GUIA 9 INTERVALOS

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 9: INTERVALOS 
 
Axiomas de orden 
Una importante propiedad de los números reales es que pueden ordenarse. 
Axioma 1. Propiedad de tricotomía: si a y b son dos números reales, sólo uno de los 
tres casos siguientes es verdadero: 
1. a es menor que b. 
2. a es igual a b. 
3. a es mayor que b. 
Definición de orden en la recta real: 
Si a y b son números reales, a es menor que b si b ─ a es positivo, lo cual denotamos por 
𝒂 < 𝒃. 
El símbolo 𝒂 ≤ 𝒃 significa que a es menor o igual que b. 
Geométricamente, puede probarse que a < b sí y sólo si a está a la izquierda de b en la 
recta real. Así 1 < 2 puesto que 1 está a la izquierda de 2. 
 
Si a y b son números reales, a es mayor que b si b ─ a es negativo, lo cual denotamos por 
𝒂 > 𝒃. 
El símbolo 𝒂 ≥ 𝒃 significa que a es mayor o igual que b. 
 
Axioma 2. Propiedad transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c. 
Axioma 3. Propiedad de monotonía para la suma: Si a < b, entonces a + c < b + c 
para cualquier real c. 
Axioma 4. Propiedad de monotonía para la multiplicación: 
Si a < b, entonces ac < bc para cualquier real c positivo 
Si a < b, entonces ac > bc para cualquier real c negativo. 
 
INTERVALO 
Un intervalo es un conjunto de números reales que se encuentran 
comprendidos entre dos extremos a y b. También se le puede llamar un 
subconjunto de la recta real. 
 
 
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Ejemplo 1. Dos intervalos 
Los números que satisfagan la condición: 𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟔 implica un conjunto de números 
reales que va desde el 1 hasta el 6, incluyéndolos a ambos. 
Los números que satisfagan la condición: 𝟒 < 𝒙 < 𝟏𝟎 implica un conjunto de 
números reales que va desde el 4 hasta el 10, pero sin incluir a ambos. 
Clasificación de los intervalos: 
Existen 4 clases de intervalos: abiertos, cerrados, semiabiertos e infinitos. 
 
 Notación de 
intervalo 
Notación de 
conjunto 
Gráfica 
Intervalo 
abierto 
(𝒂, 𝒃) {𝒙|𝒂 < 𝒙 < 𝒃} 
 
Intervalo 
cerrado 
[𝒂, 𝒃] {𝒙|𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃} 
 
Intervalos 
semiabiertos 
[𝒂, 𝒃) 
(𝒂, 𝒃] 
{𝒙|𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃} 
{𝒙|𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃} 
 
Intervalos 
infinitos 
(−∞, 𝒂] 
(−∞, 𝒂) 
[𝒃, +∞) 
(𝒃, +∞) 
(−∞, +∞) 
{𝒙|𝒙 ≤ 𝒂} 
{𝒙|𝒙 < 𝒂} 
{𝒙|𝒃 ≤ 𝒙} 
{𝒙|𝒃 < 𝒙} 
{𝒙|𝒙 ∈ ℝ} 
 
 
Al intervalo que tiene extremos, se le llama intervalo acotado. Hay tres tipos de 
intervalos acotados: Abiertos, cerrados y semiabiertos. 
Al intervalo que solamente tiene un extremo, se le llama intervalo no acotado. 
Hay dos tipos de intervalos no acotados: Abiertos y semiabiertos. 
 
Ejemplo 2. Intervalos y conjuntos 
Exprese los siguientes intervalos en notación de conjuntos: 
 
(𝟏) [𝟒, 𝟖) = {𝒙|𝟒 ≤ 𝒙 < 𝟖} 
(𝟐) [𝟐, +∞) = {𝒙|𝟐 ≤ 𝒙} = {𝒙|𝒙 ≥ 𝟐} 
(𝟑) (−𝟓, 𝟕] = {𝒙| − 𝟓 < 𝒙 ≤ 𝟕} 
(𝟒) (−∞, 𝟑] = {𝒙|𝒙 ≤ 𝟑} 
 
Ejemplo 3. Conjuntos e intervalos 
Exprese los siguientes conjuntos en notación de intervalos: 
 
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(𝟏) {𝒙| − 𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟏𝟎} = (−𝟐, 𝟏𝟎] 
(𝟐) {𝒙| 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏𝟐} = [𝟐, 𝟏𝟐] 
(𝟑) {𝒙| − 𝟏 < 𝒙 < 𝟕} = (−𝟏, 𝟕) 
(𝟒) {𝒙| − 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟏𝟏} = [−𝟑, 𝟏𝟏) 
 
Operaciones con intervalos. 
Unión de intervalos 
La unión de dos intervalos, A y B, es el conjunto de todos los números que están en 
el intervalo A o bien están en el intervalo B o bien están en los dos intervalos a la vez. 
Se representa con el símbolo ∪ 
Intersección de intervalos 
La intersección de dos intervalos, A y B, es el conjunto de todos los números que son 
comunes en el intervalo A y en el intervalo B. Se representa con el símbolo ∩. 
Diferencia de intervalos 
La diferencia de dos intervalos, A y B, es el conjunto de todos los números que están 
en el intervalo A que no están en el intervalo B. Se representa con el símbolo ─. 
Ejemplo 4. Unión, intersección y diferencia. 
Resolver las siguientes operaciones con intervalos. 
Dados los siguientes intervalos, resuelva las operaciones indicadas. 
𝑨 = (−𝟏, 𝟓) 𝑩 = [𝟎, 𝟖] 𝑪 = (𝟔, 𝟏𝟎] 
(𝒂) 𝑨 ∩ 𝑩 = (−𝟏, 𝟓) ∩ [𝟎, 𝟖] 
La intersección está formada por los elementos comunes de los dos intervalos: 
 
 
 
𝑨 ∩ 𝑩 = (−𝟏, 𝟓) ∩ [𝟎, 𝟖] = [𝟎, 𝟓) 
 
(𝒃) 𝑩 ∪ 𝑪 = [𝟎, 𝟖] ∪ (𝟔, 𝟏𝟎] 
La unión está formada por los elementos B más los elementos de C: 
 
 
 
𝑩 ∪ 𝑪 = [𝟎, 𝟖] ∪ (𝟔, 𝟏𝟎] = [𝟎, 𝟏𝟎] 
 
(𝒄) 𝑪 − 𝑩 = (𝟔, 𝟏𝟎] − [𝟎, 𝟖] 
La diferencia se halla restando de los elementos de C, los que están en B: 
 
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𝑪 − 𝑩 = (𝟔, 𝟏𝟎] − [𝟎, 𝟖] = (𝟖, 𝟏𝟎] 
 
EJERCICIOS 
 
Exprese los siguientes intervalos en notación de conjuntos: 
 
(𝟏) [𝟒, 𝟏𝟎) (𝟐) [−𝟐, +∞) 
(𝟑) (−𝟓, 𝟏𝟏] (𝟒) (−∞, 𝟖) 
 
Exprese los siguientes conjuntos en notación de intervalos: 
 
(𝟓) {𝒙| − 𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟕} (𝟔) {𝒙| − 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟏𝟎} 
(𝟕) {𝒙|𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟗} (𝟖) {𝒙| − 𝟑 < 𝒙 < 𝟏𝟓} 
 
Dados los siguientes intervalos, resuelva las operaciones indicadas. 
𝑨 = (−𝟏, 𝟔) 𝑩 = [𝟎, 𝟗] 𝑪 = (𝟔, 𝟏𝟎] 𝑫 = [−𝟏, 𝟏𝟐) 
 
(𝟗) 𝑨 ∩ 𝑫 (𝟏𝟎) 𝑫 − 𝑨 
 
(𝟏𝟏) 𝑩 ∪ 𝑫 
 
(𝟏𝟐) 𝑪 ∩ 𝑩 (𝟏𝟑) (𝑨 ∩ 𝑫) ∪ 𝑩 
 
(𝟏𝟒)𝑪 ∩ (𝑩 ∪ 𝑫) 
 
(𝟏𝟓) (𝑫 − 𝑨) ∪ 𝑩 
 
(𝟏𝟔) (𝑨 ∩ 𝑫) ∪ 𝑫 
 
(𝟏𝟕) (𝑫 − 𝑨) ∩ (𝑨 ∩ 𝑫)