃗�: 
 Su módulo, está dado por:
 Los cosenos directores están dados por:
 Su vector unitario, está dado por:
Álgebra vectorial 
El álgebra vectorial es una herramienta matemática, fundamental para la 
Física, consiste “manejar” los vectores y hacer cálculos con ellos. 
a) Un vector �⃗� en el plano (�⃗� ∈ ℝ2), es un par ordenado de números reales,
está dado por:
b) Si �⃗� = (𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦) y �⃗⃗� = (𝑏𝑥 ; 𝑏𝑦), la igualdad de vectores está definida por:
c) Si �⃗� = (𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦) y �⃗⃗� = (𝑏𝑥 ; 𝑏𝑦), la adición de vectores queda definida por:
d) Si �⃗� = (𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦) y 𝑟 ∈ ℝ, el producto de un escalar por un vector, está
dado por:
e) Si �⃗� = (𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦), �⃗⃗� = (𝑏𝑥 ; 𝑏𝑦) y "𝜃" es el ángulo formado por los vectores �⃗� y
�⃗⃗�, el producto escalar o producto punto de dos vectores, está dado por:
Nota: �⃗� ⋅ �⃗⃗� = �⃗⃗� ⋅ �⃗� (El producto escalar es conmutativo)
𝜃 = arc tan
𝑎𝑦
𝑎𝑥
= 𝑡𝑎𝑛−1
𝑎𝑦
𝑎𝑥
𝜇𝑎 =
�⃗�
𝑎
=
(𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦)
𝑎
= (cos 𝜃 ; sen 𝜃) 
𝑎 = √𝑎𝑥
2 + 𝑎𝑦
2 + 𝑎𝑦
2
cos𝛼 =
𝑎𝑥
𝑎
cos𝛽 =
𝑎𝑦
𝑎
cos𝜃 =
𝑎𝑧
𝑎
𝜇𝑎 =
�⃗�
𝑎
=
(𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦 ; 𝑎𝑧)
𝑎
= (cos𝛼 ; cos𝛽 ; cos 𝜃) 
�⃗� = (𝑎𝑥 ; 𝑎𝑦) = 𝑎𝑥𝑖̂ + 𝑎𝑦𝑗̂
�⃗� = �⃗⃗� ⟺ 𝑎𝑥 = 𝑏𝑥 ∧ 𝑎𝑦 = 𝑏𝑦
�⃗� + �⃗⃗� = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 ; 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦)
�⃗� + �⃗⃗� = (𝑎𝑥 + 𝑏𝑥)𝑖̂ + (𝑎𝑦 + 𝑏𝑦)𝑗̂
𝑟 ∙ �⃗� = (𝑟 ∙ 𝑎𝑥 ; 𝑟 ∙ 𝑎𝑦)
𝑟 ∙ �⃗� = 𝑟 ∙ 𝑎𝑥𝑖̂ + 𝑟 ∙ 𝑎𝑦𝑗̂
�⃗� ⋅ �⃗⃗� = 𝑎𝑥 ⋅ 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 ⋅ 𝑏𝑦
�⃗� ⋅ �⃗⃗� = 𝑎𝑏 cos𝜃
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
5
f) Dos vectores �⃗� y �⃗⃗� no nulos, verifican que:
g) Dados los vectores �⃗� y �⃗⃗�, el
módulo del producto vectorial o 
producto cruz �⃗� × �⃗⃗�, está dado por: 
Nota: �⃗� × �⃗⃗� ≠ �⃗⃗� × �⃗� (El producto
vectorial no es conmutativo) 
h) Observaciones finales:
 Todos los ítems anteriores (a - g) se verifican de manera análoga para
los vectores en el espacio.
 El vector �⃗� cambia de sentido, cambiándole únicamente el signo: −�⃗�
 Todos los vectores pueden ser trasladados en forma colineala lo largo
de su línea de acción o en paralelo.
 Todos los vectores colineales y/o paralelos, pueden sumarse y/o
restarse “como si fuesen simples números reales”, ya que poseen el
mismo vector unitario.
 Todos los vectores no colineales ni paralelos no pueden sumarse
directamente, puesto que la suma aritmética o algebraica es diferente a
la suma vectorial.
2. RECONOCEMOS EL CAMBIO DE POSICIÓN DE UN CUERPO EN UN
MOVIMIENTO UNIDIMENSIONAL
MOVIMIENTO MECÁNICO 
El movimiento es, probablemente, uno de los fenómenos más estudiados a lo largo 
de la historia. Aristóteles construyó una descripción del movimiento basada en la 
observación de su entorno. Copérnico, Galileo, Kepler y Newton describieron los 
movimientos del Sol y la Luna, el movimiento de las estrellas y el movimiento de 
los planetas mediante ecuaciones. 
El movimiento se encuentra en todas partes: en el volar de las aves, la brisa del 
viento, el girar de las manecillas de un reloj. Sabemos que un cuerpo está 
realizando movimiento mecánico cuando este ha cambiado su ubicación con 
respecto a otros cuerpos. Si, por ejemplo, observamos un automóvil que se acerca 
hacia nosotros y después de cierto tiempo se aleja, diremos que ha realizado un 
movimiento mecánico. 
CINEMÁTICA 
Parte de la mecánica que estudia la geometría del movimiento, pero sin analizar 
sus causas y posibles consecuencias. 
OBSERVACIÓN: Se denomina movimiento mecánico al fenómeno que se 
caracteriza por el cambio de posición de un cuerpo con respecto a otros 
cuerpos al transcurrir el tiempo, es decir, el cambio de posición con 
respecto a un marco de referencia. 
ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO: 
Móvil: Es el cuerpo que cambia de posición respecto de un sistema de referencia. 
Si el cuerpo no cambia de posición, este está en reposo relativo. 
�⃗� // �⃗⃗� ⟺ �⃗� = 𝑟 ∙ �⃗⃗�, ∀ 𝑟 ∈ ℝ
�⃗� ⊥ �⃗⃗� ⟺ �⃗� ∙ �⃗⃗� = 0
|�⃗� × �⃗⃗�| = 𝑎𝑏 sen 𝜃
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
6
Marco de referencia: Es aquel lugar del espacio en donde se ubica un observador 
en forma real o imaginaria para analizar y describir el movimiento en el tiempo. 
Para describir el movimiento mecánico es necesaria la presencia de un sistema de 
coordenadas y un reloj. 
Observación: Los sistemas de coordenadas con los cuales se va a trabajar 
no dependen del movimiento que se está estudiando. 
Trayectoria: Es aquella línea continua que describe un móvil respecto de un 
sistema de referencia. Es decir, la trayectoria es relativa. Si la trayectoria es una 
línea curva, el movimiento se llama curvilíneo y si es una recta, rectilíneo. 
Vector Posición ( �⃗⃗�): Es un vector que determina la posición del móvil en cierto 
instante con respecto al marco de referencia(observador). 
Desplazamiento ( 𝚫�⃗⃗� ): Es aquella magnitud vectorial que se define como el 
cambio de posición que experimenta un cuerpo con respecto a un marco de 
referencia. Se consigue uniendo la posición inicial con la posición final. Es 
independiente de la trayectoria que sigue el móvil. 
Distancia recorrida (d): La distancia recorrida por un móvil es la longitud de la 
trayectoria. Para determinar la distancia de un auto que viaja a lo largo de una 
carretera se mide la longitud de su trayectoria. 
. 
Observación: 
 La longitud del
desplazamiento no siempre
coincide con la distancia
recorrida.
 Hay que distinguir entre el
módulo del vector
desplazamiento
(Δr), y la distancia
recorrida (d) entre
dos posiciones
medida sobre la
trayectoria, sólo
coincidirán en
movimientos rectilíneos. Si la trayectoria del móvil es una línea recta, la
distancia recorrida coincide con la magnitud o módulo del desplazamiento.
Rapidez (𝒗) y velocidad (�⃗⃗⃗�) 
Rapidez (𝒗) y velocidad (�⃗⃗⃗�) son dos cantidades físicas que suelen confundirse con 
frecuencia. 
Recuerda que la distancia recorrida (d) y el desplazamiento (𝚫�⃗⃗�) efectuado por un 
móvil son dos cantidades físicas diferentes. Precisamente por eso, cuando las 
relacionamos con el tiempo, también obtenemos cantidades físicas diferentes. 
• La rapidez (𝒗) es una cantidad física escalar que relaciona la distancia recorrida
con el tiempo.
• La velocidad (�⃗⃗⃗�) es una cantidad física vectorial que relaciona el cambio de
posición (desplazamiento) con el tiempo.
Velocidad media (�⃗⃗⃗�𝐦) El cambio por unidad de tiempo que experimenta un móvil, 
en el vector posición. Esta cantidad vectorial es independiente de la trayectoria y 
su dirección siempre es perpendicular al desplazamiento paralelo. 
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
7
Rapidez media (𝒗𝐦) Es la cantidad física escalar que representa la proporción 
que existe entre la longitud recorrida por el móvil y el tiempo empleado en el 
proceso. De manera práctica, si un móvil va desde un punto (A) hasta un punto 
(B) siguiendo cierta trayectoria, a veces «rápido» a veces «lento», en un intervalo de
tiempo determinado, la rapidez media es la rapidez constante con la cual el móvil 
recorrería todo el trayecto en el mismo tiempo mencionado. 
ACELERACION (�⃗⃗⃗�) 
Es una magnitud física vectorial que mide la variación de la rapidez. 
a) Aceleración Media (�⃗�𝑚)
M 
b) Aceleración Instantánea (�⃗�𝑖ó �⃗�): Se evalúa cuando Δt0; su dirección
en una trayectoria curva está dirigida hacia la zona cóncava.
:1a Aceleración instantánea en el instante t1
v2
v1
a1
a2t1
t2
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.) 
En este movimiento el móvil u objeto en movimiento describe en su trayectoria 
una línea recta (dirección constante) y mantiene siempre una misma rapidez 
(magnitud o módulo de la velocidad); en este caso tanto la velocidad media y la 
velocidad instantánea vienen a ser iguales. Lo mismo ocurre con el módulo del 
desplazamiento y distancia recorrida. 
TIEMPO DE ENCUENTRO (𝐭𝐞): 
�⃗�m =
∆𝑟
∆𝑡
𝑣m =
𝑑
∆𝑡
�⃗⃗⃗�𝒎 =
�⃗⃗⃗�𝒇−�⃗⃗⃗�𝟎
∆𝒕
�⃗� =
𝑑�⃗⃗�
𝑑𝑡
𝒗 =
𝐝
𝐭
Donde: 
𝑣: rapidez (Unidad S. I. : m/s) 
d: distancia recorrida (Unidad S. I. : m) 
t: tiempo (Unidad S. I. : s) 
𝐭𝐞 =
𝐝𝐬
𝒗𝑨 + 𝒗𝑩
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
8
TIEMPO DE ALCANCE (𝐭𝐚): 
Siempre que: 𝒗𝑨 > 𝒗𝑩 
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.) 
Consideremos el análisis de un auto que inicia su movimiento y que conforme 
transcurre el tiempo aumenta su rapidez: 
Del movimiento que se muestra podemos realizar las siguientes observaciones: 
- La trayectoria descrita por el móvil, es una línea recta.
- La velocidad del auto cambia de manera uniforme, es decir, a iguales intervalos
de tiempo se tienen iguales cambios de velocidad.
- Conforme transcurre el tiempo, el móvil avanza más a prisa, es decir experimenta
cambios en su velocidad.
- La aceleración media en cualquier tramo que se escoja, no cambia, es decir, se
mantiene constante e igual a su aceleración instantánea.
Aceleración (�⃗⃗⃗�): 
 
 Ecuaciones Escalares del MRUV: 
 Convención de signos: (+)𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂 
(−) 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂 
MOVIMIENTO VERTICAL DE CAIDA LIBRE (M.V.C.L.) 
Si soltamos un cuerpo desde cierta altura, notamos que cae. ¿Por qué? 
Los cuerpos al ser soltados son atraídos por la tierra, pero al ir descendiendo 
impactan con las partículas del aire, las cuales ofrecen una oposición al 
movimiento de los cuerpos. 
Para que sea una caída libre, se 
“DESPRECIARÁN LOS EFECTOS DEL AIRE” 
�⃗� =
∆�⃗⃗⃗�
∆𝑡
=
𝑣𝑓⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ −𝑣𝑖⃗⃗ ⃗⃗⃗
𝑡𝑓−𝑡𝑖
𝐭𝐚 =
𝐝𝐬
𝒗𝑨 + 𝒗𝑩
𝑑 = (
𝑣0 + 𝑣𝑓
𝑡
) 𝑑 = 𝑣0. 𝑡 ± 𝑎.
𝑡2
2
𝑣𝑓 = 𝑣0 ± 𝑎. 𝑡
𝑣𝑓
2 = 𝑣0
2 ± 2. 𝑎. 𝑑 𝑑𝑛 = 𝑣0 ±
𝑎
2
. (2𝑛 − 1) 
Donde: 
𝑣0: rapidez inicial (Unidad S. I. :m/s) 
𝑣𝑓: rapidez final (Unidad S. I. : m/s) 
𝑎: aceleración (Unidad S. I. : m/s2)
d: distancia recorrida (Unidad S. I. : m) 
t: tiempo (Unidad S. I. : s) 
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
9
Llegan simultáneamente al piso, esto se debe a que los cuerpos sólo están 
afectados por la atracción de la tierra y caen “libremente” (caída libre). 
Además,las trayectorias descritas son rectilíneas y verticales. 
De una misma altura se dejó caer una pluma de gallina y un trozo de plomo, ¿cuál 
de los cuerpos toca primero el suelo si están en el vacío? 
Las caídas libres de los cuerpos describiendo una trayectoria recta, son ejemplos 
de movimiento rectilíneo uniformemente variado. 
GALILEO GALILEI estableció que dichos movimientos son uniformemente 
variados; sus mediciones mostraron que la aceleración estaba dirigida hacia el 
centro de la Tierra, y su valor es aproximadamente 9,8m/s2.
Con el fin de distinguir la caída libre de los demás movimientos acelerados, se ha 
adoptado designar la aceleración de dicha caída con la letra g. 
Con fines prácticos se suele asumir: 
g ≈ 10 𝑚 𝑠2⁄
Si soltamos del reposo una piedra desde cierta altura presentará un Movimiento 
Vertical de Caída Libre (M.V.C.L.). 
Como es soltado su velocidad inicial tiene módulo cero. 
Segundo a segundo aumenta 10 m/s y se utiliza las mismas ecuaciones del 
M.R.U.V.
Ecuaciones Escalares del MVCL: 
 
Convención de signos: (+) 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂,𝑩𝑨𝑱𝑨𝑫𝑨. 
 (−) 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂,𝑺𝑼𝑩𝑰𝑫𝑨. 
0
0v 
ℎ = (
𝑣0 + 𝑣𝑓
𝑡
) ℎ = 𝑣0. 𝑡 ± g.
𝑡2
2
𝑣𝑓 = 𝑣𝑖 ± g. 𝑡
𝑣𝑓
2 = 𝑣𝑖
2 ± 2. g. ℎ 𝑡𝑣𝑢𝑒𝑙𝑜 = 
2. 𝑣𝑖
g
𝐻𝑚á𝑥 = 
𝑣𝑖
2
2. g
Donde: 
𝑣0: rapidez inicial (Unidad S. I. : m/s) 
𝑣𝑓: rapidez final (Unidad S. I. : m/s) 
g: aceleración de la gravedad (Unidad S. I. : m/s2) 
h: altura (Unidad S. I. : m) 
t: tiempo (Unidad S. I. : s) 
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
10
3. RECONOCEMOS Y COMPRENDEMOS LA POSICIÓN DE UN
CUERPO EN EL PLANO
MOVIMIENTO COMPUESTO 
Es todo movimiento que resulta de la composición de dos o más movimientos 
simples, llamados componentes, pueden ser el M.R.U. y M.V.C.L. 
En su obra cumbre Galileo Galilei “Diálogo sobre dos nuevas ciencias” nos 
manifiesta el siguiente principio: 
“Los movimientos componentes en un movimiento compuesto se desarrollan 
independientemente uno del otro, es decir, el desarrollo de un movimiento no se 
ve afectado por la presencia del otro” 
MOVIMIENTO SEMIPARABÓLICO 
Considerando el caso de una partícula que se mueve sobre una superficie 
horizontal y que abandona dicha superficie en el punto P, tal como se muestra en 
la figura, se cumple: 
 El tiempo en caída libre de P hasta C es el mismo que ha transcurrido al
recorrer con velocidad constante de P a C” y es el mismo que ha
transcurrido en recorrer la trayectoria curva real P a C’.
 A partir del momento en que la partícula abandona la superficie
horizontal, el movimiento es compuesto, horizontal con MRU y vertical
con MRUV.
 La velocidad horizontal es constante e igual a la velocidad inicial durante
todo el movimiento, mientras que la velocidad vertical aumenta.
 La magnitud o módulo de la velocidad total en cualquier punto de la
trayectoria es:
ECUACIONES ESCALARES DEL MOVIMIENTO SEMIPARABÓLICO: Para 
resolver problemas situaciones problemáticas de movimiento semiparabólico, 
conviene separar sus movimientos componentes 
 
Distancia horizontal 𝒅 = 𝒗𝒙𝒕 ⇒ 𝒕 =
𝒅
𝒗𝒙
Altura 
𝒉 = 
𝟏
𝟐
𝐠𝒕𝟐 ⇒ 𝒕 = √
𝟐𝒉
𝐠
Rapidez o magnitud, 
módulo de la velocidad 
vertical 
𝒗𝒚 = 𝒈𝒕 
Rapidez o magnitud, 
módulo de la velocidad en 
cualquier punto de la 
trayectoria 
𝒗 = √𝒗𝒙𝟐 +𝒗𝒚𝟐
MOVIMIENTO DE PROYECTILES 
Cuando disparamos un proyectil con “𝑣0" y formando un ángulo “𝜃” de inclinación, 
la trayectoria es una parábola por la presencia de la aceleración vertical (gravedad) 
que actúa en todo momento. 
Este movimiento resulta de la composición de un movimiento horizontal rectilíneo 
uniforme (MRU) y un movimiento de caída libre vertical (MCLV) siendo su 
trayectoria una línea curva llamada parábola 
Restricciones para el Análisis del Movimiento Parabólico 
𝒗 = √𝒗𝒙
𝟐 + 𝒗𝒚
𝟐 o también 𝒗 = √𝒗𝒙
𝟐 + 𝒈𝟐𝒕𝟐
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
11
 Se desprecia la fricción del aire.
 Aplicable sólo para alturas pequeñas, ya que se considera constante la
aceleración de la gravedad
 Los alcances serán pequeños de tal manera que nos permitan no tomar
en cuenta la forma de la Tierra.
 Las velocidades de disparo no deben ser muy grandes porque el móvil
podría
adquirir trayectorias elípticas y rotar alrededor de la Tierra.
CARACTERÍSTICAS DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO 
 Su trayectoria es una parábola.
 Por ser movimiento compuesto, se descompone en dos movimientos
simples
 En el eje horizontal se tiene un MRU
 En el eje “Y” se tiene un movimiento vertical ascendente y luego
descendente.
 La velocidad de disparo se descompone en dos ejes “X” e “Y”.
 Para un mismo nivel de referencia los módulos de las velocidades son
iguales, lo mismo sucede con los ángulos.
Dado que se trata de un movimiento compuesto, es posible definir los dos tipos de 
movimiento involucrados: 
Para el movimiento horizontal 
Distancia o alcance horizontal: 𝑫 = 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜽. 𝒕 
Rapidez o módulo de la velocidad horizontal: 𝒗𝒙 = 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜽 
Para el movimiento vertical 
Altura: 𝒉 = 𝒗𝟎𝒔𝒆𝒏𝜽𝒕− 
𝟏
𝟐
𝐠𝒕𝟐
Rapidez o módulo de la velocidad vertical: 𝒗𝒇𝒚 = 𝒗𝟎𝒔𝒆𝒏𝜽− 𝐠𝒕 
𝒗𝒇𝒚
𝟐 = 𝒗𝟎
𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽𝟐 − 𝟐𝐠𝒉
Observe que en el punto “M” (la mitad del recorrido) la velocidad vertical es nula, 
luego se deduce que: 
𝟎 = 𝒗𝟎𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝐠𝒕 ⇒ 𝒕 =
𝒗𝒐𝒔𝒆𝒏𝜽
𝐠
= 
𝒗𝟎𝒚
𝐠
De donde el tiempo total de vuelo será: 
𝒕𝒗 = 
𝟐. 𝒗𝟎𝒚
𝐠
La velocidad total en un punto “P” cualquiera de la trayectoria estará dada por: 
𝒗 = √𝒗𝒙𝟐 + 𝒗𝒚𝟐
Analizando otra vez el punto “M” se tiene: 
0 = 𝒗𝟎
𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽𝟐 − 𝟐𝐠𝒉 
A partir de esto podemos definir la altura máxima alcanzada en un movimiento 
parabólico: 
𝑯𝒎á𝒙 =
𝒗𝟎𝒚
𝟐
𝟐𝐠
=
𝒗𝟎
𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝟐𝒈
=
𝐠. 𝒕𝒗
𝟐
𝟖
Se sabe que: 𝑫 = 𝒗𝟎 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒕 
Entonces el máximo alcance horizontal: 
𝑫𝒎á𝒙 = 𝒗𝟎𝒄𝒐𝒔𝜽.
𝟐𝒗𝒐𝒔𝒆𝒏𝜽
𝐠
= 
𝟐𝒗𝟎
𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽
𝐠
𝒗𝒙 = 𝒗𝟎𝒄𝒐𝒔𝜽 ; 𝒗𝒚 = 𝒗𝟎𝒔𝒆𝒏𝜽
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
12
Por identidad de ángulo doble se sabe que: 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 = 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽.𝒄𝒐𝒔𝜽, entonces 
𝑫𝒎á𝒙 =
𝒗𝟎
𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝐠
Analizando el numerador de la relación anterior podemos apreciar que el valor 
máximo para “D” se da cuando 𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 = 𝟏, por lo cual 𝟐𝜽 = 𝟗𝟎°; luego: 
𝑫𝒎á𝒙 =
𝒗𝟎
𝟐
𝐠
De lo expuesto se deduce que el ángulo de tiro para lograr máximo alcance 
horizontal es 45º. 
Importante: 
Observe que al dividir miembro a miembro las ecuaciones de la altura máxima y 
alcance máximo obtenemos: 
𝑯𝒎á𝒙
𝑫𝒎á𝒙
= 
𝒗𝟎
𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
2g
𝒗𝟎
𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
g
= 
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
= 
𝒕𝒈𝜽
𝟒
⇒ 𝒕𝒈𝜽 =
𝟒𝑯𝒎á𝒙
𝑫𝒎á𝒙
Casos particulares: 
o Al disparar un proyectil dos veces con la misma rapidez, pero con ángulos de
elevación complementarios, se logra igual alcance horizontal.
o Podemos determinar “𝜃” si conocemos la relación entre h, a y b.
ECUACIONES ESCALARES DEL MOVIMIENTO PARABÓLICO 
Ahora te presentaremos un resumen de todas las formulas del movimiento 
parabólico que detallamos anteriormente. 
La magnitud del vector 
velocidad 
𝒗 = √𝒗𝒙
𝟐 + 𝒗𝒚
𝟐
Tiempo de vuelo 𝒕𝒗 = 
𝟐𝒗𝟎𝒚
𝐠
Altura máxima 𝑯𝒎á𝒙 =
𝒗𝟎𝒚
𝟐
𝟐𝐠
=
𝒗𝟎
𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝟐𝐠
=
𝐠. 𝒕𝒗
𝟐
𝟖
Alcance horizontal 𝑫𝒎á𝒙 = 𝒗𝟎𝒙𝒕𝒗 =
𝟐𝒗𝟎𝒙𝒗𝟎𝒚
𝐠
= 
𝒗𝟎
𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽
𝐠
Relación entre la altura 
máxima y el alcance 
horizontal 
𝑻𝒈𝜽 =
𝟒𝑯𝒎á𝒙
𝑫𝒎á𝒙
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
13
MOVIMIENTO CIRCULAR 
Decimos que una partícula desarrolla un movimiento circular, cuando su 
trayectoria es una circunferencia y de acuerdo a su velocidad se pueden 
clasificar en: 
 Movimiento circular uniforme (MCU)
La velocidad angular es uniforme
 Movimiento circular uniformemente variado (MCUV)
La velocidad angular es variable y además posee aceleración angular
En la figura se muestra el movimiento de una partículaque describe una 
circunferencia de radio “R”. Para un intervalo de tiempo recorre un arco “S” y 
describe un ángulo central “𝜃” cuya unidad de medida es el radian. 
 La longitud que hay entre la longitud de arco “S” y el desplazamiento
angular “𝜃” es:
 En su recorrido el proyectil está animado con una velocidad lineal o
tangencial cuya dirección cambia constantemente de manera que el
módulo presenta la longitud de arco recorrido por cada unidad de tiempo:
𝑽 =
𝑺
𝒕
𝑣: 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙(𝑚/𝑠) 
𝑆: 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑜 (𝑚) 
𝑡: 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑒𝑚𝑝𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜 (𝑠) 
 Conforme sucede el movimiento circular, el radio va describiendo un
ángulo central “𝜃” en cada unidad de tiempo y cuya rapidez angular se
denota por “𝝎”
𝝎 =
𝜽
𝒕
𝜔: 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟(𝑟𝑎𝑑/𝑠) 
𝜃: á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑔𝑖𝑟𝑎𝑑𝑜 (𝑟𝑎𝑑) 
𝑡: 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 
 Periodo (T): Es el tiempo que emplea una partícula para dar una vuelta
completa en una circunferencia.
𝑻 =
𝒕𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
𝑵
 =
𝟐𝝅
𝝎
𝑇: 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 (𝑠) 
𝑡𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙: 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (𝑠) 
𝑁: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑜 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 (𝑠) 
𝜔: 𝑟𝑎𝑝𝑖𝑑𝑒𝑧 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟(𝑟𝑎𝑑/𝑠) 
 Frecuencia (𝒇): Es el número de vueltas que realiza una partícula en
una unidad de tiempo.
𝒇 = 
𝑵
𝒕𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍
= 
𝟏
𝑻
= 
𝝎
𝟐𝝅
𝑓: 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝐻𝑧, 𝑠−1, 𝑟𝑒𝑣/𝑠,
1
𝑠
) 
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) 
El movimiento circular 
uniforme describe el 
movimiento de un cuerpo con 
una rapidez constante y una 
trayectoria circular. 
Aunque la rapidez del objeto y 
la magnitud de su velocidad 
son constantes, en cada 
instante cambia de dirección. 
Circunstancia que implica la 
existencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la 
velocidad, sí varía su dirección. 
Cuando el radio describe ángulos centrales iguales por unidad de tiempo y recorre 
arcos iguales por unidad de tiempo. Siendo: 
=
𝜽
𝒕
 … (1) ; 𝒗 =
𝑺
𝒕
= 
𝜽𝑹
𝒕
 … (𝟐) 
Dividiendo (2): (1) obtenemos la relación que guardan la rapidez angular y 
tangencial o lineal. 
𝑺 = 𝜽𝑹 
𝒗 = 𝝎.𝑹 = 
𝟐𝝅𝑹
𝑻
𝑽 = 𝝎.𝑹 =
𝟐𝝅𝑹
𝑻
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
14
ACELERACIÓN CENTRÍPETA (𝒂𝒄) 
 En un movimiento circular uniforme, debido a que el módulo de la velocidad 
tangencial es constante, solo existe una aceleración que cambia la dirección y el 
sentido de la velocidad, es decir, la aceleración centrípeta. Se representa mediante 
un vector que apunta al centro de la circunferencia. 
4. ANALIZAMOS LAS CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE UNA
PARTÍCULA
EQUILIBRIO MECÁNICO 
Un cuerpo está en equilibrio mecánico cuando se halla en reposo o en movimiento 
rectilíneo uniforme. También se dice que está en equilibrio mecánico cuando 
carece de cualquier tipo de aceleración. 
CLASES DE EQUILIBRIO MECÁNICO 
A) Estático: Cuando el cuerpo está en reposo.
B) Cinético o cinemático: Cuando el cuerpo posee un MRU.
NOTA: Un cuerpo con MCU no se encuentra en equilibrio, ya que tiene
aceleración centrípeta.
FUERZA. 
Magnitud física vectorial que viene a ser el resultado de la interacción de dos 
cuerpos, ya sea por contacto o a distancia. Por lo general, asociamos la idea de 
fuerza con los efectos de jalar, empujar, comprimir, tensar, atraer, repeler, etc. Su 
unidad en el SI es el Newton (N). 
MEDICIÓN DE FUERZAS 
La intensidad de las fuerzas se mide por efecto de deformación que ellas producen 
sobre cuerpos elásticos. Robert Hooke (inglés 1635 - 1703) que se descubre una 
relación empírica entre la fuerza aplicada y la deformación producida, que hoy se 
denota así: 
Donde k: Constante de elasticidad del resorte (N/m) y x: Elongación o deformación 
del resorte (m). Es bajo esta relación que se elaboran y funcionan los dinamómetros. 
LEYES DE NEWTON 
PRIMERA LEY DE NEWTON (Ley de la Inercia). - Un cuerpo de masa constante 
permanece en estado de reposo o de movimiento en línea recta con velocidad 
constante, a menos que sobre ella actué una fuerza. 
SEGUNDA LEY DE NEWTON (Principio Fundamental de la Mecánica). – Si 
sobre un cuerpo actúan un conjunto de fuerzas obteniéndose una fuerza 
resultante, ésta ocasionara una aceleración directamente proporcional a su masa. 
TERCERA LEY DE NEWTON (Principio de Acción y Reacción). - Siempre que 
un cuerpo ejerce sobre otro una fuerza, que llamaremos acción, el segundo actúa 
sobre el primero con otra fuerza de igual intensidad, pero de dirección contraria, 
que llamaremos reacción. 
𝒂𝒄 = 
𝒗𝟐
𝑹
= 𝝎𝟐. 𝑹 = 
𝟒𝝅𝟐𝑹
𝑻𝟐
= 𝟒𝝅𝟐𝒇𝟐𝑹 
𝑎𝑐 : 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟í𝑝𝑒𝑡𝑎 (
𝑚
𝑠2⁄ )
𝑭 = 𝒌 ∙ 𝒙 
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
15
FUERZAS BÁSICAS 
FUERZA DE GRAVEDAD (PESO) ( �⃗⃗⃗⃗⃗� ).
Fuerza de origen gravitacional que la tierra ejerce sobre un cuerpo cercano a ella, 
su valor está dado por: 
Donde “m”: masa y “g”: aceleración de la gravedad. Se representa, apuntando al 
centro de la tierra. 
FUERZAS INTERNAS 
Son aquellas que aparecen en el interior de los cuerpos tratando de evitar que 
éstos se deformen debido a la acción de fuerzas externas. Su aplicación es 
profunda y se basa en la teoría atómica y molecular, aquí presentaremos sólo sus 
características macroscópicas. 
A. TENSIÓN ( �⃗⃗⃗� )
Se le llama también de tracción, se presenta en el interior de los hilos, cuerdas,
alambres, cables, etc. Oponiéndose a los efectos de estiramiento que pretenden
hacer fuerzas externas que actúan en los extremos de dichos elementos.
Comúnmente se cree que estas fuerzas se anulan o equilibran entre sí; sin
embargo, al hacer un corte imaginario en el elemento afectado, notaremos que
ellas responden a la tercera Ley de Newton, y por ello no se anulan.
B. COMPRESIÓN ( �⃗⃗⃗� )
Esta fuerza se presenta en el interior de barras, columnas, puntales, etc.
Oponiéndose a los efectos de determinadas fuerzas externas que, actuando en sus
extremos, pretenden disminuir en sus dimensiones.
FUERZA NORMAL (�⃗⃗⃗�𝑵 ).
Fuerza de contacto o reacción que se origina cuando dos cuerpos están en 
contacto. Se representa, perpendicular a la superficie de contacto, entrando al 
cuerpo y pasando por el centro de gravedad. 
FUERZAS DE FRICCIÓN O DE ROZAMIENTO. Cuando dos superficies están en 
contacto aparecen fuerzas tangenciales que se oponen al movimiento relativo de 
una superficie respecto de las otras, denominadas fuerzas de fricción o 
rozamiento. 
 ROZAMIENTO ESTÁTICO ( �⃗⃗�𝒔 ). Se presenta entre dos superficies en
reposo. Su magnitud varía desde cero hasta un valor máximo.
Cuando el cuerpo en contacto está en reposo, la magnitud de la fuerza de
fricción estática (𝑓𝑠) es directamente proporcional a la fuerza normal (𝑭𝑵).
Donde 𝒇𝒔: Fuerza de rozamiento estático, 𝝁𝒔: Coeficiente de rozamiento 
estático y 𝑭𝑵: Fuerza normal. 
 ROZAMIENTO CINÉTICO ( �⃗⃗�𝒌 ). Se presenta entre dos superficies en
movimiento relativo. La magnitud de la fuerza de fricción cinética es
directamente proporcional a la fuerza normal.
Donde 𝒇𝒌: Fuerza de rozamiento cinético, 𝝁𝒌: Coeficiente de rozamiento 
cinético y 𝑭𝑵: Fuerza normal. 
IMPORTANTE: 𝝁𝑺 ≥ 𝝁𝑲 ≥ 𝑶 
REACCIÓN ( �⃗⃗⃗� ).
Es la fuerza de interacción entre un cuerpo y una superficie. 
 Si la superficie es áspera o rugosa, la reacción resulta de la composición de
sus dos componentes: la reacción normal y la fricción.
 Si la superficie es lisa, la reacción está representada por la fuerza normal.
DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE (D.C.L.) 
Es el dibujo aislado de uno de los cuerpos de un sistema, en el cual se grafican 
todas las fuerzas externas aplicadas a él. Deben considerarse el peso de los 
cuerpos, fuerzas aplicadas visibles, las reacciones, la fricción y la tensión y 
compresión si se hace cortes imaginarios. Se sugiere: 
𝒘 = 𝒎 ∙ 𝒈 
𝒇𝒔 = 𝝁𝒔. 𝑭𝑵
𝒇𝒌 = 𝝁𝒌. 𝑭𝑵
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
16
 El peso (W) se representa mediante un vector dirigido siempre hacia el
centro de la tierra.
 La fuerza de tensión (T) se representa medianteun vector jalando al
cuerpo y apuntando al punto de corte imaginario.
 La fuerza de compresión (C), Se representa, saliendo del punto de corte
imaginario del cuerpo rígido.
 La fuerza elástica (𝑭𝑬) en la dirección del resorte y saliendo del cuerpo si
el resorte está estirado; pero, entrando al cuerpo si el resorte está
comprimido.
 La fuerza normal (𝑭𝑵) en el contacto entre dos superficies sólidas siendo
perpendicular a la superficie lisa de contacto entrando al cuerpo.
 Cuando un cuerpo está en contacto con una superficie rugosa o áspera,
aparece la fuerza fricción, la fuerza de fricción se grafica en forma tangente
a la superficie de contacto y en sentido opuesto al movimiento del cuerpo
(o al posible movimiento).
PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO 
“Un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación (velocidad cero o constante) 
cuando la suma total de las fuerzas externas que lo afectan es cero”. Esta 
condición es única y suficiente para cuerpos sometidos a la acción de fuerzas 
concurrentes y coplanares. 
A) Condición Algebraica:
�⃗⃗� = 𝐹1⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐹3⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯𝐹𝑁⃗⃗ ⃗⃗⃗
Entonces: 
�⃗⃗� = 0 → {
𝑅𝑥 = 0
𝑅𝑦 = 0
 
B) Condición gráfica:
El polígono de fuerzas que se forma debe ser cerrado
Si hallamos las componentes rectangulares de las fuerzas, el módulo de cada una 
de ellas debe ser cero: 
𝐹𝑅 = √(∑𝐹𝑥)
2+ (∑𝐹𝑦)
2
∑𝐹𝑥 = 0 
∑𝐹𝑦 = 0 
TEOREMA DE LAMI 
Si un cuerpo se encuentra en equilibrio baja la acción de tres fuerzas concurrentes 
y coplanares se cumple que el módulo de cada una de ellas es directamente 
proporcional al seno del ángulo de oposición formado por las otras dos. 
Corolario: Si sobre un cuerpo actúan 
tres fuerzas no paralelas y le producen 
equilibrio se cumplirá que las fuerzas 
tienen que ser coplanares y 
concurrentes. 
∑𝐹 = 0 
𝐹1
𝑠𝑒𝑛𝛼
=
𝐹2
𝑠𝑒𝑛𝛽
+
𝐹3
𝑠𝑒𝑛𝜃
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
17
MÁQUINAS SIMPLES 
Una máquina simple es aquel mecanismo que tiene por finalidad multiplicar una 
fuerza, transmitiendo el efecto multiplicador de la fuerza entregada a la cual se 
llama potencia (F) hasta una carga que desea vencerse a la cual se denomina 
resistencia (Q) 
- Ventaja Mecánica Real (V.M.R). - Es la relación entre las resistencias que se
han de vencerse y la fuerza aplicada
𝑽𝑴𝑹 =
𝑹𝒆𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
𝑷𝒐𝒕𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
=
𝑸
𝑹
- Ventaja Mecánica Ideal (V.M.I). – Es el numero obtenido de dividir el espacio
recorrido por la potencia entre el espacio recorrido por la resistencia.
𝑽𝑴𝑰 =
𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐 𝑭
𝒆𝒔𝒑𝒂𝒄𝒊𝒐 𝒓𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐 𝑸
CLASES DE MÁQUINAS SIMPLES 
A. Tipo de palanca:
 Palanca
a) Inter apoyante: tijera, tenazas.
b) Inter potente: caña de pescar.
c) Inter resistente: carretilla
 Polea: es una máquina simple, un dispositivo mecánico de
tracción, que sirve para transmitir una fuerza. Además, formando
conjuntos aparejos o polipastos sirve para reducir la magnitud de
la fuerza necesaria para mover un peso. La polea es el punto de
apoyo de una cuerda que moviéndose se arrolla sobre ella sin dar
una vuelta completa, actuando en uno de sus extremos la
resistencia (R) y en otro la fuerza actuante (F) o potencia.
a) Polea Fija: En este caso tenemos una sola polea
fija sobre la que se enrolla la cuerda (o cadena) de la
que suspende por un lado la carga, que ejerce una
fuerza de resistencia (R), y del otro lado por donde
aplicamos la fuerza (F) para elevar la carga.
Una polea fija está en equilibrio cuando la fuerza 
aplicada (F) es igual a la resistente (R) que presenta 
la carga, es decir: 
b) Polea Móvil: Es un conjunto formado por dos poleas. Una de ellas está
fija, mientras la otra puede desplazarse 
linealmente al subir y bajar la carga. Este tipo de 
poleas permite elevar cargas con un menor 
esfuerzo, (con una fuerza aplicada F menor). 
Una polea móvil estará en equilibrio cuando se 
cumple la siguiente igualdad: 
c) Polipastos: Llamado también aparejo, es un sistema de poleas
compuesto por poleas fijas y móviles. Se distinguen dos tipos:
Polipasto potencial (o trocla): 
Donde “n” es 
la cantidad de 
poleas móviles 
Polipasto factorial (o motón): 
Donde “n” es 
la cantidad de 
poleas móviles 
𝐹 = 𝑅 
𝐹 =
𝑅
2
𝐹 =
𝑅
2𝑛
𝐹 =
𝑅
2. 𝑛
 
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
18
B. Tipo plano inclinado
 Plano Inclinado: Es todo plano que forma con la horizontal un ángulo
menor a los 90º. Mediante el plano inclinado 
se elevan a la altura deseada objetos que no 
podrían izarse directamente sin emplear 
fuerzas muy superiores. 
 Tornillo: Dispositivo mecánico de fijación,
por lo general metálico, formado 
esencialmente por un plano inclinado 
enroscado alrededor de un cilindro o cono. 
 Cuña: Es otra aplicación del plano inclinado, la cual consta de de dos
planos inclinados terminados en punta y su principal 
uso o utilidad es para separar superficies en dos partes 
o para cortar, para detener o ajustar por ejemplo una
hacha, un cuchillo, un cincel.
MOMENTO O TORQUE E UNA FUERZA (�⃗⃗⃗⃗�𝑶
𝑭 , 𝝉⃗⃗⃗)
En el equilibrio de los cuerpos, cuando estos están sometidos a la acción de 
fuerzas no concurrentes, surge una nueva magnitud física llamada torque o 
momento de una fuerza, que tratará de justificar de un modo directo la capacidad 
que poseen las fuerzas de producir rotación. En la vida diaria podemos apreciar 
una gran cantidad de ejemplos de la existencia del torque. 
Al aplicarse la fuerza al martillo apoyado éste sobre un 
punto “O”; se produce un efecto de rotación (momento) 
que hace girar al martillo-clavo con respecto a dicho 
punto. 
Se elige el borde de la puerta 
para poder abrirla o 
cerrarla. 
Comprobamos en ambos 
casos que las fuerzas están capacitadas para 
producir rotación, y que esta capacidad depende 
tanto de la intensidad de las fuerzas como de la 
distancia “d” de la recta de acción de la fuerza al 
centro o eje de rotación. 
Torque o momento de una fuerza: Es la magnitud vectorial, que nos mide la 
capacidad que posee una fuerza para producir rotación sobre los cuerpos 
afectados. 
Se le representa por un vector perpendicular al plano de rotación y cuyo sentido 
viene dado por la regla de la mano derecha. 
El valor del torque es directamente proporcional a la intensidad de la fuerza “F” y 
al brazo de palanca “d”. Se define como brazo de palanca a la mínima distancia 
que existe entre el centro de rotación y la recta de acción de la fuerza. 
Escalarmente: 
Regla de signos: 
TEOREMA DE VARIGNON 
Este teorema fue enunciado por el francés Pierre Varignon (1654-1722) en el año 
1687, y establece que: “El momento de la fuerza resultante de dos ó más fuerzas 
concurrentes (o paralelas) respecto de punto cualquiera del cuerpo afectado es 
igual a la suma de los momentos de cada fuerza respecto del mismo punto. 
𝑀 = ±𝐹. 𝑑 Unidad: N.m 
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
19
CUPLA O PAR DE FUERZAS 
Al abrir un caño, al utilizar una llave de 
ruedas, estamos aplicando una cupla. 
Se llama cupla, par de fuerzas o par 
motor, a aquel par de fuerzas de igual 
intensidad de direcciones paralelas y 
sentidos contrarios, que al aplicarse 
sobre un mismo cuerpo le producen o 
pretenden producir giro 
El valor del Momento o Torque es directamente proporcional con la intensidad de 
la fuerza y con el brazo de palanca: 
SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO 
“Si un cuerpo se encuentra en equilibrio bajo la acción de fuerzas no 
concurrentes entonces la resultante de estas fuerzas y el momento total o la 
suma de momentos, es igual a cero” 
Matemáticamente: 
FORMA PRÁCTICA: Como se tienen momentos positivos y negativos, esta 
segunda condición de equilibrio puede ser expresada por: 
5. DESCRIBIMOS LA RELACIÓN ENTRE LA FUERZA, MASA Y
ACELERACIÓN
INTRODUCCIÓN 
En los capítulos relativos a la cinemática discutimos detalladamente la 
descripción del movimiento de un cuerpo, ahora veremos las razones por las 
cuales este cuerpo se mueve y de qué manera lo hace, esto es lo que se conoce 
como dinámica. 
En el estudio de lasdinámicas, abarcaremos los movimientos lineal y circular. 
CONCEPTOS PREVIOS 
A.- Inercia. - Es la dificultad o resistencia que opone un cuerpo a un cambio en 
su estado de reposo o movimiento. En física se dice que un cuerpo tiene más 
inercia cuando resulta más difícil lograr un cambio en el estado de reposo o 
movimiento del mismo. 
B.- Masa inercial. - Es una magnitud escalar que mide la cantidad de INERCIA 
que posee un cuerpo, es decir que a mayor masa del cuerpo tendrá más inercia y 
será más difícil cambiarle estado de reposo o movimiento. 
C.- Masa Gravitacional. - Indirectamente se determina como la relación del peso 
del cuerpo a la aceleración de la gravedad en ese lugar, observándose que este 
cociente se mantiene constante. (Unidad S.I: kg) 
La masa inercial y la masa gravitacional son iguales, y ningún experimento 
puede distinguir la una de la otra. 
D.- Masa. - Es la cantidad de materia en un cuerpo. 
Es una propiedad intrínseca de la materia. 
Su Unidad en el S.I.es el kilogramo (kg). 
La masa de un cuerpo es la misma en cualquier lugar del universo. 
La masa se mide con una balanza. 
mg =
Fg
g
Donde: 
m: masa (Unidad S. I. : kg) 
Fg: peso (Unidad S. I. : N) 
g: aceleración de la gravedad (Unidad S. I: m/s2) ∑𝑀(+) =∑𝑀(−)
∑𝑀𝑜 = 0 
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
20
E.- Peso. - Todos los objetos son atraídos hacia la Tierra. La 
fuerza de atracción que ejerce la Tierra sobre un objeto se 
llama fuerza gravitacional �⃗�𝑔. Esta fuerza se dirige hacia el 
centro de la Tierra y su magnitud se llama peso del objeto. 
Esta magnitud vectorial se mide con un dinamómetro. 
Su unidad en el S.I. es el newton (N). 
Si dejamos un cuerpo en el aire, el peso lo hará caer y la 
aceleración que experimenta es la gravedad. 
Su ecuación escalar es la siguiente: 
SEGUNDA LEY DE NEWTON 
La primera ley de Newton explica lo que sucede a un objeto cuando sobre él no 
actúan fuerzas: mantiene su movimiento original; permanece en reposo o se 
mueve en línea recta con rapidez constante. La segunda ley de Newton responde 
la pregunta: ¿Qué le ocurre a un objeto que tiene una o más fuerzas que actúan 
sobre él? 
. 
La Segunda ley de Newton establece: 
“Cuando se ve desde un marco de referencia 
inercial, la aceleración de un objeto es directamente 
proporcional la fuerza neta que actúa sobre él, tiene 
la dirección de la fuerza neta y es inversamente 
proporcional a la masa del objeto” 
Tanto en el enunciado textual como en el matemático de la segunda ley de Newton 
se indicó que la aceleración se debe a la ∑ F⃗⃗̅ que actúa sobre un objeto. La fuerza
neta sobre un objeto es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el 
objeto. (A veces a la fuerza neta se le referirá como fuerza total, fuerza resultante 
o fuerza desbalanceada.) Al resolver un problema con la segunda ley de Newton,
es imperativo determinar la fuerza neta correcta sobre un objeto. Muchas fuerzas
pueden actuar sobre
un objeto, pero solo
hay una aceleración.
Análisis de modelo: partícula bajo una fuerza neta 
Si un objeto experimenta una aceleración, su movimiento se puede analizar con 
el modelo de partícula bajo una fuerza neta. La ecuación en su forma escalar 
apropiada para este modelo, es la segunda ley de Newton: 
Observaciones y sugerencias: 
 La Fuerza Resultante ∑ F⃗⃗̅ tiene la
misma dirección que la aceleración �⃗�,
entonces:
Cuando un cuerpo se mueve en una
trayectoria recta y variando su
velocidad, la fuerza resultante
siempre es paralela a la velocidad,
puede estar en la misma dirección o
en dirección contraria.
 Cuando se tengan situaciones que
presenten un buen número de fuerzas,
determinaremos el módulo de la fuerza
resultante de la siguiente manera:
 En un movimiento acelerado, se
sugiera tomar como referencia los ejes de 
coordenadas, las fuerzas o
componentes de fuerzas que son
perpendiculares al movimiento
acelerado tienen como resultante
aceleración cero, ya que en esta
dirección se encuentran en equilibrio.
Fg = 𝐦.𝐠 
�⃗⃗⃗� =
∑𝐅̅ ⃗⃗⃗
𝐦
∑𝐹 = m. 𝑎 
Donde: 
∑𝐅̅: módulo de la Fuerza resultante (Unidad S. I. : N) 
m: masa (Unidad S. I. : kg) 
𝑎: módulo de la aceleración (Unidad S. I: m/s2) 
∑𝑭𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂
𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏
− ∑𝑭𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂
𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏
= 𝒎.𝒂 
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
21
 Si hay dos o más cuerpos que interactúan entre sí por medio de cuerdas o
apoyado uno del otro, de modo que no hay movimiento relativo entre ellos,
entonces:
La aceleración del sistema es la misma para cada uno de ellos.
 En un plano inclinado, identificar la dirección de la aceleración del cuerpo u
objeto en análisis; descomponer la(s) fuerza(s) en componentes paralela(s) y
perpendicular(s) a la dirección de la aceleración.
MÁQUINA DE ATWOOD 
La máquina de Atwood consiste en dos masas “ m1" y “ m2" 
conectadas mediante una cuerda ligera a través de una 
polea. Considerando que mA > mB, el módulo de la 
aceleración de estas masas se halla con la Segunda Ley de 
Newton: 
𝒂 = 
∑𝐅̅
𝐦
𝒂 = 
∑𝑭𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂
𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏
−∑𝑭𝒆𝒏 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂
𝒂𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒂𝒄𝒊ó𝒏
𝐦
ANÁLISIS DE POLEAS MÓVILES 
A. Relación entre el módulo de las tensiones:
B.- Relación entre el módulo de las aceleraciones 
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
22
SEGUNDA LEY DE NEWTON APLICADO AL MOVIMIENTO CIRCULAR 
En la parte anterior se presentaron e incorporaron las leyes de movimiento de 
Newton al análisis de modelos que suponen movimiento lineal. Ahora se analiza 
un movimiento que es un poco más complejo. Por ejemplo, se aplicarán las leyes 
de Newton a objetos que viajan en trayectorias circulares. 
Considere el modelo de una partícula en movimiento circular uniforme, en el que 
una partícula atada a una cuerda se mueve 
con una rapidez constante (𝑣) en una 
trayectoria circular de radio (r). La partícula 
experimenta una aceleración que tiene una 
magnitud: 
La aceleración se llama aceleración centrípeta porque (𝒂𝒄)porque se dirige hacia 
el centro del círculo y siempre es perpendicular a velocidad tangencial (𝑣). 
Si se aplica la segunda ley de Newton a lo largo de la dirección radial, la fuerza 
neta que causa la aceleración centrípeta se relaciona con la aceleración del modo 
siguiente: 
Una fuerza que causa una aceleración centrípeta actúa hacia el centro de la 
trayectoria circular y genera un cambio en la dirección del vector velocidad. Si 
dicha fuerza desapareciera, el objeto ya no se movería en su trayectoria circular; 
en vez de ello, se movería a lo largo de una trayectoria en línea recta tangente al 
círculo. 
Observaciones y sugerencias: 
 Identificar fuerzas radiales.
 De ser necesario
descomponer las fueras en
dirección radial y
perpendicular a ella.
 Se pueden utilizar las 
siguientes ecuaciones 
escalares: 
Donde: 
∑𝐅̅: módulo de la Fuerza resultante (Unidad S. I. : N) 
m: masa (Unidad S. I. : kg) 
𝑎𝑐 : módulo de la aceleración centripeta (Unidad S. I: m/s2) 
𝑣: rapidez (Unidad S. I: m/s) 
𝜔: rapidez angular (Unidad S. I: rad/s) 
𝑟: radio de la trayectoria cirular (Unidad S. I: m) 
∑𝑭 = 𝐦. 𝒂𝒄 ∑𝑭 = 𝐦.
𝒗𝟐
𝒓
∑𝑭 = 𝐦.𝝎𝟐. 𝒓
∑𝑭 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒍
𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒊𝒓𝒐
−∑𝑭𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒍
𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒊𝒓𝒐
= m.𝜔2. 𝑟 
∑𝑭 𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒆𝒍 
𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒊𝒓𝒐
−∑𝑭𝒉𝒂𝒄𝒊𝒂 𝒇𝒖𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆𝒍
𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒈𝒊𝒓𝒐
= m.
𝑣2
𝑟
𝒂𝒄 =
𝒗𝟐
𝒓
𝒂𝒄 = 𝝎
𝟐 . 𝒓
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
23
6. RELACIONAMOS EL TRABAJO CON LA ENERGÍA
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE 
Es una magnitud física escalar cuyo valor indica el efecto de desplazamiento 
provocado por una o varias fuerzas al actuar sobre un cuerpo. 
Cuando sobre un sistema mecánico se aplica una fuerza neta y esta produce 
desplazamiento, entonces se dice que esa fuerza efectúa un trabajo mecánico, el 
cual puede ser positivo si el sistema gana energía o negativo si el sistema pierde 
energía. 
Matemáticamentepodemos decir: “El trabajo es el producto del valor de la 
fuerza a lo largo del desplazamiento y el valor de dicho desplazamiento” 
𝑊 = 𝐹. 𝑑 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
En el Sistema Internacional (S.I.) se mide en Joule y comúnmente se usa otra 
unidad llamada caloría, para referirse al trabajo mecánico. 
1 Joule = 1 Newton ∙ 1 metro = 𝑘𝑔 𝑚²/𝑠² 
4,18 Joule = 1 Cal 
TRABAJO COMO PRODUCTO ESCALAR 
El trabajo mecánico que realiza una fuerza cuando se aplica sobre un cuerpo 
determinado se define como el producto PUNTO entre la componente de la fuerza 
aplicada que es paralela al desplazamiento y el desplazamiento realizado por el 
bloque. 
𝑊 = �⃗� ∙ ∆𝑥⃗⃗ ⃗⃗⃗
𝑊 = |�⃗�| ∙ |∆𝑥⃗⃗ ⃗⃗⃗| ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑊:Trabajo mecánico 
𝐹: Fuerza aplicada (módulo) 
∆𝑥: desplazamiento (módulo) 
𝜃: ángulo entre los dos vectores 
Si se nos expresa el vector �⃗� = (𝑥𝑖 + 𝑦𝑗) 𝑁 y su cambio en la posición ∆𝑟 =
(𝑎𝑖 + 𝑏𝑗) 𝑚, formando un ángulo 𝜃 . El trabajo realizado por la Fuerza, está dado 
por el producto escalar o producto punto de los dos vectores: 
𝑊∆�⃗�
�⃗� = �⃗� ∙ ∆𝑟 =(𝑥𝑖 + 𝑦𝑗) ∙ (𝑎𝑖 + 𝑏𝑗)
Donde: 𝑊𝐴→𝐵
�⃗� = 𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 �⃗� (𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒 = 𝐽) 
�⃗� = 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 (𝑁) 
∆�⃗� = 𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 (𝑚) 
𝑊𝐴→𝐵
�⃗� = 𝑥𝑖. 𝑎𝑖 + 𝑦𝑗. 𝑏𝑗 
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
24
IMPORTANCIA DEL ÁNGULO EN EL TRABAJO 
1. Si 𝜃 = 0°, cuando la fuerza
y el desplazamiento tienen
las misma dirección y 
sentido. Cuando el 
movimiento del cuerpo es 
acelerado 
W > 0 
2. Si 𝜃 = 90 °, cuando la
fuerza y el desplazamiento
son perpendiculares entre
sí. En particular cuando el
movimiento del cuerpo es
con velocidad constante.
.
W = 0 
3. Si 𝜃 = 180 °, si la fuerza
está en sentido contrario al
móvil. Cuando el movimiento
del cuerpo es desacelerado.
W < 0 
TRABAJO NETO 
Llamaremos trabajo neto o total al que se consigue sumando los trabajos que 
varias fuerzas realizan sobre un mismo cuerpo para el desplazamiento 
determinado. El trabajo neto es igual al trabajo que realiza la fuerza resultante. 
 
 
 
De la segunda ley de Newton sabemos que: 𝐹𝑅 = 𝑚. 𝑎 
En consecuencia, sólo habrá trabajo neto sobre un cuerpo si sobre este existe una 
fuerza resultante que logre desplazarlo. Si un bloque se mueve con velocidad 
constante (MRU), entonces sobre este bloque en trabajo neto es cero, puesto que 
la aceleración es también cero. 
En consecuencia, solo habrá trabajo mecánico sobre un cuerpo si este se desplaza 
a lo largo de la línea de acción de la fuerza aplicada (Y si se mueve con MRU?, el 
trabajo neto es cero, me queda esa duda con la idea expresada en el párrafo 
anterior) 
TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA DE MÓDULO VARIABLE 
La cantidad de trabajo realizado, por una fuerza de módulo variable estará 
determinada como el área generada bajo la gráfica Fuerza vs Posición. 
OBSERVACIONES: 
∎ Á𝒓𝒆𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒆𝒏𝒄𝒊𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑿+ → 𝑻𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 𝑷𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 
∎ Á𝒓𝒆𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒅𝒆𝒃𝒂𝒋𝒐 𝒅𝒆 𝑿+ → 𝑻𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐 𝑵𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 
𝑊 = Á𝑟𝑒𝑎 
Á𝑟𝑒𝑎𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑐𝑖𝑜 = ൬
𝐹1 + 𝐹2
2
൰ (𝑥2 − 𝑥1) 
𝑊 𝐴→𝐵
𝑁𝑒𝑡𝑜 = 𝑚.𝑎 . 𝑑
𝑊 𝐴→𝐵
𝑁𝑒𝑡𝑜 = 𝐹𝑅 . 𝑑
𝑊 𝐴→𝐵
𝑁𝑒𝑡𝑜 = ∑𝑊𝐴→𝐵
𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠 = 𝑊𝐹1 +𝑊𝐹2 +𝑊𝐹3 +𝑊𝐹4
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
25
TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA 
El trabajo neto realizado sobre un cuerpo es igual a la variación de la energía 
cinética entre dos puntos de la trayectoria. 
Recordando un poco de cinemática: 
𝑎. 𝑑 =
𝑣𝑓
2 − 𝑣𝑖
2
2
La cantidad de trabajo neto se podía calcular con: 
𝑊 𝐴→𝐵
𝑁𝑒𝑡𝑜 = 𝑚. 𝑎. 𝑑 = 𝑚. (
𝑣𝑓
2 − 𝑣𝑖
2
2
) 
OBSERVACIONES: 
∎ 𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜. 
 ∎ 𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑛𝑒𝑡𝑜 𝑒𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑚𝑜𝑣𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜. 
ENERGÍA MECÁNICA 
La energía es una magnitud física escalar que expresa la medida general de las 
distintas formas de movimiento de la materia, siendo éstas capaces de 
transformarse unas en otras. 
De todas las formas de movimiento, la que veremos será el movimiento mecánico 
atribuyendo una categoría energética llamada ENERGÍA MECÁNICA, la cual está 
constituida por la energía cinética y la energía potencial, que poseen las mismas 
unidades que la del trabajo, el 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒 (𝐽). 
ENERGÍA CINÉTICA (𝑬𝑪): 
Se da el nombre de energía cinética de un cuerpo a la energía de su movimiento 
mecánico. La variación de la energía de un cuerpo por la acción de una fuerza es 
igual al trabajo realizado por esta fuerza. 
Donde: 𝐸𝐶 = 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔í𝑎 𝐶𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝐽); 𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 (𝑘𝑔); 𝑉 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑(
𝑚
𝑠⁄ ) 
ENERGÍA POTENCIAL (𝑬𝑷): 
Recibe el nombre de energía potencial aquella que se determina por la posición 
mutua de los cuerpos en interacción o bien de las partes de un mismo cuerpo. 
Los dos tipos de energía potencial que veremos son: 
Energía potencial gravitatoria (𝑬𝑷𝑮): 
Es aquel tipo de energía que posee un cuerpo debido a la altura en la cual se 
encuentra, con respecto a un nivel de referencia horizontal trazado 
arbitrariamente. 
Donde: 𝐸𝑃𝐺 = 𝐸. 𝑃. 𝐺𝑟𝑎𝑣𝑖𝑡𝑎𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎 (𝐽);𝑚 = 𝑚𝑎𝑠𝑎 (𝑘𝑔); 𝑔 = 𝑔𝑟𝑎𝑣𝑒𝑑𝑎𝑑 (
𝑚
𝑠2⁄ ) 
ℎ = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 (𝑚) 
Energía potencial elástica (𝑬𝑷𝑬): 
Es aquel tipo de energía que almacenan los cuerpos elásticos cuando son 
deformados. 
m
v
k
h
x
g
N.R. (Nivel de referencia)
m
v
h mg
Nivel de referencia
𝑊𝐴→𝐵
𝑁𝑒𝑡𝑜 = ∆𝐸𝐶𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑬𝑷𝑮 = 𝒎.𝒈. 𝒉 
𝐸𝐶 =
𝑚.𝑉2
2
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
26
Donde: 𝐸𝑃𝐸 = 𝐸. 𝑃. 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 (𝐽); 𝐾 = 𝐶𝑡𝑒.𝑑𝑒 𝐸𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 (
𝑁
𝑚⁄ ); 
 𝑥 = 𝐸𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (𝑚) 
ENERGÍA MECÁNICA TOTAL (𝑬𝑴): 
Es la energía total que posee un cuerpo o sistema debido al movimiento y 
posición respeto a un sistema de referencia. 
 
FUERZA CONSERVATIVA (FC) 
Se dice que una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza sobre un 
cuerpo depende sólo de las posiciones inicial y final, es independiente de la 
trayectoria seguida por la partícula, también cumple en el caso de que el trabajo 
realizado en un viaje de ida y vuelta es cero. Las fuerzas elásticas, gravitatorias, 
eléctricas y magnéticas son ejemplos de algunas fuerzas conservativas. 
Se denominan fuerzas conservativas, porque conservan la energía mecánica; 
solamente las fuerzas conservativas dan lugar a la energía potencial, por ello el 
trabajo del peso y de la fuerza elástica se expresan como variación de la energía 
potencial: 
𝑾𝒑𝒆𝒔𝒐 = −𝚫𝑬𝑷𝑮 y 𝑾𝑭𝒖𝒆𝒓𝒛𝒂 𝒆𝒍á𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 = −𝚫𝑬𝑷𝑬 
Donde 
Δ𝐸𝑃𝐺: Variación de energía potencial gravitatoria 
Δ𝐸𝑃𝐸: Variación de energía potencial elástica 
FUERZA NO CONSERVATIVA (FNC) 
Llamada también fuerza disipativa, es aquella que cuando realiza trabajo depende 
de la trayectoria que se realice entre dos posiciones, un ejemplo importante de 
fuerza no conservativa es la fuerza de rozamiento o fricción. 
Note que una parte de la energía mecánica se “pierde” (se disipa) en forma de 
energía calorífica, debido al rozamiento; en este caso se dice que la energía 
mecánica deja de conservarse y este tipo de fuerzas, obviamente se llaman fuerzas 
no conservativas, porque no conservan la energía mecánica. 
PRINCIPIO DE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA MECÁNICA 
Por el teorema del trabajo neto y la energía cinética: 
𝑊𝑁 = 𝐸𝑘𝑓 − 𝐸𝑘𝑜
Como la fuerza es neta, pueden intervenir FC y FNC, entonces: 
𝑊𝐹𝐶 +𝑊𝐹𝑁𝐶 = 𝐸𝑘𝑓 −𝐸𝑘𝑜
Como pretendemos que la energía mecánica se conserve, hacemos que 𝑊𝐹𝑁𝐶 = 0, 
luego: 
𝑊𝐹𝐶 = 𝐸𝑘𝑓 −𝐸𝑘𝑜, pero el 𝑊𝐹𝐶, se expresa como −Δ𝐸𝑃𝐺, si tomamos como FC la fuerza
de gravedad (peso), entonces: 
−Δ𝐸𝑃𝐺 = 𝐸𝑘𝑓 −𝐸𝑘𝑜 ⇒ −𝐸𝑃𝐺𝑓 +𝐸𝑃𝐺𝑜 = 𝐸𝑘𝑓 −𝐸𝑘𝑜
Ordenando: 
𝐸𝑃𝐺𝑜 + 𝐸𝑘𝑜 = 𝐸𝑃𝐺𝑓 +𝐸𝑘𝑓
De donde: 
“Cuando sobre un cuerpo o sistemaactúan solamente fuerzas 
conservativas, su energía mecánica se conserva (permanece constante)” 
TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGIA MECANICA 
La ley de conservación de la energía mecánica establece que la energía mecánica 
total de un sistema permanece constante si la única fuerza que realiza trabajo es 
una fuerza conservativa. Este teorema resuelve la interrogante de: ¿Qué ocurre si 
𝑊𝐹𝑁𝐶 ≠ 0? 
Recordemos que el teorema del trabajo neto y la energía cinética garantiza: 
𝑊𝑁 = 𝐸𝑘𝑓 − 𝐸𝑘𝑜 ⇒𝑊𝐹𝐶 +𝑊𝐹𝑁𝐶 = 𝐸𝑘𝑓 −𝐸𝑘𝑜, además 𝑊𝐹𝐶 = −Δ𝐸𝑃𝐺
Luego: 
−Δ𝐸𝑃𝐺 +𝑊𝐹𝑁𝐶 = 𝐸𝑘𝑓 − 𝐸𝑘𝑜
𝑊𝐹𝑁𝐶 = 𝐸𝑘𝑓 −𝐸𝑘𝑜 + Δ𝐸𝑃𝐺 ⇒ 𝑊𝐹𝑁𝐶 = 𝐸𝑘𝑓 −𝐸𝑘𝑜 + 𝐸𝑃𝐺𝑓 − 𝐸𝑃𝐺𝑜
Ordenando: 
𝑊𝐹𝑁𝐶 = (𝐸𝑃𝐺𝑓 +𝐸𝑘𝑓) − (𝐸𝑃𝐺𝑜 −𝐸𝑘𝑜) ⇒ 𝑊𝐹𝑁𝐶 = 𝐸𝑀𝑓 − 𝐸𝑀𝑜
k
x
Resorte no deformado 
E = 0pe 
𝑬𝑴𝒐 = 𝑬𝑴𝒇
𝑬𝑷𝑬 =
𝑲.𝒙𝟐
𝟐
𝐸𝑀𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 = 𝐸𝐶𝑖𝑛é𝑡𝑖𝑐𝑎 + 𝐸𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
𝐸𝑀𝑒𝑐á𝑛𝑖𝑐𝑎 = 
𝑚. 𝑉2
2
+ 𝑚.𝑔. ℎ +
𝑘. 𝑥2
2
FÍSICA CEPRUNSA 2021 FASE I 
27
CONSERVATIVAS
FUERZAS
NO CONSERVATIVAS
Desarrollan un trabajo 
que NO DEPENDE de la 
trayectoria
Desarrollan un trabajo 
que DEPENDE de la 
trayectoria
Se aplica el PRINCIPIO 
DE CONSERVACIÓN DE 
LA ENERGÍA
Se aplica el TEOREMA 
DEL TRABAJO Y LA 
ENERGÍA MECÁNICA
Por tanto: 
“Cuando un cuerpo o sistema se ve afectado ante fuerzas no conservativas, 
su energía mecánica no se conserva (varía)” 
IMPORTANTE 
En forma práctica, toma en cuenta el siguiente esquema: 
POTENCIA MECÁNICA 
Es una magnitud escalar que expresa la medida de la rapidez con la cual se 
transmite movimiento. 
POTENCIA MEDIA 
Es el trabajo realizado por unidad de tiempo. 
Unidades: ⌈𝑃𝑜𝑡⌉ = 𝐽 𝑠⁄ = 𝑊𝑎𝑡𝑡𝑠 
POTENCIA INSTANTANEA 
En el movimiento rectilíneo, tenemos que: 
𝑃 =
𝑊
𝑡
⇒ 𝑃 =
𝐹 ∙ 𝑑
𝑡
Luego: 
Donde: 
 𝑃: potencia, 𝐹: Fuerza y 𝑣: velocidad 
OTRAS UNIDADES 
 Caballo Vapor: (CV)  735 W
 Horse Power (HP)  746 W
 kwatt - hora = 3,6 x106 J
EFICIENCIA O RENDIMIENTO DE UNA MÁQUINA () 
Es aquel factor porcentual o adimensional que nos expresa el grado de utilidad 
que poseen las máquinas con relación a la potencia que consumen. 
Donde: 
𝑃𝐸: Potencia entregada, 𝑃𝑃: Potencia “perdida” y 𝑃𝑈: Potencia útil 
A partir del gráfico, observamos que: 
También: 
𝜼 =
𝑷𝑼
𝑷𝑬
O bien 
𝜼 % =
𝑷𝑼
𝑷𝑬
∙ 𝟏𝟎𝟎%
IMPORTANTE: Como 𝑃𝑈 < 𝑃𝐸 ⇒ 𝜂 < 1 o bien 𝜂 < 100% 
𝑾𝑭𝑵𝑪 = ∆𝑬𝑴
𝑷 =
𝑾
𝒕
𝑷 = 𝑭 ∙ 𝒗 
𝑷𝑬 = 𝑷𝑼+𝑷𝑷 
𝜂 = 1 −
𝑃𝑃
𝑃𝐸