Tercer-Periodo-Taller-2--Los-nAmeros-Complejos-parte-uno

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INSTITUCION EDUCATIVA LA 
LIBERTAD 
 ÁREA DE MATEMÁTICAS Grado: Noveno TERCER 
PERIODO 
Docente: Ana Lucía Reina L. 
Tema: Los números Complejos Indicadores: 
 Justifico los procedimientos y estrategias utilizadas en 
la solución de ejercicios y problemas 
 Determino características propias del conjunto de 
numéricos Complejos. 
Nombre: 9- Fecha: Julio 27 TALLER 2- 
¡¡¡Hola!!! Un saludo cordial y deseándoles éxitos en este segundo taller del tercer periodo. 
El presente taller le ayudara a identificarlos números complejos y a realizar las operaciones entre ellos. Si 
tiene alguna dificultad para resolverlo envíe sus dudas a la mensajería de la plataforma institucional o al 
correo reinaanalucia@gmail.com. Luego de que lo haya realizado en hojas cuadriculadas, realice un 
documento en Word o en PDF, donde se muestren las fotos del trabajo y envíelo a la plataforma 
institucional para ser evaluado, luego guárdelo en su carpeta de tareas y trabajos. Así que ánimo y a trabajar, 
vamos con toda!!! 
TERCER PERIODO TALLER 2: LOS NUMEROS COMPLEJOS 
En la solución de ecuaciones como X2 + 1 = 0, no es posible hallar un número real cuyo cuadrado sea -1, es decir, 
la solución de esta ecuación no es un número real. Entonces se crearon los números imaginarios, cuya unidad 
se simboliza por i y es tal que i² = -1, o sea i = 1 . 
Los números imaginarios tienen la forma bi donde b es real e i es la unidad imaginaria, por ejemplo 3i, -2i, 3/7i 
Los números complejos están conformados por una parte real y otra imaginaria, por ejemplo 2+ 3i 
C = {(a, b)| a, b  R } es el conjunto de los números Complejos. O sea que un número complejo es una pareja 
ordenada de números reales (a, b), donde a es la parte real y b es la parte imaginaria. 
El número complejo (a, b), puede escribirse en forma binómica como a + bi, o sea (a, b) = a + bi. Por ejemplo: 2 
+ 3i = (2,3) 
Un número real puede expresarse como un complejo cuya parte imaginaria es cero, esto es, el real a = a + 0i = 
(a,0). Por ejemplo: 3= 3+0i 
El número bi se llama imaginario puro y se puede escribir como: 0+bi. Por ejemplo 5i= 0 + 5i. 
El número real “0” es también complejo y lo podemos escribir como 0 +0i 
De esta manera podemos establecer una cadena de inclusiones así: 
N  Z  Q  R C. 
IGUALDAD ENTRE COMPLEJOS: Para que dos números complejos sean iguales se requiere que sus partes reales 
sean iguales y sus partes imaginarias sean iguales entre sí: 
 a + bi = c + di si y solo si a=c y b=d 
Por ejemplo: Hallar el valor de X y de Y 
2 + 8i = x – 2 + yi 
Igualamos las partes reales 2= x-2 y despejamos la x ; 2+2 = x luego 4=x 
Ahora igualamos la parte imaginaria: 8i= yi entonces 8=y 
 
mailto:reinaanalucia@gmail.com
POTENCIAS DE i 
Para calcular las potencias de i, debemos partir de i= √−1, ahora elevamos en ambos lados al cuadrado así, 
𝑖2 = (√−1 )2 =-1, recuerde que el exponente 2 se cancela con el índice 2, seguidamente hallamos 
i3 = i2 x i = -1 x i = -i. Ahora hallamos i4 = i2 X i2 = (-1) x (-1) = 1. Hallemos i5 = i2 x i2 x i = (-1) x (-1) x i = i, notamos 
que i= i5, a continuación hallemos i6 = i2 x i2 x i2 = (-1) x (-1) x (-1) = -1 y encontramos que i6 = i2 = -1, así se realizan 
las demás potencias encontrando que: i7 = i3 = -i, i8 = i4 =1. Notamos que los valores se repiten de 4 en 4; por eso 
las potencias básicas de i son cuatro. 
Cualquier potencia de i puede calcularse mediante una reducción de potencias básicas, solo se debe dividir el 
exponente de i por 4 y tomar el residuo como la nueva potencia 
Ejemplo: Calcular i22 = i2 = 1 
Si el exponente es negativo se procede así: se pasa el imaginario con exponente negativo al denominador o 
viceversa si esta en el denomminador se sube al numerador pero cambiando el singo negativo a positivo, así: 
 
Observar el video https://www.youtube.com/watch?v=vZTiu_4Gr_c 
 
ACTIVIDAD 1. 
1. Resuelve las siguientes ecuaciones y diga a cuál conjunto numérico pertenece la solución: 
 a) x2 + 1 = 0 b) 4X + 5 = 0 c) 0.5x + x - 6 = 0 d) 3(x-1) + x +2 = ⅔ 
 e) x2 - 14 = 0 
2. Para qué valores de x y de y se cumple que: 
a) 3x + (y-2)i = (5-2x) + (3y-8)i b) (2 - 3i)+ (x + yi) = 29 + 2i 
 
3. Calcular el valor de las siguientes potencias de i, reduce al máximo el resultado. 
a) i7 b) i102 c) i-119 d) 2i9 + 12 i11 e) 3i50 – 12i52 
 
OPERACIONES CON COMPLEJOS 
ADICIÓN 
Para sumar dos o más números complejos se suman respectivamente los números reales entre sí, y los números 
imaginarios entre ellos. Por ejemplo: (2 + 4i) + (3 + 5i) = (2 + 3) + (4i + 5i) = 5 + 9i 
Propiedades de la adición de complejos: 
. Clausurativa: Al sumar un número complejo con otro número complejo el resultado es otro número complejo. 
Por ejemplo: (3/5+4/3 i) + (4/15+2/6 i) = 13/15 + 5/3 i (-9+5i) + (3-7i) = -6-2i 
. Conmutativa: En la suma de dos números complejos se puede cambiar el orden de los números complejos y el 
resultado no varía. 
Por ejemplo:. (3+5i) + (7-2i) = 10+3i = (7-2i) + (3+5i) = 10+3i 
. Asociativa: En la suma de números complejos se pueden agrupar de varias maneras los números complejos y 
el resultado es el mismo 
https://www.youtube.com/watch?v=vZTiu_4Gr_c
Por ejemplo: 
[(3-2i) + (5+6i)] + (4+7i)= [8+4i] + (4+7i)= 12+11i ó (3-2i) + [(5+6i) + (4+7i)]= (3-2i) + [9+13i] = 12 +11i 
. Existencia del elemento neutro: En la suma de números complejos el modulo es el 0+0i, y al sumar cualquier 
número complejo con el módulo, el resultado es el mismo número complejo. 
Por ejemplo: (4+8i) + 0+0i = 4+8i 
. Elemento opuesto: Para todo número complejo existe otro número complejo opuesto que sumado con el 
anterior el resultado es el módulo de la suma de números complejos (0+0i). 
Por ejemplo: Si tenemos (3-5i) también existe (-3+5i) tal que (3-5i) + (-3+5i) = 0+0i 
SUSTRACCIÓN 
Para restar dos números complejos se cambia de signo al sustraendo y se realizan las operaciones 
correspondientes entre las partes reales entre si y luego las partes imaginarias entre ellas. 
 (2+4i) - (3-5i) =2 + 4i -3 +5i= (2-3) + (4i+5i) = -1+9i 
(5+7i) - (4-3i) = 5+ 7i -4 +3i= (5-4 ) + (7i+3i) = 1+10i 
(3-6i) - (-5-9i) = 3 -6i +5 +9i= (3+5) +(-6i+9i) = 8+3i 
(5/3+4i) - (4-8/4 i) =5/3 + 4i -4 + 8/4i= (5/3-4) + (4i+8/4 i)= (-7/3+6i) 
Observar el video: https://www.youtube.com/watch?time_continue=62&v=nudZJB-wQGk&feature=emb_logo 
MULTIPLICACION 
La multiplicación de complejos se realiza como si multiplicáramos dos binomios, y luego se aplican las 
propiedades ya vistas en los números complejos. (todos contra todos) 
Por ejemplo: (3+2i)•(5+4i) = 3∙5 + 3∙4i + 2i∙ 5 + 2i∙4i= 15 + 12i + 10i + 8i2= 15 + 22i + 8.(-1)= 15 + 22i – 8= 7 + 22i 
Otros ejemplos 
(6 + 5i) x (4 – 2i)= 24 -12i + 20i – 10i2= 24 + 8i-10.(-1) = 24 + 8i +10 = 34 + 8i 
( 5 + √(-4)) X (2 -√(-121) ) = (5 + 2i) x (2 – 11i)= -10 -55i -4i-22i2 = -10 -59i +22 = 12 – 59i 
Propiedades de la multiplicación de complejos: 
. Clausurativa: El producto de un número complejo por otro número complejo es un número complejo. 
Por ejemplo: (-9+5i)•(3-7i)= -27+ 63i + 15i -35i2= -27+ 78i -35(-1) = -27+35+78i = 8+78i 
. Conmutativa: El orden de los factores en el producto de los números complejos se puede cambiar y el resultado 
es el mismo 
Por ejemplo: (3+6i)•(5-2i) = (5-2i)•(3+6i) = 27+24i 
. Asociativa: En el producto de números complejos se pueden asociar de varias maneras y el resultado siempre 
es el mismo 
Por ejemplo: [(3-2i) • (5+6i)] • (4+7i)= (3-2i) •[(5+6i)• (4+7i)] = 52+221i 
. Modulativa: Todo número complejo multiplicado por el 1+ oi da como resultado el mismo número complejo 
Por ejemplo: (6 - 35i) • (1+ oi) = ( 6 - 35i) •(1) = ( 6- 35i) 
. Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma: Consiste en relacionarla adición de complejos con la 
multiplicación 
Por ejemplo: (4-5i)•[(3+2i)+(4-2i)] = (4-5i)•[7+0] = 28-35i Otra forma de resolver este ejercicio seria: 
https://www.youtube.com/watch?time_continue=62&v=nudZJB-wQGk&feature=emb_logo
(4-5i)•[(3+2i)+(4-2i)] = (4-5i)•(3+2i)+(4-5i)(4-2i)] = 12+8i-15i-10i2 + 16-8i-20i+10 i2 = 28-35i-10(-1)+10(-1) = 28-
35i+10-10 = 28-35i 
Observar el video: https://www.youtube.com/watch?time_continue=19&v=38DPFbTKUpQ&feature=emb_logo 
 
DIVISION 
Para dividir complejos solo basta con multiplicar por el conjugado del denominador 
 
Dado el complejo 3-2i su conjugado corresponde a 3+2i (solo se cambia el signo de la parte imaginaria) 
 
 
 
 
Siempre que se multiplica un número complejo por su conjugado el resultado es un número real. 
Si en denominador solo aparece i, se debe multiplicar arriba y abajo por i para poder quitar esa i del 
denominador, pues no puede nunca quedar una raíz en el denominador. 
 
Observar el video: 
https://www.youtube.com/watch?time_continue=376&v=XV5buDdtUEU&feature=emb_logo 
 
 
 
ACTIVIDAD 2. 
1. Realiza las siguientes operaciones con números complejos: 
a. (6 – 5i) + (2 – i) – 2(–5 + 6i) = R/ 18-18i 
b. (2 – 3i) – (5 + 4i) + (6 – 4i) = R/ 3-11i 
c. (3 + 2i) (4 – 2i) = R/ 16+14i 
d. (2 + 3i) (5 – 6i) = R/ 28+3i 
e. (–i + 1) (3 – 2i) (1 + 3i) = R/ 16-2i 
f. (1+6i)/(4+3i)= R/ ( 22+21i)/25 
 g. 7-5(3 - 2/4 i)= R/-8+10/4 i 
h. ((3+3i)(4-2i))/(2-2i) =(18+6i)/(2-2i)= R/(24+48i)/8 
OBSERVACIONES√ 
1. a = a 1 = i a , aR 
2. Dos complejos se llaman conjugados si sus partes reales son iguales y sus partes imaginarias tienen 
signo contrario. l conjugado de a + bi es a - bi. 
3. El producto de dos números Complejos conjugados es un número real. Por ejemplo: el conjugado de 
3+ 2i es 3-2i,(solo se le cambia el signo al número imaginario) al multiplicarlos da un número real. 
https://www.youtube.com/watch?time_continue=19&v=38DPFbTKUpQ&feature=emb_logo
https://www.youtube.com/watch?time_continue=376&v=XV5buDdtUEU&feature=emb_logo
https://sites.google.com/site/josalbeto/numeros-complejos/multiplicacion-y-division-de-numeros-complejos/comple6.png?attredirects=0