GUIA 35 FUNCIÓN POLINOMICA

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUIA 35: FUNCIÓN POLINÓMICA 
 
Las funciones polinómicas son las funciones de la forma: 
 
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 + 𝒂𝟐𝒙
𝟐 + 𝒂𝟑𝒙
𝟑 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒙
𝒏 
 
Dependiendo del grado del polinomio, reciben diversos nombres, cambia su 
dominio y rango y cambia su gráfica. 
 
FUNCIÓN CONSTANTE 
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝟎 
 
En general, esta función se escribe en la forma 
 
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂 
 
Su dominio es R y el rango de la función es a. Su gráfica es una línea recta horizontal. 
 
 
FUNCIÓN LINEAL 
𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒙 
 
Normalmente la escribimos como 
𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 
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DEFINICIÓN DE FUNCIÓN LINEAL 
Sea f una función real de variable real. Se dice que f es una función lineal, si su regla de 
correspondencia es 
f(x) = mx + b, 
donde m y b son constantes reales con m  0. 
 
TEOREMA 
i. El dominio y el rango de la función lineal f(x) = mx + b es R. 
ii. La función lineal f(x) = mx + b es creciente si m > 0, y es decreciente si m < 0. 
iii. La función f : R → R, definida como f(x) = mx + b, donde m y b son constantes reales 
con m  0, es inyectiva, es sobreyectiva y por lo tanto, es biyectiva. 
 
¿Cómo graficar una función lineal? 
Para graficar una función lineal, se deben seguir los siguientes pasos: 
Paso 1. Calcular la intersección de la recta con el eje x, es decir, el punto (−b/m, 0), 
y la intersección de la recta con el eje y, es decir, el punto (0, b). 
Paso 2. Trazar la línea recta haciéndola pasar por los dos puntos calculados en el 
paso anterior. 
 
Gráfica de la función lineal. 
A la gráfica de una función lineal de la forma f(x) = mx + b se le llama «línea recta» 
o simplemente «recta», y esta tiene una de las siguientes formas: 
 
 
A la constante m se le llama «la pendiente de la recta». En la Forma 1 la línea recta 
es creciente y en la Forma 2 la línea recta es decreciente. En ambas formas, el punto 
(−b/m, 0) es la intersección de recta con el eje x y el punto (0, b) es la intersección 
con el eje y. 
 
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EJEMPLO 1. Gráfica de una función lineal 
Trazar la gráfica de la función lineal y = f(x) = ─2x + 6. 
 
Solución. En este caso, m = −2 y b = 6. Entonces, 
 
(−
𝒃
𝒎
, 𝟎) = (−
𝟔
−𝟐
, 𝟎) = (𝟑, 𝟎) 𝒚 (𝟎, 𝒃) = (𝟎, 𝟔) 
 
Por lo tanto, (3, 0) es el punto de intersección de la recta con el eje x y (0, 6) es el 
punto de intersección con el eje y. Luego, al trazar la línea recta haciéndola pasar por 
los dos puntos obtenidos, tenemos 
 
 
 
EJEMPLO 2. Gráfica de la función lineal 
Realice la gráfica de la función y = 2x – 4 
 
Solución Se hallan los interceptos: 
Si x = 0: y = 2(0) – 4 = 0 – 4 = – 4; tenemos el punto P (0, ─4). 
Si y = 0: 0 = 2x – 4  2x = 4  x = 2; tenemos el punto Q (2, 0). 
 
y 
x 
(0, 6) 
(3, 0) 
y = ─2x + 6 
4 
 
 
 
EJEMPLO 3. Evaluación de una función lineal 
Dada la función 𝒚 = 𝒇(𝒙) = 𝟓𝒙 − 𝟑, hallar 
(𝑎) 𝑓(−2) (𝑏) 𝑓(4) (𝑐) 𝑓(1/2) (𝑑) 𝑓 (3𝑎) 
 
Solución 
(𝒂) 𝒇(−𝟐) = 𝟓(−𝟐) − 𝟑 = −𝟏𝟎 − 𝟑 = −𝟏𝟑. 
(𝒃) 𝒇(𝟒) = 𝟓(𝟒) − 𝟑 = 𝟐𝟎 − 𝟑 = 𝟏𝟕. 
(𝒄) 𝒇 (
𝟏
𝟐
) = 𝟓 (
𝟏
𝟐
) − 𝟑 =
𝟓
𝟐
− 𝟑 = −
𝟏
𝟐
. 
(𝒅)𝒇 (𝟑𝒂) = 𝟓(𝟑𝒂) − 𝟑 = 𝟏𝟓𝒂 − 𝟑. 
 
Modelado con funciones lineales. 
Modelar con una función lineal es obtener una función lineal que cumpla las 
condiciones dadas en una situación problémica descrita en un enunciado. Lo 
importante es que el modelo matemático nos permita predecir eventos futuros. 
Un modelo matemático se define como una descripción desde el punto de vista de 
las matemáticas de un hecho o fenómeno del mundo real, desde el tamaño de 
la población, hasta fenómenos físicos como la velocidad, aceleración o densidad. 
El objetivo del modelo matemático es entender ampliamente el fenómeno y tal vez 
predecir su comportamiento en el futuro. 
 
EJEMPLO 4. Problemas de proporcionalidad directa 
Para resolver los siguientes problemas, debemos tener en cuenta la siguiente 
definición: 
Se dice que y es directamente proporcional a x, si 
 
𝒚 = 𝒌𝒙, 
 
donde k es una constante real diferente de cero. 
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1. Una fotocopiadora imprime 2 hojas por segundo. Si y representa el número de 
hojas impresas y es el número de segundos, calcula la función modelo y = f(t). 
¿Cuántas copias se imprimen en un minuto? 
 
Solución. Ya que el número de copias es directamente proporcional al tiempo en 
segundos, tenemos 
𝒚 = 𝒇(𝒕) = 𝒌𝒕, 
 
donde k es una constante real diferente de cero, que debemos encontrar. Para t = 
1, f(1) = 2 y así, 
𝟐 = 𝒇(𝟏) = 𝒌 ∗ 𝟏  𝒌 = 𝟐. 
 
Por lo tanto, nuestro modelo es 
 
𝒇(𝒕) = 𝟐𝒕. 
 
en un minuto, es decir, cuando t = 60, se imprimirán 
 
𝒇(𝟔𝟎) = 𝟐 ∗ 𝟔𝟎 = 𝟏𝟐𝟎 𝒄𝒐𝒑𝒊𝒂𝒔. 
 
2. El peso aproximado del cerebro de un ser humano es directamente proporcional 
a su peso corporal, y una persona que pese 150 libras tiene un cerebro de un 
peso de aproximadamente 4 libras. Exprese el peso aproximado del cerebro de 
una persona en función del peso de su cuerpo, y obtener el peso aproximado del 
cerebro de una persona que pesa 176 libras. 
 
Solución. Sea f libras el peso aproximado del cerebro de una persona y sea x libras 
el peso de su cuerpo. Como debemos obtener el peso aproximado del cerebro de 
una persona en función del peso de su cuerpo, hay que determinar f(x). Ya que, el 
peso aproximado del cerebro de un ser humano es directamente proporcional a su 
peso corporal, entonces 
 
𝒇(𝒙) = 𝒌𝒙. 
 
Para x = 150, tenemos que f(x) = 4. Con estos datos podemos hallar el valor de k, así: 
 
𝟒 = 𝒇(𝟏𝟓𝟎) = 𝟏𝟓𝟎𝒌, 
 
entonces 
 
𝒌 =
𝟐
𝟕𝟓
. 
6 
 
Por lo tanto, la función queda así 
𝒇(𝒙) =
𝟐
𝟕𝟓
 𝒙. 
 
Por otro lado, al tomar x = 176, tenemos: 
 
𝒇(𝟏𝟕𝟔) =
𝟐
𝟕𝟓
· 𝟏𝟕𝟔 = 𝟒. 𝟕 
 
En consecuencia, el peso aproximado del cerebro de una persona que pesa 176 libras 
es 4.7 libras. 
 
EJEMPLO 5. Un problema de inversión 
Un inversionista sabe que si alquila cuartos para estudiantes universitarios a $ 340.000 
pesos la mensualidad, puede rentar 25 cuartos, pero si la mensualidad es de $ 300.000 
pesos, puede rentar 30 cuartos. Establece la ecuación de la recta que modela esta 
situación. 
 
Solución. Podemos considerar a y como el precio mensual del alquiler del cuarto y 
a la variable x como el número de cuartos alquilados a ese precio. Entonces, tenemos 
dos puntos por donde pasa la recta: (25, 340.000) y (30, 300.000). Primero 
encontramos la pendiente de esta recta: 
 
𝒎 =
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
=
𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟑𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟑𝟎 − 𝟐𝟓
=
−𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎
𝟓
= −𝟖. 𝟎𝟎𝟎. 
 
Ahora podemos hallar la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente: 
 
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟎) 
𝒚 − 𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = −𝟖. 𝟎𝟎𝟎(𝒙 − 𝟑𝟎) 
𝒚 − 𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = −𝟖. 𝟎𝟎𝟎𝒙 + 𝟐𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎) 
𝒚 = −𝟖. 𝟎𝟎𝟎𝒙 + 𝟐𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟑𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
𝒚 = −𝟖. 𝟎𝟎𝟎𝒙 + 𝟓𝟒𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
 
Este modelo matemático permite predecir comportamientos en el futuro. Así, por 
ejemplo, si quiere rentar 40 cuartos deberá cobrar una renta mensual de $ 220.000. 
 
EJERCICIOS 
 
En los ejercicios 1 a 4, haga la gráfica de cada recta, hallando los interceptos con los 
ejes coordenados. 
 
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𝟏) 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟒 𝟑) 𝒚 = −𝟐𝒙 − 𝟔 
𝟐) 𝒚 = −𝟑𝒙 + 𝟔 𝟒) 𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟐 
 
5) Dada la función f(x) = mx + b, para cada x ∈ R, si se sabe que f(3) = 11 y f(−3) 
= 6, hallar m + b. 
 
6) Un luchador joven de sumo decidió iniciar una dieta especial alta en proteínas 
para ganar peso rápidamente. Empezó con 90 kilogramos de peso y lo aumentó a 
una tasa constante. Después de 8 meses, pesaba 138 kilogramos. ¿Cuál es el modelo 
matemático que permite expresar esta situación? ¿Cuál sería su peso a los 10 meses? 
 
7) Losimpulsos en las fibras nerviosas viajan a una velocidad de 293 pies/segundo. 
La distancia recorrida en t segundos está dada por la función: d (t) = 293t, ya que 
distancia es igual a velocidad por tiempo. ¿Qué distancia recorre un impulso en 10 
segundos? ¿Cuánto tiempo tarda un impulso nervioso en recorrer una distancia 
desde los pies a la cabeza de una persona cuya estatura es 5 pies? 
 
8) Un lago en Siberia, cerca del polo norte ruso, se congeló en invierno y la capa de 
hielo alcanzó un espesor de 2 metros. Cuando llega la primavera, con el calor, la capa 
de hielo se reduce a razón constante de 0.2 metros por cada semana. a). Escriba la 
función E(t) de espesor del hielo en función del tiempo t dado en semanas. b) ¿A las 
cuántas semanas el espesor del hielo será de 0.4 metros? 
 
9) La electricidad se cobra a los consumidores a una tarifa de $10 por unidad para 
las primeras 50 unidades y a $3 por unidad para cantidades que exceden las 50 
unidades. Determine la función C(x) que da el costo de usar x unidades de 
electricidad. 
 
10. Un joven quería ser jugador de futbol americano y decidió comenzar una dieta 
especial alta en proteínas para ganar peso rápidamente. Pesaba 60 kilogramos 
cuando comenzó y ganó peso a razón constante. Después de 6 meses pesaba 72 
kilogramos. 
a). Escriba la función w(t) de peso en función del tiempo t dado en meses. 
b). ¿Cuál será su peso a los 8 meses?