Practica vectores, rectas y planos

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Facultad de Cs. Exactas Físico-Químico y Naturales –UNRC 
Departamento de Matemática 
Primer cuatrimestre de 2023 
 
 
 GEOMETRÍA (Código 3327) 
Práctica N° 3: Vectores en los espacios bidimensional y tridimensional. Rectas y planos. 
 
Ejercicio 1. 
a) Hallar, en cada caso, las componentes del vector 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ . 
i) P1 = (0, 0, 0) y P2 = (1, 3, 2) 
ii) P1 = (0, 2, -1) y P2 = (2, 3, -1) 
iii) P1 = (-4, 0, 0) y P2 = (-3, 2, -1) 
b) Sean los puntos P1 = (-1, 4, 0), P2 = (3, -1, 1) y P3 = (2, 0, -1). Obtener las coordenadas del punto 
P4, de tal forma que verifique, en cada caso: 
i) 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ = 𝑃3𝑃4⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ii) 𝑃1𝑃2⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ =− 𝑃3𝑃4⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ 
 
Ejercicio 2. 
Considerar los vectores u = (2, 0, 4), r = (0, -1, -2), s = (3, 0, 0) y v = (3, -1, -2). 
a) Realizar una representación gráfica de ellos. ¿Cuál o cuáles pertenecen a algún plano coordenado? 
b) Hallar la norma de cada uno de los vectores dados. 
c) Obtener, en cada caso, gráfica y analíticamente las componentes del vector w, donde 𝑖 = (1,0,0),
𝑗 = (0,1,0) 𝑦 𝑘 = (0,0,1) son los vectores canónicos. 
i) 𝑤 = 𝑣 − 𝑘 ii) 𝑤 = 𝑠 + 3. 𝑘 iii) 𝑤 = 4𝑗 − 3𝑟 vi) 𝑤 = 2. 𝑖 + 𝑢 
d) Dar las componentes de un vector unitario que tenga la misma dirección que v, pero con sentido 
contrario. 
 
Ejercicio 3. 
a) Hallar el ángulo que forman los siguientes pares de vectores: 
i) u = (1;3) y v = (-2;0) ii) u = (1;3;0) y v =(-2;0;1) 
b) Sean los vectores u = (2, 1, -3) y v = (-4, 5, 2). 
i) Calcular u . v. 
ii) Determinar si el ángulo que forman u y v es agudo, obtuso o recto. 
c) Se sabe que dos vectores u y v en ℝ3, forman un ángulo de 120º. La norma de u es 4. Determinar 
la norma de v para que (u+v) sea perpendicular a u. 
 
Ejercicio 4. 
Dados los vectores 𝒖 = −5𝑖 − 𝑗 + 𝑘 y 𝒗 = −𝑖 + 2𝑗 − 4𝑘: 
a) Evaluar u x v. 
b) Obtener un vector, w, que sea perpendicular a u y a v. ¿Cuántos vectores satisfacen la condición 
pedida? 
 
Ejercicio 5. 
Sean u, v y w vectores en ℝ3. Verificar las siguientes igualdades, usando propiedades: 
a) (3u–v) x (u–2v) = 5(v x u) 
b) 2(u.(v x w)) = (2v x w).u 
 
Ejercicio 6. 
a) ¿Para qué valor o valores de a y b los vectores u = (a,-1, 3) y v = (2, a, b) resultan ortogonales? 
Justificar. 
 
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 b) Verificar que los vectores u = (2, 2, 2), v = (1, 1, -2) y w = (1, -1, 0) forman un conjunto ortogonal. 
c) A partir de los vectores anteriores obtener un conjunto ortonormal. 
 
Ejercicio 7. 
Dar ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas de las siguientes rectas: 
 
 
 
Ejercicio 8. 
Dar las ecuaciones paramétricas y simétricas de las siguientes rectas, calcular los puntos de corte con los 
planos coordenados y graficarlas. 
a) La recta L1 que pasa por P0 = (-2, 2, 3) y es paralela al vector v = (-1, 0, 2). 
b) La recta L2 que pasa por P0 = (1, 2, -3) y sea paralela al eje z. 
c) La recta L3 que pasa por el origen y es paralela a la recta r: 
𝑥+1
3
=
𝑦−1
−2
=
𝑧−3
2
 
d) La recta L4 tal que su dirección es perpendicular a los vectores u = (1, 0, 3) y v = (1, -1, 0) y pasa 
por P0 = (-6, 3, 2). 
 
Ejercicio 9. 
Analizar las posiciones relativas de los pares de rectas dados en cada inciso, y en caso que se intersequen, 
dar las cooredandas del punto de corte. 
a) 𝑙1:
𝑥+1
−2
=
𝑦+3
1
=
𝑧+4
−3
 
y 𝑙2:
𝑥+3
4
=
𝑦−2
−4
=
𝑧+5
6
 
 
b) 𝑙1: {
x = 2𝑡
𝑦 = 2t , t ∈ ℝ
𝑧 = −1
 
𝑙2: {
x = 4
𝑦 = 4 , k ∈ ℝ
𝑧 = 𝑘
 
 
c) 𝑙1: {
x = 2 + 𝑡
𝑦 = −1 − t , t ∈ ℝ
𝑧 = 1 + 𝑡
 
𝑙2: {
x = -2k
𝑦 = 3 + 2k , t ∈ ℝ
𝑧 = −1 − 2𝑘
 
 
Ejercicio 10. 
a) Obtener una ecuación, forma punto-normal, del plano que pasa por el punto P y tiene a n como 
vector normal. 
 
i) P = (1, -1, 5); n =(3, 1, -1) 
ii) P = (1, 1, 2); n = (0, 0, -2) 
b) Dar la ecuación implícita de cada uno de los planos anteriores y representarlos gráficamente. 
 
Ejercicio 11. 
a) Obtener la ecuación general o implícita de los tres planos coordenados en ℝ𝟑. 
 
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 b) A partir de la ecuación general del plano, 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, completar los siguientes 
enunciados, con ecuaciones de planos coordenados o paralelos a ellos (salvo en i), de modo tal que 
resulten verdaderos. 
i) Si 𝑑 = 0 𝑦 𝑎, 𝑏, 𝑐 ≠ 0, el plano 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0, pasa por: …………………… 
ii) Si a = 0 𝑦 𝑏, 𝑐 ≠ 0, el plano 𝜋: 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, es perpendicular a: ……………... 
iii) Si b = 0 𝑦 𝑎, 𝑐 ≠ 0, el plano 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, es perpendicular a: ……………... 
iv) Si c = 0 𝑦 𝑎, 𝑏 ≠ 0, el plano 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑑 = 0, es perpendicular a: ……………... 
v) Si a = 𝑏 = 0 𝑦 𝑐 ≠ 0, el plano 𝜋: 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, es perpendicular a: ……………........ 
vi) Si a = 𝑐 = 0 𝑦 𝑏 ≠ 0, el plano 𝜋: 𝑏𝑦 + 𝑑 = 0, es perpendicular a: ……………........ 
vii) Si b = 𝑐 = 0 𝑦 𝑎 ≠ 0, el plano 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑑 = 0, es perpendicular a: ……………........ 
 
Ejercicio 12. 
Hallar una ecuación para el plano que cumple con la condición pedida, en cada caso: 
a) Pasa por los puntos P, Q y R: 
i) P = (1, 0, 3); Q = (1, 3, -2); R = (2, 1, 2) 
ii) P = (3, 2, 1); Q = (2, 1, -1); R = (-1, 3, 2) 
b) Es paralelo al plano de ecuación −2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 y pasa por el punto (2, 0, 0). 
c) Pasa por el origen y es perpendicular a la recta que pasa por (2, -3, 4) y (5, 6, 0). 
d) Pasa por el punto (0, 0, 4) y es paralelo a los vectores u = (3, 1, -1) y v = (1, -2, 0). 
 
Ejercicio 13. 
Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta intersección entre los planos 𝜋1 y 𝜋2 dados, en cada caso. 
i) 𝜋1: −2𝑥 + 3𝑦 + 7𝑧 + 2 = 0 y 𝜋2: 𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −5 
ii) 𝜋1: 3𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0 y 𝜋2: y + 𝑧 = 0 
 
Ejercicio 14. 
Hallar la ecuación vectorial de una recta que verifique: 
a) Ser perpendicular al plano yz. 
b) Estar contenida en el plano xz. 
c) Ser paralela al plano xy, pero no contenida en él. 
 
Ejercicio 15. 
a) Obtener la ecuación de un plano que contenga a la recta que pasa por los puntos P = (2, 1, -3) y 
Q = (1, 1, 1). Verificar que el plano dado cumple con la condición pedida. 
b) Determinar las posiciones relativas del plano 𝜋1: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 y las rectas: 
i) 𝑥 − 1 =
𝑦
3
=
𝑧
−4
 
ii) 𝑥 − 1 =
𝑦−1
3
=
𝑧
−4
 
iii) 𝑥 − 1 =
𝑦
3
= 𝑧