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Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales en las instituciones
escolares
Article · January 2004
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Marianna Bosch
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Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol., n° pp. 1- , 200 
INCOMPLETITUD DE LAS ORGANIZACIONES 
MATEMÁTICAS LOCALES 
EN LAS INSTITUCIONES ESCOLARES 
Marianna Bosch,1 Cecilio Fonseca,2 Josep Gascón3 
RESUMEN 
El trabajo que presentamos aquí se inscribe en el proyecto de tesis de Cecilio 
Fonseca y nace del estudio de las dificultades que surgen en la enseñanza de 
las matemáticas en el paso de la Secundaria a la Universidad. Situándonos en 
el marco de la Teoría Antropológica de lo Didáctico, proponemos un conjunto 
de conjeturas relativas a la rigidez de la actividad matemática que es posible 
llevar a cabo en la actual enseñanza secundaria española. De una forma más 
precisa, mostramos en qué sentido las organizaciones matemáticas que se 
estudian en Secundaria son puntuales, rígidas y poco articuladas entre sí, lo 
que les impide integrarse para formar organizaciones matemáticas locales 
relativamente completas. El contraste experimental de dichas conjeturas se 
basa en las respuestas de una amplia muestra de estudiantes a un cuestionario 
elaborado con ese fin y, paralelamente, en lo que podríamos denominar la 
“respuesta de los libros de texto” al citado cuestionario. El estudio 
experimental pone de manifiesto la importancia de las restricciones 
institucionales que pesan sobre la actividad matemática escolar, lo que nos 
conduce a situar la incompletitud de las organizaciones matemáticas escolares 
de la enseñanza secundaria en el origen de las discontinuidades didácticas 
entre la Secundaria y la Universidad. 
RESUME 
Le travail que nous présentons ici s’inscrit dans le project de thèse de Cecilio 
Fonseca et naît de l’étude des difficultés qui surgissent dans l’enseignement 
des mathématiques lors de la transition entre l’enseignement secondaire et 
l’université. En nous situant dans le cadre de la Théorie Anthropologique du 
Didactique, nous proposons un ensemble de conjectures concernant la rigidité 
 
1 Universitat Ramon Llull, FundEmi IQS. mbosch@fundemi.com. 
2 Universidad de Vigo, Departamento de Matemática Aplicada. 
cfonseca@uvigo.es. 
3 Universitat Autònoma de Barcelona, Departamento de Matemáticas. 
gascon@mat.uab.es. 
2 Recherches en Didactique des Mathématiques 
de l’activité mathématique qu’il est possible de mettre en oeuvre dans 
l’enseignement actuel des mathématiques en Espagne. Plus précisément, nous 
montrons dans quel sens les organisations mathématiques étudiées au 
Secondaire sont ponctuelles, rigides et peu articulées entre elles, ce qui leur 
empêche de s’intégrer pour former des organisations mathématiques locales 
relativement complètes. Ces conjectures sont mises à l’épreuve sur les 
réponses d’un large échantillon d’étudiants à un questionnaire élaboré à ce 
propos et, parallèlement, sur ce que nous pouvons appeler « la réponse des 
manuels » à ce questionnaire. L’étude expérimentale met en évidence 
l’importance des contraintes institutionnelles qui pèsent sur l’activité 
mathématique scolaire, ce qui nous conduit à situer l’incomplétitude des 
organisations mathématiques scolaires à l’origine des discontinuités 
didactiques entre l’enseignement secondaire et l’université. 
 
ABSTRACT 
 
The research presented in this paper belongs to Cecilio Fonseca’s 
PhD and starts from the study of mathematics teaching difficulties in 
the transition from secondary school to university. Within the 
approach of the AnthropologicalTheory of Didactics, we formulate 
some conjectures relating to the rigidity of the mathematical activity 
that can be done currently at Spanish secondary education. More 
precisely, we specify in which sense mathematical organisations 
studied at Secondary schools are punctual, rigid and poorly connected 
to each other, which avoids them being integrated in broader 
mathematical organisations more or less complete. These conjectures 
are tested on the answers given by a large sample of students to a 
specific questionnaire and, in parallel, on what can be called “the 
answer given by official textbooks”. The experimental study shows 
the importance of institutional restrictions to the mathematical activity 
as it is done at school. This brings us to situate the incompleteness of 
mathematical organisations at the origin of the didactic discontinuities 
between secondary school and university. 
 
 
 
Mots-clé: Teoría Antropológica de lo Didáctico, organización (o praxeología) 
matemática local, contrato didáctico institucional, paso de la Enseñanza 
Secundaria a la Universidad 
 Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales 3 
1. EL PROBLEMA DEL PASO DE SECUNDARIA A 
LA UNIVERSIDAD 
Las cuestiones que constituyen el punto de partida del problema 
didáctico que queremos abordar en este trabajo podrían describirse 
como sigue en la terminología de la problemática docente:4 
¿Cómo suavizar o disminuir las enormes dificultades que encuentran 
los alumnos cuando pasan de estudiar matemáticas en Secundaria a 
estudiar matemáticas en la Universidad? Y, complementariamente, 
¿cómo podrían superarse las crecientes dificultades con las que 
tropiezan los profesores de matemáticas del primer ciclo universitario 
para llevar a cabo su trabajo? 
Estas dificultades se materializan, entre otras cosas, en un fracaso 
escolar que, en el primer curso de algunos estudios universitarios, ha 
llegado a superar el 80% del total de los créditos de matemáticas 
cursados por los estudiantes. 
El Programa Cognitivo5 de Investigación en Didáctica de las 
Matemáticas acepta como hipótesis básica, esto es, como hipótesis 
provisionalmente no cuestionable por decisión metodológica, que los 
fenómenos relativos a la enseñanza y al aprendizaje de las 
matemáticas –y, en particular, los fenómenos indeseables relativos al 
denominado “fracaso escolar”– pueden ser explicados a partir de las 
características individuales de los sujetos (actitudinales, cognitivas, 
motivacionales, psicológicas, lingüísticas, etc.) y que éstas constituyen 
la principal puerta de entrada para actuar sobre ellos. Este programa 
ha vivido un gran desarrollo, desde las primitivas perspectivas 
conceptualistas hasta los últimos avances de la Teoría APOS (Asiala 
et al. 1996). Fueron precisamente las limitaciones de las citadas 
perspectivas conceptualistas las que provocaron la necesidad de 
incluir el estudio del papel del lenguaje en la actividad matemática y 
de elaborar un modelo de los procesos cognitivos que intervienen en 
la construcción de algunos conceptos matemáticos. 
Así, para reformular adecuadamente los problemas que surgen en 
el tránsito de estudiar matemáticas en Secundaria a estudiar 
matemáticas en la Universidad, y para poder llevar a cabo un estudio 
científico de los mismos, el Programa Cognitivo elaboró una teoría de 
 
4 Sobre la diferencia entre la problemática docente y la problemática 
didáctica, ver Gascón (1999a). 
5 Seguimos aquí la reconstrucción racional de la evolución de la didáctica de 
las matemáticas que se describe en Gascón (1998 y 1999b) y que distingue, 
esencialmente, dos Programas de Investigación en Didáctica de las 
Matemáticas: el Programa Cognitivo y el Programa Epistemológico. 
4 Recherches en Didactique des Mathématiques 
la estructura y de la dinámica del pensamiento matemático, que 
pasaría a constituir su “núcleo firme” en cuanto programa de 
investigación. En el caso particular de las perspectivas 
“proceptualistas” (según la expresión de Artigue 1998) que se centran 
en las relaciones entre procesos y conceptos, se empezó elaborando un 
primer modelo de la estructura cognitiva asociada a un concepto (Tall 
y Vinner 1981; Vinner 1983 y 1991). Posteriormente se propuso una 
teoría general del desarrollo del pensamiento matemático (Tall 1994) 
y, más recientemente, por parte de Ed Dubinsky y sus colaboradores, 
se está desarrollando una teoría de la estructura y de la dinámica 
interna de los esquemas, como paso previo para la construcción de 
una teoría del desarrollo cognitivo de los sujetos. Dicha teoría se 
integra actualmente en la denominada APOS Theory (Asiala et al. 
1996; Dubinsky 1996 y 2000). 
Estas perspectivas proceptualistas reformulan el problema del paso 
de Secundaria a la Universidad en términos del paso del Pensamiento 
Matemático Elemental (EMT) al Pensamiento Matemático Avanzado 
(AMT), construyendo modelos que amplían “lo cognitivo” 
incorporándole componentes matemáticos. Aunque se presentan 
explícitamente como modelos de la estructura cognitiva asociada a un 
concepto matemático, constituyen un reflejo bastante fiel de 
determinados modelos epistemológicos de los correspondientes 
conceptos matemáticos. Son siempre modelos locales relativos a un 
“concepto matemático” (por ejemplo, al concepto de “función”, de 
“variable” o de “grupo cociente”), que dejan implícito el modelo 
epistemológico general de las matemáticas en el que deberían 
integrarse.6 
La formulación del problema del paso del EMT al AMT está 
dispersa en la bibliografía, pero puede rastrearse, por ejemplo, en 
Schwarzenberger y Tall (1978); Tall y Vinner (1981); Tall (1991, 
1994 y 1996) y Vinner (1983 y 1991). Podemos situar el origen de la 
nueva problemática en la constatación de la gran dificultad con que se 
encuentran los profesores para enseñar (y los alumnos para aprender) 
los conceptos básicos del cálculo como, por ejemplo, los de “límite” y 
“función”, en el marco de la Enseñanza Secundaria y primer año de la 
Enseñanza Universitaria (Schwarzenberger y Tall 1978). Dichas 
nociones son ejemplos de “procepts” (Tall 1996). El estudio del 
cálculo elemental requerirá por lo tanto, desde el principio, la 
suficiente flexibilidad para manipular un mismo símbolo como 
 
6 En Gascón (1999b) se describe la forma cómo se ha abordado, con ayuda de 
estas teorías cognitivas, el problema del paso del Pensamiento Matemático 
Elemental (EMT) al Pensamiento Matemático Avanzado (AMT). 
 Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales 5 
representante ya sea de un proceso que actúa sobre determinados 
objetos, ya sea de una entidad singular a la que se le pueden aplicar 
otros procesos para obtener nuevos objetos. La potencia del AMT 
radica, precisamente, en la utilización flexible de la estructura dual de 
los citados objetos matemáticos (y de los que se construyen a partir de 
ellos) posibilitada, en parte, por la ambigüedad de la notación que se 
utiliza. La rigidez de los procedimientos estandarizados que 
caracterizan el EMT constituye, por lo tanto, un obstáculo cognitivo 
muy importante y explicaría, según esta perspectiva, muchos de los 
errores conceptuales extravagantes (Dreyfus 1991) que comete la 
mayoría de estudiantes en su primer encuentro con el cálculo. En su 
estudio sobre la noción de límite en el paso de Secundaria a la 
Universidad, Ghedamsi (2003, p. 22 y ss) señala que, además de los 
autores mencionados, muchas investigaciones de didáctica relativas a 
la enseñanza superior subrayan las dificultades de los estudiantes 
relacionadas con ciertas exigencias que pueden formularse en 
términos de flexibilidad, entendida por ejemplo en términos de la 
dialéctica útil-objeto (Douady 1986) o del recurso a distintos registros 
semióticos (Duval 1993). 
Esta problemática se amplió rápidamente para abarcar el análisis 
de todas las dificultades,contradicciones, confusiones, obstáculos 
cognitivos y, en general, fenómenos (cognitivos) que aparecen en la 
transición del EMT al AMT. Según David Tall, muchas de las 
actividades matemáticas del AMT también están presentes en el EMT. 
La distinción radica esencialmente en que el AMT ofrece la 
posibilidad de llevar a cabo definiciones formales y deducciones (Tall 
1991, p. 3). Con más precisión, Tall caracteriza las diferencias entre 
ambos niveles de pensamiento matemático, como sigue: 
The move from elementary to advanced mathematical thinking 
involves a significant transition: that from describing to defining, from 
convincing to proving in a logical manner based on those definitions. 
This transition requires a cognitive reconstruction which is seen 
during the university students’ initial struggle with formal abstractions 
as they tackle the first year of university. (Ibid., p. 20). 
El Programa Epistemológico de investigación en didáctica de las 
matemáticas en el que nosotros nos situamos, asume como hipótesis 
básica una despersonalización de la problemática didáctica situando 
en un primer plano el estudio de la “actividad matemática 
institucionalizada”. Se postula, en contra del punto de vista 
psicopedagógico dominante, que el problema del paso de Secundaria a 
la Universidad puede ser explicado a partir del análisis de las 
prácticas matemáticas que se llevan a cabo en las instituciones 
docentes. Más aún, se considera que la ignorancia de las causas de 
6 Recherches en Didactique des Mathématiques 
origen matemático de este problema didáctico imposibilita su 
tratamiento eficaz y perpetúa las discontinuidades y contradicciones 
entre las prácticas que se llevan a cabo en las diferentes instituciones 
escolares afectadas. Entre los estudios más recientes dentro de este 
enfoque sobre el paso de Secundaria a la Universidad se encuentran 
los realizados por Praslon (2000), Bloch (2000) y Ghedamsi (2003). 
Aunque el Programa Epistemológico asume que “lo matemático” 
(el objeto de estudio) y “lo didáctico” (la organización del estudio) 
constituyen dos dimensiones de la realidad que se determinan 
mutuamente, parece razonable, por cuestiones metodológicas, 
empezar analizando el conocimiento matemático tal como ha 
cristalizado en un momento histórico concreto en el seno de cada una 
de las instituciones, haciendo abstracción de su génesis y de su 
proceso de (re)construcción –que es, de hecho, un proceso de estudio 
y, por lo tanto, didáctico. Ésta es la razón por la cual hemos dejado 
para una etapa posterior de nuestra investigación el análisis de la 
manera cómo se organiza y se lleva a cabo el proceso de estudio de las 
matemáticas en las diferentes instituciones docentes, esto es, el 
análisis de las correspondientes organizaciones didácticas. 
Para precisar mejor nuestro punto de partida y clarificar los 
presupuestos que asumimos provisionalmente, explicitaremos a 
continuación una hipótesis básica del Programa Epistemológico en la 
que juega un papel importante la noción de “contrato didáctico”. 
Recordemos que el contrato didáctico institucional (Chevallard 1992) 
está formado por un conjunto de cláusulas que distribuyen las 
responsabilidades recíprocas en el juego que se establece en cada 
institución docente entre los estudiantes, el conocimiento matemático 
y el profesor, como director del proceso de estudio. Las cláusulas del 
contrato tienen un carácter marcadamente implícito (el contrato 
siempre está presente, pero no se puede explicitar) y no rigen todos los 
aspectos de la relación que se establece entre los estudiantes y el 
profesor, sino únicamente los que hacen referencia al conocimiento 
matemático a estudiar.7 
Utilizando esta noción, formularemos a continuación la hipótesis 
que se desprende del núcleo firme del Programa Epistemológico: 
H(PE): Muchos de los fenómenos didácticos –esto es, relativos al 
estudio de las matemáticas– que aparecen en el tránsito de Secundaria 
a la Universidad pueden ser explicados en términos de 
 
7 La noción de “contrato didáctico” adquiere un sentido más preciso en el 
marco de la teoría de las situaciones didácticas. En Brousseau (1998) puede 
encontrarse una recopilación de los trabajos fundadores de dicha teoría, 
publicados entre 1970 y 1990. 
 Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales 7 
contradicciones y discontinuidades o cambios bruscos entre los 
contratos didácticos institucionales vigentes en ambas instituciones. 
Dichos contratos rigen las organizaciones matemáticas y didácticas 
respectivas, esto es, el tipo de prácticas matemáticas que pueden 
desarrollarse y la forma como dichas prácticas pueden organizarse en 
cada institución. Postulamos que el estudio comparado de las 
organizaciones que están presentes en Secundaria y en la Universidad 
nos permitirá explicar mejor las discontinuidades entre ambas 
instituciones y los obstáculos que dificultan el tránsito entre ellas. 
Es muy probable que, en algunos casos, nuestro análisis nos lleve a 
reconocer las dificultades –e incluso la imposibilidad– de actuar en 
una dirección determinada y desde una institución concreta o, más en 
particular, desde un determinado nivel de una institución particular. 
Así, por ejemplo, es probable que dicho análisis nos lleve a concluir 
que el profesor, como tal, no puede asumir la responsabilidad de 
cambiar el papel y las funciones que se asignan a las demostraciones 
matemáticas en una institución escolar determinada. Este tipo de 
resultados, aparentemente negativos, es muy útil sin embargo para 
fijar el nivel (aula, departamento de matemáticas, facultad, 
universidad, instituto de enseñanza secundaria, comunidad 
matemática, ministerio, sociedad, etc.) desde el cual puede ser tratado 
cada problema y para empezar a delimitar las responsabilidades 
personales de los actores del proceso de enseñanza y, sobre todo, las 
responsabilidades institucionales. 
El Programa Epistemológico toma como base del análisis 
didáctico de cualquier fenómeno un modelo de la estructura y la 
dinámica de la actividad matemática escolar. El modelo que propone 
actualmente la Teoría Antropológica de lo Didáctico (en adelante 
TAD), en la que explícitamente nos situamos, describe el 
conocimiento matemático en términos de organizaciones o 
praxeologías matemáticas (en adelante OM) cuyos componentes 
principales son tipos de tareas, T; técnicas, τ; tecnologías, θ y teorías, 
Θ. Recordemos que las organizaciones matemáticas se componen de 
un bloque práctico o “saber-hacer” formado por los tipos de tareas y 
las técnicas [T/τ] y por un bloque teórico o “saber” formado por el 
discurso tecnológico-téorico [θ/Θ] que describe, explica y justifica la 
práctica. Recordemos también que las OM surgen como producto de 
un proceso de estudio estructurado en seis dimensiones o momentos 
didácticos. La forma concreta de llevar a cabo un proceso de estudio 
8 Recherches en Didactique des Mathématiques 
en una institución determinada se describe a su vez en términos de 
organizaciones o praxeologías didácticas.8 
2. PROCESO DE ESTUDIO Y “COMPLETITUD” DE 
LAS ORGANIZACIONES MATEMÁTICAS LOCALES 
Es importante señalar aquí que las nociones de “tarea”, “técnica”, 
“tecnología” y “teoría” son doblemente relativas. En primer lugar son 
relativas a la institución de referencia. Esto significa que lo que es 
considerado como un tipo de tarea (o una técnica, o una tecnología o 
una teoría) en una institución no tiene por qué serlo en otra. De hecho, 
en una institución dada, únicamente suelen considerarse propiamente 
como “tipos de tareas” aquellos para los que se dispone de alguna 
técnica (aunque sólo sea en estado embrionario), con un entorno 
tecnológico-teórico más o menos explícito. Así, por ejemplo, en 
Secundaria, la descomposición en factores primos de números 
“pequeños” es considerado como un tipo de tarea que los alumnos 
deben aprender a realizar, pero noasí la descomposición de números 
“grandes”, como tampoco lo es demostrar propiedades elementales de 
los números reales (por ejemplo que 1 es mayor que 0). Por simetría, 
podría decirse que las técnicas existen en la medida en la que pueden 
responder a algún tipo de tareas planteables en la institución 
considerada, aunque, en casos límite bastante frecuentes en las 
instituciones escolares, se puedan encontrar tareas cuya única 
finalidad es la de justificar la existencia de una determinada técnica. 
En segundo lugar, las nociones de “tarea”, “técnica”, “tecnología” 
y “teoría” son relativas a la función que desempeñan en una actividad 
matemática determinada. Así, un mismo objeto matemático (por 
ejemplo el teorema de Bolzano) puede ser considerado como una 
técnica para realizar un tipo de tareas (por ejemplo para demostrar que 
toda función polinómica de tercer grado tiene por lo menos un cero 
real) o servir como elemento tecnológico común a un conjunto de 
tipos de tareas y técnicas (por ejemplo, las técnicas de cálculo 
aproximado de ceros de funciones polinómicas). 
2.1. La complejidad creciente de las organizaciones matemáticas 
Hemos visto que la TAD postula que toda actividad matemática 
institucional puede modelizarse mediante la noción de praxeología 
 
8 Una introducción a la TAD se encuentra en Chevallard, Bosch y Gascón 
(1997). Los desarrollos más recientes de dicha teoría se encuentran en 
Chevallard (1997, 1999, 2002a y 2002b). 
 Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales 9 
matemática. Este postulado debe ser completado con otro que se 
resume afirmando que toda actividad matemática institucional puede 
analizarse en términos de praxeologías matemáticas de complejidad 
creciente. Explicaremos brevemente a continuación lo que se entiende 
por “complejidad creciente” de las OM (Chevallard 1999). 
(a) Diremos que una organización matemática es puntual en una 
institución –y la designaremos OMP– si está generada por lo que se 
considera en la institución como un único tipo de tareas T. Resulta, 
por lo tanto, que la noción de OMP es relativa a la institución 
considerada y está determinada por su bloque práctico-técnico [T/τ]. 
Podemos citar muchos ejemplos de OMP concretas que viven en 
Secundaria, tantos como tipos de tareas: descomponer en factores un 
polinomio con raíces enteras; resolver sistemas de dos ecuaciones 
lineales con dos incógnitas; determinar la ecuación de una recta dada 
por un punto y un vector director; etc. Pero, para describir 
adecuadamente cada una de las OMP citadas, se debería detallar con 
cierta precisión el tipo exacto de tareas y las pequeñas variaciones de 
la técnica que se consideran en la institución de referencia como una 
“misma técnica”. Incluso sería preciso especificar en qué punto una 
determinada variación de una técnica concreta ya no puede ser 
considerada por la institución de referencia como la “misma” técnica 
y, por tanto, cuáles son las nuevas OMP que aparecen y cuál es su 
relación con la OMP inicial. También habría que describir los 
elementos tecnológicos que permitirían explicar e interpretar dicha 
actividad matemática (aunque queden implícitos) y hasta la teoría que 
constituye el horizonte en el que podría situarse. 
(b) Diremos que una organización matemática es local en una 
institución –y la designaremos por OML– si resulta de la integración 
de diversas praxeologías puntuales en torno a un discurso tecnológico 
común. Cada OML está caracterizada por dicha tecnología, θ, que 
sirve para justificar, explicar, relacionar entre sí y producir las técnicas 
de todas las OMP que la integran. En general, las OM puntuales se 
integran en OM locales para poder dar respuesta satisfactoria a un 
conjunto de cuestiones problemáticas que no se podían resolver 
completamente en ninguna de las OMP de partida. 
Hemos dicho que una OML permite plantear y resolver problemas 
(o, al menos, responder ante ellos) que en las OMP iniciales no podían 
formularse con toda propiedad. Resulta, por lo tanto, que estas nuevas 
cuestiones problemáticas deberían constituir la “razón de ser” que da 
sentido a la OML. Pero, paradójicamente, en determinadas 
instituciones matemáticas se produce el siguiente fenómeno: a medida 
que las OMP se integran para constituir organizaciones más complejas 
10 Recherches en Didactique des Mathématiques 
(locales, regionales y globales9), la relación entre la cuestión y la 
respuesta tiende a invertirse hasta el punto que las razones de ser de 
la OML (o conjunto de cuestiones problemáticas que le dan sentido 
porque son las cuestiones a las que ésta responde) tienen tendencia a 
desaparecer (Chevallard 1999). Entre los múltiples ejemplos de este 
fenómeno podemos citar el caso de la geometría en la enseñanza 
secundaria española. En efecto, aunque la problemática de la 
geometría sintética que se estudia en la Enseñanza Secundaria 
Obligatoria en España (de 12 a 16 años) podría dar sentido a la 
geometría analítica que se estudia en el Bachillerato (de 16 a 18 años) 
–puesto que las técnicas analíticas permiten resolver muchas de las 
cuestiones geométricas que no podían abordarse con las técnicas 
sintéticas– lo cierto es que la geometría analítica se presenta de una 
forma completamente desconectada de la problemática de la 
geometría sintética que, en el Bachillerato, ya ha desaparecido 
completamente (Gascón 2002). 
Otro fenómeno asociado al proceso de articulación e integración 
de OM puntuales en una OM local tiene relación con el hecho de que, 
generalmente, las instituciones tienden a privilegiar, para cada tipo de 
tareas, una única técnica considerada en dicha institución como “la 
manera evidente e incuestionable de resolver las tareas del tipo en 
cuestión”. Esta técnica privilegiada por la institución, al ser 
incuestionable y carecer de técnica rival, puede llegar a adquirir un 
carácter autotecnológico10, dificultando así su desarrollo (porque se 
ignoran sus limitaciones) y su integración en praxeologías más 
amplias. Tenemos aquí un primer rasgo de la dificultad institucional 
para integrar varias OMP en una OML. 
(c) Diremos, por fin, que una organización matemática es regional 
– y la designaremos por OMR – si se obtiene mediante la 
coordinación, articulación y posterior integración de diversas OML 
alrededor de una teoría matemática común Θ. La reconstrucción 
institucional de una teoría matemática requiere elaborar un lenguaje 
común que permita describir, interpretar, relacionar, justificar y 
producir las diferentes tecnologías de las OML que integran la OMR. 
 
9 En Chevallard (1999) se mencionan, además de las OM puntuales, locales y 
regionales, las OM globales como aquellas que se constituyen mediante la 
integración de OM regionales. En este trabajo hablaremos únicamente de OM 
puntuales, locales y, sólo tangencialmente, de regionales. 
10 Se trata de técnicas que se “justifican a sí mismas” o, en otros términos, de 
técnicas tan naturalizadas y transparentes en la institución que no parecen 
“necesitar” ninguna justificación externa a ellas mismas. 
 Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales 11 
 De la misma forma que era fácil citar ejemplos de etiquetas 
que aluden a OMP concretas, también es relativamente sencillo citar 
mediante etiquetas ejemplos de OMR específicas. En efecto, para 
hacer referencia a una OMR bastará citar la teoría matemática común 
Θ que sirve, en cada caso, para unificarla. Entre éstas podemos citar: 
la teoría de Galois; la teoría de ecuaciones diferenciales lineales; el 
álgebra lineal; la geometría métrica del plano o del espacio; entre otras 
muchas. Pero, de nuevo, hay que reconocer que para describir 
adecuadamente una OMR sería preciso describir, además de la teoría 
unificadora, las OML que la integran, las relaciones que se establecen 
entre dichas OML constituyentes y las nuevascuestiones 
problemáticas que pueden abordarse en la OMR final y que no podían 
abordarse en ninguna de las OML iniciales. 
2.2. La construcción de una OM local relativamente completa 
Es interesante observar –y ésta es una de las tesis centrales de este 
trabajo– que las OML que aparecen explícitamente en las instituciones 
escolares se han constituido a partir de una integración incompleta o 
una coordinación demasiado débil de ciertas OMP y, como 
consecuencia, las OML que viven en las instituciones escolares 
presentan múltiples incompletitudes. Por lo tanto, sólo podremos 
mostrar sus características y experimentar la posibilidad de llevar a 
cabo un proceso de estudio de las mismas si, previamente, realizamos 
un trabajo de ingeniería matemática que permita reconstruir OML 
relativamente completas. En esta dirección hemos empezado a diseñar 
sendas OML en torno a la derivación de funciones (Fonseca y Gascón 
2000), en torno al estudio de funciones elementales y en torno a la 
divisibilidad en la Enseñanza Secundaria española (Gascón 2001). 
Por razones de espacio no podemos reproducir aquí ninguno de 
estos ejemplos. En su lugar, caracterizaremos lo que entendemos por 
“grado de completitud” de una OML a partir de dos tipos de 
características que podríamos considerar complementarios. En primer 
lugar, consideraremos las propiedades del proceso de reconstrucción 
de una OML, es decir, la dinámica del proceso de estudio cuyo 
producto final es la OML considerada. Dualmente, consideraremos las 
propiedades de su estructura definida a partir de los componentes de 
la OML (tipos de problemas, técnicas, tecnologías y teorías) y de las 
relaciones entre ellos. Postulamos que el análisis conjunto de la 
dinámica y de la estructura de una OML es lo que permite determinar 
el grado de completitud de la misma. 
Aunque los procesos de construcción (o de reconstrucción escolar) 
de las OML pueden diferir mucho entre sí, todos ellos están regidos 
por una misma dinámica que la TAD describe en términos de los 
12 Recherches en Didactique des Mathématiques 
momentos de la actividad matemática. Hay que subrayar en este punto 
que los momentos que estructuran el proceso de estudio no tienen un 
carácter “temporal”, sino que constituyen factores o dimensiones de 
dicho proceso. De hecho, a lo largo de un mismo proceso de estudio, 
los diferentes momentos pueden aparecer en varias ocasiones sin estar 
sujetos a un orden prefijado. 
Si consideramos las propiedades del proceso de reconstrucción de 
una OML, podemos suponer que su grado de completitud dependerá 
de la medida en que se cumplan las siguientes condiciones:11 
OD1. Partimos del principio que la OML debe responder a ciertas 
cuestiones que no pueden ser respondidas por ninguna OMP y que 
constituyen sus razones de ser. Por ello debe haber un primer 
encuentro con un tipo de tareas Tq asociado a una cuestión q “con 
sentido”, esto es, que provenga de los niveles superiores de 
determinación didáctica y que conduzca a alguna parte (que no sea 
una cuestión “muerta”) (Chevallard 2002b). 
OD2. El proceso de reconstrucción de una OML debe contener 
momentos exploratorios en los que la comunidad de estudio tenga la 
oportunidad de construir y empezar a utilizar una técnica inicial τ0 
potencialmente útil para realizar las tareas del tipo Tq. Dicha 
exploración debe permitir comparar las variaciones de τ0 que aparecen 
al abordar las diferentes tareas del tipo Tq. 
OD3. La exploración de una OML debe desembocar en un 
verdadero trabajo de la técnica que se inicia rutinizando τ0 hasta 
provocar un desarrollo progresivo de dicha técnica. Este desarrollo 
debe generar técnicas relativamente nuevas para la comunidad de 
estudio. El trabajo de la técnica debe proseguir hasta que los 
estudiantes alcancen un dominio robusto del conjunto de las técnicas, 
lo que provocará la ampliación progresiva del tipo de tareas inicial Tq 
y la aparición de nuevos tipos de tareas. 
OD4. En la reconstrucción de una OML deben aparecer nuevas 
cuestiones matemáticas relativas a las diferentes técnicas que van 
apareciendo, esto es, cuestiones relativas a la interpretación, la 
justificación y el alcance de las técnicas, así como a las relaciones que 
se establecen entre ellas. Denominamos “cuestionamiento 
tecnológico” al conjunto de estas cuestiones cuya respuesta requerirá 
la realización de nuevas tareas matemáticas que también pasarán a 
integrarse en la OML en construcción. Para llevar a cabo este conjunto 
de tareas matemáticas será necesario utilizar un marco tecnológico-
 
11 Las designamos por OD en referencia a las seis dimensiones o momentos 
que componen la Organización Didáctica. El orden de aparición, OD1-OD6, 
no hace referencia al desarrollo cronológico del proceso de estudio. 
 Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales 13 
teórico que permitirá construir (además de justificar, interpretar y 
relacionar) todas las técnicas necesarias. Por ello, cuando no se hace 
ninguna referencia al proceso concreto de construcción, se dice que 
una OML está caracterizada por una tecnología, θ, que engloba a 
todas las OMP que la integran. 
OD5. En el proceso de reconstrucción de una OML es necesario 
institucionalizar aquellos elementos que deben ser considerados por la 
comunidad de estudio como “componentes explícitos” de la 
organización, distinguiéndolos así de aquellos otros elementos que, a 
lo largo del proceso, sólo han desempeñado el papel de instrumentos 
auxiliares de la construcción. Esta institucionalización no debe afectar 
únicamente a elementos praxeológicos aislados: la institucionalización 
de cualquier componente de la OML debe hacer referencia (más o 
menos explícita) a la OML en su conjunto, por lo que podríamos decir 
que el sujeto de la institucionalización es siempre, al menos 
virtualmente, una OML. 
OD6. Ligada a la institucionalización también es preciso evaluar 
la calidad de los componentes de OML construida: los tipos de tareas 
(¿están bien identificados?, ¿existen especímenes suficientemente 
variados de cada tipo?, ¿a qué cuestiones están asociados?, ¿están 
relacionados con el resto de la actividad de los estudiantes o bien están 
aislados?); las técnicas (¿están suficientemente trabajadas?, ¿son 
fiables?, ¿son económicas?, ¿son las más pertinentes para realizar las 
tareas presentadas?); y el discurso tecnológico (¿es suficientemente 
explícito?, ¿ayuda efectivamente a interpretar y justificar las técnicas?, 
¿permite variar las técnicas en la dirección adecuada para construir 
nuevas técnicas?). Pero dado que las OML, por completas que éstas 
sean, presentan siempre múltiples insuficiencias que se ponen de 
manifiesto, por ejemplo, en la existencia de nuevas cuestiones 
problemáticas que no pueden abordarse en su seno, es imprescindible 
evaluar la OML en conjunto. Esta evaluación será la que acabará 
mostrando la necesidad de articularla con otras OML, alrededor de 
una teoría matemática común Θ, para constituir una OMR. 
2.3. Estructura de las OM locales relativamente completas 
Consideramos que el producto resultante de un proceso de 
construcción que cumpla OD1-OD6 es una OML relativamente 
completa. Mostraremos que proceso y producto constituyen una 
unidad indivisible, una totalidad organizada cuyos componentes se 
implican mutuamente. En efecto, veremos que las características de 
los componentes de una OML –y, en consecuencia, la estructura 
resultante– son un fruto necesario del proceso de construcción y que 
éste, a su vez, se sirve de dichos componentes (a medida que van 
14 Recherches en Didactique des Mathématiques 
siendo producidos) como instrumentos imprescindibles de la 
actividad. Enumeraremos a continuación siete indicadores del grado 
de completitud de una OML. 
OML1. Integración de los tipos de tareas 
En una OML conviven necesariamente varios tipos de tareas 
problemáticas relacionadas entre sí, ya sea por un discursotecnológico, o bien mediante sucesivos desarrollos de las técnicas. El 
grado de completitud depende entonces de la integración entre los 
distintos tipos de tareas y de los vínculos existentes entre ellas. Una 
OML será menos completa cuanto más aislados (esto es, realizables 
mediante técnicas que no estén relacionadas mediante ningún 
elemento tecnológico) estén los tipos de tareas que la componen. 
OML2. Diferentes técnicas y criterios para elegir entre ellas 
Una OML será más completa en la medida que puedan existir técnicas 
alternativas (que pueden ser variaciones de una misma técnica) para 
realizar algunos de sus tipos de tareas, sin que haya entonces una 
identificación absoluta entre cada tipo de tarea con su técnica 
asociada. Este indicador de la completitud comporta que en la OML 
existan, además, los elementos tecnológicos que permiten cuestionar 
las distintas técnicas alternativas, analizar sus equivalencias o 
diferencias y discernir cuál es la más fiable o económica. 
OML3. Independencia de los ostensivos que integran las técnicas 
La flexibilidad de las técnicas de una OML comporta, en particular, 
que éstas no se identifiquen rígidamente con los objetos ostensivos 
(Bosch y Chevallard 1999) que se utilizan para describirlas y para 
aplicarlas sino que, por el contrario, acepten diferentes 
representaciones ostensivas dependiendo de la actividad matemática 
en la que están inmersas y hasta de la tarea específica abordada dentro 
de un tipo de tareas. 
OML4. Existencia de tareas y de técnicas “inversas” 
Otro indicador de la flexibilidad de las técnicas y, por lo tanto, del 
grado de completitud de la OML lo proporciona el hecho que existan 
en OML técnicas “reversibles”, es decir que permiten resolver un tipo 
de tarea y también la tarea inversa, entendiendo por “inversa” aquella 
que se define, por ejemplo, intercambiando datos e incógnitas o 
cuestionando las condiciones de realización de la tarea o de aplicación 
de una determinada técnica. Está claro que la tarea inversa de una 
tarea dada no está definida unívocamente. 
 Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales 15 
OML5. Interpretación del resultado de aplicar las técnicas 
En la medida que una OML sea más completa, su discurso tecnológico 
deberá adquirir mayor funcionalidad, especialmente en la 
interpretación del funcionamiento de las técnicas y de su resultado. 
Este aspecto de la completitud implica que en OML existen los 
elementos tecnológicos necesarios para llevar a cabo esta tarea de 
interpretación de las técnicas, que deberá hacerse en referencia a la 
OML en su conjunto, en términos de todos sus componentes. 
OML6. Existencia de tareas matemáticas “abiertas” 
Una OML será más completa en la medida en que permita abordar 
cuestiones “abiertas”, esto es, tipos de tareas en los que se estudian 
situaciones donde los datos y las incógnitas no están prefijados 
completamente de antemano. En un primer nivel, las cuestiones 
abiertas son aquellas en las que los datos son valores conocidos que se 
tratan como si fuesen desconocidos (parámetros) y las incógnitas no 
son objetos matemáticos concretos (como, por ejemplo, valores 
numéricos) sino las relaciones que se establecen entre ellos en 
determinadas condiciones explicitadas en el enunciado de la tarea. 
Existe un segundo nivel de tareas abiertas en las que el estudiante ha 
de decidir, ante una situación determinada, qué datos debe utilizar y 
cuáles son las incógnitas más pertinentes. En este segundo nivel se 
incluyen las tareas de modelización matemática. Parece evidente que 
una OML que permita abordar –y por lo tanto integre, en cierta 
medida– este tipo de cuestiones, también cumplirá los indicadores 
anteriores relativos a la flexibilidad de las técnicas, el desarrollo de los 
tipos de tareas y la existencia de un cuestionamiento tecnológico 
funcional. 
OML7. Incidencia de los elementos tecnológicos sobre la práctica 
El último indicador hace referencia explícita al hecho que cada OML 
viene caracterizada por su tecnología. Por ello, consideramos que el 
grado de completitud de la OML depende también de las relaciones 
que se establezcan entre estos elementos tecnológicos y de su 
incidencia efectiva sobre la práctica matemática que se lleva a cabo en 
OML. En particular, un indicador importante del grado de completitud 
de una OML lo constituye la medida en que la tecnología permita 
construir técnicas nuevas (para la comunidad de estudio) capaces de 
ampliar los tipos de tareas de OML. Esta construcción progresiva de 
los tipos de tareas que se estudian es también una condición necesaria 
para poder plantear y abordar en OML cuestiones problemáticas cada 
vez más abiertas. 
16 Recherches en Didactique des Mathématiques 
Hay que subrayar, de nuevo, que la noción de “completitud” es 
relativa. No tiene sentido hablar de OML “completas” ni de OML 
“incompletas”. Se trata, en todos los casos, de una cuestión de grado: 
existen OML más o menos “completas” que otras en función del 
grado en que sus componentes cumplen las condiciones descritas por 
los indicadores OML1-OML7. Dualmente, y como hemos indicado 
en el párrafo 2.2., si nos fijamos en el proceso de construcción y no 
sólo en el producto, entonces el grado de completitud de una OML 
dependerá también de la manera cómo se cumplan las condiciones 
“didácticas” OD1-OD6. 
3. CARACTERÍSTICAS DE LAS OM DE SECUNDARIA Y 
DISCONTINUIDADES EN EL PASO A LA UNIVERSIDAD 
En lo que sigue denominaremos “S” y “U”, respectivamente, a las 
instituciones escolares de la Enseñanza Secundaria y la Enseñanza 
Universitaria12 de las matemáticas. En lo que se refiere a la 
discontinuidad entre ambas o, en otros términos, a las contradicciones 
entre los correspondientes contratos didácticos institucionales, 
formularemos una conjetura general haciendo uso de las nociones 
básicas del modelo de la actividad matemática elaborado por la TAD. 
Esta conjetura servirá de base para reformular el problema docente 
inicial como un verdadero problema didáctico en el ámbito del 
Programa Epistemológico de investigación en didáctica de las 
matemáticas. 
3.1. Conjetura general: incompletitud de las OML escolares 
Con ayuda de la noción de “praxeología matemática” (puntual, local y 
regional), podemos expresar ahora la anunciada conjetura general, en 
forma de una hipótesis con tres partes que se refieren, 
respectivamente, a S, a U y al tránsito de S a U: 
H(S): En S el estudio de las organizaciones matemáticas se centra 
en el bloque práctico-técnico [T/τ], siendo muy escasa la incidencia 
del bloque tecnológico-teórico [θ/Θ] sobre la actividad matemática 
que se realiza efectivamente. Esta separación funcional entre ambos 
bloques se pone de manifiesto, en particular, en la ausencia de todo 
tipo de cuestionamiento tecnológico de los tipos de tareas y las 
técnicas matemáticas de S. Así, por ejemplo, no se cuestiona hasta 
qué punto están justificadas las técnicas que se utilizan, ni la 
 
12 Dada la gran variedad de estudios universitarios en los que aparecen las 
OM, nos parece prudente restringir nuestro análisis a un pequeño grupo de 
licenciaturas de ciencias y de carreras técnicas cuyo prototipo estaría 
representado por la propia licenciatura de matemáticas. 
 Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales 17 
interpretación de los resultados que proporcionan dichas técnicas, ni 
su alcance o dominio de validez, ni su pertinencia para llevar a cabo 
una tarea determinada, ni su eficacia, ni su economía, ni sus relaciones 
con otras técnicas, ni sus limitaciones, ni las posibles modificaciones 
que podrían sufrir dichas técnicas para aumentar su eficacia en la 
realización de ciertas tareas. En resumen, la actividad matemática que 
se lleva a cabo en S es esencialmente práctico-técnica y raramente 
alcanza el nivel tecnológico. Como consecuencia, las OM que se 
estudian en S son generalmente OM puntuales, muy rígidasy aisladas 
(o poco coordinadas entre sí), lo que dificulta, e incluso impide, que 
en dicha institución se reconstruyan efectivamente OML 
relativamente completas.13 
H(U): En U se propone, desde un principio, el estudio de 
organizaciones matemáticas regionales, OMR, cuya presentación 
suele concentrarse, por cuestiones de economía, en la teoría, Θ, en la 
que la OMR ha acabado cristalizando. Dado que el teoricismo es el 
modelo docente predominante en U,14 se tiende a identificar “enseñar 
y aprender matemáticas” con “enseñar y aprender teorías”, por lo que 
el proceso didáctico empieza, y prácticamente acaba, en el momento 
en que el profesor “enseña” (en el sentido de “muestra”) las teorías a 
los alumnos. En esta situación, el bloque práctico-técnico [T/τ] queda, 
de nuevo, completamente desconectado del bloque tecnológico-
teórico, [θ/Θ], aunque aquí la causa es otra. En U, el trabajo práctico-
técnico es considerado como una actividad secundaria dentro del 
proceso didáctico global y, en todo caso, juega un papel auxiliar en el 
aprendizaje de las teorías. Del mismo modo, los elementos 
tecnológicos que aparecen sirven para ilustrar algún aspecto particular 
de la teoría matemática, pero nunca para integrar las distintas OMP 
disponibles (previamente estudiadas) en nuevas OML relativamente 
completas. Se supone, en efecto, que las OML que se evocan en U 
están disponibles con un grado suficiente de completitud, y por ello no 
se reconstruyen efectivamente en U. Aquí, la separación funcional 
entre ambos bloques –y la consiguiente dificultad para conectar el 
bloque práctico-técnico de la actividad con la teoría cristalizada que se 
muestra a los estudiantes– se pone de manifiesto, por ejemplo, en la 
 
13 En la siguiente sección describimos mediante cinco conjeturas específicas 
algunas de las características principales de esta rigidez que postulamos. 
Posteriormente contrastaremos empíricamente dichas conjeturas específicas. 
14 Las primeras descripciones de los modelos docentes (llamados inicialmente 
“paradigmas”) fueron publicadas en Gascón (1992 y 1994). Ver también 
Bosch y Gascón (2002). 
18 Recherches en Didactique des Mathématiques 
ausencia de las cuestiones problemáticas que constituyen la “razón de 
ser” de las OMR estudiadas (esto es, de las cuestiones a las que la 
OMR responde) en el caso en que dichas cuestiones hayan surgido en 
el bloque práctico-técnico de las OML previamente construidas. 
En resumen, la actividad matemática que se lleva a cabo en U está 
muy centrada en los componentes teóricos de las OMR que se 
proponen para ser estudiadas. Se da por supuesto que las OML que 
integran las citadas OMR han sido construidas como OML 
relativamente completas por lo que no se siente la necesidad de 
“descender” a los detalles. Y cuando el proceso de estudio que se lleva 
a cabo en U abandona momentáneamente la “cúspide” de la teoría 
cristalizada, para recorrer una parte del “cuerpo” de la OMR, choca 
con restricciones institucionales muy fuertes como, por ejemplo, las 
necesidades de economía didáctica, la ignorancia de la función del 
trabajo técnico en la génesis y el desarrollo de los conocimientos 
matemáticos y la ausencia de instrumentos para describir 
adecuadamente la actividad matemática. Estas restricciones sólo 
permiten entonces “bajar” desde el nivel teórico hasta el nivel 
práctico-técnico por canales tecnológicos aislados. 
H(S–U): El tránsito de S a U es un momento especialmente 
delicado del proceso global de estudio de las matemáticas y, por lo 
tanto, constituye un aspecto importante y posiblemente prototípico del 
problema de la articulación del currículum de matemáticas. Hemos 
postulado que las OM que se estudian en S son puntuales, muy rígidas 
y aisladas lo que dificulta enormemente que en dicha institución se 
reconstruyan efectivamente OML relativamente completas. En U, sin 
embargo, se da por supuesto que las OML que integran las OMR 
propuestas para ser estudiadas cumplen en un grado relativamente alto 
las condiciones OML1-OML7. De ahí que nunca se retomen ni las 
OMP ni las OML disponibles para desarrollarlas, completarlas e 
integrarlas en OMR cada vez más amplias. Este malentendido entre 
ambas instituciones perpetúa la ausencia institucional de los procesos 
de reconstrucción de OML relativamente completas y constituye un 
importante obstáculo de origen didáctico que provoca graves 
disfunciones en el comienzo del estudio de las matemáticas en la 
Universidad. Este obstáculo es especialmente importante debido a que 
el tipo de actividad matemática que se requiere para reconstruir una 
OML es, tal como hemos descrito más arriba mediante las 
propiedades OD1-OD6, imprescindible para poner en marcha, de 
manera integrada, todas las dimensiones de la actividad matemática 
(Chevallard, Bosch y Gascón 1997; Chevallard 1999). 
 Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales 19 
3.2. Aspectos de la rigidez de las OM de la Enseñanza Secundaria 
El objetivo inicial de este trabajo era analizar las disfunciones que 
aparecen cuando se inician los estudios de matemáticas en la 
Universidad, a fin de obtener criterios fundados para actuar sobre 
ellas. Una vez caracterizadas las OML relativamente completas, 
estamos en condiciones de formular algunas conjeturas específicas 
que permitan empezar a contrastar empíricamente ciertos aspectos de 
la conjetura general enunciada. Nos centraremos, concretamente, en 
aquellos aspectos que se refieren al tránsito entre ambas instituciones 
y que se ponen de manifiesto al comienzo de la Enseñanza 
Universitaria. 
Las conjeturas específicas que formularemos a continuación deben 
interpretarse, por lo tanto, a partir de la conjetura general enunciada 
anteriormente. Las cinco conjeturas (C1 a C5) explicitan algunos 
aspectos de la rigidez de las OMP que se estudian en Secundaria y son 
las que empezaremos a contrastar empíricamente a un nivel 
exploratorio.15 El enunciado de estas cinco conjeturas se desprende 
directamente (por negación) de las características OML1-OML7 que, 
con ayuda de las nociones de la TAD, hemos postulado que deberían 
poseer las OMP para poder integrarse en una OML relativamente 
completa. 
C1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica 
En U se considera que la “nomenclatura” es irrelevante y que un 
simple cambio de los símbolos que se utilizan para poner en marcha 
una técnica no puede representar una modificación importante de la 
actividad matemática. Pero en S la rigidez de las OMP puede llevar a 
identificar y hasta confundir la técnica con los objetos ostensivos (ya 
sean símbolos, gráficos o palabras escritas u orales) que constituyen 
su soporte material (Bosch 1994). Entre los múltiples ejemplos de esta 
dependencia podemos citar: el desarrollo del cuadrado de un binomio; 
la fórmula para resolver las ecuaciones de segundo grado y las reglas 
de derivación de funciones. 
C2. Aplicar una técnica no incluye interpretar el resultado 
Debido a la escasa incidencia del bloque tecnológico-teórico en las 
organizaciones matemáticas que se estudian en S, generalmente no se 
exige interpretar adecuadamente el resultado de aplicar una técnica 
para considerar que dicha técnica ha estado “correctamente” utilizada. 
Así, por ejemplo, el uso escolar de las técnicas para calcular límites de 
 
15 Sobre la noción de “estudio exploratorio”, ver Batanero et al. 1992 y 1994. 
20 Recherches en Didactique des Mathématiques 
funciones y la forma habitual de utilizar muchas de las técnicas de 
resolución de ecuaciones (por ejemplo, ecuaciones irracionales) no 
incluye ninguna “interpretación” de los resultados obtenidos. Lo 
anterior no significa que un profesor concreto o determinados libros 
de texto no interpreten los resultados que se obtienen al aplicar las 
técnicas matemáticas y hasta la manera concreta de aplicarlas. 
Significaque ésta no es una de las responsabilidades que el contrato 
didáctico institucional asigna a los alumnos en S. 
C3. No existen dos técnicas diferentes para realizar una misma tarea 
En U se necesita que determinadas OMP no sean problemáticas para 
los estudiantes –se precisa que formen parte de su medio 
matemático16– para que puedan utilizarse de manera flexible a lo largo 
del proceso de estudio universitario. En particular, cuando existen dos 
técnicas matemáticas “equivalentes en U” para un cierto subtipo de 
tareas, esto es, técnicas que proporcionan resultados equivalentes para 
las tareas de dicho subtipo (como, por ejemplo, dos reglas de 
derivación para una misma función), se requiere que la elección más 
adecuada o la utilización indistinta no provoque ningún tipo de 
dificultades a los estudiantes. Pero, como ya hemos dicho, en S se 
utilizan técnicas aisladas y muy rígidas hasta el punto de que, aunque 
“existan” –en la práctica docente del profesor y en los libros de texto– 
dos técnicas diferentes para un mismo tipo de tareas, no forma parte 
de la responsabilidad matemática del alumno –en el contrato 
didáctico– decidir para cada tarea concreta cuál de las dos técnicas 
es la más pertinente. Suele suceder, además, que una de las dos 
técnicas se acaba imponiendo de tal manera que se convierte en la 
manera de resolver ese tipo de problemas en S, adquiriendo un 
carácter autotecnológico y provocando la práctica desaparición de la 
técnica rival. Podemos citar, como ejemplos de técnicas 
autotecnológicas, la “regla de tres”, la regla de derivación de 
funciones polinómicas y la “regla de Ruffini”. 
C4. Ausencia de técnicas para realizar una tarea “inversa” 
Uno de los aspectos más importantes de la rigidez de las OMP que se 
estudian en S se manifiesta en la no reversión de las técnicas 
 
16 Entendemos por “medio matemático” de una comunidad de estudio –por 
ejemplo, de una clase de alumnos en una institución docente– “[...] el 
conjunto de objetos con los que los alumnos tienen una familiaridad 
matemática tal que pueden manipularlos con toda seguridad y cuyas 
propiedades les parecen incuestionables” (Chevallard, Bosch y Gascón 1997, 
p. 217). 
 Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales 21 
matemáticas correspondientes. En términos del contrato didáctico 
podemos decir que, en S, no forma parte de la responsabilidad 
matemática del alumno invertir una técnica para llevar a cabo la 
tarea inversa. Podría decirse, más en general, que el contrato 
didáctico en S no asigna al alumno, ni tampoco al profesor, la 
responsabilidad de modificar una técnica “conocida” de manera 
adecuada para llevar a cabo una tarea un poco diferente a la tarea 
inicial. Esta conjetura implica, en particular, que cuando existen dos 
tareas “inversas” entre sí (esto es, tareas con los datos y las incógnitas 
intercambiados) las correspondientes técnicas suelen tratarse como si 
fueran “independientes”. Así, por ejemplo, el paso de las ecuaciones 
cartesianas de una variedad lineal a la ecuación vectorial de ésta (esto 
es, la resolución de un sistema de ecuaciones lineales) y 
recíprocamente, el paso de la ecuación vectorial a las ecuaciones 
cartesianas, son tareas inversas en el sentido citado, pero en S se 
consideran como tareas independientes que se realizan con técnicas no 
relacionadas entre sí. En otros casos la tarea inversa está ausente 
como, por ejemplo, la tarea de pasar de la gráfica de una función 
elemental a la expresión analítica de ésta. 
C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización 
Los problemas escolares se presentan, tanto en S como en U, con 
enunciados muy cerrados en los que figuran como “datos” todos los 
que se necesitan (exactamente) para resolver el problema sin que falte 
ni sobre ninguno. Raramente se presenta una situación abierta donde 
el estudiante deba decidir cuáles son los datos que se necesitan para 
formular correctamente un problema matemático. Pocas veces se 
problematiza el propio enunciado de los problemas como punto de 
partida para plantear nuevos problemas. La ausencia de técnicas 
explícitas de modelización comporta que, en ambas instituciones, la 
modelización matemática constituya una de las actividades más 
problemáticas y menos reguladas. Al aceptarse implícitamente (sobre 
todo en U, donde domina el modelo docente “teoricista”) que no 
existen técnicas de modelización matemática, se tiende a considerar 
que las modelizaciones matemáticas que se realizan en S son simples 
“cambios de lenguaje” o “cambios de nomenclatura” triviales que no 
tienen la categoría de “verdaderas” técnicas matemáticas. Así, por 
ejemplo, los problemas de combinatoria y de probabilidad (pero 
también los de optimización, entre otros) se tratan como si las 
22 Recherches en Didactique des Mathématiques 
relaciones entre el sistema a modelizar y el modelo matemático de 
dicho sistema fueran transparentes y no problemáticas.17 
Tal como hemos subrayado a lo largo de este trabajo, nuestro 
estudio exploratorio se centra en empezar a contrastar 
experimentalmente los cinco aspectos de la rigidez de las OM que se 
estudian en Secundaria y que hemos caracterizado mediante las 
conjeturas C1-C5. Hemos elegido para ello dos tipos de datos 
empíricos como indicadores de las características de las OM que se 
reconstruyen en la institución de la enseñanza secundaria española: 
(a) Las respuestas de una amplia muestra de estudiantes a las tareas 
matemáticas propuestas en un cuestionario con 31 preguntas (ver 
anexo 1). 
(b) Los datos obtenidos del análisis de una muestra de manuales 
aprobados oficialmente por las autoridades educativas españolas 
para su uso en la enseñanza secundaria. Estos datos pueden 
considerarse, como ya hemos dicho, la “respuesta de los libros de 
texto” al citado cuestionario. 
4. ANÁLISIS DE LAS RESPUESTAS AL CUESTIONARIO 
Para empezar a contrastar empíricamente cada una de las anteriores 
conjeturas elaboramos dos versiones sucesivas de un cuestionario (o 
“prueba inicial”) que hemos pasado a estudiantes que comienzan sus 
estudios en U. Ambas fueron pasadas a finales de octubre –de los años 
1999 y 2000 respectivamente– en un momento en que los estudiantes 
habían tenido unas pocas semanas de clase en la Universidad. En este 
trabajo sólo aportaremos los datos de la segunda versión de este 
cuestionario porque ésta constituye un refinamiento del primero. 
Durante el curso 2001/2002 también se pasó una versión revisada de 
este cuestionario a una muestra de 366 estudiantes de diferentes 
Facultades de la Universitat “Jaume I” de Castellón. No incluimos 
aquí el análisis de las respuestas a esta tercera prueba (ver Fonseca, 
 
17 Así, por ejemplo, se considera que transformar el enunciado de un 
problema como el siguiente: ¿De cuántas maneras diferentes puede haberse 
modificado el resultado de un partido de fútbol desde el 0-0 inicial hasta el 3-
2 final?” en otro enunciado en el que se hable de “grupos de símbolos” y de 
restricciones que deben satisfacer dichos grupos, tal como: “¿Cuántos grupos 
de 5 símbolos pueden construirse con las letras L (de “Local”) y V (de 
“Visitante”) de tal forma que cumplan las siguientes condiciones: (a) cada 
grupo debe contener exactamente tres “L” y dos “V”; (b) para considerar 
que dos grupos son diferentes deben diferir en la posición de algún símbolo? 
no requiere utilizar ninguna técnica matemática, es un simple “cambio de 
lenguaje” trivial. 
 Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales 23 
Gascón y Orús 2002) que confirma plenamente las conclusiones que 
se desprenden de las dos primeras pruebas. 
Es importante subrayar que con estas pruebas no pretendemos 
analizar los conocimientos matemáticos de los estudiantes, ni 
individualmente ni colectivamente. De hecho, una muestra “ideal” de 
sujetos estaría formada por “buenos alumnos de S” enel sentido de 
alumnos bien adaptados a dicha institución, con un buen expediente 
matemático. Nuestro objetivo principal consiste en utilizar las 
respuestas de los estudiantes como indicadores de algunas de las 
características de las OM que se estudian en S y poner de manifiesto 
la existencia y la naturaleza de determinados obstáculos 
epistemológicos y didácticos que dificultan el desarrollo del proceso 
de estudio de las matemáticas en el paso de Secundaria al primer 
ciclo de la Universidad. 
Elegimos para nuestro estudio dos Universidades: la Autònoma de 
Barcelona y la de Vigo. De la primera elegimos la Diplomatura de 
Estadística (EST) y la Licenciatura de Matemáticas (MAT), y de la 
segunda, la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial 
(EUITI), la Escuela Técnica Superior de Ingeniería Industrial (ETSII) 
y la Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Agroalimentaria 
(EUITA). En el cuestionario se incluyeron preguntas iniciales para 
obtener información de algunos datos personales de los estudiantes: 
procedencia de Secundaria (LOGSE o COU18); nota de Selectividad;19 
Facultad en la que el estudiante estaba matriculado y otros. La 
distribución por Facultades de los 205 alumnos que realizaron la 
prueba es la siguiente (Tabla 1) 
 FACULTADES 
 EST EUITA ETSII EUITI MAT TOTAL 
Recuento 6 19 54 69 1 149 COU 
% del total 2,93 9,27 26,34 33,66 0,49 72,68 
Recuento 9 1 4 6 36 56 LOGSE 
% del total 4,39 0,49 1,95 2,93 17,56 27,32 
SE
C
U
N
D
A
R
IA
 
TOTAL Recuento 15 20 58 75 37 205 
 
18 El COU es el antiguo “Curso de Orientación Universitaria” con el que 
finalizaba el bachillerato anterior a la ley de reforma educativa vigente 
actualmente en España que extendió la enseñanza obligatoria hasta los 16 
años. 
19 La Selectividad es un examen externo que se realiza en la Universidad al 
acabar el Bachillerato. Permite asignar a cada estudiante una nota global que, 
junto con su expediente académico, decide a qué carreras universitarias puede 
acceder. 
24 Recherches en Didactique des Mathématiques 
% del total 7,32 9,76 28,29 36,59 18,05 100,00 
Tabla 1. – Composición de la muestra de estudiantes 
Analizaremos a continuación los resultados obtenidos, 
interpretándolos en función de las conjeturas que pretendemos 
contrastar. 
C1. Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica 
Ítems: 1, 6, 11a, 11b, 16a, 16b, 21, 24, 27a, 27b, 30a y 30b 
Queremos investigar qué ocurre en S cuando trabajamos con variables 
designadas con símbolos no habituales para el alumno. Normalmente 
en S se plantean las tareas matemáticas utilizando las variables que 
figuran en los ítems 1, 11a, 11b, 24, 30a y 30b. Para contrastar esta 
conjetura debemos analizar cómo cambia la dificultad de los ítems 
cuando, para la misma tarea matemática, se cambian los símbolos 
habituales por otros símbolos. 
 
Items 1 12a 21 11a 27a 11b 27b 16a 30a 16b 30b 6 24 
% 81,9564,8857,5610,7311,2250,7341,9527,3233,1740,4945,3769,7669,27
Tabla 2. – Porcentaje de respuestas correctas 
♦ Los datos de la Tabla 2 reflejan claramente que el porcentaje de 
respuestas correctas en los ítems 1 (variable x), 12a (variable t) y 
21 (variable a y x como ruido) baja de una forma muy importante 
al pasar de la variable x a la variable t y disminuye todavía más 
cuando aparece la x como “ruido” y la a como variable de 
integración. En el caso de la derivación de una función racional, 
se observa una diferencia significativa en el porcentaje de aciertos 
al pasar de la variable x (ítem 11b) a la variable s (ítem 27b). 
♦ Sin embargo, las respuestas a los ítems 6 (variable p) y 24 
(variable x) parecen sugerir que la dificultad para representar 
funciones cuadráticas es independiente de la variable. De todos 
modos, el análisis cualitativo de las respuestas muestra que la 
técnica utilizada por la inmensa mayoría de estudiantes es una 
tabla de valores. De esta forma la dificultad de los ítems pasaba a 
ser independiente de las variables respectivas y sólo dependía de 
cálculos algorítmicos. 
♦ Por último, hay que notar que la racionalización de los 
denominadores cuando éstos están expresados como potencias de 
exponente racional (ítems 16a y 16b) presenta una dificultad 
mayor que cuando los denominadores están expresados como 
radicales (30a y 30b). El análisis de las respuestas muestra, 
además, que casi todos alumnos que realizan la tarea empiezan 
 Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales 25 
transformando la expresión con exponentes racionales a la 
nomenclatura de radicales que les resulta más familiar. Este 
resultado es significativo, por lo menos, del poco uso escolar de 
los exponentes fraccionarios. 
♦ Los ítems 11a y 27a (derivación de una función exponencial) han 
resultado demasiado difíciles para los estudiantes, por lo que no 
son adecuados para contrastar la conjetura. 
En resumen, podemos seguir afirmando que las técnicas dependen de 
los medios materiales que le sirven de soporte, pero debemos añadir 
que dicha dependencia y, por tanto, este primer tipo de rigidez, 
disminuye a medida que los estudiantes dominan de una manera 
robusta las técnicas en cuestión. 
C2. Aplicar una técnica no incluye interpretar el resultado 
Ítems: 2a y 2b, 7a y 7b, 12a y 12b, 15a y 15c, 17a y 17b 
El objetivo que perseguimos en este bloque es el de cuantificar en qué 
medida el utilizar correctamente una técnica comporta interpretar 
correctamente el resultado obtenido (o el procedimiento utilizado). 
Las tareas que se proponen para contrastar esta conjetura no deberían 
ser problemáticas para los alumnos que han acabado la enseñanza 
secundaria, esto es, forman parte del medio matemático del alumno. 
 
Ítems 2a 2b 7a 7b 12a 12b 15a 15c 17a 17b 
% 48,29 16,10 30,73 10,73 64,88 21,95 60,49 32,20 51,22 31,22 
Tabla 3. – Porcentaje de respuestas correctas 
♦ Los datos de la tabla 3 reflejan que los alumnos tienen 
dificultades para pasar de una propiedad analítica de las derivadas 
(ítem 2a) a la interpretación geométrica del resultado (ítem 2b). 
♦ También aparece una caída en el porcentaje de aciertos entre los 
alumnos que conocen la técnica del cálculo del límite de una 
función racional (ítem 7a) y los que la interpretan correctamente 
(ítem 7b). 
♦ Hay una distancia importante entre el porcentaje de respuestas del 
ítem 12a (conocimiento de la técnica del cálculo de una integral 
definida) y el porcentaje de alumnos que interpretan 
correctamente el resultado de aplicar dicha técnica (ítem 12b). 
♦ Después de construir una función afín (ítem 15a), las respuestas al 
ítem 15c muestran claramente que la inmensa mayoría de los 
estudiantes tienen dificultades para interpretar la derivada de 
dicha función. 
26 Recherches en Didactique des Mathématiques 
♦ Por último, los resultados de los porcentajes de aciertos respecto 
de los ítems 17a (cálculo del límite de una función exponencial) y 
17b (interpretación del resultado) reafirman los resultados 
anteriores. 
En resumen, podemos afirmar claramente que la mayoría de alumnos 
no ha sabido interpretar los resultados que obtenía o, incluso, que no 
entendían qué se les pedía al solicitarles una interpretación, como 
pone de manifiesto el alto porcentaje de respuestas en blanco. 
C3. Inexistencia de dos técnicas diferentes para una misma tarea 
Ítems: 3 y 22, 8 y 25, 13 y 28, 18a y 18b. 
Para comprobar el porcentaje de alumnos que conocen dos técnicas 
diferentes para una misma tarea, proponemos tareas algorítmicas muy 
elementales con las que forzosamente el alumno debe estar 
familiarizado: cálculo de un porcentaje, cálculo del máximo común 
divisor, resolución de una inecuación de segundo grado y cálculo de 
una derivada muy sencilla. 
 
Ítems 22 3 25 8 13 28 18a 18b 
% 44,39 29,76 84,88 63,90 36,10 23,41 57,56 21,95 
Tabla 4. – Porcentaje de respuestas correctas 
♦ Para calcular el mínimo común múltiplo de dos números, los 
alumnos estánmucho más familiarizados con la técnica de 
descomposición de factores primos (ítem 22) que con la 
utilización del máximo común divisor, propuesta en el ítem 3. 
♦ Para calcular el precio final después de aplicar un descuento, los 
alumnos prefieren la técnica aditiva (ítem 25) a la multiplicativa 
(ítem 8) y, además, el análisis cualitativo de las respuestas 
muestra que la técnica multiplicativa no es utilizada 
espontáneamente sino que es construida a partir de la técnica 
aditiva, dado que la distancia entre ambas técnicas es mínima. 
♦ Los resultados del ítem 18a muestran que más de la mitad de los 
alumnos dominan la técnica de la derivada de un cociente de 
funciones, mientras que los que conocen otra técnica distinta se 
reduce a menos de la cuarta parte (ítem 18b). 
♦ En lo que se refiere a la resolución de inecuaciones de segundo 
grado, la técnica dominante es la algebraica (ítem 13), mientras 
que la técnica gráfica (ítem 28) presenta más dificultades. 
En resumen, el porcentaje de estudiantes que utilizan dos técnicas 
diferentes para cada una de las tareas propuestas es, en la mayoría de 
los casos, inferior al 30%. 
 Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales 27 
C4. Ausencia de técnicas para realizar la tarea inversa 
Ítems: 4 y 23, 9 y 26, 19 y 31, 6 y 29, 24 y 29. 
Para estudiar esta conjetura proponemos, de nuevo, tareas que en S 
son rutinarias como, por ejemplo, buscar las raíces de un polinomio de 
tercer grado (cuando son enteras o pueden calcularse fácilmente), 
representar una función polinómica de grado 2 y resolver un sistema 
de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. 
 
Ítems 23 4 9 26 19 31 24 29 
% 70,24 25,37 55,12 7,80 35,61 20,00 69,27 16,10 
Tabla 5. – Porcentaje de respuestas correctas 
♦ Vemos que los aciertos en la representación gráfica de una 
parábola alcanzan un porcentaje del 69,27% (ítem 24), mientras 
que la tarea inversa (pasar de la gráfica de la parábola a su 
ecuación) baja a un 16,10% (ítem 29). 
♦ En el caso de la tarea de resolver un sistema de dos ecuaciones 
lineales (ítem 9), se pasa de un 55,12% de aciertos en la tarea 
“directa” a un 7,8% de aciertos en la tarea inversa (escribir un 
sistema dadas las soluciones, ítem 26). 
Los resultados de la tabla 5 muestran que el porcentaje de aciertos en 
dichas tareas, que tomaremos como “directas”, es muy superior al de 
las correspondientes tareas “inversas”. 
C5. Ausencia de situaciones abiertas de modelización 
Ítems: 5, 10, 15 y 20. 
Para estudiar esta conjetura proponemos únicamente tareas 
matemáticas en las que se trata principalmente de manipular un 
modelo matemático dado en el enunciado. Hemos renunciado a 
proponer tareas de modelización matemática de una situación en la 
cual el estudiante tuviese que decidir cuáles eran los datos y las 
incógnitas pertinentes para elaborar el modelo en cuestión. 
 
Ítems 5a 5b 10a 10b 15a 15b 15c 20a 20b 
% 54,63 23,90 29,27 7,32 60,49 46,83 32,20 20,00 11,22 
Tabla 6. – Porcentaje de respuestas correctas 
Los datos de la Tabla 6 muestran claramente que los estudiantes 
tienen graves dificultades para manipular el modelo matemático 
elemental de una situación. El análisis cualitativo de las respuestas 
muestra que en la mayoría de los casos los estudiantes no utilizan 
adecuadamente el modelo dado en el enunciado para responder a las 
cuestiones que se proponen. Los porcentajes bajan de una forma 
28 Recherches en Didactique des Mathématiques 
considerable cuando la tarea de modelización incluye una 
interpretación, en términos de la situación modelizada, de los objetos 
matemáticos que aparecen. 
5. ANÁLISIS DE LOS LIBROS DE TEXTO 
Para aumentar la base empírica de las conjeturas C1-C5, hemos 
utilizado un segundo tipo de datos que, al igual que las respuestas de 
los estudiantes al cuestionario, consideramos como indicadores de las 
características de las OM que viven en S. Se trata de los datos 
obtenidos del análisis de una muestra de libros de texto20 que 
desarrollan el currículum oficial de la Enseñanza Secundaria 
Obligatoria (ESO, 12-16 años) y del Bachillerato (16-18 años). Estos 
datos pueden considerarse, como ya hemos dicho, la “respuesta de los 
libros de texto” al citado cuestionario. 
La elección de los manuales se ha hecho teniendo en cuenta su 
amplia difusión en todo el estado español y, en particular, en las 
comunidades autónomas que participan en nuestra investigación. 
 
Editorial Cursos Año de publicación 
ANAYA 1º a 4º de ESO 2002 
ANAYA 1º y 2º Bachillerato 2000 y 2001 
SANTILLANA 1º a 4º de ESO 2002 
SANTILLANA 1º y 2º Bachillerato 2002 
McGRAW-HILL 1º a 4º de ESO 2002 
McGRAW-HILL 1º y 2º Bachillerato 2002 
SM 1º a 4º de ESO 2002 
SM 1º y 2º Bachillerato 2002 
Tabla 7. – Composición de la muestra de libros de texto 
Para llevar acabo el análisis hemos considerado, para cada conjetura, 
el tema del currículum que incluye los ítems del cuestionario relativos 
a dicha conjetura. Para cada tema, se ha formulado una conjetura 
específica que es, de hecho, la que se contrastará propiamente. 
C1: Dependencia de la nomenclatura asociada a una técnica 
El cuestionario permitía su exploración especificándola a cuatro temas 
concretos: derivación, integración definida, representación gráfica de 
funciones elementales y racionalización de fracciones numéricas. 
Proponemos para cada uno de estos temas una especificación de la 
 
20 En el caso del Bachillerato hemos tomado los textos correspondientes a la 
modalidad de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud y Tecnología. 
 Incompletitud de las organizaciones matemáticas locales 29 
conjetura C1. Se obtienen así las cuatro Conjeturas Específicas 
siguientes: 
C1A: En el cálculo de integrales definidas (e indefinidas) predomina 
la letra x como designación de la variable real independiente 
(generada por los ítems 1, 12a y 21). 
C1B: En el cálculo de derivadas predomina la letra x como 
designación de la variable real independiente (generada por los 
ítems 11a, 27a, 11b y 27b). 
C1C: En la representación gráfica de funciones predomina la letra x 
como designación de la variable real independiente (generada 
por los ítems 24 y 6). 
C1D: En el trabajo de racionalización de los denominadores de 
fracciones numéricas, predomina la designación de los números 
irracionales con radicales frente a la designación con potencias 
de exponente fraccionario (ítems 30a, 30b, 16a y 16b). 
Los resultados del análisis de los libros de texto en relación a este 
grupo de conjeturas específicas son los siguientes: 
 
 Tipo de tareas Variable x Variable distinta de x 
C1A Cálculo de integrales indefinidas 1217 2 
C1A Cálculo de integrales definidas 131 0 
C1B Cálculo de derivadas 952 5 
C1C Gráfica de funciones 492 2 
Radicales Exponente fraccionario C1D Racionalización 
57 0 
Tabla 8. – Datos de los libros de texto respecto a la Conjetura 1 
La tabla 8 se refiere al numero total de las tareas de cada tipo que 
aparecen en el conjunto de los manuales analizados. Así, por ejemplo, 
en el conjunto de todos los libros de Bachillerato analizados aparecen 
1217 tareas relativas al cálculo de integrales indefinidas con la 
variable x y únicamente 2 tareas de ese tipo utilizan una variable 
distinta de x. El resto de los datos presentan una contundencia similar. 
C2. Aplicar una técnica no incluye interpretar el resultado 
Teniendo en cuenta los temas en los que se sitúan los ítems del 
cuestionario que hacen referencia a esta conjetura, aparecen las 
siguientes conjeturas específicas:21 
 
21 Las dificultades para encontrar un tema del currículum de matemáticas en 
el que situar los ítems 2a y 2b, nos ha llevado a no formular ninguna conjetura 
específica generada por dichos ítems. 
30 Recherches en Didactique des Mathématiques 
C2A: El cálculo del límite de una función (dada por su expresión 
analítica) ya sea en