inecuaciones polinomicas

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U D INECUACIONES  MATEMÁTICAS  Colegio La Presentación 
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1. INECUACIONES POLINÓMICAS  
a) Nos  da  la  inecuación  con  un  polinomio  de  cualquier  grado  de  esta  forma 
    ~   0 .  Donde  ~  es  cualquier  signo  de  estos 
, , , . 
b) Hallamos las raíces de la ecuación     0 . Y nos 
salen:  , , … ,  como mucho n raíces reales. 
c) Las  colocamos  en  una  tabla  como  esta,  y  estudiamos  el  signo  de  la  siguiente 
manera: 
       
       
De esta manera  podemos decir, mirando a la tabla: 
 Si  0 entonces la solución será:  ∞, , , ∞  
 Si  0 entonces la solución será:  ∞, , , ∞  
 Si  0 entonces la solución será:  , , ,  
 Si  0 entonces la solución será:  , , ,  
 
 
 
 
2. INECUACIONES RACIONALES 
a) Nos  da  la  inecuación  con  un  polinomio  de  cualquier  grado  de  esta  forma 
 
    ~   0 . Donde ~ es  cualquier  signo de estos  , ,
, . 
b) Hallamos las raíces de la ecuación     0 . Y nos 
salen:  , , … ,   como mucho n  raíces  reales. También hallamos 
las raíces de  la ecuación      0  y nos vuelven 
a salir ahora como mucho, otras m raíces que pueden coincidir con las anteriores. 
, , … ,   como  mucho,  m  raíces  reales  más.  En 
conclusión hayamos en total y como mucho,   raíces reales. 
c) Las  colocamos  en  una  tabla  como  esta,  y  estudiamos  el  signo  de  la  siguiente 
manera: 
       
       
       
             
  De esta manera  podemos decir, mirando a la tabla: 
 Si   0 entonces la solución será:  , , ,  
 Si   0 entonces la solución será:  , , ,  
 Si   0 entonces la solución será:  ∞, , , ∞  
 Si   0 entonces la solución será:  ∞, , , ∞  
 En este caso SÓLO LLEVARÁN CORCHETE LAS RAÍCES DEL NUMERADOR. 
 
 
 
 
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EJEMPLOS 
A) 2  2 0 
Llamamos  al  polinomio  2  2. Hallamos  las  raíces 
1
1
2
  ,  a 
continuación las colocamos de manera ordenada en la tabla y estudiamos el signo a un 
lado  y  a  otro  de  las  raíces,  para  ello  probamos  los  números  sustituyéndolos  en  el 
polinomio:  3 0  , 1 5 0  , 0 0  , 2 0  . 
  
           2  1 1      
         
Solución de la inecuación:  ∞, 2 1,1  
  
 
 
 
 
 
B) 
 
   
0 
 
 
Llamamos  2  2  y  3  4  12.  Hallamos  las 
raíces 
2
1
1
2
2
3
  ,  a  continuación  y  antes  de  hacer  la  tabla,  vamos  a  simplificar  la 
expresión colocando los polinomios de forma factorizada: 
 
2  2
3  4  12
1 1 2
2 2 3
1 1
2 3
 
 
Ahora si las colocamos de manera ordenada en la tabla y estudiamos el signo a un lado 
y  a otro de  las  raíces, para ello probamos  los números  sustituyéndolos  al  igual que 
antes en el polinomio del numerador, y del polinomio  en el denominador. 
 
  1  1 2 3    
       
       
             
 
 
 
 
SOLUCIÓN:  ∞, 1 1,2 3, ∞  
 
 
 
3. SISTEMAS DE INECUACIONES (1 INCOGNITA) 
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a) Nos dan varias inecuaciones: 
 
b) Se resuelve gráficamente cada inecuación. 
c) Calculamos la INTERSECCIÓN de forma gráfica y esa es la solución. 
 
 
 
 
4. SISTEMAS DE INECUACIONES (2 INCOGNITAS) 
a) Nos dan varias inecuaciones en dos incógnitas   e  . 
 
b) A  continuación dibujamos el  recinto que genera  cada  inecuación de  la  siguiente 
manera y sabiendo lo siguiente: 
 Cada inecuación representa un semiplano en   
 Si la inecuación tiene una desigualdad estricta  ,  entonces el semiplano se 
delimita por una línea discontinua. 
 Si  por  el  contrario,  la  inecuación  tiene  una  desigualdad  no  estricta  , . 
entonces el semiplano se delimita por una línea continua. 
 Cada inecuación se representa realizando una tabla como esta: 
 
0  
  0 
1  
  1
 Por  último,  una  vez  dibujada  la  recta,  decidimos  qué  región  del  plano  es  la 
“adecuada”,  tan  sólo  probar  un  punto  arriba  y  debajo  de  la  recta  en  la 
inecuación. El punto que la verifique estará en el semiplano solución de dicha 
inecuación. 
c) Repetimos el proceso para todas las inecuaciones. Y la solución del sistema será la 
intersección de  todos  los  semiplanos. La  solución  se expresa exclusivamente de 
manera gráfica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJEMPLOS 
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4 
 
C) 
1
4
6
  Dibujamos cada inecuación por separado y hacemos la intersección (LO QUE 
ES COMÚN A TODOS): 
 
SOLUCIÓN:    4,6  
 
D) 
2
2 1
2 3
     Vamos a  representar  cada  inecuación, para ello vamos a  seguir el 
siguiente esquema: 
1. Escribimos  las  rectas  que  representa  cada  inecuación  en  la  forma 
   despejando la   en cada inecuación, así nos queda: 
2
2 1
 
 
2. Representamos   cada    recta   usando    la    tabla   de   valores    indicada   en   el  
punto 4. b) 
       
 
 
   
   
   
   
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
   
   
   
   
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3. Ahora decidimos para cada recta qué región del plano es  la que nos  indica  la 
inecuación dada  al principio. Para  esto nos  vamos  a  fijar  en  sólo una  recta, 
acto  seguido, vamos a elegir dos puntos del plano, que estén, uno encima y 
otro debajo de la recta. Esos dos puntos los vamos a sustituir en la inecuación 
y  vamos  a quedarnos, de  los dos,  con  el que  la  verifique.  Eso  es muy  fácil, 
veámoslo para cada inecuación. 
 
Inecuación 
Puntos 
Encima/Debajo 
Verificación  
Parte que 
nos 
quedamos
2  2,2   2 2 2 Encima 0,0   0 0 2
2 1  0,3   2 · 0 3 1 Debajo 0,0   2 · 0 0 1
2 3  0,0   0 2 · 0 3 Encima 0, 2   0 2 · 2 3
 
4. Ahora tachamos la región que nos ha quedado de cada recta y nos quedamos 
con la intersección de todas las regiones sombreadas. (A veces en la libreta se 
puede ver más claro sombreando la parte que NO nos quedamos, así sólo nos 
queda en blanco la región que queremos.) 
 
 
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5. Señalo la región solución para que se vea más claro