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VECTORES EN EL PLANO
VECTOR: es un segmento orientado determinado por dos puntos A(a1 , a2), origen del vector y B(b1 , b2) extremo del vector
COORDENADAS del vector AB = (b1−a1 , b2−a2).
MODULO: longitud del segmento AB = (b1−a1)2 + (b2−a2)2.
CARACTERISTICAS DE UN VECTOR:
1. Direccion: se representa con la recta en la que esta contenida el vector.
2. Sentido: se indica con la flecha , indica hacia que lado de la linea se dirige el vector.
3. Modulo tamano del vector. 
v⃗
A
B
OPERACIONES CON VECTORES
• GRAFICAMENTE
SUMAR u+v OPUESTO 
RESTAR MULTIPLICAR
u⃗−v⃗
• CON COORDENADAS
SUMAR: u+v = (u1 +v1 , u2+v2) (1,3) + (-2,5) = (-1,8)
RESTAR u⃗− v⃗ = u⃗ + (−v⃗) = (u1 − v1 , u2 − v2) (1,3) - (-2,5) = (1,3) + (2,-5) = (3,-2)
MULTIPLICAR: k·u⃗ = (k·u1 , k·u2) -4·(2,-1) = (-8,4)
v⃗
u⃗
u⃗
v⃗
u+v
u⃗
−v⃗
2·u⃗
-3·u⃗
Vectores equivalentes: son aquellos que tienen el mismo modulo, 
direccion y sentido, por lo que sus coordenadas son iguales
−v⃗
−v⃗
u⃗ - v⃗ = u⃗ + (-v⃗) k·u⃗
 
s
ECUACION GENERAL O IMPLICITA
Ax + By + C=0 
donde el vector director de la recta r es v⃗(-B, A) y el vector normal o perpendicular a r)es n⃗(A,B)
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ELEMENTOS NECESARIOS PARA DEFINIR UNA RECTA EN EL PLANO:
o UN PUNTO A(a1 , a2) Y UN VECTOR V(v1 , v2).
o DOS PUNTOS A(a1 , a2) y B(b1 , b2) Con dos puntos podemos obtener el vector director de la recta r:
v⃗ = AB = (b1−a1 , b2−a2) =(v1 , v2)
Vector normal o perpendicular a r:
ECUACION VECTORIAL
(x , y) = (a1 , a2) + t·(v1 , v2) donde “t” es un numero real.
ECUACION PARAMETRICA 
# x=a1+t·v1
y=a2+t·v2
donde “t” es un numero real.
Despeja “t” de las dos ecuaciones e iguala
ECUACION CONTINUA
x−a1
v1
=
y−a2
v2
ECUACION EXPLICITA
y = mx+n
donde m es la pendiente de la recta (m = -A/B) y n es la ordenada en el origen (punto donde la recta r 
corta al eje y, (0 , n)
Opera en la ecuacion
Recta r
Punto A
v⃗
Despeja y”de la ecuacion anterior
n⃗
ECUACIONES DE LA RECTA EN EL PLANO
Opera en 2º miembro e iguala coordenadas
n⃗ =(v2 , -v1) o (-v2 , v1)
Si la recta r tiene como pendiente m
la pendiente de la recta perpendicular a r es
-1
m
r
r
r r
r
r e
r e n
l
l
http
s://m
a
rielm
a
tesb
log.w
ord
p
ress.com
/
POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
POSICIONES VECTORES DIRECTORES PENDIENTES REPRESENTACION
PARALELAS
Misma direccion
Ningun punto de 
interseccion
Proporcionales
(v1 , v2) = k·(u1 , u2)
Iguales
m = m’
COINCIDENTES
Misma direccion
Todos los puntos 
comunes
Proporcionales
(v1 , v2) = k·(u1 , u2)
Iguales 
m = m’
SECANTES
Distinta direccion
Un punto en comun
No proporcionales
(v1 , v2) ≠ k·(u1 , u2) Distintas
m ≠ m’
Para distinguirlos, toma un punto de una recta, 
si verifica la ecuacion de la otra, entonces son 
coincidentes, si no lo cumple son ,paralelas
q PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE EXTREMOS 
A(a1 , a2) Y B(b1 , b2).
M = (
a1+b1
2 ,
a2+b2
2 ) = 
A + B
2
q DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS A Y B
La distancia entre dos puntos se define como el modulo 
del vector AB, 
AB = b1−a1
2
+ b2−a2
2
PROBLEMAS GEOMÉTRICOS EN EL PLANO
q DISTANCIA ENTRE EL PUNTO A Y LA RECTA r
Procedimiento:
1) Obtener la pendiente de la recta perpendicular a r
2) Hallar la recta s, perpendicular a r, que pasa por el 
punto A
3) Hallar la interseccion entre r y s, punto Q
4) Hallar la distancia entre los puntos A y Q, AQ
PROBLEMAS GEOMETRICOS EN EL PLANO
A
Recta r
Q
Recta s
Dist(A,r)= AQ
A
B
r
r
ht
tp
s:/
/m
a
rie
lm
a
te
sb
lo
g.
w
or
d
p
re
ss
.c
om
/
q PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES 
es un numero que se calcula de la siguiente forma:
u⃗· v = u1· v1 + u2· v2
q ANGULO QUE FORMAN DOS VECTORES
r
s
α cos α = vr· vs
vr · vs
q VECTORES PERPENDICULARES
Dos vectores ⃗u y v⃗ son perpendiculares si, y solamente si, su producto escalar es 0, u⃗· v⃗=0 .
q VECTOR UNITARIO
Un vector es unitario si su modulo es 1 u⃗ =1 Para conseguir un vector unitario basta con
u⃗
u⃗
q PUNTO SIMETRICO DE UN PUNTO A RESPECTO A UNA RECTA r : A’
A
Recta r
M
Recta s
Procedimiento:
1) Obtener la pendiente de la recta perpendicular a r
2) Hallar la recta s, perpendicular a r, que pasa por el punto A
3) Hallar la interseccion entre r y s, punto M
4) M es el punto medio entre A y el punto simetrico A’ Despejar 
A’ de M=
A+A′
2
A’
q MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO AB.
La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio de AB y es perpendicular al segmento.
Recta r, mediatriz
M
Procedimiento:
1) Obtener el punto medio M entre A y B 
2) Halla el vector perpendicular al vector AB
3) Hallar la recta r, perpendicular al segmento AB, que pasa por el 
punto M. La recta r es la mediatriz.
A B
q DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS r Y s PARALELAS. Procedimiento:
1) Obtener un punto de cualquiera de las dos rectas r o s.(Por ejemplo, 
A perteneciente a s)
2) Obtener la pendiente de la recta perpendicular a r
3) Hallar la recta t, perpendicular a r y a s, que pasa por el punto A
4) Hallar la interseccion entre r y t, punto Q
5) Hallar la distancia entre los puntos Ay Q, AQ
A
r
Q
s
t
Dist(r,s)= AQ
Si u⃗= a , b , v=(-b , a)
r
i