Plano Cartesiano

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Kharla Mérida 
Matemática de 3er Año Plano Cartesiano 
 Esta sección entrega un recurso valioso en el estudio de la geometría en el plano, 
conocida como Geometría Analítica, la Distancia entre dos puntos del plano. La 
utilidad y necesidad de esta herramienta se pone de manifiesto durante el resto de 
los estudios de bachillerato y en la universidad, cuando se trata de carreras de 
ingeniería o desarrollo tecnológico. Vamos a conocerla y aprender a usarla. 
1 
 Que la distancia entre un maestro y su aprendiz sea la que invite al 
aprendiz a superarse, y al maestro a seguir aprendiendo. 
9.1 Distancia entre dos Puntos 
Descripción 
9 
9na Unidad 
 Plano Cartesiano 
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Matemática de 3er Año Plano Cartesiano 
2 
 Se sugiere la visualización de los videos por parte de los estudiantes previo al 
encuentro, de tal manera que sean el punto de partida para desarrollar una 
dinámica participativa, en la que se use eficientemente el tiempo para fortalecer el 
Lenguaje Matemático y desarrollar destreza en las operaciones. 
Conocimientos Previos Requeridos 
Contenido 
Videos Disponibles 
 Números Reales, Representación en el Punto en el Plano. 
 Distancia entre dos Punto en el Plano, Ejercicios. 
PLANO CARTESIANO. Distancia Entres Dos Puntos, en el Plano 
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Guiones Didácticos 
3 
PLANO CARTESIANO. Distancia Entre Dos Puntos, en el Plano. 
 Sean los puntos P1(x1 , y1) y P2(x2 , y2) la distancia entre estos puntos se define como 
la longitud del segmento que los une. 
¿Cómo hacemos para hallar la longitud del segmento P1P2? 
 Las líneas imaginarias de 
proyección de los puntos sobre el 
eje x delimitan un segmento 
horizontal, que constituye un cateto 
de un triángulo rectángulo. 
 Las líneas imaginarias de 
proyección de los puntos sobre el 
eje y delimitan un segmento 
vertical, que constituye otro cateto 
de un triángulo rectángulo 
 El segmento P1P2, y los segmentos horizontal y vertical, forman un triángulo 
rectángulo. 
Hipotenusa: Segmento P1P2, su medida es la distancia entre los puntos. 
Cateto Horizontal: segmento cuya medida es x2 menos x1. 
Cateto vertical: segmento cuya medida es y2 menos y1. 
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 El triangulo que se forma es 
rectángulo, por lo tanto satisface el 
teorema de Pitágoras. 
4 
H2 
dP1P2
2 
 
Teorema de Pitágoras 
= C1
2 + C2
2 
dP1P2    
2 2
2 1 2 1x x + y y  
   
2 2
2 1 2 1x x + y y  
C1 = x2 – x1 C2 = y2 – y1 dP1P2
 = x 
PLANO CARTESIANO. Distancia Entre Dos Puntos, en el Plano. Ejercicios 
1. Hallar la distancia entre los puntos A(-3 , 5) y B(2 , 4) 
1ro. Ubicamos los puntos dados en el 
plano. 
A(-3 , 5) ; B(2 , 4) 
Nota: Aunque no es necesario para 
hallar la distancia, es valioso adquirir el 
hábito de representar gráficamente 
este tipo de planteamientos, será de 
gran utilidad. 
2do. Aplicamos la fórmula de distancia 
entre dos puntos. 
   
2 2
2 1 2 1x x + y yABd   
   
2 2
-3 2 + 5 4ABd       
2 2
-5 + 1ABd  26ABd 
2. Verifique si los puntos A(-3 , 1), B(4 , 1) y C(1 , -3) son vértices de un triángulo 
isósceles. 
Recordemos. Un triángulo isósceles es el que tiene dos lados iguales. 
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1ro. Ubicamos los puntos dados en el 
plano. 
A(-3 , 5) ; B(2 , 4) ; C(1 , -3) 
Nota: Las medidas de los lados AB, BC y 
AC se corresponde con las distancias: 
dAB , dBC y dAC. 
2do. Aplicamos la fórmula de distancia 
a los tres lados. 
   
2 2
2 1 2 1x x + y yP1P2d   
   
2 2
-2 4 + 1 1ABd   
   
2 2
-6 + 0ABd 
36ABd  6ABd 
   
2 2
4 1 + 1 -3)BCd    (
   
2 2
3 + 4BCd 
25BCd  5BCd 
   
2 2
-2 1 + 1 -3)BCd    (
   
2 2
3 + 4BCd 
25BCd  5BCd 
 Los lados BC y AC miden lo mismo, 5 unidades. Entonces el triángulo es un triángulo 
isósceles. 
3. Comprobar que los puntos A(-3 , 4) , B(-2 , -3) y C(3 , 2) son colineales. 
Análisis. Si los puntos A,B y C son colineales la 
suma de la medida de los segmentos AB y BC 
es igual a la medida del segmento AC. 
Puntos Colineales. Son puntos que están sobre una misma recta. 
5 
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Hallamos las tres distancias: 
A(-3 , -4) ; B(-2 , -3) ; C(3 , 2) 
   
2 2
-2 (-3) + -3 (-4)ABd   
   
2 2
-1 + 1ABd 
2ABd 
   
2 2
3 (-2) + 2 -3)BCd    (
   
2 2
5 + 5BCd 
50BCd  5 2BCd 
   
2 2
3 (-3) + 2 -4)ACd    (
   
2 2
6 + 6ACd 
72ACd  6 2ACd 
 La suma de la medida de los segmentos AB y 
BC es igual a la medida del segmento AC. 
Los tres puntos son colineales. 
AB BC ACd d d 
2 5 2 6 2 
6 
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Puntos Colineales. Son puntos que están sobre una misma recta. 
Emparejando el Lenguaje 
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Hallar la distancia entre los pares de puntos dados: 
A Practicar 
1. A(-1 , 5) , B(2 , 3) 2. P1(0 , 7) , P2(4 , -7) 3. C(6 , -1) , D(-1 , -4) 
4. Verificar si los puntos dados son colineales: A(-2 , -5) , B(4 , 7) , C(0 , -1) 
5. Verificar si los puntos dados son vértices de un paralelogramo: 
 A(3/2 , 11/2) , B(-1/2 , 7/2) , C(1/2 , 5/2) , D(-3/2 , 1/2) 
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¿Lo Hicimos Bien? 
1. d = 13 2. d = 2 53 
4.Los puntos A, B y C son colineales 
5. Los puntos A, B, C y D son vértices de un paralelogramo 
3. d = 58 
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