GUIA 16 FACTORIZACION 3 (1)

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 16: FACTORIZACIÓN 3 
 
Trinomio Cuadrado Perfecto por adición y sustracción 
 
Este caso se identifica porque: 
 Contiene tres términos, ya que es un trinomio. 
 El primer y el tercer término son cuadrados perfectos, es decir, 
tienen raíz cuadrada exacta. 
 El término del medio NO es el doble producto de las dos raíces. 
 
Es posible convertirlo en un trinomio cuadrado perfecto sumando y restando 
cierta cantidad al término del medio, hasta convertirlo en un trinomio cuadrado 
perfecto. 
 
EJEMPLO 1. Adición y sustracción 
Factorizar los siguientes polinomios: 
(𝟏) 𝟒𝒙𝟒 + 𝟖𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝟗𝒚𝟒 
Parece un trinomio cuadrado perfecto: las raíces del primer y tercer término son 2x2, 
3y2; pero el doble producto es 2(2x2)(3y2) = 12x2y2, nos faltarían 4 x2y2, de modo 
que sumamos y restamos esta cantidad, para que el polinomio no varíe. 
 
𝟒𝒙𝟒 +𝟖𝒙𝟐𝒚𝟐 +𝟗𝒚𝟒 
 +𝟒𝒙𝟐𝒚𝟐 −𝟒𝒙𝟐𝒚𝟐 
𝟒𝒙𝟒 +𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 +𝟗𝒚𝟒 −𝟒𝒙𝟐𝒚𝟐 = (𝟒𝒙𝟒 + 𝟏𝟐𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝟗𝒚𝟒) − 𝟒𝒙𝟐𝒚𝟐 
(factorización del trinomio cuadrado) = (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐)𝟐 − 𝟒𝒙𝟐𝒚𝟐 
(factorización de la diferencia de cuadrados) = (𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚)(𝟐𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝒚) 
(ordenando) = (𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐)(𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟐) 
 
 (𝟐) 𝒂𝟒 − 𝟏𝟔𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟑𝟔𝒃𝟒 
 
Parece un trinomio cuadrado perfecto: las raíces del primer y tercer término son a2, 
6b2; pero el doble producto es ─2(a2)(6b2) = ─12a2b2, nos faltarían 4 a2b2, de modo 
que sumamos y restamos esta cantidad, para que el polinomio no varíe. 
 
 
2 
 
𝒂𝟒 −𝟏𝟔𝒂𝟐𝒃𝟐 +𝟑𝟔𝒃𝟒 
 +𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐 
𝒂𝟒 −𝟏𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐 +𝟑𝟔𝒃𝟒 −𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐 = (𝒂𝟒 − 𝟏𝟐𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝟑𝟔𝒃𝟒) − 𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐 
(factorización del trinomio cuadrado) = (𝒂𝟐 − 𝟔𝒃𝟐)𝟐 − 𝟒𝒂𝟐𝒃𝟐 
(factorización de la diferencia de cuadrados) = (𝒂𝟐 − 𝟔𝒃𝟐 + 𝟐𝒂𝒃)(𝒂𝟐 − 𝟔𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃) 
(ordenando) = (𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 − 𝟔𝒃𝟐)(𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 − 𝟔𝒃𝟐) 
 
(𝟑) 𝟒𝟗𝒛𝟒 − 𝟏𝟓𝟏𝒛𝟐 + 𝟖𝟏 
Parece un trinomio cuadrado perfecto: las raíces del primer y tercer término son 7z2, 
9; pero el doble producto es ─2(7z2)(9) = ─126z2, nos faltarían 25z2, de modo que 
sumamos y restamos esta cantidad, para que el polinomio no varíe. 
 
𝟒𝟗𝒛𝟒 −𝟏𝟓𝟏𝒛𝟐 +𝟖𝟏 
 +𝟐𝟓𝒛𝟐 −𝟐𝟓𝒛𝟐 
𝟒𝟗𝒛𝟒 −𝟏𝟐𝟔𝒛𝟐 +𝟖𝟏 −𝟐𝟓𝒛𝟐 = (𝟒𝟗𝒛𝟒 − 𝟏𝟐𝟔𝒛𝟐 + 𝟖𝟏) − 𝟐𝟓𝒛𝟐 
(factorización del trinomio cuadrado) = (𝟕𝒛𝟐 − 𝟗)𝟐 − 𝟐𝟓𝒛𝟐 
(factorización de la diferencia de cuadrados) = (𝟕𝒛𝟐 − 𝟗 + 𝟓𝒛)(𝟕𝒛𝟐 − 𝟗 − 𝟓𝒛) 
(ordenando) = (𝟕𝒛𝟐 + 𝟓𝒛 − 𝟗)(𝟕𝒛𝟐 − 𝟓𝒛 − 𝟗) 
 
Caso especial: la Suma de cuadrados 
En general la suma de dos cuadrados no es factorizable, pero existen algunas 
sumas de dos cuadrados que, sumándoles y restándoles una misma cantidad, 
pueden llevarse al caso anterior y factorizarse. 
 
EJEMPLO 2. Suma de dos cuadrados 
Factorizar el siguiente polinomio: 
 𝒙𝟒 + 𝟒𝒚𝟒 
Las raíces de los términos son x2, 2y2; el doble producto es 2(x2)(2y2) = 4x2y2, nos 
faltaría dicha cantidad, de modo que sumamos y restamos esta cantidad, para que 
el polinomio no varíe. 
 
𝒙𝟒 +𝟒𝒚𝟒 
 +𝟒𝒙𝟐𝒚𝟐 −𝟒𝒙𝟐𝒚𝟐 
𝒙𝟒 +𝟒𝒙𝟐𝒚𝟐 +𝟒𝒚𝟒 −𝟒𝒙𝟐𝒚𝟐 = (𝒙𝟒 + 𝟒𝒙𝟐𝒚𝟐 + 𝟒𝒚𝟒) − 𝟒𝒙𝟐𝒚𝟐 
(factorización del trinomio cuadrado) = (𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐)𝟐 − 𝟒𝒙𝟐𝒚𝟐 
(factorización de la diferencia de cuadrados) = (𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝟐𝒙𝒚)(𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 − 𝟐𝒙𝒚) 
(ordenando) = (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝟐𝒚𝟐)(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝟐𝒚𝟐) 
 
Trinomio Cuadrado x2 + bx + c. 
Se identifica porque es un trinomio que cumple las siguientes condiciones: 
 El coeficiente principal es 1. 
 El primer término es cualquier letra elevada al cuadrado. 
 
3 
 
 El segundo término tiene la misma letra con exponente 1 y su coeficiente es 
cualquier número positivo o negativo. 
 El tercer término es independiente de la letra que aparece en los dos términos 
anteriores, es decir, es un número positivo o negativo. 
 
¿Cómo se factoriza? 
1. Se descompone en el producto de dos binomios, cuyo primer término 
es la raíz cuadrada del término cuadrático. 
2. En el primer factor, después de la raíz cuadrada se escribe el signo del 
segundo término del trinomio; en el segundo factor, después de la raíz 
cuadrada se escribe el signo que resulta de multiplicar los signos del 
segundo y tercer término del trinomio. 
3. Si los dos binomios factores tienen en el medio signos iguales, se 
buscan dos números que multiplicados den c y sumados den b. 
4. Si los dos binomios factores tienen en el medio signos distintos, se 
buscan dos números que multiplicados den c y restados den b. 
 
Lo vemos mejor con ejemplos. 
 
EJEMPLO 3. Factorización de un trinomio cuadrado 
Factorizar los siguientes trinomios cuadrados 
(𝟏) 𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟐 
 
𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟑𝟐 = (𝒙 )(𝒙 ) 
 = (𝒙 + )(𝒙 + ) 
 = (𝒙 + 𝟖)(𝒙 + 𝟒) 
 
(𝟐) 𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏𝟖 
 
𝒙𝟐 − 𝟗𝒙 + 𝟏𝟖 = (𝒙 )(𝒙 ) 
 = (𝒙 − )(𝒙 − ) 
 = (𝒙 − 𝟔)(𝒙 − 𝟑) 
 
(𝟑) 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂 − 𝟏𝟓 
 
𝒂𝟐 − 𝟐𝒂 − 𝟏𝟓 = (𝒂 )(𝒂 ) 
 = (𝒙 − )(𝒙 + ) 
 = (𝒙 − 𝟓)(𝒙 + 𝟑) 
 
 
 
4 
 
(𝟒) 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒𝟎 
 
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒𝟎 = (𝒙 )(𝒙 ) 
 = (𝒙 + )(𝒙 − ) 
 = (𝒙 + 𝟖)(𝒙 − 𝟓) 
 
(𝟓) 𝒛𝟐 + 𝟏𝟕𝒛 − 𝟔𝟎 
Cuando el término independiente es muy grande, como en este caso, 60, lo mejor 
es descomponerlo en factores primos: 
60 = 22 x 3 x 5 
y formar dos grupos con estos factores: 
2 y 30; 6 y 10; 4 y 15; 5 y 12; 3 y 20. 
Sólo la última pareja, restados nos dan 17, luego esa es la que buscamos: 
 
𝒛𝟐 + 𝟏𝟕𝒛 − 𝟔𝟎 = (𝒛 )(𝒛 ) 
 = (𝒛 + )(𝒛 − ) 
 = (𝒛 + 𝟐𝟎)(𝒛 − 𝟑) 
 
EJERCICIOS 
En los ejercicios 1 a 10, factorizar los trinomios por adición y sustracción. 
 
1. 𝒂𝟖 + 𝟑𝒂𝟒 + 𝟒 6. 𝒂𝟖 + 𝟒𝒂𝟒 + 𝟏𝟔 
2. 𝒂𝟒 + 𝟐𝒂𝟐 + 𝟗 7. 𝒂𝟒 + 𝒂𝟐𝒃𝟐 + 𝒃𝟒 
3. 𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐𝒛𝟐 + 𝒛𝟒 8. 𝟏𝟔𝒎𝟒 − 𝟐𝟓𝒎𝟐𝒏𝟐 + 𝟗𝒏𝟒 
4. 𝒙𝟒 − 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏 9. 𝟔𝟒𝒙𝟒 + 𝟕𝟔𝒙𝟐 + 𝟒𝟗 
5. 𝟒𝒙𝟒 − 𝟐𝟗𝒙𝟐 + 𝟐𝟓 10. 𝒛𝟒 − 𝟒𝟓𝒛𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 
 
En los ejercicios 11 a 18 factorizar las sumas de dos cuadrados. 
 
11. 𝒚𝟒 + 𝟒𝒛𝟒 15. 𝒙𝟒 + 𝟔𝟒𝒚𝟒 
12. 𝒂𝟒 + 𝟑𝟐𝟒 16. 𝟒𝒎𝟒 + 𝟖𝟏𝒏𝟒 
13. 𝒂𝟒 + 𝟒 17. 𝟏 + 𝟒𝒛𝟒 
14. 𝟗𝒎𝟒 + 𝟑𝟔 18. 𝟔𝟒𝒂𝟖 + 𝒃𝟖 
 
En los ejercicios 19 a 30 descomponer en dos factores a los trinomios. 
 
19. 𝒂𝟐 − 𝟏𝟑𝒂 + 𝟒𝟎 25. 𝒚𝟐 + 𝟏𝟎𝒚 − 𝟐𝟎𝟎 
20. 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟒 26. 𝒄𝟐 − 𝟏𝟑𝒄 − 𝟏𝟒 
21. 𝒂𝟐 + 𝟕𝒂 − 𝟑𝟎 27. 𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 − 𝟏𝟖𝟎 
22. 𝒛𝟐 + 𝟏𝟕𝒛 + 𝟔𝟎 28. 𝒂𝟐 + 𝒂 − 𝟑𝟖𝟎 
23. 𝒙𝟐 − 𝟏𝟒𝒙 + 𝟒𝟖 29. 𝒂𝟐 − 𝟏𝟒𝒂 + 𝟑𝟑 
24. 𝒛𝟐 + 𝟐𝟒𝒛 + 𝟏𝟑𝟓 30. 𝒎𝟐 − 𝟐𝟎𝒎 − 𝟑𝟎𝟎