Funciones_de_variable_compleja_Con

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CAPITULO I
CAPITULO 1. LOS NUMEROS COMPLEJOS
1.1 Introducción
1.2. Estructura algebraica de los números complejos
1.3 Conjugación de los números complejos
1.4 Módulo de un número complejo
1.5 Argumento de un número complejo
1.6 Representación grá�ca de los números complejos
1.7 El plano complejo ampliado, compacti�cación del
plano complejo
1.8 La esfera de Riemann, distancia cordal
1.9 Ejercicios
1.1 INTRODUCCIÓN.
Un número complejo es una expresión de la forma
a + bi
donde a; b son números reales e i es la llamada unidad imaginaria. Este número 
i surge al comprobar que en el cuerpo real R; la ecuación
x2 =� 1;
no tiene solución. Entonces introducimos un nuevo elemento al campo numérico 
que llamaremos i y que es una solución de la ecuación anterior o equivalente-
mente podemos escribir
i =
p
�1;
obviamente este nuevo número cae fuera de los números reales.
Una notación usual para denotar un número complejo variable es
z = x+ yi;
x se llamará la parte real e y la parte imaginaria de z, se escribe
x = Re z , y = Im z:
LOS NUMEROS COMPLEJOS
El conjunto de los números complejos, que denotaremos por C, está en co-
rrespondencia biyectiva con los puntos del plano R2 mediante la correspondencia
R2 ! C
(x; y) ! x+ iy :
1.2 ESTRUCTURAALGEBRAICADE LOSNUMEROS
COMPLEJOS
En el conjunto de los números complejos están de�nidas las operaciones de suma
y multiplicación mediante
(x1 + y1i) + (x2 + y2i) = (x1 + x2) + (y1 + y2) i;
(x1 + y1i) (x2 + y2i) = (x1x2 � y1y2) + (x1y2 + x2y1) i:
Con estas dos operaciones el conjunto C; se convierte en un cuerpo alge-
braico, el cuerpo de los números complejos (C;+;�), es decir si
zj = xj + yji , j = 1; 2; 3;
se satisfacen las propiedades:
1. z1 + z2 = z2 + z1; propiedad conmutativa de la suma.
2. (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) ; propiedad asociativa de la suma.
3. Existe elemento neutro, el número complejo 0 = 0 + 0i; que veri�ca
0 + z = z;
para todo número complejo z:
4. Dado z 2 C; existe el elemento opuesto �z 2 C , tal que
z + (�z) = 0;
si z = x+ yi; entonces �z = �x� yi:
5. z1z2 = z2z1; propiedad conmutativa del producto.
6. (z1z2) z3 = z1 (z2z3) ; propiedad asociativa del producto.
7. Existe elemento unidad, el número complejo 1 = 1 + 0i; que veri�ca
1 � z = z;
para todo número complejo z:
8. Dado z 2 C; z 6= 0; existe el elemento inverso z�1 2 C, tal que
z � z�1 = 1:
9. z1 (z2 + z3) = z1z2 + z1z3; propiedad distributiva del producto respecto 
de la suma.
1.3 CONJUGACIONDE LOSNÚMEROS COMPLEJOS
Dado un número complejo z = x + yi; llamaremos conjugado de z y le repre-
sentaremos por z al número
z = x� yi:
Es decir el conjugado z de un número complejo z es aquel que satisface
Re z = Re z , Imz = � Im z:
La conjugación se comporta respecto a las operaciones algebraicas de la
forma descrita en la siguiente proposición.
Proposición 1.3.1. Se veri�can las siguientes relaciones
z1 + z2 = z1 + z2 ,
z1z2 = z1 � z2 ,
es decir el conjugado de la suma es la suma de los conjugados y el conjugado
del producto es el producto de los conjugados.
Demostración.
Sean z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i , entonces se tiene
z1 + z2 = x1 + x2 + (y1 + y2) i
= x1 + x2 � (y1 + y2) i
= (x1 � y1i) + (x2 � y2i)
= z1 + z2:
También
z1z2 = (x1x2 � y1y2) + (x1y2 + x2y1) i
= x1x2 � y1y2 � (x1y2 + x2y1) i
= (x1 � y1i) (x2 � y2i)
= z1 � z2:
q.e.d.
1.4 MODULO DE UN NUMERO COMPLEJO
El conjunto de los números complejos C, a diferencia de los números reales R, 
no es un cuerpo ordenado, es decir no tiene una relación de orden de�nida, por
tanto no podemos comparar números complejos z1; z2 en el sentido que uno sea 
mayor que otro.
Sin embargo, asociado a un número complejo z, hay asociado un número
real positivo jzj, que llamaremos módulo de z y que juega un papel análogo al
valor absoluto jxj de un número real x:
De�nición 1.4.1. Se denomina módulo del número complejo z = x+ yi; el
número real no negativo
p
x2 + y2 y se representará por jzj :
Observamos la relación
zz = (x+ yi) (x� yi) = x2 + y2 = jzj2 ;
es decir
jzj =
p
zz:
El módulo tiene las siguientes propiedades:
1) j0j = 0;
2) jzj > 0; para todo z 6= 0;
3) jz1z2j = jz1j jz2j ;
4) jz1 + z2j � jz1j+ jz2j :
Las propiedades 1) y 2) son inmediatas de la de�nición. Para demostrar 3)
utilizaremos la relación anterior zz = jzj2 y la Proposición 1.3.1. En efecto,
tenemos
jz1z2j2 = (z1z2) (z1z2) = z1z2z1z2
= z1z1z2z2 = jz1j2 jz2j2 :
También 4) se deduce de manera análoga
jz1 + z2j2 = (z1 + z2) (z1 + z2) = (z1 + z2) (z1 + z2)
= z1z1 + z1z2 + z2z1 + z2z2
= z1z1 + z1z2 + z1z2 + z2z2
= jz1j2 + jz2j2 + 2Re (z1z2)
� jz1j2 + jz2j2 + 2 jz1j jz2j
= (jz1j+ jz2j)2 ;
donde hemos utilizado las relaciones sencillas
2Re z = z + z;
jRe zj � jzj :
1.5 ARGUMENTO DE UN NUMERO COMPLEJO
Dado un número complejo z 2 C; podemos asociarle un número complejo de
módulo uno, a saber
u =
z
jzj :
Es claro que el módulo de este número complejo es uno pues
juj =
���� zjzj
���� = 1jzj jzj = 1;
de tal forma que si u = p+ iq; entonces
p2 + q2 = 1;
pero en estas condiciones se sabe que existe un ángulo � tal que
p = cos� , q = sen�; (5:1)
luego
u =
z
jzj = cos�+ isen�
y
z = jzj (cos�+ isen�) ; (5:2)
esta relación es conocida como la forma polar del número complejo z:
Es claro que � está solamente determinado módulo 2�, es decir, si � satisface
(5:1) ; entonces también �+ 2k� lo satisface para cada k 2 Z:
Llamaremos a �, argumento de z. Puesto que no está univocamente deter-
minado, deberemos �jar en cada caso uno de sus valores. Por ejemplo podemos
considerar � satisfaciendo la condición � 2 [0; 2�) : En este caso diremos que �
es el argumento principal de z y escribiremos
� = Argz:
Para cualquier otro argumento de z utilizaremos letras minúsculas
� = arg z:
El argumento tiene las siguientes propiedades:
1) arg z = � arg z
2) arg z1z2 = arg z1 + arg z2:
Las igualdades anteriores las hemos de entender módulo 2�. Es decir �jando 
los valores del argumento en ambos miembros de la igualdad, esta ocurrirá si 
añadimos en uno de los miembros un múltiplo adecuado de 2�: En general las 
igualdades entre argumentos habrán de entenderse así en lo sucesivo.
Para probar 1) utilizaremos la relación (5:2), es decir la forma polar de z
z = jzj (cos�+ isen�) ;
donde � = arg z, entonces también obtenemos
z = jzj (cos�� isen�) ;
pero utilizando jzj = jzj y las relaciones trigonométricas
cos (��) = cos� , sen (��) = �sen�;
obtenemos
z = jzj (cos (��) + isen (��)) ;
es decir la forma polar de z y
�� = arg z = � arg z:
Para probar 2) utilizamos también
z1 = jz1j (cos�1 + isen�1)
z2 = jz2j (cos�2 + isen�2) ;
luego
z1z2 = jz1j jz2j [(cos�1 cos�2 � sen�1sen�2)
+ i (sen�1sen�2 + cos�1 cos�2)]
y recordando las relaciones trigonométricas
cos (�1 + �2) = cos�1 cos�2 � sen�1sen�2;
sen (�1 + �2) = sen�1sen�2 + cos�1 cos�2;
concluimos
z1z2 = jz1j jz2j (cos (�1 + �2) + isen (�1 + �2)) ;
luego
�1 + �2 = arg z1z2 = arg z1 + arg z2
1.6 REPRESENTACIONGRAFICADE LOSNUMEROS
COMPLEJOS
Como hemos indicado ya, existe una biyección entre el conjunto C de los números
complejos y el plano cartesiano R2 cuyos puntos p son los pares (x; y)
C �! R2
z = x+ yi �! pz = (x; y)
6
Mediante esta identi�cación nosotros hablamos del plano de los números
complejos. Al subconjunto de C correspondiente al eje de abscisas, es decir al
conjunto
fz 2 C jz = x+ 0ig ;
le llamaremos también el eje real y al subconjunto de C correspondiente al eje
de ordenadas, es decir al conjunto
fz 2 C jz = 0 + yig ;
le llamaremos eje imaginario :
El conjugado z de z es el simétrico de z respecto del eje real en el plano
complejo.
La distancia euclídea entre dos números complejos z1 = x1 + y1i ,
z2 = x2 + y2i
d (z1; z2) =
q
(x1 � x2)2 + (y1 � y2)2;
viene expresada también en términos de los módulos mediante
d (z1; z2) = jz1 � z2j :
El módulo de un número complejo z representa la distancia de z al origen
de coordenadas y el argumento el ángulo formado por la parte positiva del eje
de abscisas y la semirrecta que une el origen con el punto z:
Fig.1.11.7 EL PLANO COMPLEJO AMPLIADO, COMPAC-
TIFICACION DEL PLANO COMPLEJO
El plano R2 y por tanto el plano complejo C, dotado con la topología de�nida
mediante la distancia euclídea, no es un espacio topológico compacto. Sin em-
bargo resulta muy conveniente para el estudio de los números complejos y de
las funciones complejas �compacti�car�el plano complejo.
Esto se consigue mediante la introducción del punto del in�nito que deno-
taremos por 1: El conjunto
bC = C[f1g ;
se denominará plano complejo ampliado.
En el plano complejo ampliado, no tenemos una estructura algebraica pro-
piamente dicha, es decir la suma y la multiplicación no se extienden de forma
natural cuando aparece 1 como sumando o como factor de tal forma que bC se
convierta en un cuerpo.
Sin embargo en el sentido del cálculo de límites, se conviene que para z 2 bC
1) si z 6= 0, entonces z � 1 =1;
2) z +1 =1+ z =1;
3) si z 6=1 , z1 = 0 , z �1 =1� z =1:
1.8 LA ESFERADERIEMANN, DISTANCIACORDAL.
Mientras que el cuerpo de los números complejos C admite como representación
geométrica el plano R2; el conjunto ampliado de los números complejosbC = C[f1g admite una representación geométrica mediante una super�cie
esférica de R3, la esfera de Riemann S:
A continuación describimos esta representación y de�nimos la distancia cordal,
que restringida a C es equivalente a la distancia euclídea.
Consideremos el espacio euclídeo de tres dimensiones R3 con coordenadas
(�; �; �), y en él, la esfera de centro en el punto (0; 0; 1=2) : Esta esfera será
tangente al plano �� en el origen de coordenadas. Entonces a cada punto z del
plano �� con coordenadas (x; y) se le hace corresponder el punto P de la esfera
que es la intersección de ésta con la recta que pasa por el punto z = (x; y) y el
punto N = (0; 0; 1) :
Fig.1.2
El punto z se dice que es la proyección estereográ�ca del punto P . De
esta manera se establece una biyección entre los puntos de C y la super�cie
esférica anterior, que denotaremos por S; excepto el polo N:
Haciendo corresponder al punto del in�nito 1, el polo N , obtenemos una
biyección entre el plano ampliado bC y la esfera S.
La esfera S considerada como representación de bC se llama esfera de Rie-
mann. Su ecuación es
�2 + �2 + �2 � � = 0:
Se comprueba fácilmente que si las coordenadas del punto z son (x; y) y las
coordenadas del punto P son (�; �; �) ; siendo z la proyección estreográ�ca de
P; con P en la esfera de Riemann, entonces se tienen las relaciones
� =
x
1 + x2 + y2
, � =
y
1 + x2 + y2
, � =
x2 + y2
1 + x2 + y2
:
De�nición 1.8.1. Se denomina distancia cordal entre dos puntos z1; z2
del plano complejo ampliado bC, a la distancia euclídea en R3 entre los puntos
P1; P2 correspondientes de la esfera de Riemann.
Si z1 = x1 + y1i , z2 = x2 + y2i, la distancia cordal entre dos puntos vendrá
dada por
� (z1; z2) =
q
(�1 � �2)
2
+ (�1 � �2)
2
+ (�1 � �2)
2
;
donde �i; �i; �i , i = 1; 2 se obtienen de xi; yi , i = 1; 2 mediante la fórmula
anterior, y en términos de xi; yi se obtiene
� (z1; z2) =
q
(x1 � x2)2 + (y1 � y2)2p
(1 + x21 + y
2
1) (1 + x
2
2 + y
2
2)
;
lo que se deduce de un cálculo que omitimos aquí, ver Problema 6, y en el caso
particular en que uno de los puntos sea 1 ha de modi�carse en
� (z;1) = 1p
1 + x2 + y2
:
1.9 EJERCICIOS
1. Probar la relación
jz1 + z2j2 + jz1 � z2j2 = 2
�
jz1j2 + jz2j2
�
;
para z1; z2 en C. Dar una interpretación geométrica de esta relación.
2. Describir los siguientes conjuntos como lugares geométricos
i ) fz jzz = 16g ;
ii) fz jzz � 2z � 2z � 8 = 0g ;
iii) fz jz = z + 6ig :
3. Dados dos vértices z1; z2 de un triángulo equilátero, determinar el tercer
vértice z3 en función de los dados.
4. Resolver la ecuación
z = zn�1 , n 2 N:
5. Determinar la imagen en el plano complejo C mediante la proyección
estereográ�ca del paralelo de la esfera de Riemann S con latitud �, ��2 � � �
�
2 :
Discutir los casos � = ��2 ; correspondiente a los polos.
6. Probar la expresión de la distancia cordal � (z1; z2) en términos de la
coordenadas cartesianas de z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2
� (z1; z2) =
q
(x1 � x2)2 + (y1 � y2)2p
(1 + x21 + y
2
1) (1 + x
2
2 + y
2
2)
:
7. Probar las siguientes relaciones entre la distancia cordal y la esférica
i) � (z1; z2) � jz1 � z2j para todo z1; z2 2 C;
ii) Para todo conjunto acotado A � C, existe k tal que jz1 � z2j �
ara z ; z A:k� (z1; z2), p 1 2 2
Concluir la equivalencia topológica entre la distancia euclídea y la distancia 
topológica.
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS
DEL TEMA 1
CAPITULO 1.
Problema 1. Probar la relación
jz1 + z2j2 + jz1 � z2j2 = 2
�
jz1j2 + jz2j2
�
,
para z1; z2 en C . Dar una interpretación geométrica de esta relación.
Solución.
jz1 + z2j2 + jz1 � z2j2 = (z1 + z2) (z1 + z2) + (z1 � z2) (z1 � z2)
= 2z1z1 + 2z2z2 = 2
�
jz1j2 + jz2j2
�
:
Si consideramos el paralelogramo de vértices 0; z1; z2; z1 + z2 entonces
jz1 + z2j ; jz1 � z2j representan las longitudes de las diagonales y jz1j ; jz2j las
longitudes de los lados, de tal forma que la relación anterior se puede interpre-
tar como que la suma los cuadrados de las longitudes de las diagonales de un
paralelogramo es igual al doble los cuadrados de las longitudes de los lados.
Problema 2. Describir los siguientes conjuntos como lugares geométricos
i) fz j z z = 16g ;
ii) fz j z z � 2z � 2z � 8 = 0g ;
iii) fz j z = 6g :
Solución.
i) zz = jzj2 = 16 ; Circunferencia de contro el origen y radio 4 .
ii) zz � 2z � 2z � 8 = 0 . Haciendo z = x + iy obtenemos
x2 + y2 � 4x � 8 = 0, es decir, (x� 2)2 + y2 � 12 = 0 . Circunferencia de
centro (2; 0) y radio 2
p
3 .
iii) z = z + 6i . Haciendo z = x + iy , obtenemos �2iy = 6i es decir
y = �3 ; Recta paralela al eje X:
Problema 3. Dados dos vértices z1; z2 de un triángulo equilátero, determi-
nar el tercer vértice z3 en función de los dados.
Solución.
z3 = z1 + (z3 � z1) (1) .
Escribimos z3 � z1en forma polar, es decir,
z3 � z1 = jz3 � z1j exp iArg (z3 � z1) (2) .
Pero por ser equilátero el triángulo, tenemos jz3 � z1j = jz2 � z1j . (3)
Los ángulos del triángulo miden cada uno �3 , de donde se observa
Arg (z3 � z1) = Arg (z2 � z1) + �3 . (4)
De (1) ; (2) ; (3) y (4) concluimos z3 = z1+jz2 � z1j exp i
�
Arg (z2 � z1) + �3
�
,
que nos expresa z3 en términos de z1 y z2 .
Problema 4. Resolver la ecuación z = zn�1 , n 2 N .
Solución. Escribimos z en forma polar es decir z = rei� , la ecuación
entonces se escribe re�i� = rne(n�1)� .
i) Para n = 1 obtenemos re�i� = 1 es decir r = 1 , � = 0 , es decir la
ecuación tiene como única raiz z = 1 .
ii) Para n > 1 obtenemos la ecuación re�i� = rnei(n�1)� , de donde
obtenemos r = 1 , ein� = 1 , es decir r = 1 , � = 2k�in , k = 0; ::; n � 1 , luego
obtenemos la raíces n-ésimas de la unidad zk = exp i 2k�in , k = 0; ::; n�1
:
Problema 5. Determinar la imagen en el plano complejo C , mediante la
proyección estereográ�ca, del paralelo de la esfera de Riemann S con latitud �
, ��2 � � �
�
2 . Discutir los casos � = �
�
2 , correspondientes a los polos de la
esfera.
Indicación. Observar que la distancia al origen de la proyección de un punto
p 2 S , es la tangente trigonométrica del ángulo formado por la recta que une el
polo norte N y p, con el eje perpendicular al plano, y posteriormente relacionar
este ángulo con el ángulo � .
Solución.
Fig.1
Observando que el ángulo �1 de la �gura es un ángulo inscrito en la circun-
ferencia del dibujo de la derecha que abarca un arco igual al ángulo central �
más �2 , por geometría elemental sabemos que �1 =
�+�2
2 y por tanto teniendo
en cuenta que el segmento ON tiene longitud 1 , concluimos que la longitud r
del segmento Oz es igual a r = tg�1 = tg
�
�
2 +
�
4
�
La imagen es la circunferencia de centro el origen y radio tg
�
�
2 +
�
4
�
:
Los casos � = ��2 corresponden a los puntos z = 0 y 1 respectivamente.
Problema 6. Probar la expresión de la distancia cordal � (z1; z2) en tér-
minos de las coordenadas de z1 = x1 + iy1 , z2 = x2 + iy2
� (z1; z2) =
q
(x1 � x2)2 + (y1 � y2) 2p
(1 + x21 + x
2
2) (1 + x2
2 + y
2
2)
.
Solución. Las ecuaciones de la proyección estereográ�ca vienen dadas por
� =
x
1 + x2 + y2
, � =
y
1 + x2 + y2
, � =
x2 + y2
1 + x2 + y2
,
y la distancia cordal � (z1; z2) viene de�nida por
�2 (z1; z2) = (�1 � �2)
2
+ (�1 � �2)
2
+ (�1 � �2)
2 ,
3
tenemos que probar
�2 (z1; z2) =
(x1 � x2)2 + (y1 � y2) 2
(1 + x21 + x
2
2) (1 + x
2
2 + y
2
2)
.
We have
(�1 � �2)
2
=
�
x1
1 + x21 + y
2
1
� x2
1 + x22 + y
2
2
�
2
=
x21
(1 + x21 + y
2
1)
2 +
x22
(1 + x22 + y
2
2)
2
� 2x1x2
(1 + x21 + y
2
1) (1 + x
2
2 + y
2
21)
,
(�1 � �2)
2
=
�
y1
1 + x21 + y
2
1
� y2
1 + x22 + y
2
2
�2
=
y21
(1 + x21 + y
2
1)
2 +
y22
(1 + x22 + y
2
2)
2
� 2y1y2
(1 + x21 + y
2
1) (1 + x
2
2 + y
2
21)
,
(�1 � �2)
2
=
�
x21 + y
2
1
�2
(1 + x21 + y
2
1)
2 +
�
x22 + y
2
2
�2
(1 + x22 + y
2
2)
2
�
2
�
x21 + y
2
1
� �
x22 + y
2
2
�
(1 + x21 + y
2
1) (1 + x
2
2 + y
2
21)
:
Agrupando los términos correspondientes de cada una de las tres ecuaciones
anteriores obtenemos
(�1 � �2)
2
+ (�1 � �2)
2
+ (�1 � �2)
2
=
�
x21 + y
2
1
�
+
�
x21 + y
2
1
�2
(1 + x21 + y
2
1)
2 +
�
x22 + y
2
2
�
+
�
x22 + y
2
2
�2
(1 + x22 + y
2
21)
2
�
2
�
(x1x2 + y1y2) +
�
x21 + y
2
1
� �
x22 + y
2
2
��
(1 + x21 + y
2
1) (1 + x
2
2 + y
2
21)
,
ahora podemos transformar facilmente la relación anterior
(�1 � �2)
2
+ (�1 � �2)
2
+ (�1 � �2)
2
=
�
x21 + y
2
1
� �
1 + x21 + y
2
1
�
(1 + x21 + y
2
1)
2 +
�
x22 + y
2
2
� �
1 + x22 + y
2
2
�
(1 + x22 + y
2
21)
2
�
2
�
(x1x2 + y1y2) +
�
x21 + y
2
1
� �
x22 + y
2
2
��
(1 + x21 + y
2
1) (1 + x
2
2 + y
2
21)
=
�
x21 + y
2
1
�
(1 + x21 + y
2
1)
+
�
x22 + y
2
2
�
(1 + x22 + y
2
21)
�
2
�
(x1x2 + y1y2) +
�
x21 + y
2
1
� �
x22 + y
2
2
��
(1 + x21 + y
2
1) (1 + x
2
2 + y
2
2)
=
�
x22 + y
2
2
� �
1 + x22 + y
2
2
�
(1 + x21 + y
2
1) (1 + x
2
2 + y
2
21)
+
�
x22 + y
2
2
� �
1 + x21 + y
2
1
�
(1 + x21 + y
2
1) (1 + x
2
2 + y
2
2)
�
2
�
(x1x2 + y1y2) +
�
x21 + y
2
1
� �
x22 + y
2
2
��
(1 + x21 + y
2
1) (1 + x
2
2 + y
2
2)
=
�
x21 + y
2
1
�
+
�
x21 + y
2
1
� �
x22 + y
2
2
�
+
�
x22 + y
2
2
�
+
�
x22 + y
2
2
� �
x22 + y
2
2
�
(1 + x21 + y
2
1) (1 + x
2
2 + y
2
2)
�
2
�
(x1x2 + y1y2) +
�
x21 + y
2
1
� �
x22 + y
2
2
��
(1 + x21 + y
2
1) (1 + x
2
2 + y
2
2)
=
�
x21 + x
2
2 � 2x1x2
�
+
�
y21 + y
2
2 � 2y1y2
�
(1 + x21 + y
2
1) (1 + x
2
2 + y
2
2)
=
(x1 � x2)2 + (y1 � y2) 2
(1 + x21 + x
2
2) (1 + x
2
2 + y
2
2)
. q.e.d.
Problema 7. Probar las siguientes relaciones entre la distancia cordal y la
esférica
i) � (z1; z2) � jz1 � z2j para todos z1; z2 2 C ,
ii) Para todo conjunto acotado A � C , existe una constante k tal que
jz1 � z2j � k� (z1; z2) , para todos z1; z2 2 A . Concluir la eqivqlencia topológica
entre la distancia euclídea y la distancia topológica.
Solución. Teniendo en cuenta el Problema 6 tenemos
� (z1; z2) =
jz1 � z2jr�
1 + jz1j2
��
1 + jz2j2
� ,
de donde resulta i) inmediatamente.
También obtenemos
jz1 � z2j < � (z1; z2)
r�
1 + jz1j2
��
1 + jz2j2
�
,
de tal forma que si jz1j y jz2j son menores que una cotaK > 1 por ser A acotado,
entonces r�
1 + jz1j2
��
1 + jz2j2
�
� k = 2K2 ,
de donde se deduce la relación en ii).
De estas dos relaciones se concluye la equivalencia topológica en C de la
distancias euclídea y cordal.
También se comprueba fácilmente de la expresión de la distancia cordal de
un punto z al 1
� (z;1) = 1q
1 + jzj2
,
que en el plano ampliado y en la esfera de Riemann, los entornos del 1 , son
los mismos, pues los conjuntos
U (r;1) = fz j jzj > rg ,
que es una base de entornos de 1 en el plano ampliado C se corresponden con
los casquetes esféricos
B� (1; �r) = fz � (z;1) < �rg ,
donde �r = 1p1+r2 , que a su vez constituyen una base de entornos de 1 en la
esfera de Riemann S .
CAPITULO 2
CAPITULO 2. FUNCIONES COMPLEJAS
2.1 Funciones continuas de variable compleja
2.2 Derivación de funciones de variable compleja. Funciones
holomorfas
2.3 Propiedades de la derivación de las funciones de
variable compleja
2.4 Funciones holomorfas y transformaciones conformes
2.5 Funciones holomorfas. Ecuaciones de Cauchy-Riemann
2.6 El teorema de la función inversa para las funciones analíticas
2.7 Ejercicios
FUNCIONES COMPLEJAS
En general podemos considerar funciones
f : R �! C
t �! w = f (t) ;
o bien funciones
f : C �! C
z �! w = f (z) ;
en ambos casos hablamos de funciones complejas, en el primer caso diremos que 
f es una función compleja de variable real y en el segundo caso diremos que f 
es una función compleja de variable compleja.
Nosotros estamos fundamentalmente interesados en las funciones complejas 
de variable compleja w = f (z) : Si escribimos la variable z = x+yi y w = u+vi, 
la función f puede ser también descrita mediante
w = f (z) = u + vi = ' (x; y) + (x; y) i;
donde
u = ' (x; y) , v = (x; y) ;
2.1 FUNCIONES CONTINUAS DE VARIABLE COMPLEJA
la parte real e imaginaria de w son esencialmente funciones reales de dos vari-
ables reales.
En el caso de las funciones complejas podemos considerar también la noción
de continuidad y continuidad uniforme en un conjunto A
De�nición 2.1.1. La función w = f (z) de variable compleja se dice con-
tinua en el punto z0 2 C si para todo número positivo " > 0, existe un número
positivo � > 0; tal que si jz � z0j < � entonces jf (z)� f (z0)j < ": Diremos
que la función w = f (z) es uniformemente contínua en B � C si dado � > 0
podemos elegir � > 0 tal que para cualquier z0 2 B y cualquier z para el cual
jz � z0j < � se veri�ca jf (z)� f (z0)j < ":
La de�nición en el caso de funciones complejas de variable real es completa-
mente análoga.
En general se considerarán funciones de�nidas, no en todo C; sino en un
conjunto abierto A � C: El caso más frecuente es cuando A es conexo, es decir
A es un dominio de C: El concepto de continuidad en un punto y continuidad
uniforme es aplicable también en este caso.
De una manera completamente análoga al caso de funciones reales se prueba
el siguiente teorema,
Teorema 2.1.1. Si f1 (z) ; f2 (z) son funciones de�nidas en A � C , A
abierto, y son continuas en z0 2 A, entonces también f1 (z)+f2 (z) ; f1 (z) f2 (z)
son continuas en z0; y si f2 (z0) 6= 0; también f1 (z) =f2 (z) es continua en z0:
Como consecuencia del Teorema 2.1.1 obtenemos que los polinomios de vari-
able compleja
P (z) = anz
n + an�1z
n�1 + :::+ a0
son funciones continuas.
También como consecuencia de este teorema podemos deducir la continuidad
de la clase más general de funciones racionales
R (z) =
P (z)
Q (z)
=
anz
n + an�1z
n�1 + :::+ a0
bmzm + bm�1zm�1 + :::+ b0
;
donde P (z) ; Q (z) son polinomios, en los puntos z donde Q (z) no se anula.
Debido a la equivalencia de las distancias euclídea y cordal en el plano com-
plejo �nito, ver Problema 7 del Capítulo 1, podemos extender de forma coher-
ente la de�nición de continuidad de las funciones de variable compleja al caso
de funciones f de�nidas en un abierto A � S; de la esfera de Riemann.
De�nición 2.1.2. Una función f (z) de�nida en un abierto de A de la
esfera de Riemann es continua en z0 2 A; si para todo número positivo � > 0; 
existe otro número positivo � > 0 tal que para todo z 2 A para el cual
� (z; z0) < �;
entonces
� (f (z) ; f (z0)) < �:
Con esta de�nición las funciones racionales son continuas en todo punto de 
S: Ver Problema 1:
2.2 DERIVACION DE FUNCIONES DE VARIABLE COM-
PLEJA. FUNCIONES HOLOMORFAS.
Sea f : A �! C; A � C; A abierto, z0 un punto interior de A: A continuación
introducimos el concepto de derivada en z0 y la noción de holomorfía.
De�nición 2.2.1. Decimos que la función f (z) es derivable en el punto
z0, si existe el límite
lim
z�!z0
f (z)� f (z0)
z � z0
y es �nito. En este caso al límite se le llama derivada de f en z0 y se le
representa por f 0 (z0) o bien
df
dz (z0) : En el caso z0 =1; se considera la función
e que f es derivable en si g es derivable enauxiliar g (z) = f (1=z) y se dic 1 
z = 0 :
En el caso en queuna función de variable compleja f es derivable en todos los 
puntos de un dominio A, la función se dice que es holomorfa en A: Un profundo 
resultado de la teoría mostrará que las funciones holomorfas serán representa-
bles localmente como series de potencias, hecho que se describe habitualmente 
diciendo que la función es analítica. Este resultado nos permitirá desde ahora 
llamar indistintamente a las funciones holomorfas también funciones analíticas.
De�nición 2.2.2. Una función f : A�! C; A � C abierto que es derivable
en todo z0 2 A; se llamará función holomorfa o función analítica.
2.3 PROPIEDADES DE LA DERIVACION DE LAS FUN-
CIONES DE VARIABLE COMPLEJA
La derivación en el campo complejo mantiene las propiedades básicas siguientes 
de la derivación en el campo real.
Proposición 2.3.1. La función f (z) es derivable en z0 si y solo si existe 
un � 2 C tal que
f (z) = f (z0) + � (z� z0) + � (z� z0) ;
donde � (z� z0)�! 0 cuando z�! z0: En tal caso � = f 0 (z0) :
Proposición 2.3.2. Si la función f (z) es derivable en el punto z0; entonces
también es continua en z0:
Proposición 2.3.3. Las reglas usuales de derivación en el caso real per-
manecen válidas en el campo complejo
(f + g)
0
(z) = f 0 (z) + g0 (z) ;
(f � g)0 (z) = f 0 (z)� g0 (z) ;
(f � g)0 (z) = f 0 (z) g (z) + f (z) g0 (z) ;�
f
g
�0
(z) =
f 0 (z) g (z)� f (z) g0 (z)
g2 (z)
; si g (z) 6= 0:
Es inmediato de la de�nición que la función f (z) = z es derivable en todo
el plano complejo, entonces se deduce de las reglas precedentes que también los
polinomios complejos
P (z) = anz
n + an�1z
n�1 + :::+ a0;
son derivablesen todo el plano y la derivada correspondiente es
P 0 (z) = nanz
n�1 + (n� 1) an�1zn�2 + :::+ a1:
De las reglas precedentes también se deduce la derivabilidad de las funciones
racionales complejas
R (z) =
P (z)
Q (z)
; P;Q polinomios,
en los puntos donde no se anula Q:
Una regla fundamental en el cálculo de derivadas es la llamada �regla de la
cadena�.
Proposición 2.3.4. Sean g : A �! C , f : B �! C; A;B � C abiertos, de
tal manera que g (A) � B: Si la función g es derivable en z0 y la función f es
derivable en w0 = g (z0) ; entonces la función compuesta F = f � g es derivable
en z0; y se tiene
F 0 (z0) = f
0 (g (z0)) g
0 (z0) :
La demostración también es igual que en el caso real.
2.4 FUNCIONES HOLOMORFAS Y TRANSFORMACIONES
CONFORMES
La existencia de la derivada f 0 (z0) no nula en un punto z0 2 A, de una función de 
variable compleja f : A �! C tiene la importante consecuencia geométrica que
dos curvas 
1; 
2 que se cortan en z0 con un cierto ángulo �, son transformadas
por f en dos curvas f � 
1 , f � 
2 que se cortan en f (z0) con el mismo ángulo
�
Fig.2.1
:
La situación en el caso f 0 (z0) = 0 es más complicada pero puede ser descrita
también aunque no lo haremos aquí.
Es claro que la propiedad enunciada sobre la conservación de ángulos equivale
a la propiedad enunciada de forma precisa en la siguiente de�nición.
De�nición 2.4.1. Una función f : A � C �! C; A abierto, se dice que
es conforme en z0 2 A, si existe � 2 [0; 2�] ; tal que cualquier curva 
 (t)
diferenciable en t = 0; 
 (0) = z0 y 
0 (0) 6= 0 se transforma por f en una curva
� (t) = f (
 (t)) diferenciable en t = 0; tal que
arg �0 (0) = arg 
0 (0) + �; (mod 2�) :
f se dirá que es conforme en A si es conforme en todo punto de A:
Teorema 2.4.1. Si f : A � C �! C; A abierto, es derivable en z0 y
f 0 (z0) 6= 0; entonces f es conforme en z0, y � = arg f 0 (z0) : Si f es holomorfa
en A entonces f es conforme en A:
Demostración. Este teorema es una consecuencia inmediata de la regla de
la cadena. En efecto tendremos
�0 (0) = f 0 (z0) � 
0 (0) ;
de donde se sigue la relación
�0 (0) = arg f 0 (z0) + arg 
0 (0) (mod 2�) :
5
usuario
Nota adhesiva
arg sigma'=...
q.e.d.
Bajo ciertas condiciones de regularidad se puede también probar que una
transformación conforme del plano viene dada por una función analítica, sin
embargo este hecho no es tan sencillo como en la otra dirección, ver Blaschke
[] :
Una segunda consecuencia se deduce al considerar el módulo jf 0 (z0)j : Se
tiene
lim
z�!z0
jf (z)� f (z0)j
jz � z0j
= jf 0 (z0)j :
Esto signi�ca que cualquier segmento �in�nitesimal� con extremo en z0; es di-
latado por un factor jf 0 (z0)j :
2.5 FUNCIONES HOLOMORFAS. ECUACIONES DE
CAUCHY-RIEMANN
2.5.1 DIFERENCIACION REAL Y DERIVACION COMPLEJA
Se
que
a f
f 
:
pu
A
ed
�
e
C
tam
�!
bién
C, 
s
A
er c
abierto
onside
, 
r
un
ad
a
a 
f
co
unc
m
i
o
ón
u 
d
na
e v
fu
ar
nción
iable
f :
comp
A
leja,
R2
recorde
R2;
mos
es � �!
decir una función de dos variables reales donde
f (x; y) = (u (x; y) ; v (x; y)) = u (x; y) + v (x; y) i;
en cada punto (x; y) 2 A:
Por tanto podemos plantear el problema de la diferenciabilidad de f en un
punto �jo (x0; y0) en el sentido de la diferenciabilidad real, entonces surge la 
cuestión natural de la relación de la diferenciabilidad en este sentido con la
derivabilidad compleja en z0 = x0 + y0i:
El teorema fundamental relacionando ambos conceptos nos proporciona unas 
condiciones necesarias y su�cientes para que una función diferenciable en sen-
tido real sea derivable en sentido complejo. Estas condiciones son las llamadas 
ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Teorema 2.5.1. Sea f : A � C �! C, A abierto. Sea z0 2 A; entonces
f 0 (z0) existe si y solamente si f es diferenciable como función de dos variables
reales en (x0; y0) donde z0 = x0+y0i; y las funciones u (x; y) ; v (x; y) satisfacen
@u
@x
=
@v
@y
,
@u
@y
= �@v
@x
;
estas ecuaciones diferenciales son conocidas como ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Demostración. Supongamos en primer lugar que f es derivable en el sentido
complejo en z0; con derivada � = f 0 (z0) ; es decir
lim
��!0
����f (z0 + �)� f (z0)� � �
���� = 0;
esto es equivalente a
lim
��!0
jf (z0 + �)� f (z0)� lc (�)j
j�j = 0; (5.1)
donde lc es la aplicación lineal compleja
lc : C �! C
� �! �� .
Es decir f será entonces diferenciable en sentido real y su diferencial en z0
es lc:
Escribamos ahora la función f y lc en términos de sus componentes real e
imaginaria
f (z0) = f (x0 + y0i) = u (x0; y0) + v (x0; y0) i ,
lc (�) = lc (h+ ki) = �1h� �2k + (�2h+ �1k) i ,
donde � = �1 + �2i , � = h+ ki:
Es claro que considerada lc como función lineal
lc : R2 �! R2;
la matriz asociada ha de ser �
�1 ��2
�2 �1
�
:
Por otro lado sabemos que esta matriz habrá de ser la matriz Jacobiana"
@u
@x
@u
@y
@v
@x
@v
@y
#
;
y por tanto concluimos las ecuaciones de Cauchy-Riemann
@u
@x
=
@v
@y
,
@u
@y
= �@v
@x
:
La existencia de estas derivadas se sigue de la diferenciabilidad de f:
Inversamente si la función f es diferenciable en sentido real en z0 y se veri-
�can las ecuaciones de Cauchy-Riemann entonces la diferencial Df (z0) vendrá
dada por la aplicación lineal�
h
k
�
�!
�
c �d
d c
��
h
k
�
;
donde
c =
@u
@x
(x0; y0) =
@v
@y
(x0; y0) ;
d =
@v
@x
(x0; y0) = �
@u
@y
(x0; y0) :
Llamemos
� =
@u
@x
+
@v
@x
i = c+ di
y consideremos la aplicación lineal lc compleja de�nida por lc (�) = ��;. expre-
sando como antes lc en términos reales observamos que lc no es otra cosa que
la aplicación lineal Df (z0) :
Por de�nición la diferencial Df (z0) satisface
lim
��!0
jf (z0 + �)� f (z0)�Df (z0) (�)j
j�j = 0;
es decir
jf (z0 + �)� f (z0)� ��j
j�j = 0;
o equivalentemente
lim
��!0
f (z0 + �)� f (z0)
�
= �;
es decir existe f 0 (z0) y se tiene
� = f 0 (z0) :
q.e.d.
La función compleja de variable compleja f puede ser considerada también
como una función compleja de dos variables reales x; y es decir,
f : A � R2 �! C;
entonces las derivadas parciales de f vienen dadas por
@f
@x
=
@u
@x
+
@v
@x
i;
@f
@y
=
@u
@y
+
@v
@y
i;
entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann admiten la expresión más compacta
@f
@x
=
1
i
@f
@y
:
2.6 EL TEOREMA DE LA FUNCION INVERSA PARA
FUNCIONES ANALITICAS
Un teorema central en la teoría de las funciones de variable real es el llamado
Teorema de la Función Inversa que a�rma que una función
f : A � Rn�! Rn;cuyo Jacobiano en un punto x0 2 A no se anula, es localmente invertible.
Las condiciones de Cauchy-Riemann nos garantizan la aplicabilidad de este
teorema a las funciones analíticas en aquellos puntos donde la derivada es no
nula.
Teorema 2.6.1. (Teorema de la funci�on inversa) : Sea f : A �! C,
A � C abierto, f analítica con derivada contínua en A: Sea z0 2 A tal que
f 0 (z0) 6= 0; entonces existen abiertos U que contiene a z0 y V que contiene
a f (z0) tales que la restricción de f a U es una biyección f : U �! V y la
función inversa f�1 es analítica en V . Además para todo z 2 U se tiene�
f�1
�0
(f (z)) =
1
f 0 (z)
.
Demostración. En términos reales la función f se escribe
f : A �! R2
(x; y) �! (u (x; y) ; v (x; y)) ;
donde f (z) = u (x; y) + v (x; y) i:
Teniendo en cuenta las condiciones de Cauchy-Riemann, el Jacobiano de f
puede expresarse en términos de la derivada compleja
J (f) =
����� @u@x @u@y@v@x @v@y
����� =
�
@u
@x
�2
+
�
@v
@x
�2
= jf 0 (z)j2 ;
pues
f 0 (z) =
@u
@x
+ i
@v
@x
:
Así pues particularizando en el punto z0 = x0+y0i, deducimos por la hipóte-
sis f 0 (z0) 6= 0 que
Jf (z0) 6= 0;
y por el Teorema real de la Función Inversa podemos asegurar la existencia de
una función inversa local f�1diferenciable en sentido real.
Es decir, existen entornos U de z0 y V de f (z0) tales que f restringida a U
es una biyección y la inversa
f�1 : V �! U
(u; v) �! (s (u; v) ; t (u; v))
es diferenciable en sentido real.
Para comprobar la derivabilidad en sentido complejo de f�1 en f (z0), ten-
emos que veri�car las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
La diferenciabilidad de f�1 implica la existencia de las derivadas parciales
y se tienen las relaciones
@s
@u
=
1
J (f)
� @v
@y
,
@s
@v
=
1
J (f)
�
�
�@u
@y
�
@t
@u
=
1
J (f)
�
�
�@v
@x
�
,
@t
@v
=
1
J (f)
� @u
@x
;
las cuales se siguen del hecho que la matriz Jacobiana de f�1 es la matriz inversa
de la matriz Jacobiana de la f:
De estas relaciones y de las ecuaciones de Cauchy-Riemann para f , se de-
ducen
@s
@u
=
@t
@v
,
@s
@v
= � @t
@u
;
lo cual prueba la derivabilidad compleja de f�1:
Finalmente calculamos
�
f�1
�0
;
�
f�1
�0
(w) =
@s
@u
+
@t
@u
i =
1
J (f)
�
@v
@y
� @v
@x
i
�
=
1
J (f)
�
@u
@x
� @v
@x
i
�
;
y teniendo en cuenta que
J (f) = jf 0 (z)j2 =
�
@u
@x
+
@v
@x
i
��
@u
@x
� @v
@x
i
�
;
concluimos �
f�1
�0
(w) =
1
f 0 (z)
:
q.e.d.
2.7 EJERCICIOS
1. Probar que la funciones racionales R consideradas como funciones de las
esfera de Riemann en sí misma, es decir, R : S ! S son contínuas en todo punto
de S;incluido el 1:
2. Sea f : D ! D; una función uniformemente continua en D = fz jjzj < 1g
el círculo unidad. Probar que para toda sucesión fzng � D convergiendo a un
punto de la frontera � 2 C, C la circunferencia unidad, entonces el lim
n!1
f (zn)
existe y depende solamente de � no de la sucesión dada, es decir dada otra
sucesión fz0ng � D; z0n ! �; entonces también existe lim
n!1
f (z0n) y es el mismo
que para la sucesión precedente.
3. Demostrar que si una función analítica f : A ! C; A � C abierto, toma
solamente valores reales entonces es constante en A:
4. Demostrar que si f (z) es analítica y
g (z) = jf (z)j2 + f (z)
es también analítica entonces f (z) es constante.
5. Se pide:
i) Estudiar si la función f : C! C; de�nida por
f (z) = zRe z;
satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z = 0:
ii ) Estudiar la analiticidad de f en z = 0:
6. Determinar los dominios donde la función
f (z) = x2 � y2 + 2i jxyj ;
es analítica.
7. Dada una función holomorfa f en el círculo unidad D = fz jjz j< 1j g,
estudiar la holomorfía en D de la función g en los siguientes casos
i) g (z) = f (z) , ii) g (z) = f (z) , iii) g (z) = f (z):
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS
DEL TEMA 2
Problema 1. Probar que las funciones racionales R consideradas como
funciones de la esfera de Riemann en sí misma, es decir R : S! S , son continuas
en todo punto de S , incluido 1 .
Solución. Sea R : S! S una función racional, los únicos casos que ten-
dremos que considerar son z =1 y aquellos puntos � 2 C tales que R (�) =1
, pues en los demás casos la continuidad se sigue del hecho que R es cociente de
funciones continuas.
En primer lugar observamos que la función particular w = R0 (z) = 1z es
continua en z = 0 , con la distancia cordal. En efecto si � (z; 0) < � con � <
p
3
2
es decir
� (z; 0) =
jzjq
1 + jzj2
< � <
1
2
,
entonces
jzj = � (z; 0)q
1� � (z; 0)2
< 2� ,
luego para w = 1z tenemos
� (w;1) = 1q
1 + jwj2
=
1q
1 + 1jzj2
=
jzjq
1 + jzj2
< jzj < 2� ,
es decir hemos probado la continuidad de R0 en z = 0 .
También se comprueba fácilmente la continuidad de R0 en z =1 , en efecto
si � (z;1) < � <
p
3
2 , es decir
� (z;1) = 1q
1 + jzj2
< � ,
entonces
jzj =
q
1� � (z;1)2
� (z;1) >
1
2�
luego para w = R0 (z) tenemos
� (w; 0) =
jwjq
1 + jwj2
< jwj = 1jzj < 2� .
A continuación observamos que del caso anterior se deduce que las funciones
R� (z) =
1
z�� también son contínuas en z = � en la esfera de Riemann pues
R� puede escribirse como composición de la traslación L� (z) = z � � y de R0
, y como composión de funciones continuas concluimos que R� = R0 � L� es
también continua en �:
Finalmente dada una función racional cualquiera R y sea R (�) = � , con
�; � 2 S , si � 6=1 , � =1 , consideramos la función R1 = R0 �R de tal forma
que R1 (�) = 0 , por tanto es continua en � y puesto que también R = R0 �R1
siendo R1 continua en � y R0 continua en 0 = R1 (�) concluimos que también
R es continua en �: Los casos restantes caso � =1 , � 6=1 , y � =1 , � =1
, pueden ser tratados análogamente.
Problema 2. Sea f : B (0; 1) ! B (0; 1) , una función uniformemente
continua en B (0; 1) = fz j jzj < 1g el círculo unidad. Probar que para toda
sucesión fzng � B (0; 1) convergiendo a un punto de la frontera � 2 C (0; 1)
, C (0; 1) la circunferencia unidad, entonces lim
n!1
f (zn) existe y depende sola-
mente de � , no de la sucesión dada, es decir dada otra sucesión fz0ng � B (0; 1) ,
z0n ! �; entonces también existe el lim
n!1
f (z0n) y es el mismo que para la sucesión
precedente.
Solución. Por la continuidad uniforme de f (z) en B (0; 1) , dado � > 0 ,
existe � > 0 tal que si z; z0 2 B (0; 1) , jz � z0j < � , entonces jf (z)� f (z0)j < �.
Sea fzng ! � = ei� , entonces existe n0 2 N , tal que jzn � �j < �2 , para
n > n0 . Por tanto para m;n > n0 , se tiene
jzn � zmj < jzn � �j+ jzm � �j < � ,
es decir, ff (zn)g es una sucesión de Cauchy y por tanto tendrá un límite l:
Si tenemos otra sucesión fz0ng tendiendo también a � entonces ff (z0n)g tam-
bién tenderá a un límite l0 . Para comprobar que ambos límites han de ser el
mismo, es decir, no dependen de la sucesión, observamos que dado � > 0 arbi-
trario podemos encontrar � > 0 tal que jf (z)� f (z0)j < �3 cuando jz � z
0j < �
y podemos encontrar n0 2 N tal que para todo n > n0 , podemos obtener
simultáneamente
jzn � z0nj < � , jf (zn)� lj <
�
3
, jf (z0n)� l0j <
�
3
,
de tal forma que eligiendo un n > n0 , tendremos
jl � l0j � jf (zn)� lj+ jf (zn)� f (z0n)j+ jf (z0n)� l0j <
�
3
+
�
3
+
�
3
= � ,
y como � es arbitrario concluimos l = l0 .
Problema 3. Demostrar que si una función analítica f : A ! C , A � C
abierto, toma solamente valores reales, entonces es constante en A .
Solución. Sea f (z) = u (x; y) , v (x; y) = Im f (z) � 0 , donde z = x+ iy ,
entonces por las Ecuaciones de Cauchy-Riemann
@u
@x
=
@v
@y
= 0
@u
@y
= �@v
@x
= 0 ,
de donde se concluye f = u =constante.
Problema 4. Demostrar que si f (z) es analítica y
g (z) = jf (z)j2 + f (z) ,
es también analítica, entonces f (z) es constante.
Solución. De la hipótesis se deduce g � f = jf j2 es una función analítica
y además toma solamente valores reales luego por el Problema 3 ha de ser una
constante y por tanto f (z) ha de ser también una constante.
Problema 5. Se pide:
i) Estudiar si la función f : C! C , de�nida por
f (z) = zRe z ,
satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en z = 0 .
ii) Estudiar la analiticidad de f en z = 0 .
Solución.i) Sea z = x+ iy , Rez = x , entonces
f (z) = f (x+ iy) = u (x; y) + iv (x; y) = (x+ iy)x = x2 + iyx ,
f (x+ i0) = u (x; 0) + iv (x; 0) = x2 , de donde
u (x; 0) = x2 , v (x; 0) � 0 , de donde obtenemos ,
@u
@x (0; 0) = [2x](0;0) ,
@v
@x (0; 0) = 0 ,
También se observa f (iy) = u (0; y) + iv (0; y) � 0 , es decir u (0; y) �
v (0; y) � 0 y por tanto también
@u
@y (0; 0) =
@v
@y (0; 0) = 0:
Luego concluimos
@u
@x
(0; 0) =
@v
@y
(0; 0) = 0 ,
@u
@y
(0; 0) = �@v
@x
(0; 0) = 0 .
Luego se satisfacen las Ecuaciones de Cauchy-Riemann en (0; 0) :
ii) Puesto que
f : R2 ! R2 ;
(x; y)!
�
x2; yx
�
es de clase C1 ; la función f tiene derivada en sentido complejo en z = 0.
Sin embargo no podemos decir que f (z) es analítica en z = 0 pues para la
analiticidad se requiere la existencia de derivada en un entorno del punto, lo
cual no ocurre pues para z 6= 0 no se satisfacen las Ecuaciones de Cauchy-
Riemann.
Problema 6. Determinar los dominios donde la función
f (z) = x2 � y2 + 2i jxyj ,
es analítica.
Solución. Mediante la función f (z) dada, pueden representarse las sigu-
ientes funciones
a) f (z) = x2 � y2 + 2ixy = z2 ,
b) f (z) = x2 � y2 � 2ixy = z2 ;
el caso a) ocurrirá cuando xy � 0 , el caso b) ocurrirá cuando xy � 0 . Como
solo el caso a) es analítico, f (z) será analítica cuando xy > 0 , es decir en el 1o
y 3o cuadrante.
Problema7. Si f (z) es holomorfa en B (0; 1)=fz j jzj < 1g , estudiar la
holomorfía en B (0; 1) en los siguientes casos
i) g (z) = f (z) , ii) g (z) = f (z) , iii) g (z) = f (z) .
Solución.
i) Si f = u+ iv entonces f = U + iV = u� iv .
Si f fuera holomorfa entonces las ecuaciones de Cauchy-Riemann para f
serían
Ux = Vy , Uy = �Vx
es decir
ux = �vy , uy = vx . (1)
Por otra parte, las ecuaciones de Cauchy-Riemann para f dan
(2)ux = vy , uy =� vx .
De (1) y (2) se concluye
ux = uy = vx = vy = 0 ,
es decir u; v y f son constantes. Es decir f es holomorfa si y solo si f es
constante.
ii) Si f = u+ iv entonces g (z) = f (z) = U (x; y) + iV (x; y) = u (x;�y) +
iv (x;�y) .
If g (z) = f (z) fuera holomorfa, las ecuaciones de Cauchy-Riemann para
g (z) serían
Ux = Vy , Uy = �Vx
es decir
ux = �vy , � uy = �vx ,
o equivalentemente
ux = �vy , uy = vx ,
y otra vez junto con las ecuaciones de Riemann para f (z) obtendríamos
ux = uy = vx = vy = 0 ,
y concluiríamos que f (z) es holomorfa si y solo si f (z) es constante.
iii) En el caso f (z) = U (x; y) + V (x; y) = u (x;�y)� v (x;�y) , tenemos
Ux (x; y) = ux (x;�y) ,
Uy (x; y) = �uy (x;�y) ,
Vx (x; y) = �vx (x;�y) ,
Vy (x; y) = vy (x;�y) ,
luego las ecuaciones de Cauchy-Riemann para f (z) en el punto (x; y)
Ux = Vy , Uy = �Vx ,
son las mismas que las de f (z) en el punto (x;�y) , y concluimos que f (z) es
también holomorfa.
CAPITULO 3
CAPITULO 3. SERIES DE POTENCIAS. FUNCIONES
ELEMENTALES
3.1 Sucesiones y series de números complejos
3.2 Sucesiones y series de funciones complejas
3.3 Series de potencias
3.4 La función exponencial, funciones trigonométricas, la fun-
ción potencial compleja
3.5 Funciones multiformes. Super�cies de Riemann
3.6 Ejercicios
SERIES DE POTENCIAS. LAS FUNCIONES
ELEMENTALES
3.1 SUCESIONES Y SERIES DE NUMEROS COMPLE-
JOS
Se de�nen los conceptos de sucesión y serie de números complejos de forma
análoga al campo real. Así pues entenderemos por una sucesión de números
complejos una aplicación de los números naturales N en C, de tal forma que a
cada n 2 N le corresponde un número complejo an, a esta sucesión la repre-
sentaremos por fangn2N :
Una serie será una sucesión de números complejos fAngn2N de tal forma
que el término a-nésimo An se obtiene como la suma parcial n-ésima de otra 
sucesión asociada fangn2N ; es decir
An = a0 + a1 + ::: + an:
Diremos que una sucesión es fundamental o de Cauchy si dado " > 0; existe 
n0 2 N tal que para todos n1; n2 � n0; se tiene
jan� amj < ":
Diremos que fangn2N es convergente a a si dado " > 0; existe n0 2 N tqal
que para todo n � n0; se tiene
jan � aj < ";
también diremos que a es el límite de fangn2N y escribiremos
lim an
n!1
= a:
Basándonos en la noción de convergencia de sucesiones complejas, de�nimos
también la noción de convergencia de las series de términos complejos. Dada
una serie
An = a0 + a1 + :::+ an
de términos complejos, diremos que converge a A si la sucesión fAngn2N de
sumas parciales converge a A: Diremos también que A es el límite de fAngn2N
y lo representaremos por
A = lim
n!1
An = lim (a0 + a1 + :::+ an)
n!1
= a0 + a1 + :::+ an + :::
Una serie de términos complejos
P
an se dice absolutamente convergente si
la serie de términos reales no negativos
P
janj converge.
Se tiene
Proposición 3.1.1.Toda serie absolutamente convergente es convergente.
Demostración. Ejercicio () :
Finalmente establecemos el criterio de la raiz para la convergencia de series
de términos complejos que extiende el criterio de la raiz para series reales.
Teorema 3.1.1. Dada una serie de números complejos
1P
n=1
an; sea
� = lim sup
n!1
n
p
janj;
entonces si � < 1 la serie converge absolutamente y si � > 1 la serie diverge.
Demostración. Ejercicio () :
En el caso � = 1; el criterio no proporciona información sobre la convergencia
de la serie. Recordemos también que si existe el límite
lim
n�!1
janj
jan�1j
;
entonces este límite coincide con el de la raiz y de esta manera se obtiene el
llamado criterio del cociente.
Teorema 3.1.2. Dada una serie de términos complejos
1P
n=1
an; si existe el
límite
� = lim
n�!1
janj
jan�1j
;
entonces si � < 1 la serie converge absolutamente y si � > 1 la serie diverge.
3.2 SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES COM-
PLEJAS
Sea A � C un abierto, llamaremos sucesión de funciones de variable compleja
en A a una aplicación de los números naturales en el conjunto de las funciones
ff : A �! Cg ; de tal manera que a cada n 2 N; le corresponde una función
fn : A �! C: Representaremos una sucesión de funciones por ffngn2N :
Llamaremos serie de funciones de variable compleja en A a una sucesión
fFngn2N donde el término n-ésimo Fn : A �! C viene expresado como la suma
parcial n-ésima de otra sucesión asociada ffngn2N, es decir
Fn (z) = f0 (z) + f1 (z) + :::+ fn (z) :
Representaremos la serie fFngn2N por la notación
1P
n=1
fn:
De�nición 3.2.1. Diremos que una sucesión ffngn2N ; fn : A �! C; A
abierto converge en z0 2 A; cuando converge la sucesión numérica ffn (z0)gn2N :
Diremos que la sucesión ffngn2N converge puntualmente, cuando converge para
todo z 2 A:
Ejemplo 1. La sucesión de funciones
fn (z) =
zn
n
; n = 0; 1; ::
converge puntualmente a la función f (z) � 0 en el disco unidadD = fz jjzj = 1g :
De�nición 3.2.2. Diremos que la serie
f0 + f1 + ::: + fn + :::
converge en un punto z0 2 A; A abierto de C; si la sucesión fFn (z0)gn2N ; 
converge donde
Fn = f0 + f1 + ::: + fn:
Diremos que la serie converge puntualmente en A si la sucesión fFngn2N
converge puntualmente en A:
Ejemplo 2. La serie
1 + z + :::+ zn + :::
converge puntualmente en el disco unidad D = fz jjzj < 1g pues en este caso
Fn (z) = 1 + z + :::+ z
n =
1� zn+1
1� z ;
converge puntualmente a
F (z) =
1
1� z :
De�nición 3.2.3. Diremos que la sucesión de funciones ffngn2N en A;
donde A � C es un abierto, converge uniformemente hacia la función f si para
todo � > 0; existe n0 2 N, tal que
jfn (z)� f (z)j < �;
para todo z 2 A; y todo n � n0:
La sucesión de funciones del Ejemplo 1 converge también uniformemente a
la función f (z) � 0 en el disco unidad pues dado � > 0; encontramos n0 2 N
tal que 1n < � para n � n0 y claramente se tiene
jfn (z)� f (z)j =
����znn
���� � 1n < �;
para n � n0; z 2 D:
Sin embargo la sucesión de funciones ffngn2N de�nida por
f (z) = zn;
no converge uniformemente en el disco unidad D, aunque si converge puntual-
mente a la función idénticamente nula f (z) � 0:
En efecto, es inmediata la convergencia puntual, sin embargo la convergencia
no puede ser uniforme pues considerando los puntos
zn = 1�
1
n
;
se tiene
fn (zn) =
�
1� 1
n
�n
�! 1
e
;
de tal forma que si tomamos � talque 0 < � < 1e ; no podemos encontrar n0 2 N
tal que
jfn (z)j < � ; n � n0; z 2 D; 
pues esto contradiría la convergencia fn (zn) �! 1e :
De�nición 3.2.4. Se dice que la serie
1P
n=1
fn (z) converge uniformemente
en un abierto A, si la sucesión fFngn2N , donde
Fn = f0 + :::+ fn;
converge uniformemente en A:
Existe un criterio de gran aplicabilidad para asegurar la convergencia uni-
forme de una serie de funciones, este es el llamado criterio de la mayorante de
Weierstrass.
Teorema 3.2.1. (Criterio de la mayorante de Weierstrass). Una
condición su�ciente para que la serie de funciones
1P
n=1
fn converja uniforme-
mente en un conjunto A � C; es que exista una serie numérica convergente
1P
n=1
an tal que
jfn (z)j � an , 8z 2 A; n = 1; 2; :::
La serie
1P
n=1
an se dice que es una mayorante de la serie de funciones
1P
n=1
fn:
Demostración. En efecto, dado � > 0; existe n0 2 N; tal que
an+1 + :::+ an+p < �;
para n � n0 , p 2 N arbitrario.
Por la condición de mayorante también tendremos
jfn+1 (z) + :::+ fn+p (z)j � jfn+1 (z)j+ :::+ jfn+p (z)j � an+1 + :::+ an+p < �;
luego la sucesión de las sumas parciales fFn (z)gn2N converge puntualmente a
una función F (z) :
La convergencia uniforme de fFn (z)gn2N a F (z) en A se sigue del hecho
que dado � > 0, encontramos n0 2 N tal queX
��n0
a� < �;
y por tanto
jFn (z)� F (z)j =
������
X
��n
fn (z)
������ �
X
��n
jfn (z)j
�
X
��n0
a� < �;
si n � n0: q.e.d.
Ejemplo. La serie de potencias
1P
n=1
zn converge uniformemente en todo
disco Dr = fz jjzj < rg para 0 � r < 1; pues se tiene
jfn (z)j = jznj < rn;
y
1P
n=1
rn es una serie convergente.
3.3 SERIES DE POTENCIAS
Se llaman series de potencias a las series funcionales de la forma
1X
n=1
an (z � z0)n = a0 + a1 (z � z0) + a2 (z � z0)2 + :::
donde z0 2 C , an 2 C, para todo n: Los números an se llaman coe�cientes de
la serie.
Cuando z0 = 0; se tiene la forma
1X
n=1
anz
n;
y entonces decimos que es una serie centrada en el origen.
Basándonos en el criterio de la raiz para la convergencia de las series numéri-
cas se obtiene una descripción muy sencilla del dominio de convergencia de una
serie de potencias, es decir del conjunto de puntos z 2 C para los cuales la serie
converge. El dominio de convergencia de una serie de potencias siempre está
relacionado con un círculo que llamaremos círculo de convergencia, de tal forma
que la serie converge en el interior y diverge en el exterior, quedando por deter-
minar el comportamiento de la serie en los puntos de la circunferencia frontera
de dicho círculo.
De forma precisa a continuación presentamos el Teorema de Cauchy-Hadamard,
Teorema 3.3.1. (Teorema de Cauchy-Hadamard). Dada la serie
1P
n=1
an (z � z0)n , consideramos el número
� = lim sup
n�!1
n
p
janj:
Entonces si llamamos R = 1� ; tenemos:
i) La serie converge absolutamente en el interior del círculo
DR = fz jjz� z0j < R g
y diverge en el exterior del círculo cerrado
DR = fz jjz � z0j � Rg ;
es decir diverge para todo z 2 C tal que jz � z0j > R:
ii) La convergencia es uniforme en todo el círculo de radio r estrictamente
menor que R, 0 � r < R:
El número R se llama radio de convergencia de la serie de potencias, puede
ser �nito o in�nito y el círculo abierto asociado se llama círculo de convergencia.
Demostración. Aplicamos el criterio de la raiz a la serie de valores absolutos,
es decir,
1X
n=0
janj jz � z0jn ;
y obtenemos
lim sup
n�!1
n
q
janj jz � z0jn = jz � z0j lim sup
n�!1
n
p
janj
= jz � z0j�;
de tal forma que la serie convergerá si jz � z0j� < 1 es decir jz � z0j < 1� y será
divergente cuando jz � z0j� > 1 es decir cuando jz � z0j > 1� :
Si � = 0;
lim sup
n�!1
n
q
janj jz � z0jn = 0;
y la serie de valores absolutos converge para todo z 2 C:
ii) Por el apartado i) la serie es absolutamente convergente en z = z0 + r; es
decir
1X
n=0
janj rn;
converge. Pero esta serie es una mayorante de
1X
n=0
janj jz � z0jn ;
para todo z 2 Dr (z0) ; luego ii) se sigue del criterio de la mayorante de Weier-
strass. q.e.d.
Ejemplo. El radio de convergencia de la serie
1X
n=0
nzn;
es R = 1; Pues
lim
n�!1
n
p
n = 1:
La convergencia uniforme sobre los círculos de radio menor que el círculo de
convergencia tiene la importante consecuencia que las series de potencias son
contínuas en el interior el círculo de convergencia. Resulta también que la suma
de una serie de potencias es derivable en el interior del círculo de convergencia.
Teorema 3.3.2. La función de�nida por la suma de una serie de potencias
en su círculo de convergencia es derivable en todo punto de dicho círculo, además
la derivación puede hacerse término a término. Es decir
d
dz
1X
n=0
an (z � z0)n
!
=
1X
n=0
nan (z � z0)n�1 :
Demostración. Podemos suponer z0 = 0 sin pérdida de generalidad. En
primer lugar comprobamos que el radio de la serie derivada
1X
n=0
nanz
n�1;
coincide con el radio de la serie dada. Esto se sigue de la fórmula de Cauchy-
Hadamard pues
lim sup
n�!1
n
p
n janj = lim
n�!1
n
p
n � lim sup
n�!1
n
p
janj;
teniendo en cuenta que
lim
n�!1
n
p
n = 1:
Sea ahora z1 un punto del círculo de convergencia D (0; R) de la serie dada,
entonces se tiene
f (z)� f (z1)
z � z1
=
1
z � z1
1X
n=0
anz
n �
1X
n=0
anz
n
1
!
=
1X
n=0
an
zn � zn1
z � z1
=
1X
n=0
an
�
zn�1 + zn�2z1 + :::+ z
n�1
1
�
:
Tenemos que probar que el límite de la suma de esta serie, cuando z tiende
a z1 es
1X
n=0
nanz
n�1
1 :
Puesto que z1 pertenece al círculo D (0; R) se puede tomar R1 tal que
jz1j < R1 < R;
de tal forma que la serie derivada está mayorada por la serie
1X
n=0
n janjRn�11 ;
que a su vez es convergente, por serlo absolutamente en z = R1; la serie derivada.
Dado � > 0, podemos, por tanto, encontrar m 2 N tal que
a)
1X
n=m
n janjRn�11 <
�
4
;
de donde resulta para valores de z tales que jzj � R1
b)
�����
1X
n=m
an
�
zn�1 + zn�2z1 + :::+ z
n�1
1
������ < �4 ;
pues para estos valores���zn�1 + zn�2z1 + :::+ zn�11 ��� < nRn�11 :
También de a) se deduce �����
1X
n=m
nanz
n�1
1
����� < �4 ;
pues
jz1j < R1:
De estas desigualdades concluimos para z tal que jzj � R1�����f (z)� f (z1)z � z1 �
1X
n=1
nanz
n�1
1
�����
�
m�1X
n=0
janj
���zn�1 + zn�2z1 + :::+ zn�11 �� nzn�11 ��
+
�����
1X
n=m
an
�
zn�1 + zn�2z1 + :::+ z
n�1
1
������
+
�����
1X
n=m
nanz
n�1
1
�����
<
m�1X
n=0
janj
���zn�1 + zn�2z1 + :::+ zn�11 �� nzn�11 ��+ �2 :
3.4 LA FUNCION EXPONENCIAL COMPLEJA. LAS
Ahora el sumatorio del último término de esta cadena de desigualdades es
una suma de valores absolutos de polinomios y por tanto una función contínua,
por lo que podemos encontrar un entorno U (z1) de tal forma que para todo
z1 2 U (z1) ; dicho sumatorio es menor que �2 ; de donde concluimos�����f (z)� f (z1)z � z1 �
1X
n=1
nanz
n�1
1
����� < �;
i.e.
lim
z�!z1
f (z)� f (z1)
z � z1
=
1X
n=1
nanz
n�1
1 :
q.e.d.
De�niremos la función exponencial ez mediante la relación
ez = 1 + z +
z2
2!
+
z3
3!
+ :::
is inmediato comprobar que la serie converge en todo el plano, es decir, tiene
radio de convergencia R =1:
Claramente cuando consideramos números reales z = x, entonces nuestra
de�nición es coincidente con la exponencial real.
La fórmula del campo real
ex1+x2 = ex1ex2
permanece válida en el campo complejo
ez1+z2 = ez1ez2
y puede demostrarse mediante la multiplicaciónde series.
Para valores imaginarios z = iy tenemos
eiy =
1X
n=0
(iy)
n
n!
=
1X
n=0
(�1)k y
2k
(2k)!
+ i
1X
k=0
(�1)k y
2k+1
(2k + 1)!
= cos y + iseny:
Por tanto
ez = ex+iy = exeiy = ex (cos y + iseny) ;
esta importante relación es conocida como fórmula de Euler.
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS, LA FUNCION 
POTENCIAL COMPLEJA
También deducimos ��eiy�� = jcos y + isenyj = 1;
jezj = jexj
��eiy�� = ex;
y claramente
arg ez = Im z = y:
La función ez es periódica, de periodo 2�i; en efecto
ez+2�i = eze2�i = ez;
pues
e2�i = cos 2� + isen2� = 1:
Recordando la forma polar de un número complejo
z = r (cos � + isen�) ;
donde r = jzj ; � = arg z; observamos que todo número complejo admite la
formaz = rei�:
Mediante derivación término a término concluimos también, como en el caso
real
d
dz
(ez) = ez:
En el campo real si x es positivo, la ecuación ey = x; tiene una única solución
y = log x:
Por el contrario en el campo complejo si z 6= 0; la ecuación ew = z tiene
in�nitas soluciones, cada una de las cuales se dice que es una determinación del
logaritmo de z:
Escribiendo w = u+ iv se tiene
eu (cos v + isenv) = z;
de donde v ha de ser uno de los valores de arg z y eu = jzj o bien u = log jzj :
Por tanto toda solución de la ecuación ew = z es de la forma
w = log jzj + i arg z;
luego existen tantas determinaciones del logaritmo como determinaciones de 
arg z; y dos determinaciones cualesquiera de log z di�eren en un múltiplo de 
2�i:
Llamaremos valor principal de log z al valor que se obtiene dando a arg z 
su valor principal Argz: El valor principal del logaritmo, en el caso z = x real, 
coincide con el logaritmo ordinario para x > 0:
Más adelante volveremos con la función log z cuando tratemos con mas de-
talle las funciones multiformes.
A continuación introducimos las funciones trigonométricas en el campo com-
plejo.
De�nimos las funciones senz y cos z cuando z es complejo, también como
suma de series de potencias que extienden las correspondientes al caso real. Esto
es
senz =
1X
n=0
(�1)n z
2n+1
(2n+ 1)!
, cos z =
1X
n=0
(�1)n z
2n
(2n)!
;
y otra vez se comprueba que ambas series convergen en todo el plano, es decir
su radio de convergencia es R =1:
Por derivación término a término se obtiene
d
dz
(senz) = cos z ,
d
dz
(cos z) = senz:
También se de�nen el resto de las funciones trigonométricas por
tgz =
senz
cos z
, cot z =
1
tgz
, secz =
1
cos z
, cosecz =
1
senz
:
Con nuestras de�niciones se deducen inmediatamente las relaciones
eiz = cos z + isenz , e�iz = cos z � isenz;
o equivalentemente las relaciones de Euler
cos z =
1
2
�
eiz + e�iz
�
, senz =
1
2i
�
eiz � e�iz
�
:
Finalmente introducimos las funciones hiperbólicas de una variable compleja
de forma análoga al caso real, es decir de�nimos
senhz =
1
2
�
ez � e�z
�
, cosh z =
1
2
�
ez + e�z
�
;
y a partir de ellas el resto de las funciones hiperbólicas.
Finalmente de�nimos la función potencial con exponente complejo z� , � 2 C; 
mediante
z� = e� log z:
Otra vez, por cada determinación del logaritmo, obtenemos una determi-
nación de la función potencial. Hablaremos de la determinación principal de 
la función potencial a aquella correspondiente a la determinación principal del 
logaritmo.
3.5 FUNCIONES MULTIFORMES. SUPERFICIES DE
RIEMANN
Nos hemos encontrado en los apartados anteriores ejemplos de funciones como
w = arg z , w = log z , w = z� , (� complejo) ;
que para cada valor de z, el valor de la función w puede asumir varios o in�nitos
valores. Este hecho claramente contradice el concepto de función en el sentido
de aplicación.
Es por esto que distinguiremos en lo que sigue entre �función uniforme�y
�función multiforme�. Una función uniforme será aquella que se corresponde en
sentido estricto con el concepto de función, es decir, que para cada valor de la
variable z tenemos un único valor w = f (z) de la función. Por el contrario, una
función multiforme será aquella que para cada valor de la variable z; la función
w = f (z) puede tomar diversos valores, pero de tal manera que si localmente
�jamos una elección de los posibles valores de w = f (z) ; entonces podemos
trabajar con dicha elección como si fuera una función uniforme.
Aquí no daremos una de�nición precisa de función multiforme, nos limitare-
mos a observar con cierto detalle alguno de los ejemplos antes mencionados.
En primer lugar consideramos la función w =
p
z, este es un caso particular
de la función potencial z�; para � = 12 :
De la de�nición de potencial compleja obtenemos
z
1
2 = e
1
2 ln z = e
1
2 (lnjzj+i arg z)
jzj
1
2 ei
arg z
2 = jzj
1
2 ei
Argz+2k�
2 , k = 0; 1;
=
�
cos
Argz + 2k�
2
+ isen
Argz + 2k�
2
�
, k = 0; 1;
que es la conocida fórmula de Moivre para la raiz cuadrada de los números
complejos.
Nuestra de�nición de z
1
2 es coherente con el concepto de
p
z en el sentido
que �
z
1
2
�2
=
�
jzj
1
2 ei
arg z
2
�2
= jzj ei arg z = z:
Partimos pues de la relación w2 = z y pongamos z y w en polares
z = rei� , w = Rei';
obtenemos
R2e2i' = rei�;
tomando 0 � � � 2�; tenemos dos soluciones
w1 = w1 (z) =
p
rei
�
2 , w2 = w2 (z) =
p
rei
�+2�
2 = �
p
re�i
�
2 :
En particular para z real y positivo tenemos
w1 =
p
r , w2 = �
p
r;
donde por
p
r entendemos la raiz real positiva.
Hacemos variar � de 0 a 2�; entonces z describe una circunferencia de radio r
alrededor del origen, w1 describe una semicircunferencia de centro el origen en el
semiplano superior, empezando en
p
r y terminando en �
p
r y w2 describe una
semicircunferencia en el semiplano inferior empezando en �
p
r y terminando enp
r:
Concluimos que w1 varía de una forma discontinua a lo largo del semieje
real positivo pues cuando z se aproxima a dicho semieje a través del semiplano
superior, w1 se aproxima también a dicho semieje, mientras que cuando z se
aproxima a dicho semieje positivo a través del semiplano inferior, es decir, con
argumento menor que 2�, entonces w1 se aproxima al semieje real negativo.
Análogamente w2 también se comporta de forma discontinua al aproximarse z
al semieje real positivo.
Por tanto la ecuación w2 = z; no tiene una solución uniforme w =
p
z en
todo el plano complejo.
Sin embargo si excluimos el semieje real positivo, es decir, consideramos el
subdominio 
 de C; donde
 = CnR+ , R+ = fx 2 R jx � 0g ;
dicha ecuación tiene dos soluciones w1 (z) ; w2 (z) que llamaremos ramas de la
función w =
p
z en 
:
Un procedimiento ingenioso para representar las dos ramas de la raiz con-
juntamente y que ha resultado muy fructífero para el estudio de las funciones de
variable compleja lo proporciona la introducción de las super�cies de Riemann.
En el caso que nos ocupa de la función w =
p
z; la super�cie de Riemann
asociada se construye de la siguiente manera. Consideremos dos copias C1;C2
del plano complejo C; podemos imaginar C1 superpuesto a C2 y efectuamos en
ambas copias un corte a lo largo del semieje real positivo . Entonces pegamos o
identi�camos el borde inferior del corte en C1 con el borde superior del corte en
C2 y análogamente identi�camos el borde inferior del corte en C2 con el borde
superior del corte en C1.
14
Fig. 3.1
Obtenemos de esta manera un recubridor X del plano C formado por dos
hojas.
Consideremos ahora un valor inicial z0 en una de las hojas que forman X,
por ejemplo C1 y �jemos para este punto de X el valor w1 (z0) como valor de
la función
p
z en el plano complejo imagen. Hagamos entonces a z describir
en X un camino que rodea al origen partiendo de z0, en algún momento z
alcanzará el borde inferior de C1, entonces pasará al plano C2; de tal manera
que haciendo variar de forma continua el valor w (z) ; al llegar de nuevo a z0 en C2
obtendremos el valor w2 (z0) ;recorriendo entonces el mismo camino pero esta vez
en C2; �nalmente llegaríamos al punto inicial z0 en C1 con valor correspondiente
en el plano imagen w1 (z0) :
Es decir en este caso se comprueba que
p
z establece una corresponden-
cia biyectiva entre X y el plano complejo. Diremos que X es la super�cie de
Riemann asociada a la función w =
p
z:
� �
Consideremos ahora un valor inicial z0 de tal forma que la rama w1 toma
en este punto el valor w01 = w1 (z0) : Fijamos en el plano C1 el valor w01 y
describimos un camino cerrado en el plano complejo C; que encierre el origen y
en sentido positivo, es decir, en sentido contrario al de las agujas del reloj.
Cuando la variable z recorre este camino y vuelve al punto z0; entonces la
rama w1 partirá de w01 en C1 y en algún momento alcanzará el borde inferior de
C1; entonces pasará al plano C2 donde describirá un camino cerrado con valores
w2 hasta alcanzar el borde inferior de C2; atravesando el borde superior de C1
y volviendo de una formacontinua hasta el valor w01 inicial.
Esto se deduce de la manera en que fueron de�nidas las ramas w1; w2 de
p
z
y de esta forma se comprueba que
p
z establece una correspondencia biunívoca
entre el plano complejo C y la super�cie de Riemann construida arriba.
15
El punto z = 0 juega un papel distinguido en el modelo descrito anteri-
ormente pues cuando z describe un camino cerrado simple alredor del origen,
entonces w =
p
z pasa del plano C1; al plano C2, esto no ocurre cuando el
camino cerrado no rodea al origen pues en este caso el argumento de z no queda
incrementado en 2� sino que vuelve al valor inicial. Por esta razón se dice que
el punto z = 0 es un punto de rami�cación de la función w =
p
z:
De forma más general podemos considerar la función n
p
z, es decir w = z
1
n :
En este caso tenemos la relación wn = z; y para cada valor de z; tenemos n
valores diferentes w1; w2; ::; wn de w; dados por
wj = r
1
n
�
cos
� + 2j�
n
+ isen
� + 2j�
n
�
, j = 0; 1; ::; n� 1:
El punto z = 0 es un punto de rami�cación y la super�cie de Riemann
correspondiente a esta función se compone de n hojas C1; ::;Cn: El punto de
rami�cación en este caso es de orden n� 1:
Fig.3.2
Super�ce de Riemann de w =
p
z, Super�cie de Riemann de w = n
p
z:
Describimos a continuación la super�ce de Riemann de la función w = log z:
En este caso cada entero k da lugar a una rama
wk = log r + i (� + 2k�)
de log z donde z = rei�, es decir en este caso tenemos in�nitas ramas diferentes. 
La super�cie de Riemann de log z ha de tener pues in�nitas hojas y argumen-
tando como en el caso de la raiz puede obtenerse a partir de una sucesión
:::C�2; :C�1; C0; C1; C2; ::
de copias del plano plano complejo C cortado a lo largo del semieje real positivo, 
de tal forma que cada copia Ck tiene soldado su borde inferior con el borde
superior de Ck+1; y su borde superior con el borde inferior de Ck 1: De esta
manera cuando nosotros giramos en torno a z = 0; vamos pasando de una rama
a la siguiente sin volver nunca al punto de partida. Diremos que z = 0 es un
punto de rami�cación de orden in�nito
Fig.3.3
Super�cie de Riemann de w = log z:
3.6 EJERCICIOS
1. Estudiar el radio de convergencia de las series
i)
X
n�0
nzn;
ii)
X
n�1
1
n
zn:
2 .Determinar los dominios de convergencia de las siguientes series
i)
1X
n=1
�
1 +
1
n
�
(z + 1 + i)
n
;
ii)
1X
n=1
�
(z � i)n
n!
+ n (z + 1� i)n
�
:
3. Determinar el radio de convergencia de las siguientes series en función del
parámetro
i)
1X
n=1
en
p
zn;
ii)
1X
n=1
qn
2
zn; q > 0:
4. i) Calcular el radio de convergencia de la serie
F (z) =
1X
n=1
zn
n2
;
y estudiar el comportamiento de la serie en la frontera del círculo de convergen-
cia.
ii) Determinar el desarrollo en serie de F 0 (z) en el interior del círculo de
convergencia. ¿Presentan el mismo comportamiento en la frontera F y F 0?:
5. Dadas las series de potencias
i)
1X
n=1
zn
n
,
ii)
1X
n=1
�nzn , � > 0;
se pide:
1) determinar el radio de convergencia en cada caso,
2) sumar la serie en el círculo de convergencia,
3) estudiar la continuidad de las expresiones obtenidas en la circunferencia
de radio igual al radio de convergencia.
6. Dada la serie
S (z) = z2 +
z2
1 + z2
+
z2
(1 + z2)
2 +
z2
(1 + z2)
3 + :::;
se pide:
i) demostrar que la suma de los n primeros términos Sn (z) es
Sn (z) = 1 + z
2 � 1
(1 + z2)
n�1 ;
ii) estudiar la convergencia y la convergencia uniforme de la serie.
7. Describir las curvas del plano complejo, a lo largo de las cuales son reales
las funciones
i) w = ez , ii) w = cos z , iii) w = senz:
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS
DEL TEMA 3
Problema 1. Estudiar el radio de convergencia de las series
i)
1P
n=0
nzn , ii)
1P
n=1
1
nz
n .
Solución.
i) 1R = lim sup
n!1
n
p
n = 1 , luego R = 1 ,
ii) 1R = lim sup
n!1
n
q
1
n = 1 , luego R = 1 .
Problema 2. Determinar los dominios de convergencia de las siguiente
series
i)
1X
n=1
�
1 +
1
n
�
(z + 1 + i)
n ,
ii)
1X
n=1
�
(z � i)n
n!
+ (z + 1� i)n
�
.
Solución.
i) El dominio de convergencia es el círculo B (�1� i; 1) pues es una serie de
potencias y
1
R
= lim sup
n!1
n
s�
1 +
1
n
�
= 1 .
ii) El dominio de convergencia de la serie
1P
n=1
(z�i)n
n! es C pues el radio de
convergencia R1 =1 , en efecto
1
R1
= lim sup
n!1
n
r
1
n!
,
ahora bien
log lim
n!1
n
r
1
n!
= lim
n!1
log
n
r
1
n!
= lim
n!1
� log n!
n
y por la fórmula de Stirling
n! ' nn
p
2�ne�n ,
luego
log lim
n!1
n
r
1
n!
= lim
n!1
�n log+n� logn2
n
= �1 ,
luego 1R = 0 and R =1:
Es decir la primera serie converge en todo el plano y por tanto el dominio
de la serie suma coincidirá con el de la segunda serie
1P
n=1
(z + 1� i)n que es el
círculo B (�1 + i; 1), pues
1
R
= lim sup
n!1
n
p
n = 1,
de tal forma que R = 1:
Problema 3. Determinar el radio de convergencia de las siguientes series
en función del parámetro
i)
1P
n=1
en
p
zn ,
ii)
1P
n=1
qn
2
zn , q > 0 .
Solución.
i) 1Rp = lim supn!1
n
p
enp , tomamos logaritmos y obtenemos
log
�
lim
n!1
n
p
enp
�
= lim
n!1
�
log
n
p
enp
�
= lim
n!1
np
n = limn!1
np�1 =
8<: 1 ; p > 11 ; p = 1
0 ; p < 1
, es decir Rp =
8<: 0 ; p > 11e ; p = 1
1 ; p < 1.
ii) 1Rq = lim supn!1
n
p
qn2 , tomamos logaritmos y obtenemos
log
�
lim
n!1
n
p
qn2
�
= lim
n!1
�
log n
p
qn2
�
= lim
n!1
n2 log q
n =
8<: +1 ; q > 10 ; q = 1�1 ; q < 1 , es decir Rq =
8<: 0 ; q > 11 ; q = 11 ; q < 1 .
Problema 4.
i) Calcular el radio de convergencia de la serie
F (z) =
1X
n=1
zn
n2
,
y estudiar el comportamiento de la serie en la frontera del círculo de convergen-
cia,
ii) Determinar el desarrollo en serie de F 0 (z) en el interior del círculo de
convergencia. ¿Presentan el mismo comportamiento F y F 0en la frontera?
Solución.
i) R = 1
lim sup
n!1
n
q
1
n2
= 1 , la serie converge absoluta y uniformemente en la
frontera, es decir la circunferencia unidad C = fz j jzj = 1g ; pues está may-
orada por la serie númerica
1P
n=1
1
n2 ,
ii) por el teorema de derivación término a término de las series de potencias,
el desarrollo en serie de la derivada F 0 (z) es F 0 (z) =
1P
n=1
zn�1
n que tiene el
mismo radio de convergencia R = 1 pero el comportamiento en la frontera C es
distinto pues la serie diverge para z = 1
Problema 5. Dadas las series de potencias
i)
1X
n=1
zn
n
, ii)
1X
n=1
�nzn , � > 0 ,
se pide:
1) determinar el radio de convergencia en cada caso,
2) sumar la serie en el círculo de convergencia,
3) estudiar la continuidad de las expresiones obtenidas en la circunfer-
encia de en la circuferencia de radio igual al radio de convergencia.
Solución.
Serie i)
1) R =
1
lim sup
n!1
n
q
1
n
= 1;
2) f (z) =
n=1X
n=0
zn
n
; f 0 (z) =
n=1X
n=0
zn ;
luego
f 0 (z) =
1
1� z y por tanto f (z) = ln
1
1� z ;
por los teoremas de derivación e integración de una serie de potencias término
a término.
3) f (z) es continua en C = fz j jzj = 1g excepto en z = 1 .
Serie ii)
1) R =
1
lim sup
n!1
n
p
�n
=
1
�
,
2) f (z) =
n=1X
n=1
�nzn =
�z
1� �z ,
3) f (z) es continua en C1=� =
�
z j jzj = 1
�
�
excepto en z =
1
�
:
.
Problema 6. Dada la serie
S (z) = z2 +
z2
1 + z2
+
z2
(1 + z2)
2 +
z2
(1 + z2)
3 :::;
se pide:
i) demostrar que la suma Sn (z) de los n primeros términos es
Sn (z) = 1 + z
2 � 1
(1 + z2)
n�1 ,
ii) estudiar la convergencia y la convergencia uniforme de la serie.
Solución.
i)
Sn (z) = z
2 1 +
1
1 + z2
+ :::+
1
(1 + z2)
n�1
!
= z2
1
(1+z2)n�1
1
1+z2 � 1
1
1+z2 � 1
= z2
1
(1+z2)n � 1
1
1+z2 � 1
= z2
1
(1+z2)n�1
�
�
1 + z2
�
1� (1 + z2)
= 1 + z2 � 1
(1 + z2)
n�1 ,
ii) la serie converge en
�
z
�� ��1 + z2�� > 1	 y converge uniformemente en�
z
�� ��1 + z2�� > 1 + �	 para todo � > 0 y diverge en �z �� ��1 + z2�� < 1	 .
Problema 7. Describir las curvas del plano complejo, a lo largo de las
cuales son reales las funciones
i) w = ez , ii) w = cos z , iii) w = senz .
Solución.
i) w = ez = ex+iy = ex cos y + iexseny ,
para que ez sea real tiene que ocurrir que exseny = 0 o equivalentementeseny =
0 es decir las líneas buscadas son las rectas y = k�i con k 2 Z.
ii) w = cos z =
eiz + e�iz
2
=
e�y+ix + ey�ix
2
=
e�y cosx+ ey cosx+ i (e�ysenx� eysenx)
2
,
así pues para que cos z sea real tiene que ocurrir (e�y � ey) senx = 0 , es decir
e�y � ey = 0 o bien senx = 0 , luego las líneas buscadas son la recta real y = 0
, y también las rectas x = k� con k 2 Z .
iii) w = senz =
eiz � e�iz
2i
=
e�y+ix � ey�ix
2i
=
e�y cosx� ey cosx+ i (e�ysenx+ eysenx)
2i
=
(e�ysenx+ eysenx)� i (e�y cosx� ey cosx)
2
,
luego para que senz sea real tiene que ocurrir (e�y � ey) cosx = 0 , es decir las
líneas buscadas son la recta real y = 0 , y las rectas x = �2 + k� .
CAPITULO 4
CAPITULO 4. INTEGRACION EN EL CAMPO COMPLEJO
EL TEOREMA DE CAUCHY
4.1 Integral de Riemann-Stieltjes
4.2 La integral de una función de variable compleja
4.3 Integrales y primitivas
4.4 El teorema de Cauchy
4.5 Ejercicios
INTEGRACION EN EL CAMPO COMPLEJO.
EL TEOREMA DE CAUCHY
4.1 INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTJES
Sean f; 
 dos funciones complejas acotadas de variable real
f : [a; b] �! C , 
 : [a; b] �! C;
donde [a; b] es un intervalo compacto de R:
Como es usual en la teoría de la integración en el campo real, se consideran
particiones �nitas � del intervalo [a; b] : Una tal partición � viene descrita por
una cantidad �nita de puntos
� = fa = t0 < t1 < ::: < tn = bg :
Llamaremos norma de una partición � y lo representaremos por j�j al
número
j�j = max fjtk�1 � tkj , k = 0; 1; :::; n� 1g :
Denotaremos por P ([a; b]) al conjunto de todas las particiones �nitas de
[a; b] :
Diremos que una partición �0 es más �na que � si � � �0:
Como en el campo real llamaremos suma de Riemann-Stieltjes de la función
f respecto a 
 correspondiente a la partición � al número
S (�; f; 
) =
n�1X
k=0
f (sk) [
 (tk+1)� 
 (tk)] ;
donde sk es un punto del intervalo [tk; tk+1] :
Diremos que f es integrable en el sentido de Riemann-Stieltjes respecto de

; si existe un número complejo I tal que para cada � > 0; existe una partición
��; de manera que para toda partición � más �na que �� se tenga
jS (�; f; 
)� Ij < �;
para toda suma de Riemann-Stieltjes asociada a �:
El número I se denomina integral de f respecto de 
 y se escribe
I =
Z b
a
fd
:
Se deducen facilmente las propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes
análogas al campo rel como por ejemplo la linealidad.
Una propiedad importante que tendrá aplicación continuamente en la teoría
de las funciones de variable compleja es dada por la siguiente proposición.
Proposición 4.1.1. Si f es una función compleja continua en [a; b] y 
de�ne un camino recti�cabel en [a; b] ; entonces existe la integral de Riemann-
Stieltjes de f respecto de 
 y se tiene la relación�����
Z b
a
fd
����� �ML (
) ;
donde M = max fjf (t)j jt 2 [a; b]g y L (
) denota la longitud de 
:
Demostración. La existencia de la integral se deduce mediante un argumento
análogo al usado para probar la integrabilidad en sentido de Riemann de una
función continua.
La desigualdad de la proposición se obtiene de la relación
jS (�; f; 
)j �
n�1X
k=0
jf (sk)j j
 (tk+1)� 
 (tk)j
� (max fjf (t)j ; t 2 [a; b]g)
n�1X
k=0
j
 (tk+1)� 
 (tk)j
� ML (
) ;
pues L (
) por de�nición es el supremo de las sumas
n�1X
k=0
j
 (tk+1)� 
 (tk)j
para todas las particiones � de [a; b] : q.e.d.
Un caso de especial importancia y que será el que nos encontremos con
más frecuencia es cuando la función 
 es de clase C1, en cuyo caso de�ne un
2
camino recti�cable. En este caso la siguiente importante proposición permite
transformar la integral de Riemann-Stieltjes en una integral de Riemann.
Proposición 4.1.2. Si f continua en [a; b] y 
 de�ne un camino de clase
C1 entonces la integral de Riemann-Stieltjes de f respecto de 
 viene dada porZ b
a
fd
 =
Z b
a
f
0dt:
Demostración. Sea 
 (t) = ' (t) + i (t) ; donde 
 y por tanto ', son de
clase C1: De las de�niciones se deduceZ b
a
fd
 =
Z b
a
fd'+ i
Z b
a
fd :
La existencia de estas integrales se deduce de la Proposición 4.1.1 y del hecho
que los caminos de clase C1 son recti�cables.
Por ser f integrable respecto de ', para cada � > 0 existe una partición ��
tal que para toda � más �na y cualquier sucesión �nita fskg ; sk 2 [tk; tk+1] se
tiene �����
n�1X
k=0
f (sk) [' (tk+1)� ' (tk)]�
Z b
a
fd'
����� < �
Por el teorema de los incrementos �nitos
' (tk+1)� ' (tk) = '0 (s0k) (tk+1 � tk) ;
con s0k 2 (tk; tk+1) : Considerando ahora como sucesión intercalada fs0kg, se
obtiene �����
n�1X
k=0
f (s0k)'
0 (s0k) (tk+1 � tk)�
Z b
a
fd'
����� < �:
Por otra parte como f'0 es integrable Riemann existe una partición �0� tal
que �����
n�1X
k=0
f (s0k)'
0 (s0k) (tk+1 � tk)�
Z b
a
f'0dt
����� < �;
luego tomando �� más �na que �0� concluimos�����
Z b
a
f'0dt�
Z b
a
fd'
����� < 2";
y puesto que " es arbitrario Z b
a
f'0dt =
Z b
a
fd';
procediendo de manera análoga con
R b
a
fd concluimos con el enunciado del
teorema. q.e.d.
El resultado anterior es aplicable a caminos 
 diferenciables a trozos.
4.2 LA INTEGRAL DE UNA FUNCION DE VARIABLE
COMPLEJA
Sea f : A ! C una función de variable compleja en el dominio A; y sea

 : [a; b] ! A � C un camino recti�cable con imagen dentro de A. Se de-
�ne la integral de f a lo largo de 
 y se representa porZ
fdz
a la integral de Riemann-StieltjesZ b
a
(f � 
) d
:
De acuerdo con la Proposición 4.1.2, si 
 es de clase C1 la integral de f a lo
largo de 
 viene dada porZ
fdz =
Z b
a
f (
 (t)) 
0 (t) dt:
Las siguientes propiedades de la integración compleja a lo largo de caminos
se deducen inmediatamente a partir de las correspondientes propiedades de la
integral de Riemann-Stieltjes.
i) Propiedad de linealidadZ
(c1f1 + c2f2) dz = c1
Z
f1dz + c2
Z
f2dz;
ii) Si 
1 es el camino opuesto a 
2, i.e. 
2 = � 
1; se tieneZ

1
fdz = �
Z

2
fdz;
iii) Si 
1 y 
2 son caminos yuxtapuestos, es decir, si 
1 : [a; b] ! C;

2 : [b; c]! C, donde a < b < c; y 
2 (a) = 
1 (b) ; entoncesZ

1[
2
fdz =
Z

1
fdz +
Z

2
fdz;
donde 
1 [ 
2 puede ser parametrizado en [a; c] mediante

1 [ 
2 =
�

1 (t) ; 0 � t � b

2 (t) ; b � t � c
;
iv) Se tiene la siguiente estimación����Z
fdz
���� � Z
jf j jdzj �ML (
) ;
donde M = max fjf (z)j ; z 2 
� = 
 [a; b]g ; y L (
) = longitud de 
:
La integral
R
jf j jdzj ha de entenderse como la integral de Riemann-Stieltjes
de la función jf j respecto de la función s : [0; 1]! R+ de�nida por
s (t) = L (
; [a; t]) ;
donde L (
; [a; t]) denota la longitud de la curva 
 restringida a [a; t] ; a � t � b:
Es habitual escribir jdzj en lugar de ds:
En el caso en que 
 es diferenciable entonces s (t) también es diferenciable
y se veri�ca
ds (t)
dt
= j
0 (t)j ;
luego por la Proposición 4.1.2 se tieneZ
jf j jdzj =
Z b
a
jf (t)j j
0 (t)j dt:
La siguiente proposición permite tomar límites dentro de la integral a lo
largo de un camino en el caso de convergencia uniforme.
Proposición 4.2.1. Sea ffngn2N una sucesión de funciones fn : A ! C;
A � C abierto y sea 
 : [a; b]! C un camino recti�cable con 
� = 
 [a; b] � A:
Si las funciones fn son continuas en 
� y fn ! f uniformemente entonces
lim
n!1
Z
fn =
Z
fdz:
Análogamente, si la serie
P
fn converge uniformemente a F , i.e.
P
fn ! F
uniformemente entonces
1X
n=1
Z
fndz =
Z
Fdz:
Demostración. Por la convergencia uniforme de ffngn2N, para cada � > 0
existe n0 2 N tal que jfn (
 (t))� f (
 (t))j < �; para todo t 2 [a; b] y todo
n � n0:
La función f es continua sobrte 
�; luego existe su integral respecto de 
 y
por iv) de las propiedades anteriores se tiene����Z
fdz �
Z
fndz
���� � Z
jf � fnj jdzj < �L;
donde L es la longitud de 
; de donde se deduce la primera a�rmación.
La a�rmación del teorema relativa a las series es consecuencia de la primera
a�rmación aplicada a la sucesión fFngn2N , Fn =
nP
k=1
fk y de la aditividad �nita
de la integralZ
1X
n=1
fn
!
dz =
Z
�
lim
n!1
Fn
�
dz = lim
n!1
Z
Fndz
= lim
n!1
Z
nX
k=1
fk
!
dz = lim
n!1
nX
k=1
Z
fkdz =
1X
n=1
Z