GUIA 25 NUMEROS COMPLEJOS (1)

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUÍA 25: NÚMEROS COMPLEJOS 
 
Los números complejos C son los números de la forma a + bi, donde a y b son 
números reales e i es la raíz cuadrada de ─1, la unidad imaginaria: 𝑖 = √−1. 
 
EJEMPLO 1. Números complejos 
Son complejos, los siguientes números. 
3 + 4𝑖, − 2 + 8𝑖, 4 − 7𝑖, 
1
4
−
3
5
𝑖, −
3
8
+
1
4
𝑖. 
EJEMPLO 2. Parte Real y Parte Imaginaria 
En los números complejos a + bi, a la parte a se llama parte real y a b, se le llama 
parte imaginaria. Así en el número complejo 3 + 4i, 3 es la parte real y 4 es la parte 
imaginaria. 
Es costumbre representar a los complejos con la letra z. así escribimos. 
 
𝑧 = 3 + 4𝑖, 𝑅𝑒(𝑧) = 3, 𝐼𝑚(𝑧) = 4. 
En esta notación, Re(z) significa parte real de z e Im(z) significa parte imaginaria de 
z. 
 
EJEMPLO 3. Números Reales y números Imaginarios 
Los números reales R son complejos cuya parte imaginaria es cero. Esto quiere decir 
que 8 = 8 + 0i, 12 = 12 + 0i. 
Por su parte los números imaginarios, son números cuya parte real vale cero. De 
modo que 4i = 0 + 4i, –15i = 0 – 15i. 
 
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS 
NÚMEROS COMPLEJOS 
En matemáticas, el plano complejo es una forma de 
visualizar el conjunto de los números complejos. Puede 
entenderse como un plano cartesiano modificado, en el 
que la parte real está representada en el eje de 
abscisas y la parte imaginaria en el eje de ordenadas. 
El eje de abscisas también recibe el nombre de eje 
real y el eje de ordenadas el nombre de eje imaginario. 
 
2 
 
El plano complejo a veces recibe el nombre de plano de Argand a causa de su uso 
en diagramas de Argand. Su creación se atribuye a Jean-Robert Argand (1768, 
1822) quien en 1806 propuso esta representación para los números complejos, 
aunque fue inicialmente descrito por el encuestador y matemático Noruego-
danés Caspar Wessel. 
 
EJEMPLO 4. Representación geométrica de números complejos 
La gráfica muestra la representación de tres números complejos. 
 
 
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS 
a) Suma y sustracción de complejos 
Para sumar (o restar) números complejos se suman (o restan) las partes reales y se 
suman (o retan) las partes imaginarias. 
 
EJEMPLO 5. Suma y resta de complejos. 
Dados los complejos z1 = 8 + 3i, z2 = 10 – 5i y z3 = – 6 – 7i, calcular las siguientes 
operaciones: 
a) z1 + z2 = (8 + 3i) + (10 – 5i) = (8 + 10) + (3i – 5i) = 18 – 2i 
b) z1 – z3 = (8 + 3i) – (– 6 – 7i) = (8 + 6) + (3i + 7i) = 14 + 10i 
c) z1 – z2 + z3 = (8 + 3i) – (10 – 5i) + (– 6 – 7i) =(8 – 10 – 6) + (3i + 5i – 7i) 
 = – 8 + i 
b) Multiplicación de complejos 
Para multiplicar complejos se aplica la propiedad distributiva y se debe recordar que 
al multiplicar i por i, se tiene: 
 
𝑖 × 𝑖 = 𝑖2 = √−1 × √−1 = √(−1) × (−1) = √(−1)2 = −1. 
 
EJEMPLO 6. Multiplicación de complejos. 
Dados los complejos z1 = 8 + 3i, z2 = 10 – 5i y z3 = – 6 – 7i, calcular las siguientes 
operaciones: 
3 
 
a) z1 x z2 = (8 + 3i) x (10 – 5i) = 80 – 40i + 30i – 15i2 = 80 – 10i – 15(–1) 
 = 80 – 10i + 15 = 95 – 10i. 
b) z1 x z3 = (8 + 3i) x (– 6 – 7i) = – 48 – 56i – 18i – 21i2 = – 48 – 74i – 21(–1) 
 = – 48 – 74i + 21 = – 27 – 74i. 
 
En general, si z1 = a + bi y z2 = c + di, se tiene: 
𝑧1 × 𝑧2 = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖. 
 
c) División de complejos. 
Antes de dar el concepto de división de complejos, debemos trabajar un concepto 
previo, el de complejo conjugado. 
Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, el conjugado de z es el número complejo 𝑧̿ = 𝑎 − 𝑏𝑖. 
Así, el conjugado de 𝑧 = 4 + 8𝑖 es 𝑧̅ = 4 − 8𝑖. 
El conjugado de 𝑧 = −3 − 5𝑖 es 𝑧̅ = −3 + 5𝑖. 
 
Para dividir dos números complejos, se escribe la división como fracción, se 
multiplica y divide esta fracción por el conjugado del denominador, como 
muestra el ejemplo siguiente. 
 
EJEMPLO 7. División de complejos. 
Dividir z1 = 6 – 17i entre z2 = 4 – 3i. 
 
𝑧1
𝑧2
=
6 − 17𝑖
4 − 3𝑖
=
6 − 17𝑖
4 − 3𝑖
×
4 + 3𝑖
4 + 3𝑖
=
24 + 18𝑖 − 68𝑖 + 51
16 + 9
=
75 − 50𝑖
25
=
75
25
−
50
25
𝑖
= 3 − 2𝑖 
 
EJEMPLO 8. División de complejos. 
Dividir z1 = 2 + 11i entre z2 = 12 + 6i. 
 
𝑧1
𝑧2
=
2 + 11𝑖
12 + 6𝑖
=
2 + 11𝑖
12 + 6𝑖
×
12 − 6𝑖
12 − 6𝑖
=
24 − 12𝑖 + 132𝑖 + 66
144 + 36
=
90 + 120𝑖
180
=
90
180
+
120
180
𝑖
=
1
2
+
2
3
𝑖 
 
MÓDULO DE UN NUMERO COMPLEJO 
El módulo, valor absoluto o norma de un número complejo z = a + bi, se define 
como 
|𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2 
El módulo |z| del complejo z se puede interpretar como la longitud del vector z en el 
plano complejo Nótese además que 
𝑧𝑧̅ = (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑎 − 𝑏𝑖) = 𝑎2 − 𝑏2𝑖2 = 𝑎2 + 𝑏2 = |𝑧|2. 
4 
 
 
 
EJEMPLO 9. Módulo de números complejos. 
Hallar el módulo de los siguientes complejos: z1 = 4 – 5i y z2 = 12 + 5i. 
 
Solución. 
|𝑧1| = √42 + (−5)2 = √16 + 25 = √41. 
|𝑧2| = √122 + 52 = √144 + 25 = √169 = 13. 
 
POTENCIAS DE i. 
Las potencias sucesivas de i tienen una propiedad curiosa como vemos en la 
siguiente tabla. 
 
𝑖1 = 𝑖 𝑖5 = 𝑖4𝑖 = 1 ∙ 𝑖 = 𝑖 
𝑖2 = −1 𝑖6 = 𝑖4𝑖2 = 1 ∙ (−1) = −1 
𝑖3 = 𝑖2𝑖 = (−1)𝑖 = −𝑖 𝑖7 = 𝑖6𝑖 = −1 ∙ 𝑖 = −𝑖 
𝑖4 = 𝑖2𝑖2 = (−1)(−1) = 1 𝑖8 = 𝑖4𝑖4 = 1 ∙ 1 = 1 
 
 Y así sucesivamente. Se observa que las potencias de i siguen el patrón cíclico 
𝑖, −1, −𝑖, 1. 
Esto permite calcular cualquier potencia de i: basta con dividir el exponente entre 4 
y mirar cual es el residuo (o, lo que es lo mismo, hallar la potencia exacta de 4 más 
cercana por defecto de la potencia de i). 
 
EJEMPLO 10. Potencias de i 
Calcular las siguientes potencias de i. 
𝑎) 𝑖54 = 𝑖52𝑖2 = (𝑖4)13𝑖2 = 113(−1) = −1. 
𝑏) 𝑖99 = 𝑖96𝑖3 = (𝑖4)24𝑖3 = 124(−𝑖) = −𝑖. 
𝑐) 𝑖224 = (𝑖4)56 = 156 = 1. 
𝑑) 𝑖205 = 𝑖204𝑖1 = (𝑖4)51𝑖1 = 1 ∙ 𝑖 = 𝑖. 
 
Estos ejercicios también se pueden resolver de la siguiente manera: 
𝑎) 𝑖54 = 𝑖52+2 = 𝑖2 = −1. 
5 
 
𝑏) 𝑖99 = 𝑖96+3 = 𝑖3 = −𝑖. 
𝑐) 𝑖224 = 𝑖224+0 = 1. 
𝑑) 𝑖205 = 𝑖204+1 = 𝑖1 = 𝑖. 
 
EJERCICIOS 
 
1. En el plano de Argand represente los siguientes números complejos: 
𝑧1 = 5 − 3𝑖, 𝑧2 = −6 + 3𝑖, 𝑧3 = 5 + 2𝑖, 𝑧4 = −3 − 4𝑖 
 
En los ejercicios 2 a 13 calcule la operación indicada, dados los siguientes números 
complejos: z1 = 3 + 8i, z2 = 30 + 7i, z3 = 16 – 11i, z4 = 2 – 3i. 
 
2. 𝑧1 + 𝑧4 3. 𝑧4 − 𝑧3 4. 𝑧4 × 𝑧2 
5. 𝑧2 𝑧4⁄ 6. 𝑧3 − 𝑧2 − 𝑧1 7. 𝑧3 × 𝑧1 
8. 𝑧3 𝑧4⁄ 9. 4𝑧1 − 3𝑧4 10. 𝑧4 − 𝑧1 + 𝑧3 
11. 𝑧2 × 𝑧1 12. 𝑧1 𝑧3⁄ 13. 5𝑧1 + 2𝑧4 
 
En los ejercicios 14 a 16 halle el módulo del número complejo dado. 
 
14. 𝑧 = 8 + 6𝑖 15. 𝑧 = 6 − 4𝑖 16. 𝑧 = 15 − 8𝑖 
 
En los ejercicios 17 a 22 determine la potencia de i solicitada. 
 
17. 𝑖37 18. 𝑖300 19. 𝑖74 
20. 𝑖206 21. 𝑖121 22. 𝑖123