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Ejercicios (Tema 1)
18 de octubre de 2012
1. Ecuaciones de la recta
Una recta queda determinada dando un punto por el que pasa y un vector no nulo, el cual
determina la dirección de dicha recta.
1.1. Ecuación vectorial de la recta en R2 y en R3
Sea la recta r que pasa por el punto A y lleva la dirección del vector no nulo ~u, y sea X un
punto cualquiera de la recta r. Entonces, el vector AX es proporcional al vector ~u, por estar
en la misma dirección. Es decir,
AX = λ~u,
siendo λ ∈ R cualquiera (parámetro). Si ~a = OA y ~x = OX los vectores de posición de los
puntos A y X, respectivamente; entonces, observando las siguientes dos figuras
Figura 1: Recta en R2 y R3
obtenemos ~x = ~a+ AX, es decir,
~x = ~a+ λ~u, con λ ∈ R.
1
Matemáticas I Grado en Química Ejercicios (Tema 1)
1.2. Ecuación paramétrica de la recta en R2
Sean (x, y), (a1, a2) y (u1, u2) las coordenadas de los vectores ~x, ~a y ~u, respectivamente.
Sustituyendo en la ecuación vectorial, resulta{
x = a1 + λu1
y = a2 + λu2
con λ ∈ R. (1)
1.3. Ecuación continua de la recta en R2
De (1), si u1 6= 0 y u2 6= 0, despejando el parámetro λ, obtenemos
x− a1
u1
=
y − a2
u2
. (2)
1.4. Ecuación implícita de la recta en R2
Operando en la ecuación (2), obtenemos (x− a1)u2 = (y − a2)u1, es decir,∣∣∣∣x− a1 y − a2u1 u2
∣∣∣∣ = 0.
Si operamos este determinante y simplificamos, nos quedara la siguiente expresión lineal en x
e y:
a x+ b y + c = 0, (3)
en la que no son nulos simultáneamente a, b, c ∈ R.
1.5. Ecuación explícita de la recta en R2
Despejando y de (3), obtenemos
y = mx+ n,
donde m,n ∈ R.
A la constante m se le llama la pendiente de la recta r y es igual a la tangente del ángulo
que forma la parte positiva del eje de abscisas con dicha recta r.
1.6. Ecuación paramétrica de la recta en R3
Sean (x, y, z), (a1, a2, a3) y (u1, u2, u3) las coordenadas de los vectores ~x, ~a y ~u, respectiva-
mente. Sustituyendo en la ecuación vectorial, resulta
x = a1 + λu1
y = a2 + λu2
z = a3 + λu3
con λ ∈ R. (4)
Dpto. de Análisis Matemático —2— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química Ejercicios (Tema 1)
1.7. Ecuación continua de la recta en R3
De (4), si u1, u2, u3 6= 0, despejando el parámetro λ, obtenemos
x− a1
u1
=
y − a2
u2
=
z − a3
u3
. (5)
1.8. Ecuación implícita de la recta en R3
A partir de (5) podemos obtener las dos ecuaciones siguientes{
a x+ b y + c z + d = 0
a′ x+ b′ y + c′ z + d′ = 0
(6)
en la que no son nulos simultáneamente a, b, c, d ∈ R y a′, b′, c′, d′ ∈ R.
A continuación veremos que (6) representa la intersección de dos planos no paralelos (véa-
se (8)).
2. Ecuaciones del plano
Un plano queda determinado dando un punto por el que pasa y dos vectores no nulo, de
distinta dirección, a los que el plano es paralelo.
2.1. Ecuación vectorial del plano
Sea el plano π que pasa por el punto A y es paralelo a los vectores ~u y ~v, y sea X un punto
cualquiera de la recta r. Entonces, el vector AX es combinación lineal de los vectores ~u y ~v,
por estar en contenido en el plano π. Es decir,
AX = λ~u+ µ~v,
siendo λ, µ ∈ R (parámetros). Si ~a = OA y ~x = OX los vectores de posición de los puntos A y
X, respectivamente; entonces, observando la siguiente figura
Dpto. de Análisis Matemático —3— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química Ejercicios (Tema 1)
obtenemos ~x = ~a+ AX, es decir,
~x = ~a+ λ~u+ µ~v, con λ, µ ∈ R.
2.2. Ecuaciones paramétricas del plano
Sean (x, y, z), (a1, a2, a3), (u1, u2, u3) y (v1, v2, v3) las coordenadas de los vectores ~x, ~a, ~u y
~v, respectivamente. Sustituyendo en la ecuación vectorial, resulta
x = a1 + λu1 + µ v1
y = a2 + λu2 + µ v2
y = a3 + λu3 + µ v3
con λ, µ ∈ R. (7)
2.3. Ecuación implícita del plano
El sistema (7) tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ. Por tanto,∣∣∣∣∣∣
x− a1 y − a2 z − a3
u1 u2 u3
v1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Si operamos este determinante y simplificamos, nos quedara la siguiente expresión lineal en x,
y, z:
a x+ b y + c z + d = 0, (8)
en la que no son nulos simultáneamente a, b, c, d ∈ R.
2.4. Algunos tipos de planos
Las ecuaciones de los planos coordenados son:
Plano XOY : z = 0.
Plano XOZ: y = 0.
Plano Y OZ: x = 0.
La ecuación a x+ b y + d = 0 representa un plano paralelo al eje OZ.
La ecuación a x+ c z + d = 0 representa un plano paralelo al eje OY .
La ecuación b y + c z + d = 0 representa un plano paralelo al eje OX.
Dpto. de Análisis Matemático —4— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química Ejercicios (Tema 1)
3. Posición relativa de una recta y un plano
La recta y el plano podrá ser
paralelos

la recta esta contenida en el plano. (Caso 1 )
la recta no está contenida en el plano. (Caso 2 )
no paralelos o incidentes (tienen un solo punto en común).(Caso 3 )
´La interpretación algebraica es que el sistema lineal formado por las dos ecuaciones que des-
criben la recta y la ecuación que representa al plano
a11 x+ a12 y + a13 z = a14
a21 x+ a22 y + a23 z = a24
a31 x+ a32 y + a33 z = a34
puede ser un sistema
Compatible determinado ≡ Caso 3 .
Compatible indeterminado ≡ Caso 1 .
Incompatible ≡ Caso 2 .
4. PROBLEMAS
Hallar las diferentes ecuaciones de la recta en R2 que pasa por los puntos A(3, 1) y B(7,−1).
Problema 1.
Representar en R2 las rectas dadas por las siguientes ecuaciones:
(a) y = 2
(b) y = −3
(c) y = 0
(d) x = 5
(e) x = −1
2
(f) x = 0
(g) 2x+ 3y − 7 = 0
(h) 5x− 7 = 0
(i) 4y + 3 = 0
(j) y = −3x+ 2
(k) y = 6x− 1
(l) y = −5x+ 2
(m)
{
x = 3− λ
y = −5 + 2λ
(n)
{
x = −λ
y = −5 + 2λ
(ñ)
{
x = −λ
y = 1 + λ
(o)
{
x = −2 + 3λ
y = 2 + 3λ
(p)
x− 1
2
=
y + 3
−1
(q)
x
2
= y − 3
(r) −x− 3 = y − 7
2
Problema 2.
Dpto. de Análisis Matemático —5— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química Ejercicios (Tema 1)
Hallar la ecuación de la recta en R2 que pasa por (2, 3) y es:
(a) Paralela al eje OX.
(b) Paralela al eje OY .
(c) Paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
(d) Paralela a la bisectriz del segundo cuadrante.
(e) Paralela a la recta de ecuación 5x+ 2y = 0.
Problema 3.
Hallar las ecuaciones de la recta en R3 que pasa por el punto (1, 2, 3) y es paralela a la
recta {
2x+ 3y − z = −1
x− y + 3z = 4
Problema 4.
Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección de los planos
π1 : x+ y − 5z + 4 = 0 y π2 : 3x− y + 2z − 1 = 0.
Problema 5.
Dados los planos π1 : 3x− y+ z = 1 y π2 : x+ y− 2z = 0, hallar un vector cuya dirección
sea paralela a ambos.
Problema 6.
Obtener la ecuación implícita del plano determinado por el punto A(1, 2, 3) y los vectores
~u = (1,−1, 4) y ~v = (1, 1,−2).
Problema 7.
Sean las rectas de ecuaciones vectoriales
r1 : ~x = (1, 1, 1) + λ (2, 1,−1) y r2 : ~x = λ (3, 0, 1).
Hallar la ecuación implícita del plano que pasa por el origen y es paralelo a ambas rectas.
Problema 8.
Dpto. de Análisis Matemático —6— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química Ejercicios (Tema 1)
Hallar las ecuaciones paramétricas e implícita del plano que pasa por el origen de coorde-
nadas y es paralelo a las rectas
r1 :
x− 3
2
=
y − 7
3
=
z − 8
4
y r2 : x = y = z.
Problema 9.
Sean las rectas
r1 :

x = 3− 5λ
y = 1 + 2λ
z = 3
y r2 :
{
3x− y + z = 0
x+ 2y − z = 0
Hallar la ecuación de un plano que pasa por A(−1,−1, 0) y es paralelo a las dos rectas.
Hallar .a intersección de dicho plano con los ejes coordenados.
Problema 10.
Resolver e interpretar geométricamente los siguientes sistemas lineales:
(a)

3x+ 2y − z = 3
x+ y − 2z = −5
2x+ y + 3z = 16
(b)

2x+ 3y − z = 3
x+ y − z = 3
x− 2z = 3
(c)

x+ 3y + 5z = 7
3x+ 5y + 7z = 9
5x+ 7y + 9z = 1
(d)

x+ 2y + 3z = 4
4x+ 5y + 6z = 7
6x+ 7y + 8z = 9
(e)

−x+ 2y − 3z = −2
4x+ 2y − z = 5
2x+ 4y − 7z = 1
(f)

x− y + z = 1
2x− y + z = 2
3x+ 2y − 2z = 4
(g)

x− y + z = 1
2x− y + z = 1
3x+ 2y − z = 4
(h)

−2x+ y + z = 1
x− 2y + z = −2
x+ y − 2z = 4
Problema 11.
Hallar t ∈ R para que el vector ~x = (3, 8, t) pertenezca al subespacio engendrado por los
vectores ~u = (1, 2, 3) y ~v = (1, 3,−1).
Problema 12.
Dpto. de AnálisisMatemático —7— Curso 2012/13
Matemáticas I Grado en Química Ejercicios (Tema 1)
Determinar a y b para que el vector (1, 4, a, b) sea combinación lineal de (1, 2,−1,−2) y
de (0, 1, 2, 1).
Problema 13.
Determinar qué conjuntos son subespacios vectoriales de R3:
A = {(x, y, z) : x− y + z = 0}, B = {(x, y, z) : x+ 2y + z = 1},
C = {(x, y, z) : x− y = 0, x− z = 0}, D = {(x, y, z) : x− y + z = 0, y + z = 1},
E = {(x, y, z) : x = 0, y = z}, F = {(x, y, z) : x · y = 1}.
Problema 14.
Demostrar que el conjunto E = {(a, 0, a, b) : a, b ∈ R} es un subespacio vectorial de R4.
En caso afirmativo, hállese una base del mismo.
Problema 15.
Calcular una base, unas ecuaciones paramétricas, unas ecuaciones implícitas y la dimensión
de los siguientes subespacios vectoriales:
a) H1 = L{(1, 0, 1), (−1, 1, 0)}.
b) H2 = L{(1, 1, 1), (−1, 0, 1), (0, 1, 2)}.
c) H3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y − z}.
d) H4 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0, x− 2z = 0}.
Problema 16.
Dpto. de Análisis Matemático —8— Curso 2012/13
	Ecuaciones de la recta
	Ecuación vectorial de la recta en R2 y en R3
	Ecuación paramétrica de la recta en R2
	Ecuación continua de la recta en R2
	Ecuación implícita de la recta en R2
	Ecuación explícita de la recta en R2
	Ecuación paramétrica de la recta en R3
	Ecuación continua de la recta en R3
	Ecuación implícita de la recta en R3
	Ecuaciones del plano
	Ecuación vectorial del plano
	Ecuaciones paramétricas del plano
	Ecuación implícita del plano
	Algunos tipos de planos
	Posición relativa de una recta y un plano
	PROBLEMAS