GUIA 21 ECUACION BICUADRADA (1)

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 21: ECUACIONES BICUADRADAS 
 
Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones que tienen una forma similar a 
las ecuaciones de segundo grado completas. 
Recordamos que las ecuaciones de segundo grado completas tienen esta forma: 
 
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 
 
Las ecuaciones bicuadradas, se diferencian de las anteriores en que los exponentes 
están multiplicados por 2, de ahí que su nombre sean ecuaciones bi-cuadradas (el 
doble de una ecuación cuadrática). Ésta es su forma general: 
 
𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 
 
Son ecuaciones de cuarto grado, que tienen términos con x elevada a 4, x elevada 
a 2 y sólo con un número o término independiente. Al ser de cuarto grado, tiene 4 
soluciones. 
Vamos a ver en el siguiente apartado, cómo resolver las ecuaciones bicuadradas. 
Cómo resolver ecuaciones bicuadradas 
Las ecuaciones bicuadradas se resuelven casi igual que las ecuaciones de segundo 
grado completas, pero con la diferencia de que antes es necesario realizar un 
cambio de variable y al final, deshacer éste cambio para obtener las cuatro 
soluciones finales. Vamos a verlo más despacio: 
Partimos de la forma general de una ecuación bicuadrada: 
𝒂𝒙𝟒 + 𝒃𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 
 
1 – Realizamos el cambio de variable: Esto se hace porque necesitamos que le 
ecuación bicuadrada tenga la misma forma que una ecuación de segundo grado 
completa. El cambio de variable que hay que realizar es el siguiente: 
 
𝒙𝟐 = 𝒕 𝒙𝟒 = 𝒕𝟐 
 
La nueva ecuación queda así: 
2 
 
𝒂𝒕𝟐 + 𝒃𝒕 + 𝒄 = 𝟎 
 
2 – Aplicamos la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado 
completas a la ecuación con la nueva variable, de donde obtendremos dos 
soluciones: 
 
3 – Hemos obtenido 2 soluciones, pero con nuestra nueva variable t. 
Necesitamos deshacer el cambio de variable para llegar a las 4 soluciones de x de 
la ecuación original. 
Es decir, a partir del cambio de x² = t, como ya conocemos t, despejamos la x 
𝒙𝟐 = 𝒕 → 𝒙 = ±√𝒕 
 
Y de cada valor de t, resultarán 2 valores de x, teniendo los 4 valores finales de la 
ecuación: 
 
Veamos ahora algunos ejemplos e iremos resolviéndolo paso a paso. 
 
EJEMPLO 1. Resolviendo una ecuación bicuadrada 
Resolver la ecuación bicuadrada x4 – 20x2 + 64 = 0. 
 
Solución Hacemos la sustitución 
𝒙𝟐 = 𝒕 𝒙𝟒 = 𝒕𝟐 
La nueva ecuación es 
 
𝒕𝟐 − 𝟐𝟎𝒕 + 𝟔𝟒 = 𝟎 
(𝒕 − 𝟏𝟔)(𝒕 − 𝟒) = 𝟎 
𝒕 − 𝟏𝟔 = 𝟎; 𝒕 − 𝟒 = 𝟎 
 
Tenemos dos soluciones para t: t1 = 16 y t2 = 4. Deshacemos la sustitución para hallar 
las 4 soluciones: 
 
3 
 
𝒙𝟏 = −√𝟏𝟔 = −𝟒; 𝒙𝟐 = √𝟏𝟔 = 𝟒 
𝒙𝟑 = −√𝟒 = −𝟐; 𝒙𝟒 = √𝟒 = 𝟐 
 
EJEMPLO 2. Resolviendo una ecuación bicuadrada 
Resolver la ecuación bicuadrada 4x4 – 109x2 + 225 = 0. 
 
Solución Hacemos la sustitución 
𝒙𝟐 = 𝒕 𝒙𝟒 = 𝒕𝟐 
La nueva ecuación es 
𝟒𝒕𝟐 − 𝟏𝟎𝟗𝒕 + 𝟐𝟐𝟓 = 𝟎 
 
𝒕 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
=
−(−𝟏𝟎𝟗) ± √(−𝟏𝟎𝟗)𝟐 − 𝟒(𝟒)(𝟐𝟐𝟓)
𝟐(𝟒)
 
 
𝒕 =
𝟏𝟎𝟗 ± √𝟏𝟏𝟖𝟖𝟏 − 𝟑𝟔𝟎𝟎
𝟖
=
𝟏𝟎𝟗 ± √𝟖𝟓𝟖𝟏
𝟖
=
𝟏𝟎𝟗 ± 𝟗𝟏
𝟖
 
 
𝒕𝟏 =
𝟏𝟎𝟗 + 𝟗𝟏
𝟖
=
𝟐𝟎𝟎
𝟖
= 𝟐𝟓; 𝒕𝟐 =
𝟏𝟎𝟗 − 𝟗𝟏
𝟖
=
𝟏𝟖
𝟖
=
𝟗
𝟒
 
 
Tenemos dos soluciones para t: t1 = 25 y t2 = 9/4. Deshacemos la sustitución para 
hallar las 4 soluciones: 
𝒙𝟏 = −√𝟐𝟓 = −𝟓; 𝒙𝟐 = √𝟐𝟓 = 𝟓 
𝒙𝟑 = −√
𝟗
𝟒
= −
𝟑
𝟐
; 𝒙𝟒 = √
𝟗
𝟒
=
𝟑
𝟐
 
 
EJEMPLO 3. Resolviendo una ecuación bicuadrada 
Resolver la ecuación bicuadrada x4 – 14x2 + 40 = 0. 
 
Solución Hacemos la sustitución 
𝒙𝟐 = 𝒕 𝒙𝟒 = 𝒕𝟐 
La nueva ecuación es 
 
𝒕𝟐 − 𝟏𝟒𝒕 + 𝟒𝟎 = 𝟎 
(𝒕 − 𝟏𝟎)(𝒕 − 𝟒) = 𝟎 
𝒕 − 𝟏𝟎 = 𝟎; 𝒕 − 𝟒 = 𝟎 
 
Tenemos dos soluciones para t: t1 = 10 y t2 = 4. Deshacemos la sustitución para hallar 
las 4 soluciones: 
4 
 
𝒙𝟏 = −√𝟏𝟎 = −𝟑. 𝟏𝟔; 𝒙𝟐 = √𝟏𝟎 = 𝟑. 𝟏𝟔 
𝒙𝟑 = −√𝟒 = −𝟐; 𝒙𝟒 = √𝟒 = 𝟐 
 
EJERCICIOS 
Resolver las ecuaciones bicuadradas 1 a 12 
 
𝟏) 𝟒𝒙𝟒 − 𝟑𝟕𝒙𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟐) 𝒙𝟒 − 𝟕𝟒𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟐𝟓 = 𝟎 
𝟑) 𝒙𝟒 − 𝟏𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝟔 = 𝟎 𝟒) 𝟗𝒙𝟒 − 𝟒𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟔 = 𝟎 
𝟓) 𝟒𝒙𝟒 − 𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟔 = 𝟎 𝟔) 𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝟒𝒙𝟐 + 𝟒𝟎𝟎 = 𝟎 
𝟕) 𝒙𝟒 − 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟗 = 𝟎 𝟖) 𝟒𝒙𝟒 − 𝟏𝟕𝒙𝟐 + 𝟒 = 𝟎 
𝟗) 𝒙𝟒 − 𝟐𝟕𝒙𝟐 + 𝟓𝟎 = 𝟎 𝟏𝟎) 𝟗𝒙𝟒 − 𝟐𝟖𝒙𝟐 + 𝟑 = 𝟎 
𝟏𝟏) 𝟒𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟏 = 𝟎 𝟏𝟐) 𝒙𝟒 − 𝟐𝟏𝒙𝟐 + 𝟖𝟎 = 𝟎