2M-MATEMATICA-2S-G3

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Colegio Poeta Daniel de la Vega. 
Departamento: Matemática 
Profesora: Francesca Rossi Constenla 
Segundo Semestre 
1 
 
GUÍA N°3 – Matemática – Segundo Medio 
 
 
 
ANÁLISIS COMBINATORIO 
El objeto del análisis combinatorio es el estudio de las distintas ordenaciones que pueden formularse con los elementos de un 
conjunto, de los distintos grupos que pueden formarse con aquellos elementos y de las relaciones entre unos y otros grupos. 
TÉCNICAS DE CONTEO 
Son aquellas que proporcionan información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado, es decir son usadas 
para enumerar eventos difíciles de cuantificar. 
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO 
Si una acción puede realizarse de 𝒏𝒏𝟏𝟏 maneras diferentes y una segunda opción puede realizarse de 𝒏𝒏𝟐𝟐 maneras diferentes, entonces 
ambas acciones pueden realizarse secuencialmente de 𝒏𝒏𝟏𝟏 ⋅ 𝒏𝒏𝟐𝟐 maneras diferentes. 
Este principio se puede generalizar para cualquier número de acciones, es decir si una primera etapa ocurre de 𝒏𝒏𝟏𝟏 maneras diferentes, 
una segunda de 𝒏𝒏𝟐𝟐 maneras diferentes, una tercera de 𝒏𝒏𝟑𝟑 maneras diferentes… y una r – ésima etapa puede ocurrir de 𝒏𝒏𝒓𝒓 
maneras distintas, entonces las r acciones se pueden hacer de 𝒏𝒏𝟏𝟏 ⋅ 𝒏𝒏𝟐𝟐 ⋅ 𝒏𝒏𝟑𝟑 ⋅ …𝒏𝒏𝒓𝒓 maneras diferentes. 
PRINCIPIO ADITIVO 
Si los eventos 𝑬𝑬𝟏𝟏 y 𝑬𝑬𝟐𝟐 no pueden ocurrir a la vez, y el evento 𝑬𝑬𝟏𝟏 puede ocurrir en 𝒎𝒎 formas y un segundo evento 𝑬𝑬𝟐𝟐 puede ocurrir 
en 𝒏𝒏 formas, entonces uno de ellos puede ocurrir de 𝒎𝒎 + 𝒏𝒏 formas diferentes. 
Ejemplos: 
1. Si Jorge dispone de 3 camisas diferentes y 5 corbatas también diferentes, entonces ¿de cuántas maneras 
diferentes puede ponerse una camisa y una corbata? 
A) 3 
B) 5 
C) 8 
D) 15 
E) 35 
 
2. Para comprar un desodorante, Mario debe elegir entre 5 marcas, cada una de ellas tiene 2 presentaciones 
(barra y spray). ¿De cuántas maneras Mario puede comprar su desodorante 
A) 2 
B) 5 
C) 10 
D) 20 
E) 52 
 
Nombre: ______________________________________________PUNTAJE IDEAL: 27 puntos 
 
Objetivo: 
Instrucciones: 
OA 11. Utilizar permutaciones y la combinatoria sencilla para calcular probabilidades de eventos y resolver problemas. 
 
• La siguiente guía de trabajo debe ser entregada completa el VIERNES 13 de Noviembre entre las 8:30 a las 16:00 horas, al 
siguiente correo: matematicapdv2020@gmail.com . En el asunto indique el número de guía, nombre del/la estudiante 
y curso. 
• La presente guía debe ser contestada en una hoja donde realice el desarrollo, este se debe enviar en formato PDF o 
Imágenes. 
• Esta guía se promediará con las siguientes y tiene carácter de EVALUACIÓN FORMATIVA. 
• Se responderán las consultas a través del siguiente correo electrónico: matematicapdv2020@gmail.com en horario de lunes 
a viernes de 9:00 a 14:00. 
• El asunto del correo de consulta debe indicar el curso y nombre del o la estudiante. 
 
mailto:matematicapdv2020@gmail.com
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3. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden agrupar las posibilidades que se dan al lanzar un dado y una 
moneda? 
A) 2 
B) 6 
C) 8 
D) 12 
E) 24 
 
4. Si Don Tito dispone de 5 autos y 3 camionetas, entonces ¿de cuántas maneras diferentes puede movilizarse 
un día cualquiera? 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
1. 5! − 3! = 
A) 2 
B) 2! 
C) 3 ⋅ 19 
D) 3! ⋅ 19 
E) 117 
 
2. Si (𝑛𝑛 + 3)!
(𝑛𝑛 + 1)!
= 156, entonces 𝑛𝑛 = 
A) 5 
B) 10 
C) 20 
D) 30 
E) 40 
 
A) 25 
B) 20 
C) 15 
D) 9 
E) 8 
FACTORIALES 
Para proseguir el estudio de análisis combinatorio es necesario manejar cálculo y propiedades referentes al factorial de un número 
natural. 
El factorial de 𝒏𝒏 o 𝒏𝒏 factorial (𝒏𝒏!) se define como el producto de los primeros 𝒏𝒏 números naturales. 
La expresión 𝒏𝒏! se lee, factorial de 𝒏𝒏 o 𝒏𝒏 factorial. 
Así: 
𝒏𝒏! = 𝒏𝒏 ⋅ (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏) ⋅ (𝒏𝒏 − 𝟐𝟐) ⋅ … ⋅ 𝟒𝟒 ⋅ 𝟑𝟑 ⋅ 𝟐𝟐 ⋅ 𝟏𝟏 
Con lo anterior se puede deducir que: 
𝟏𝟏𝟏𝟏! = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋅ 𝟗𝟗 ⋅ 𝟖𝟖 ⋅ 𝟕𝟕 ⋅ 𝟔𝟔 ⋅ 𝟓𝟓 ⋅ 𝟒𝟒 ⋅ 𝟑𝟑 ⋅ 𝟐𝟐 ⋅ 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋅ 𝟗𝟗! = 𝟏𝟏𝟏𝟏 ⋅ 𝟗𝟗 ⋅ 𝟖𝟖 ⋅ 𝟕𝟕! 
 
Observaciones 
• El factorial de un número negativo no está definido. 
• El factorial de 𝟏𝟏 es 𝟏𝟏, es decir, 𝟏𝟏! = 𝟏𝟏 
• El factorial de 𝟏𝟏 es 𝟏𝟏, es decir, 𝟏𝟏! = 𝟏𝟏 
• 𝒏𝒏! = 𝒏𝒏 ⋅ (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)! 
• 𝒏𝒏!
𝒏𝒏
= 𝒏𝒏 ⋅ (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)!
𝒏𝒏
= (𝒏𝒏 − 𝟏𝟏)! 
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3. ¿Cuál es el valor de 15!
13! ⋅ 2!
? 
A) 2.730 
B) 1.365 
C) 210 
D) 105 
E) 52,5 
 
 
PERMUTACIÓN 
Se llama permutación de 𝒏𝒏 elementos a cada una de las diferentes ordenaciones que se pueden hacer con esos elementos, en las 
permutaciones importa el orden de los elementos. 
PERMUTACIONES SIN ELEMENTOS REPETIDOS 
El número de ordenaciones en fila de 𝒏𝒏 elementos, en los cuales no hay ninguno repetido, se determina según la relación: 
𝑃𝑃𝑛𝑛 = 𝑛𝑛! 
PERMUTACIONES CIRCULARES 
Para determinar el número de ordenaciones en círculo de 𝒏𝒏 elementos distintos, se debe fijar uno de ellos, así el número de 
ordenaciones circulares de 𝒏𝒏 elementos se determina por la relación: 
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 = (𝑛𝑛 − 1)! 
PERMUTACIONES CON ELEMENTOS REPETIDOS 
La ordenación de 𝒏𝒏 elementos, de los cuales hay uno que se repite 𝒌𝒌𝟏𝟏 veces, otro 𝒌𝒌𝟐𝟐 veces, otro 𝒌𝒌𝟑𝟑 veces… el número de formas 
de permutarse entre ellos es 
𝑃𝑃𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟 =
𝑛𝑛!
𝑘𝑘1! ⋅ 𝑘𝑘2! ⋅ 𝑘𝑘3! …
 
. 
Ejemplos: 
1. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 4 personas en una fila? 
A) 4 
B) 16 
C) 24 
D) 64 
E) 216 
 
2. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar cinco niños alrededor de una mesa circular con 5 sillas? 
A) 5 
B) 10 
C) 15 
D) 24 
E) 25 
 
3. ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar cuatro libros de física, tres de química y cinco de matemáticas en un 
estante lineal, si los libros de cada asignatura deben estar siempre juntos? 
A) 4! ⋅ 3! ⋅ 5! 
B) 4! ⋅ 3! ⋅ 5! ⋅ 3! 
C) 4! ⋅ 3! ⋅ 5! ⋅ 3 
D) 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 3 
E) 12! 
 
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4. ¿Cuántas palabras con o sin sentido se pueden formar con todas las letras de la palabra MATEMATICA? 
A) 6! E) 10!
2! ⋅ 2! ⋅ 3!
 
B) 10! 
C) 10!
2! ⋅ 3!
 
D) 10!
7!
 
 
VARIACIONES O ARREGLOS 
En un conjunto de 𝒏𝒏 elementos, se denominan variaciones o arreglos a diferentes ordenaciones que se pueden formar con 𝒌𝒌 
elementos (𝒌𝒌 ≤ 𝒏𝒏). 
VARIACIONES SIN REPETICIÓN 
Dado un conjunto de 𝒏𝒏 elementos, la cantidad de ordenaciones diferentes de 𝒌𝒌 elementos que se pueden obtener, sin repetir, está 
dada por: 
𝑉𝑉𝑘𝑘𝑛𝑛 =
𝑛𝑛!
(𝑛𝑛 − 𝑘𝑘)! 
VARIACIONES CON REPETICIÓN 
Dado un conjunto de 𝒏𝒏 elementos, la cantidad de ordenaciones diferentes de 𝒌𝒌 elementos que se pueden obtener, en los cuales se 
puede repetir uno o más de ellos, está dada por: 
𝑉𝑉𝑉𝑉𝑘𝑘𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑘𝑘 
Observaciones 
En las variaciones o arreglos simples podemos encontrar las siguientes características: 
1. Interesa el orden de los elementos que se agrupan, es decir, 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 ≠ 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 (Se consideran como 𝟐𝟐 casos 
diferentes). 
2. Las variaciones o arreglos son subconjuntos ordenados. 
Ejemplos: 
1. ¿Cuál es el valor de 𝑉𝑉57? 
A) 5.040 
B) 2.520 
C) 1.760 
D) 35 
E) Ninguna de las anteriores 
 
2. ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 
A) 9 
B) 9! 
C) 99 
D) 504 
E) 729 
 
3. ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 
A) 9 
B) 9! 
C) 99 
D) 504 
E) 729 
 
 
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4. ¿Cuántas palabras con o sin sentido, se pueden formar con tres letras de la palabra CAMPEON? 
A) 24 
B) 120 
C) 210 
D) 840 
E) 5.040 
 
COMBINACIONES 
Son los diferentes grupos que se pueden formar con un total de 𝒏𝒏 elementos de modo que cada grupo tenga 𝒌𝒌 elementos, no 
interesando el orden de éstos. 
 
COMBINACIÓN SIN REPETICIÓN 
Dado un conjunto de 𝒏𝒏 elementos, la cantidad de conjuntos de 𝒌𝒌 elementos que se pueden obtener, sin repetición, está dada por: 
𝐶𝐶𝑘𝑘𝑛𝑛 =
𝑛𝑛!
𝑘𝑘! ⋅ (𝑛𝑛 − 𝑘𝑘)! 
COMBINACIÓN CON REPETICIÓN 
Dado un conjunto de 𝒏𝒏 elementos, la cantidad de conjuntos de 𝒌𝒌 elementos que se pueden obtener, con repetición, está dada por: 
𝐶𝐶𝑉𝑉𝑘𝑘𝑛𝑛 = 𝐶𝐶𝑘𝑘𝑛𝑛+𝑘𝑘−1 
Observaciones 
En las combinaciones podemos encontrar las siguientes características: 
1. No interesa el orden de los elementos que se agrupan, es decir, 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 (Se consideran como 𝟏𝟏 solo caso). 
2. Las combinaciones son subconjuntos en los cuales no importa el orden de los elementos elegidos. 
Ejemplos: 
1. ¿Cuál es el valor de 𝐶𝐶79? 
A) 16 
B) 36 
C) 63 
D) 72 
E) Ninguna de las anteriores 
 
2. ¿Cuántos saludos se pueden intercambiar entre sí 12 personas, si cada una solo saluda una vez a cada una 
de las otras? 
A) 11 
B) 12 
C) 24 
D) 66 
E) 144 
 
3. Si en una caja hay 8 corbatas, ¿de cuántas formas se pueden escoger 5 corbatas? 
A) 13 
B) 40 
C) 56 
D) 168 
E) 336 
 
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4. En una tienda hay camisas de 5 colores diferentes. ¿Cuántos grupos de 4 camisas podemos formar? 
A) 5 
B) 20 
C) 70 
D) 120 
E) 625 
 
Actividad 
 
Resuelve los siguientes ejercicios de selección múltiple, cada ejercicio debe tener desarrollo, ya 
sea matemático o por definición de conceptos matemáticos, además de marcar o enunciar la 
alternativa correcta. Cada ejercicio equivale a 3 puntos, en total 27 puntos. 
 
 
1. En un centro comercial todos los LED están con descuento. Aprovechando esta oferta, Carlitos decide 
comprar uno, pero debe elegir entre las siguientes marcas: Sony, Samsung, LG y Panasonic. El LED 
Sony se encuentra en 4 tamaños y 2 colores, el Samsung está en 5 tamaños y 3 colores, el LG está 
en 2 tamaños y 3 colores y el LED Panasonic está en 7 tamaños y un solo color. ¿De cuántas maneras 
puede comprar su LED Carlitos? 
A) 4 
B) 9 
C) 24 
D) 36 
E) 162 
 
2. Una comisión de 16 delegados de la sociedad Negro y Negro debe escoger su directiva, conformada 
por un presidente, un vicepresidente, un secretario y un vocero. Si el cargo de presidente es para el 
socio con mayor cantidad de acciones, ¿de cuántas maneras se puede conformar tal directiva? 
A) 𝑉𝑉416 
B) 𝑉𝑉316 
C) 𝑉𝑉415 
D) 𝑉𝑉315 
E) 𝑉𝑉516 
3. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 
6? 
A) 720 
B) 216 
C) 120 
D) 20 
E) 18 
4. El número de formas distintas en que se pueden sentar 6 concejales de un municipio en los 
tres primeros asientos de la sala de reuniones, considerando que el primer asiento está 
reservado para el Alcalde, es 
A) 18 
B) 30 
C) 36 
D) 72 
E) 216 
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5. Cuatro amigos deciden organizar un campeonato de tenis. En la primera fase se han de 
enfrentar todos entre sí. ¿Cuántos partidos se deben realizar? 
A) 4 
B) 6 
C) 8 
D) 12 
E) 24 
 
6. Usando todas las letras de la palabra CORTINA, ¿cuántas palabras con o sin sentido se 
pueden formar? 
A) 49 
B) 128 
C) 1.260 
D) 2.520 
E) 5.040 
 
7. En una bodega hay cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir 
tres botellas? 
A) 10 
B) 15 
C) 35 
D) 60 
E) 120 
 
8. Siete libros (todos con tapas de distintos colores) se deben ubicar uno al lado del otro en un 
estante. Si el libro de tapa roja se debe colocar en uno de los extremos, y el libro de tapa 
verde en el otro extremo, ¿de cuántas maneras se pueden ubicar los libros? 
A) 35 
B) 120 
C) 240 
D) 720 
E) 1.440 
 
9. En un hospital se debe determinar un turno de tres enfermeras. Si hay 12 enfermeras 
disponibles, ¿cuántos turnos es posible establecer? 
A) 36 
B) 110 
C) 220 
D) 440 
E) 1.320