S10 s2 - Material - Números Complejos

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NÚMEROS COMPLEJOS ℂ
MÓDULO Y OPERACIONES
Otra aplicación impresionante es la fusión de la ingeniería con la medicina visto en el cálculo de la 
impedancia eléctrica
Números Complejos ℂ
¿Para que sirven los números complejos?
https://es.slideshare.net/SandraCruzGuerrero/automatizacion-en-hematologia?from_action=save
Basado en la resistencia que ofrecen las células al paso de la 
corriente eléctrica, cuando atraviesan un orifico de apertura que 
separa dos medios con diferente potencias (uno positivo y otro 
negativo)
- La impedancia de los leucocitos.
- Concentración de la hemoglobina.
- Conteo de Eritrocitos y plaquetas
https://anestesiar.org/2012/pulmovista-500-drager/
Números Complejos ℂ
¿Para que sirven los números complejos?
El conjunto de complejos también 
aparece en muchos objetos fractales
https://nusgrem.es/conoces-los-numeros-complejos/
Conjunto de Mandelbrot
En la física térmica, es posible obtener 
cantidades de energía imaginarias.
https://nusgrem.es/conoces-los-numeros-complejos/
LOGRO DE SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante reconoce y realiza 
operaciones con números complejos.
Datos/Observaciones
MÓDULO OPERACIONES
NÚMEROS COMPLEJOS ℂ
Un número complejo es una expresión de la forma 𝒂 + 𝒃𝒊 , donde 𝒂 y 𝒃 son números reales, 
𝒊 la unidad imaginaria, dicha expresión tiene la propiedad de que 𝒊𝟐 = −𝟏.
Números Complejos ℂ
¿Qué es un número complejo?
En general, todo número complejo puede ser representado como:
𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖
𝑎 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑅𝑒 𝑧
𝑏 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛𝑎𝑟𝑖𝑎 𝐼𝑚 𝑧
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊
𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑏𝑖𝑛ó𝑚𝑖𝑐𝑎
𝒛 = 𝒂; 𝒃
𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎
Dado 𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 y como vector 𝒂;𝒃 , el módulo será:
1 MÓDULO
El módulo es la distancia del centro de
coordenadas al punto complejo o afijo.
𝑧 = 𝑎2 + 𝑏2
𝒂; 𝒃
Eje real
Números Complejos ℂ
Eje imaginario
2 POTENCIAS DE 𝒊
𝑖23 = 𝑖2 11 ∙ 𝑖
= −1 11 ∙ 𝑖
= −𝑖
Números Complejos ℂ
Ejemplo:
Sólo se cambia el signo 
de la parte imaginaria.
3 CONJUGADO
𝒛 = 𝒂 + 𝒃𝒊 ത𝒛 = 𝒂 − 𝒃𝒊
𝑧1 ∙ 𝑧2 = ഥ𝑧 1 ∙ ഥ𝑧 2
𝑧1 + 𝑧2 = ഥ𝑧 1 + ഥ𝑧 2
ഥഥ𝑧 = 𝑧
PROPIEDADES:
Números Complejos ℂ
4 OPERACIONES
𝑧1 = 𝑧2
𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑐 + 𝑑𝑖
𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑐 = 𝑑
Si 𝑧1 = 𝑧2. Hallar 𝑥 + 𝑦
3𝑥; 5 = 6 + 𝑦 + 2 𝑖
3𝑥 = 6
𝑥 = 2
5 = 𝑦 + 2
3 = 𝑦
𝑧1 = 3𝑥; 5 ; 𝑧2= 6 + 𝑦 + 2 𝑖
Igualdad en ℂ
Números Complejos ℂ
Ejemplo:
𝑥 + 𝑦 = 5
4 OPERACIONES
Hallar 𝑧1 ± 𝑧2
𝑧1 + 𝑧2 = 3 + 6 + 4 + 1 𝑖
= 9 + 5𝑖
𝑧1 = 3; 4 ; 𝑧2= 6 + 𝑖
Suma en ℂ:
Resta en ℂ: 
𝑧1 − 𝑧2 = 3 − 6 + 4 − 1 𝑖
= −3 + 3𝑖
Números Complejos ℂ
Ejemplo:
4 OPERACIONES
𝑧 = 4 3; 4 = 4 3 + 4𝑖
Producto de una escalar por un ℂ:
𝑘 ⋅ 𝑧 = 𝑘 𝑎 + 𝑏𝑖 = 𝑘𝑎 + 𝑘𝑏𝑖
𝑘 ⋅ 𝑧 = 𝑘𝑎; 𝑘𝑏 𝐴 = 12; 16 = 12 + 16𝑖
Producto de 2 números ℂ: 
𝑧1 = 3; 4 ; 𝑧1 = 2;−5
𝑧1 ∙ 𝑧2 = 3 + 4𝑖 2 − 5𝑖
= 6 − (−20) + −15 + 8 𝑖
= 26 − 7𝑖
Números Complejos ℂ
Ejemplo:
4 OPERACIONES
División de 2 números ℂ: 𝑧1 = 3; 4 ; 𝑧1 = 2 − 5𝑖 . Hallar 
𝑧1
𝑧2
𝑧1
𝑧2
=
3 + 4𝑖
2 − 5𝑖
=
3 + 4𝑖
2 − 5𝑖
∙
2 + 5𝑖
2 + 5𝑖
=
6 − 20 + 15 + 8 𝑖
22 + 52
=
−14 + 23𝑖
29
= −
14
29
+
23
29
𝑖
Números Complejos ℂ
Ejemplo:
Datos/Observaciones
Dados 𝑧1 = 3 + 5𝑖 y 𝑧2 = −4 + 3𝑖. Determine la suma, resta, multiplicación y 
división de estos números complejos.
Ejemplo. 
SOLUCIÓN:
𝑧1 + 𝑧2 = −1 + 8𝑖
𝑧1 − 𝑧2 = 7 + 2𝑖
𝑧1 ∙ 𝑧2 = 3 + 5𝑖 ∙ −4 + 3𝑖
𝑧1
𝑧2
=
3 + 5𝑖
−4 + 3𝑖
∙
−4 − 3𝑖
−4 − 3𝑖
=
−12 − (−15) + −9 − 20 𝑖
16 + 9
=
3 − 29𝑖
25
= −12 − 15
= −27 − 11𝑖
=
3
25
−
29
25
𝑖
+ 9 − 20 𝑖
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Sea 𝑧1 = 2 + 3𝑖; 𝑧2 = 3 − 2𝑖 ; 𝑧3 = −5 + 𝑖. Determine el valor de:
𝑀 = 𝑧2
2 − 3𝑧1 + 4ഥ𝑧3 − −64 + 𝑖
27
SOLUCIÓN:
𝑀 = 3 − 2𝑖 2 − 3 2 + 3𝑖 + 4 −5 − 𝑖 − 8𝑖 + 𝑖27
𝑀 = 𝑧2
2 − 3𝑧1 + 4ഥ𝑧3 − −64 + 𝑖
27
𝑀 = 5 − 12𝑖 − 6 + 9𝑖 + −20 − 4𝑖 − 8𝑖 − 𝑖
𝑀 = −21 − 34𝑖
3 − 2𝑖 2 = 3 − 2𝑖 3 − 2𝑖
= 9 − 4 + −6 − 6 𝑖
= 5 − 12𝑖
𝑖27 = 𝑖2 13𝑖 = −1 13𝑖 = −𝑖
−64 = 64𝑖2 = 8𝑖
ഥ𝑧3 = −5 − 𝑖
RPTA: 𝑀 = −21 − 34𝑖
Números Complejos ℂ
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Sea 𝑧1 = −1 − 2𝑖 ; 𝑧2 = 3 − 𝑖 ; 𝑧3 = 2. Determine el valor de:
𝑃 = 𝑧3 − 2𝑧1 2𝑧2 + 𝑧1
SOLUCIÓN:
𝑃 = 𝑧3 − 2𝑧1 2𝑧2 + 𝑧1
= 2 − −2 − 4𝑖 6 − 2𝑖 + −1 − 2𝑖
= 4 + 4𝑖 5 − 4𝑖
= 20 − (−16) + −16 + 20 𝑖
= 36 + 4𝑖
Números Complejos ℂ
LISTO PARA MIS EJERCICIOS RETOS
Experiencia 
Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos 
Equipos de 5 estudiantes
Tiempo : 20 min
EJERCICIOS RETOS
1. Sea 𝑧1 = 2 + 𝑖; 𝑧2 = 1 + 2𝑖; 𝑧3 = 1 − 𝑖. Determine el valor de 𝑅 =
𝑧2
𝑧3−𝑖
+
𝑧1
𝑧2
∙ 𝑧3.
2. Hallar los números reales 𝑥 e 𝑦 tal que: 2𝑥 − 3𝑖𝑦 − 2𝑦 − 5 − 10𝑖 = 𝑥 + 𝑦 − 2 −
𝑦 − 𝑥 + 3 𝑖.
3. Resolver el sistema de ecuaciones en ℂ. ቊ
1 + 𝑖 𝑥 − 𝑖𝑦 = 2
2 + 𝑖 𝑥 + 2 − 𝑖 𝑦 = 2𝑖
4. Efectuar y el resultado expresar en la forma binómica.
5
(1 + 𝑖)(2 − 𝑖)(3 − 𝑖)
5. Calcular 
1+𝑖 𝑛
1−𝑖 𝑛−2
, donde 𝑛 es un entero positivo.
Espacio de 
Preguntas
Tiempo : 10 min
Pregunta a través del chat o levantando
la mano en el Zoom. Comparte tus
dudas de la sesión o de los ejercicios y
problemas que acaban de trabajar en
los grupos. Si no tienes preguntas el
profesor realizará algunas
Datos/Observaciones
Conclusiones 
1. Considerar en las operaciones de números complejos 
que el valor de 𝑖2 = −1.
2. Para dividir hay que usar el conjugado del denominador.
Datos/Observaciones
Operaciones con ℂ
Datos/Observaciones
FINALMENTE
Excelente tu 
participación
Recuerda que la práctica hace 
al maestro.
Ésta sesión quedará 
grabada para tus 
consultas.

PARA TI
1. Realiza los ejercicios 
propuestos de ésta sesión y 
práctica con la tarea .
2. Consulta en el FORO tus 
dudas.