GUÍA 38 FUNCIÓN EXPONENCIAL (1)

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UNIVERSIDAD DEL ATLÁNTICO 
FACULTAD DE CIENCIAS BÁSICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICAS 
Profesor: JESÚS MENDOZA NAVARRO 
GUIA 38: FUNCIÓN EXPONENCIAL 
 
La función exponencial tiene muchas aplicaciones en diversos campos como la biología, la 
economía, la Física, la Química, como el crecimiento de bacterias, el cálculo de intereses 
bancarios, el decaimiento radiactivo, el cálculo de población, etc. 
 
DEFINICIÓN DE FUNCIÓN EXPONENCIAL 
Sea a un número real positivo y diferente de 1, la función exponencial se define como 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 
para todo número real x. 
 
El número a recibe el nombre de base y x es el exponente. 
 
EJEMPLO 1. Gráfica de una función exponencial 
Miremos la gráfica de la función exponencial y = f(x) = 2x. 
 
x ─3 ─2 ─1 0 1 2 3 
y 0.12 0.25 0.5 1 2 4 8 
 
 
 
De la gráfica se observa que el dominio de la función exponencial son todos los reales y que 
el rango, son los reales positivos, es decir, (0, ∞). 
 
2 
 
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL y = f(x) = ax, a > 0 
Dominio: (─∞, +∞) Rango: (0, +∞) 
Intersecciones con el eje x: ninguna Intersección con el eje y: (0, 1) 
Asíntota horizontal: con el eje x cuando x  ─∞ 
La función es creciente 
La función es uno a uno y pasa por los puntos (0, 1) y (1, a) 
 
EJEMPLO 2. Gráfica de una función exponencial 
Miremos la gráfica de la función exponencial y = f(x) = (1/2)x. 
 
x ─3 ─2 ─1 0 1 2 3 
y 8 4 2 1 0.5 0.25 0.12 
 
 
 
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL y = f(x) = (1/a)x, a > 0 
Dominio: (─∞, +∞) Rango: (0, +∞) 
Intersecciones con el eje x: ninguna Intersección con el eje y: (0, 1) 
Asíntota horizontal: con el eje x cuando x  ∞ 
La función es decreciente 
La función es uno a uno y pasa por los puntos (0, 1) y (1, a) 
 
Aplicaciones de la función exponencial 
 
EJEMPLO 3. Una aplicación en biología 
Un cultivo de bacterias se duplica cada hora. Si se comienza con una bacteria, diseñe un 
modelo que le permita predecir cómo crece el cultivo. ¿Cuántas bacterias habrá en 8 horas? 
¿Y a las 10 horas? 
 
 
3 
 
Solución. 
 
Al inicio, tenemos: f(0) = 1 bacteria = 20 
A la hora, tenemos: f(1) = 2 bacterias = 21 
A las 2 horas, tenemos: f(2) = 4 bacterias = 22 
A las 3 horas, tenemos: f(3) = 8 bacterias = 23 
 
De manera que, para x horas, tendremos: 
 
𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 
 
A las 8 horas, cuando x = 8, tenemos: 𝒇(𝟖) = 𝟐𝟖 = 𝟐𝟓𝟔 bacterias 
 
A las 10 horas, cuando x = 10, tenemos: 𝒇(𝟏𝟎) = 𝟐𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟐𝟒 bacterias 
 
EJEMPLO 3. Una aplicación al cálculo de población 
Una aplicación de la función exponencial, es la fórmula que permite predecir la población en un 
cierto tiempo, de acuerdo con el modelo 
 
𝑷(𝒕) = 𝑷𝟎(𝟏 + 𝒓)
𝒕 
 
donde: 
Po = población inicial 
r = tasa de crecimiento anual en % (expresado en decimales) 
t = tiempo en años 
P(t) = población actual 
 
Si un pueblo de Texas tiene 600 habitantes en 2020 y su población crece 3% anual. ¿Cuántos 
habitantes tendrá en 2026? 
 
Solución. 
Para la pregunta conocemos Po = 600, r = 3% = 0.03, t = 6 y preguntan por P. Reemplazando en la 
ecuación, tenemos 
 
𝑷(𝟔) = 𝟔𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟑)𝟔 = 𝟔𝟎𝟎(𝟏. 𝟎𝟑)𝟔 = 𝟔𝟎𝟎(𝟏. 𝟏𝟗𝟒) = 𝟕𝟏𝟔 
 
La respuesta es que tendrá unos 716 habitantes. 
 
EJEMPLO 4. Una aplicación al cálculo del interés compuesto 
Una aplicación de la función exponencial, es la fórmula que permite calcular el interés compuesto 
pagado por un capital 
𝑪(𝒕) = 𝑪𝟎 (𝟏 +
𝒓
𝒏
)
𝒏𝒕
 
Donde 
Co = Capital inicial o invertido 
r = Tasa de interés anual en % (expresado en decimales) 
 
4 
 
t = tiempo en años 
n = número de períodos por año en que se acumula capital 
C(t) = Capital actual 
 
Se invierte $1.000.000 en una cuenta que paga 4% de interés, trimestral, ¿cuánto dinero se 
tendrá después de 3 años? 
 
Solución. 
Para la pregunta conocemos Co = 1.000.000, r = 4% = 0.04, n = 4 (pues en un año hay 4 trimestres) 
t = 3 y preguntan por C. Reemplazando en la ecuación, tenemos 
 
𝑪(𝒕) = 𝑪𝟎 (𝟏 +
𝒓
𝒏
)
𝒏𝒕
→ 𝑪(𝟑) = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 (𝟏 +
𝟎. 𝟎𝟒
𝟒
)
𝟒∙𝟑
 
 
𝑪(𝟑) = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎(𝟏 + 𝟎. 𝟎𝟏)𝟏𝟐 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎(𝟏. 𝟎𝟏)𝟏𝟐 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎(𝟏. 𝟏𝟐𝟔𝟖) 
 
𝑪(𝟑) = 𝟏. 𝟏𝟐𝟔. 𝟖𝟎𝟎 
 
A los 3 años, se tendrá un capital e $ 1.126.800, es decir, se pagaron $126.800 de interés. 
 
FUNCIÓN EXPONENCIAL DE BASE e 
 
Muchos problemas que surgen en la naturaleza necesitan de una función exponencial cuya 
base es un número irracional simbolizado con la letra e, llamado algunas veces como el 
número de Euler, en homenaje al matemático suizo Leonardo Euler: 
 
𝒆 = 𝟐. 𝟕𝟏𝟖𝟐𝟖𝟏 … 
 
Esta función exponencial natural tiene varias aplicaciones como en el decaimiento 
radiactivo de los elementos químicos radiactivos como el uranio, el polonio, etc. 
 
EJEMPLO 5. Respuesta a la publicidad 
Suponga que el porcentaje R de personas que responden a un anuncio periodístico relativo 
a un nuevo producto y que adquieren el artículo después de t días, se determina mediante 
la fórmula 
 
𝑹 = 𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝒆−𝟎.𝟑𝒕 
 
a) ¿Qué porcentaje ha respondido y adquirido el artículo después de 5 días? 
b) ¿Qué porcentaje ha respondido y adquirido el artículo después de 10 días? 
 
Solución. 
a) Después de 5 días, t = 5 y tenemos que el porcentaje R correspondiente de personas 
que responden y adquieren el artículo es: 
𝑹 = 𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝒆−𝟎.𝟑(𝟓) 
 
5 
 
𝑹 = 𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝒆−𝟏.𝟓 = 𝟐𝟕. 𝟔𝟖𝟔𝟗𝟖 ≈ 𝟐𝟖% 
 
b) Después de 10 días, t = 10 y tenemos 
 
𝑹 = 𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝒆−𝟎.𝟑(𝟏𝟎) 
𝑹 = 𝟓𝟎 − 𝟏𝟎𝟎𝒆−𝟑 = 𝟒𝟓. 𝟎𝟐𝟏 ≈ 𝟒𝟓% 
 
ECUACIONES EXPONENCIALES 
 
Las ecuaciones que contienen términos de la forma ax, donde a es un número real positivo 
diferente de 1, se conocen como ecuaciones exponenciales; algunas de ellas se pueden 
resolver aplicando en forma adecuada las leyes de los exponentes. 
 
LEYES DE LOS EXPONENTES 
𝟏) 𝒂𝒎 ∙ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 
𝟐)
𝒂𝒎
𝒂𝒏
= 𝒂𝒎−𝒏 
𝟑) (𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎𝒏 
𝟒)𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏
 
𝟓) 𝒂𝟎 = 𝟏 
𝟔) 𝒂𝒎 𝒏⁄ = √𝒂𝒎
𝒏
 
𝟕) 𝒂𝒎 = 𝒂𝒏 ⇔ 𝒎 = 𝒏 
 
 
Para aplicar estas propiedades, se deben escribir los dos lados de la ecuación en la misma base. 
 
EJEMPLO 5. Una ecuación exponencial 
Resolver la ecuación 
 𝟐𝒙 = 𝟖𝟑+𝒙 
 
Solución. Escribimos 8 como potencia de 2: 8 = 23 
𝟐𝒙 = (𝟐𝟑)
𝟑+𝒙
 
Aplicamos la propiedad 3: 
𝟐𝒙 = 𝟐𝟗+𝟑𝒙 
 
Aplicamos la propiedad 7: si las bases son iguales, los exponentes son iguales, luego tenemos que 
 
𝒙 = 𝟗 + 𝟑𝒙 → 𝒙 − 𝟑𝒙 = 𝟗 → −𝟐𝒙 = 𝟗 → 𝒙 = −
𝟗
𝟐
 
 
EJEMPLO 6. Una ecuación exponencial 
Resolver la ecuación 
(𝟖𝒙+𝟐)(𝟒𝒙−𝟏𝟔) = 𝟏𝟔 
 
6 
 
Solución. Escribimos 8, 4 y 16 como potencias de 2: 8 = 23, 4 = 22 y 16 = 24. 
 
[(𝟐𝟑)𝒙+𝟐][(𝟐𝟐)𝒙−𝟏𝟔] = 𝟐𝟒 
 
Aplicamos la propiedad 3 en el lado izquierdo: 
 
[𝟐𝟑𝒙+𝟔][𝟐𝟐𝒙−𝟑𝟐] = 𝟐𝟒 
 
Aplicamos la propiedad 1 en el lado izquierdo: 
 
𝟐𝟑𝒙+𝟔+𝟐𝒙−𝟑𝟐 = 𝟐𝟒 
 
Aplicamos la propiedad 7: si las bases son iguales, los exponentes son iguales 
 
𝟑𝒙 + 𝟔 + 𝟐𝒙 − 𝟑𝟐 = 𝟒 
𝟓𝒙 − 𝟐𝟔 = 𝟒 
𝟓𝒙 = 𝟒 + 𝟐𝟔 
𝟓𝒙 = 𝟑𝟎 
𝒙 = 𝟔 
 
EJEMPLO 7. Una ecuación exponencial 
Resolver la ecuación 
(𝟎. 𝟏𝒙−𝟕)(𝟏𝟎𝒙+𝟏)(𝟎. 𝟎𝟏𝟐−𝒙) = 𝟏 
 
Solución. Escribimos 0.1, 0.01 y 1 como potencias de 10: 0.1 = 1/10 = 10─1, 0.01 = 1/100 = 
10─2 y 1 = 100. 
[(𝟏𝟎−𝟏)𝒙−𝟕][(𝟏𝟎𝒙+𝟏)][(𝟏𝟎−𝟐)𝟐−𝒙] = 𝟏𝟎𝟎 
[𝟏𝟎−𝒙+𝟕][(𝟏𝟎𝒙+𝟏)][𝟏𝟎−𝟒+𝟐𝒙] = 𝟏𝟎𝟎 
𝟏𝟎−𝒙+𝟕+𝒙+𝟏−𝟒+𝟐𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 
−𝒙 + 𝟕 + 𝒙 + 𝟏 − 𝟒 + 𝟐𝒙 = 𝟎 
𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝟎 
𝟐𝒙 = −𝟒 
𝒙 = −𝟐 
 
EJEMPLO 8. Una ecuación exponencial que conduce a una cuadrática 
Resolver la ecuación 
𝟒𝒙 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 
 
Solución. Observamos que 4x = (22)x = (2x)2 de modo que en realidad, la ecuación tiene 
forma cuadrática y podemos reescribirla como 
 
(𝟐𝒙)𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 
 
Ahora hacemos el cambio de variables z = 2x: 
 
𝒛𝟐 − 𝒛 − 𝟏𝟐 = 𝟎 
 
7 
 
(𝒛 − 𝟒)(𝒛 + 𝟑) = 𝟎 
𝒛 = 𝟒 𝒐 𝒛 = −𝟑 
Deshacemos el cambio
de variables, volviendo a x: 
 
𝟐𝒙 = 𝟒 𝒐 𝟐𝒙 = −𝟑 
 
La ecuación de la izquierda tiene como solución x = 2, ya que 2x = 4 = 22; la ecuación de la 
derecha no tiene solución debido a que 2x > 0 para toda x real. 
 
EJEMPLO 9. Una ecuación exponencial que conduce a una cuadrática 
Resolver la ecuación 
𝟗𝒙 − 𝟑𝟎 ∙ 𝟑𝒙 + 𝟖𝟏 = 𝟎 
 
Solución. Observamos que 9x = (32)x = (3x)2 de modo que en realidad, la ecuación tiene 
forma cuadrática y podemos reescribirla como 
 
(𝟑𝒙)𝟐 − 𝟑𝟎 ∙ 𝟑𝒙 + 𝟖𝟏 = 𝟎 
 
Ahora hacemos el cambio de variables z = 3x: 
 
𝒛𝟐 − 𝟑𝟎𝒛 + 𝟖𝟏 = 𝟎 
(𝒛 − 𝟐𝟕)(𝒛 − 𝟑) = 𝟎 
𝒛 = 𝟐𝟕 𝒐 𝒛 = 𝟑 
 
Deshacemos el cambio de variables, volviendo a x: 
 
𝟑𝒙 = 𝟐𝟕 𝒐 𝟑𝒙 = 𝟑 
 
𝟑𝒙 = 𝟐𝟕 = 𝟑𝟑 → 𝒙 = 𝟑 
𝟑𝒙 = 𝟑 = 𝟑𝟏 → 𝒙 = 𝟏 
 
EJERCICIOS 
Resuelva los ejercicios 1 a 5, donde se aplica la función exponencial. 
 
1. Un cultivo de bacterias se duplica cada hora. Si se comienzan con 500 bacterias, y el 
cultivo se ajusta al modelo f (t) = 500*2t donde f da el número de bacterias, ¿Cuántas 
bacterias habrá en 5 horas? ¿Y a las 8 horas? 
2. Si Santa Rosa tiene 800 habitantes en 2020 y su población crece 4% anual. ¿Cuántos 
habitantes tendrá en 2025? 
3. Un pueblo de Texas tiene 1219 habitantes en 2020 y su población crece 2% anual. 
¿Cuántos habitantes tenía hace 10 años? 
4. Se invierten $2.000.000 en una cuenta que paga 4% de interés, ¿cuánto dinero se tendrá 
después de 3 años, si los intereses se acumulan semestralmente? 
5. Se invierte $1.000.000 en una cuenta que paga 6% de interés, ¿cuánto dinero se tendrá 
después de 4 años, si los intereses se acumulan bimestralmente? 
 
8 
 
Resuelva las ecuaciones exponenciales de los ejercicios 6 a 17. 
 
𝟔. 𝟐𝟑𝒙+𝟐 = 𝟔𝟒 
𝟏𝟐. 𝟓 ∙
𝟓𝟓𝒙
𝟐𝟓𝒙
= 𝟐𝟓 
𝟕. 𝟓𝒙
𝟐+𝟑 = 𝟔𝟐𝟓 𝟏𝟑. 𝟑 ∙ 𝟒
𝒙 − 𝟔 ∙ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟒 
𝟖. (𝟖𝒙−𝟐)(𝟐𝒙−𝟔) = 𝟏𝟔 𝟏𝟒. 𝟐𝒙+𝟏 + 𝟓 ∙ 𝟐𝒙 = 𝟐𝟖 
𝟗. (𝟓𝒙−𝟏)(𝟏𝟐𝟓𝟐𝒙−𝟒) = 𝟔𝟐𝟓𝒙−𝟏 𝟏𝟓. 𝟑𝟐𝒙−𝟏 − 𝟑𝒙 = 𝟏𝟖 
𝟏𝟎. 𝟏𝟑𝟐𝒙 − 𝟏𝟒 ∙ 𝟏𝟑𝒙 + 𝟏𝟑 = 𝟎 𝟏𝟔. √𝟏𝟔
𝒙−𝟏
= 𝟐𝒙−𝟏 
𝟏𝟏. 𝟓𝟐𝒙 − 𝟑𝟎 ∙ 𝟓𝒙 + 𝟏𝟐𝟓 = 𝟎 𝟏𝟕. 𝟗 ∙ √𝟗
𝟑𝒙−𝟏
= 𝟐𝟕