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Lección 2. Puntos, vectores y variedades 
lineales. 
Objectivos. En esta lección se repasan las nociones de punto y vector, y se 
identifican, via coordenadas, con los pares (ternas,...) de números reales. Esta 
identificación permite posteriormente representar entidades geométricas 
(variedades) mediante ecuaciones. 
n Puntos y vectores. 
n Reprentación de puntos y vectores via coordenadas 
n Nociones métricas vía coordenadas. 
n Representación paramétrica de variedades lineales y afines. 
n Dimensión y base de una variedad lineal. 
n Representación implícita de variedades lineales y afines. 
n Problemas de paralelismo e incidencia. 
 
 
2.1 Puntos y vectores. 
Puntos. La geometría considera el plano (recta, espacio,...) formado per 
puntos. 
Los puntos representan posiciones. 
El punto es un ente ideal, elemental e indivisible, sobre el que se fundamenta el 
lenguage geométrico. 
La noción de punto no es real en sentido empírico, sino que es un producto de 
la abstracción humana. 
Los puntos se agrupan para formar variedades (rectas, esferas...) y otros 
objetos geométricos (figuras, sólidos...) que representan formas y delimitan 
espacios. 
Los problemas clásicos de la geometría proponen cuestiones sobre puntos, 
varietadades y figuras, pero no proporcionan una forma de representarlos más 
allá de la pròpia imaginación o del dibujo. 
Vectores. Los vectores son pares ordenados de puntos, y representan 
direcciones. 
n Dos vectores son equivalentes 
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Operaciones gráficas con vectores. Los vectores se pueden sumar y 
multiplicar por escalares 
 
 
2.2 Representación de puntos y vectores via coordenadas. 
Las coordenadas cartesianas introducen una via de representación de puntos y 
vectores que va más lejos de la imaginación o el dibujo. 
El procedimiento básico para asignar coordenadas se basa en la projección 
sobre unos ejes, en los que previamente se han introducido un origen, una 
unidad de medida y un sentido. 
 
si tienen la misma dirección, el 
mismo sentdido y la misma 
longitud. 
n En muchos casos, dos vectores 
hacen funciones equivalentes 
(aportan la misma información 
para un problema determinado) 
si tienen la misma dirección, 
prescindiendo de la longitud y/o 
del sentido. 
El conjunto de 
todos los vectores 
del plano 
(recta,espaci0,...) 
con origen 
común, dotado de 
las dos 
operaciones 
anteriores tiene 
estructura 
deespacio 
vectorial més 
informació? 
 
De esta manera, cada punto 
del plano (espacio...) se 
identifica de forma única 
con un par (terna,...) 
ordenado de valores 
numéricos, y viceversa. 
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Coordenadas de un vector. Las coordenadas de un vector anclado en el 
origen son las del punto extremo del mismo. 
En general, las coordenadas de un vector se obtienen restando las de sus 
puntos extremos. (extremo menos origen). 
Así, si un vector se obtiene como suma de otros dos, sus coordenadas también, 
y si se obtiene multiplicando un vector por un escalar, sus coordenadas 
también. 
 
Las variedades (rectas,...) se pueden representar mediante ecuaciones, y los problemas 
geométricos se transforman en problemas algebraicos con ecuaciones. 
 
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El conjunto de todos los pares de coordenadas (x
1
, x
2
) es también un espacio 
vectorial, que designamos por R2 (R3 si se trata de ternas, ...) 
 
 
2.3 Producto escalar, norma y distancia. Las nociones de distancia y 
ángulo derivan de las de producto escalar y la norma (módulo) vectoriales 
cuando hacemos geometría con coordenadas. La orientación de los ángulos se 
relaciona con el producto vectorial. 
Producto escalar. El producto escalar de dos vectores se calcula 
multiplicando coordenada a coordenada y sumando. 
 
 
para vectores de dos componentes, y en general: 
 
 
Para poder efectuar el product0 escalar las dimensiones de los vectores han de 
coincidir. 
El producto escalar es conmutativo, es decir 
El producto escalar es definido positivo, es decir 
 
Ejemplo 1 
 
Ejemplo 2 
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Norma (módulo). La norma (o módulo) de un vector se obtiene a partir de 
sus coordenadas de acuerdo con: 
 
Distancia. La longitud de un vector es su norma (módulo). Por tanto, la 
distancia entre dos puntos A y B es la norma del vector . 
Ángulo. El ángulo se relaciona con la norma y el producto escalar mediante la 
fórmula: 
 
Producto vectorial. Se define para dos vectores de R3, y el resultado es un 
tercer vector, de dirección perpendicular al plano que determinan los dos 
primeros. El sentido se determina según la regla de la mano derecha, haciendo 
girar el primero sobre el segundo. 
 
Ejemplo 3 
Ejemplo 4 
El ángulo de dosvetores 
se obtiene haciendo: 
 
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El producto vectorial de dos vectores se relaciona con sus normas y con el 
ángulo que forman: 
 
 
 
2.4 Representación paramétrica de variedades lineales y afines.
La representación paramétrica se basa en la noción de combinación lineal de 
vectores. 
Combinación lineal de vectores. Se dice que es combinación lineal de 
un conjunto de vectores si para algunos 
escalares 
 
determinantes? 
Ejemplo 5 
producto vectorial de los vectores 
 
 
Las coordenadas de se 
obtienen efectuando las 
operaciones indicadas para los 
vectores coordenada a 
coordenada 
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Subespacio generado por un conjunto de vectores. El conjunto F 
de todas las posibles combinaciones lineales de una familia de vectores S 
se llama el subespacio generado por S. 
 
 
Los valores reciben el nombre de parámetros y las ecuaciones 
ecuaciones paramétricas. 
Las ecuaciones paramétricas proporcionan una representación mediante 
coordenadas explícita: para cada valor particular que asignemos a los 
parámetros se obtiene algun punto de la variedad. 
Algunos ejemplos importantes: 
n el subespacio generado por un solo vector es una recta que pasa por el 
origen. 
n el subespacio generado por dos vectores es (siempre?) un plano que pasa 
por el origen 
Ejemplo 2 
 
 
Ejemplo Las ecuaciones paramétricas del plano F que tiene 
como vectores directores son: 
 
o també: 
 
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Si la recta, plano,... no pasa por el origen , no se habla de subespacios 
sino de variedades afines . 
La representación paramétrica de una variedad afín A se obtiene sumando 
(suma de vectores) a un punto de paso P un subespacio director F. 
A=P+F 
 
 
2.5 Dimensión y base. 
Un mismo subespacio admite muchos generadores diferentes y, por tanto, 
muchas ecuaciones paramétricas distintas. 
 
Ejemplo Las ecuaciones paramétricas del plano F que tiene 
como vectores directores y pasa 
por el punto P=(1,0,1) son: 
 
o también: 
 
 
 
Ejemplo 6 El plano F de R3 de ecuación x = 0 se puede 
obtener como 
 
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Interesa hallar representaciones con el menor número posible de 
parámetros, o lo que es equivalente, familias de generadores con el 
mínimo número de vectores. 
ejercicio 1 problema 2.1 
Un conjunto de vectores tal que ninguno de ellos se puede escribir como 
combinación lineal de los otros se llama un conjunto linealmente 
independiente de vectores. 
El ejemplo anterior nos muestra que si , son 
equivalentes: 
 1. La familia de generadores tiene el mínimo número 
posible de elementos. 
 2. La familia de generadores es linealmente 
independiente. 
En la práctica, para obtener una familia generadora con el mínimo número 
posible de elementos, se utiliza el cálculo de rangos. 
Un conjunto de vectores que 
 1. genera un subespacio F 
 2. es linealmente independiente 
se llama una base de F. 
Todas las bases de un mismo subespacio F tienen el mismo número de 
vectores (Teorema de Steinitz). més informació? 
Este número común es la dimensión de F. 
ejercicio 2 problema 2.2 
 
Ejemplo Para hallar una familia generadora con el mínimo 
número posible de vectoresde 
, observamos en primer lugar 
que . 
Esto nos indica que cualquier vector que se pueda obtener 
como combinación lineal de 
también será combinación lineal de los dos últimos. 
Por ejemplo, , pero 
también . 
Por tanto, se puede prescindir de (1,1,-1), y resulta 
 
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2.6 Representación implícita de variedades lineales y 
afines. La solución de un sistema de ecuaciones lineales es una variedad 
afín (p. ej. una recta, un plano ...) 
Tiene la forma x = P + F , donde P es un punto de paso y F un subespacio 
vectorial que determina la dirección. 
Los vectores que generan F se llaman vectores directores de la variedad 
(recta, plano, ...) 
F se llama subespacio director de la variedad. 
La dimensión de la variedad afín A coincide con la del subespacio director 
F. 
F es la solución del sistema homogéneo asociado, es decir, un sistema 
con la misma matriz de coeficientes, pero con el vector de términos 
independientes nulo. 
Dos sistemas de ecuaciones (compatibles) con la misma matriz de 
coeficientes, pero con téerminos independientes diferentes, representan 
dos variedades paralelas (igual subespacio director). 
El número de parámetros en la solución es la dimensión de la variedad 
representada por el sistema. 
Ejemplo: 
 
Solución en función del parámetro 
x: 
. 
Por tanto, una terna (x,y,z) es solución si: 
 
 
para cualquier valor de x, O lo que es equivalente, 
 
Observamos que el subespacio director 
es la solución del sistema 
homogéneo asociado 
 
Solución en función del parámetro x: 
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ejercicio 1problema 2.4 d. 
Ejemplo: 
 
. 
Por tanto, una terna (x,y,z) es solución si: 
 
para cualquier valor de x y z, O lo que es equivalente, 
 
Fijémonos en que la solución depende de 2 parámetros, valor 
que coincide con la dimensión del subespacio director. 
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