Guía de geometría y analítica Tercer semestre

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Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
1 
g.f.s. 
 
 
 
CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO INDUSTRIAL Y 
DE SERVICIOS No 158 
 
 
 
 
 
 
 
Guía de aprendizaje 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica 
 
 
S.A.E.T.I. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Chihuahua, Chih., mayo 2017 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
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g.f.s. 
SISTEMA DE COORDENADAS 
 
Apertura 
 
Práctica 1 
Nombre:___________________________________________________________Gpo:_________ 
Apertura. Secuencia uno 
I. De manera individual y tomando nota en sus libretas los alumnos, darán respuestas a los siguientes 
cuestionamientos, al terminar en grupo y dirigidos por su maestro comentaran las respuestas 
obtenidas. 
1.- En la época del auge del transporte marítimo donde grandes barcos navegaban por el mundo, para 
transportar víveres o realizar travesías, ¿qué utilizaban los capitanes de los barcos para trazar las rutas de sus 
viajes y no perder rumbo? 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________ 
2.- De la película de los Piratas del Caribe Realiza el dibujo de la brújula que orienta así lo que más se quiere 
(lo recuerdas), sin olvidar todas sus partes que señalan las direcciones. 
 
3.- Matemáticamente: ¿A qué te recuerda el señalamiento de la brújula que indica el Norte, Sur, Este u Oeste? 
____________________________________________________________________________________ 
____________________________________________________________________________________ 
II. En el siguiente plano ubica las coordenadas para identificar las rutas del barco Perla Negra en el 
mar Caribe. Ubica los puntos señalados con la letra inicial y al final une los puntos para que observes el 
recorrido. 
 
(P) Playa Paraíso: (-5, 0) 
 
(T) Isla “Tortuga”: (-2, 4) 
 
(R) Rincón de las Almas: (3, 2) 
 
(PÑ) Puerto Peñasco: (4, 4) 
 
(V) Isla de las Víboras: (9, 5) 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
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g.f.s. 
Desarrollo 
 
Introducción a la geometría analítica 
La historia del origen de la Geometría es muy similar a la de la Aritmética, siendo sus conceptos más antiguos 
consecuencia de las actividades prácticas. Los primeros hombres llegaron a formas geométricas a partir de la 
observación de la naturaleza. 
Durante el siglo XVII surgieron casi todas las disciplinas matemáticas, produciéndose en lo que a la 
geometría se refiere el nacimiento de la geometría analítica. Sin duda los dos grandes en esta materia y época 
fueron René Descartes (1596-1650) y Pierre de Fermat (1601-1655). 
Las ideas de la geometría analítica, es la introducción de coordenadas rectangulares y la aplicación a la 
geometría de los métodos algebraicos, esto se concentra en una pequeña obra: "Introducción a la teoría de 
los lugares planos y espaciales". Aquellos lugares geométricos representados por rectas o circunferencias se 
denominaban planos y los representados por cónicas, espaciales. 
 
 
Fermat abordó la tarea de reconstruir los "Lugares Planos" de Apolonio, 
describiendo alrededor de 1636, el principio fundamental de la geometría 
analítica: "siempre que en una ecuación final aparezcan dos incógnitas, 
tenemos un lugar geométrico, al describir el extremo de uno de ellos una 
línea, recta o curva". 
Lo que sí está totalmente demostrado, es que la introducción del método de 
coordenadas deba atribuirse a Fermat y no a Descartes, sin embargo su obra no 
ejerció tanta influencia como la Geometría de Descartes, debido a la tardanza de 
su edición y al complejo lenguaje algebraico utilizado. 
 
El desarrollo posterior de la geometría analítica, mostró que las ideas de Descartes sobre la unificación del 
álgebra y geometría no pudieron realizarse sino que siguieron un camino separado aunque relacionado. 
 
 
El surgimiento de la geometría analítica, aligeró sustancialmente la formación del 
análisis infinitesimal y se convirtió en un elemento imprescindible para la 
construcción de la mecánica de Newton, Lagrange y Euler, significando la 
aparición de las posibilidades para la creación del análisis de variables. 
La historia de las matemáticas considera a René Descartes el fundador del sistema 
matemático moderno y por lo tanto el padre de la geometría analítica. 
El cálculo y la geometría analítica marcan el comienzo de las matemáticas 
modernas en el siglo XVII. 
 
 
Geometría Analítica: Estudia las figuras geométricas utilizando un sistema de coordenadas, y resuelve los 
problemas geométricos por métodos algebraicos, que se representan por grupos numéricos y las figuras por 
ecuaciones. 
 
 
 
SISTEMA UNIDIMENSIONAL 
 
Localización de un punto en la recta. 
Un punto puede estar situado en una recta, en un plano o en el espacio, según donde se halle, cambia la 
referencia para localizarlo. En un sistema de coordenadas unidimensional se utiliza un solo eje (generalmente 
en forma horizontal) donde existe un punto llamado origen representado por el cero, a la izquierda del origen 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
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g.f.s. 
se encuentran los valores negativos y a la derecha los positivos. Este sistema también es conocido como 
recta numérica. 
 
 
 
Ejemplo 1: Ubica en la recta numérica los siguientes puntos: 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA BIDIMENSIONAL 
 
Un sistema de referencia es un plano que permite representar puntos con los que es posible construir gráficas 
o analizar figuras geométricas. En Matemáticas, los sistemas de referencias más comunes son el sistema de 
coordenadas cartesianas y el sistema de coordenadas polares. 
 
 
Un sistema de ejes coordenados se forma 
cuando dos líneas rectas se intersecan. Si las 
rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un 
sistema de ejes coordenados rectangulares 
denominado también, sistema de coordenadas 
cartesianas. Este sistema fue creado por el 
matemático y filósofo francés René Descartes 
(1596-1650). 
La recta X se denomina eje X o eje de las 
abscisas, y la recta Y es el eje Y o eje de las 
ordenadas. 
El punto de intersección de los ejes 
coordenados, es el punto O llamado origen. 
Los ejes coordenados dividen al plano en 4 
regiones llamadas cuadrantes, que se 
enumeran en sentido contrario al giro de las 
manecillas de un reloj y se enumeran con 
números romanos. 
Localizar un punto en el plano 
En un sistema de coordenadas bidimensional se establece una relación: 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
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g.f.s. 
A cada par de números reales (x, y) le corresponde un punto definido del plano y a cada punto del plano le 
corresponde un par único de coordenadas (x, y). 
 
Ejemplo 1: Localizar el punto A (-3, 1) 
El primer número del par 
ordenado indica desplazamiento 
horizontal con respecto al cero. 
 
- 3 
 positivo para los puntos ubicados a la derecha 
 
 negativo para los puntos ubicados a la izquierda 
 
El segundo número del par 
ordenado indica desplazamiento 
vertical con respecto al cero. 
 
1 
 positivo para los puntos ubicados hacia arriba. 
 
 negativo para los puntos ubicados hacia abajo 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Ubicar en un plano cartesiano los siguientes puntos: 
 
 
A(-2, 3), B(2, -3), 
 
C(2, 3), D(-2, -3), 
 
E(0, 5), F(5, 0), 
 
G(4, 4), H(-4, -4) 
 
 
 
Geometría AnalíticaMATEMÁTICAS 
6 
g.f.s. 
Práctica 2 
Nombre: ___________________________________________________________Gpo:_________ 
Sistema coordenado rectangular 
 
 a) P1 ( 5 , 3 ) f) P6 ( -4 , 0 ) 
 b) P1 ( 2 , 0 ) g) P7 ( 4 , -3 ) 
 c) P3 ( -4 , 7 ) h) P8 ( 0 , -5 ) 
 d) P4 ( 0 , 3 ) i) P9 ( 8/3 , -15/4 ) 
 e) P5 (-6 , -2 ) j) P10 (-7/2 , 8/5 ) 
 
 
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g.f.s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
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g.f.s. 
PARTIENDO DE LA LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN UN PLANO, DETERMINAR 
ÁREAS, DISTANCIAS Y PUNTO MEDIO. 
 
Áreas de polígonos a partir de vértices 
 
Es posible determinar el área de un polígono situado en un plano cartesiano aplicando un procedimiento 
sencillo. Éste se basa en la fórmula para hallar el área de un triángulo: 
 
 
donde b es la base y h es la altura del triángulo. 
 
Área de un triángulo 
 
Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), los vértices de un triángulo cualquiera, entonces su área se determina mediante 
la siguiente fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Donde : 
 
 
 A = área del triángulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
El área de un polígono es igual a 
la suma de las áreas de los 
triángulos en que se descompone, 
sin traslapes. 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
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g.f.s. 
 
Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3),… Pn(xn,yn) los vértices 
de un polígono cualquiera, entonces su área se determina 
mediante la siguiente fórmula la cual consiste en construir 
una arreglo vertical que contiene las coordenadas de los 
vértices del polígono en el siguiente orden: 
 
 
Áreas de polígonos a partir de vértices 
 
Ejemplo 1: Calcula el área del triángulo cuyos vértices son A (0,0), B (5,6), C (7,2) 
 
 
 
Paso No.1: 
Se escribe el arreglo formado por tres hileras y dos columnas, debajo de la 
tercera hilera colocamos nuevamente el primer renglón: 
 
 
 
Paso No.2: 
Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por 
los que pasa cada una de las diagonales que se observan en la imagen: 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
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g.f.s. 
Paso No.3: 
Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos números por los 
que pasa cada una de las diagonales: 
 
 
 
 
 
 
Paso No.4 
El valor del determinante es la resta de los dos resultados obtenidos de las 
multiplicaciones en el paso 2 y 3: 
 
 10 – 42 = -32 
 
 
 
Paso No.5: 
Aplicando la fórmula del triángulo, por lo tanto el área del triángulo es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Calcula el área de una región limitada por: 
 
 (-6, 16), (16, 6), (-10, -4), (12, 12) y (20,-8) 
 
1) Se ubican las coordenadas en un plano bidimensional. 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
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g.f.s. 
2) Se escribe el arreglo formado por cinco hileras y dos 
columnas, debajo de la quinta hilera colocamos nuevamente el 
primer renglón, para el orden de las coordenadas se toman según 
los cuadrantes del plano con sentido contrario a las manecillas del 
reloj iniciando en el primer cuadrante. 
 
 
 
3) Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos 
números por los que pasa cada una de las diagonales como se 
observa en la imagen: 
 
 
 
4) Se encuentra la suma de cada uno de los productos de los dos 
números por los que pasa cada una de las diagonales: 
 
 
 
 
5) El valor del determinante es la resta de los productos de los 
pasos 3 y 4 : 
 608 - ( - 368 ) = 976 
 
 
6) Aplicando la fórmula del triángulo, por lo tanto el área del 
triángulo es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distancia entre dos puntos. 
 
Segmentos dirigidos: 
Cuando en geometría usamos segmentos que representan magnitudes vectoriales, es necesario indicar el 
sentido de dichos segmentos; esto lo hacemos usando los signos + o - , que se obtienen cuando establecemos 
la diferencia de las abscisas o bien de las ordenadas. Para ello se sigue un orden preestablecido, consistente en 
señalar una letra que corresponde al punto donde se inicia el segmento y a continuación la letra que 
corresponde al punto donde termina el segmento. 
 
 
 
Distancia dirigida: puede ser positiva o negativa dependiendo del sentido. Pero como se toma su valor 
absoluto la distancia es siempre positiva. 
 
Dado los puntos P1 y P2 en la recta numérica 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
12 
g.f.s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando no consideramos el sentido, hablamos simplemente de distancia entre los puntos. 
 
El valor absoluto de la distancia no dirigida entre los puntos, es la distancia entre ellos. 
 
 
 
 
La distancia entre P1 y P2 es 9: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplos: Determina la distancia no dirigida entre los puntos dados a continuación 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
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g.f.s. 
Distancia entre dos puntos 
 
La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas: 
 
 Horizontal 
 
Si los valores de “y” son 
iguales 
 
 Vertical 
 
Si los valores de “x” son iguales 
 Inclinada 
 
Cuando los valores de “x” y “y” 
son diferentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Donde: d = distancia 
 
 
Ejemplo 1: Encuentra la distancia entre los puntos: P1 (-3,2) y P2 (5,2) 
 
Observamos que las ordenadas de los puntos son iguales por lo tanto utilizamos la formula de la distancia 
entre dos puntos en forma Horizontal: 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1(0,5) y P2(0,-3) 
 
Observamos que las abscisas de los puntos son iguales por lo tanto utilizamos la formula de la distancia entre 
dos puntos en forma Vertical: 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
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g.f.s. 
 
 
 
Desarrollo para determinar la formula de la distancia entre dos puntos en su forma inclinada: 
Encuentra la distancia entre los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) en el plano, así como también el 
 
segmento de recta 
 
 
Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x y por P2 una paralela al eje y, éstas se interceptan en el 
punto R, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y en el cual podemos aplicar el teorema de Pitágoras: 
 
 
 
Pero 
 
Donde 
 
 
Sustituyendo los datos anteriores tenemos: 
 
 
 
Sacamos la raíz cuadrada de ambos lados 
 
 
 
Por lo tanto la distancia entre los puntos P1 y P2 está dada por: 
 
 
Ejemplo 3: Encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: A (-3, -2) y B (2,4). 
Observamos que las “x” y “y” son diferentes, por lo tanto utilizamos la fórmula de la distancia entre dos 
puntos en forma Inclinada:Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
15 
g.f.s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
16 
g.f.s. 
Práctica 3 
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________ 
Distancia entre dos puntos. Áreas y perímetros. 
I. Resuelve los ejercicios siguientes con base en lo que se indica en cada figura. 
1. Calcula la distancia entre los puntos A y C de la figura siguiente. 
 16.1 
 
2. Calcula la longitud del segmento de recta AB de la figura que sigue. 
 13 
 
II. Resuelve los ejercicios siguientes a partir de los datos proporcionados. 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
17 
g.f.s. 
3. Halla la distancia que hay entre los puntos 
A(7, 3) y B(12, 5). 
5. Halla la distancia que hay entre los puntos M(—2,8) y 
N(-6, 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.38 
 Raíz de 65 
4. Determina la distancia que hay entre los 
puntos P(-7,4) y Q( l,--ll ). 
6. Calcula la longitud del segmento de recta PQ cuyos puntos 
extremos son P(-3, -1) y Q(9, 4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 13 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
18 
g.f.s. 
III. Responde a las preguntas 7, 8, 9, 10 y 11 con base en el triángulo siguiente. 
 
7. Calcula la longitud del lado AB. 
 
9. Calcula la longitud del lado AC. 
 
 
 
 
 
 
 
15.81 
 12.65 
8. Estima la longitud del lado BC. 
 
 
 
 
 
10. Determina el perímetro del triángulo. 
 
 
 
 
 
 
 9.49 37.95 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
19 
g.f.s. 
11. Calcula el área del triángulo. 
 60 U2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. Calcula el área del triángulo de la figura siguiente. 
 
 
 
 90 U2 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
20 
g.f.s. 
13. Calcula el área del rombo de la figura siguiente. 
 
 60 U2 
 
14. El cuadrilátero de la figura siguiente es un paralelogramo. Calcula su área. 
 122 U2 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
21 
g.f.s. 
Coordenadas de un punto que divide un segmento en una razón dada 
 
En matemáticas básicas se abordaron los temas de razón y proporción, de los cuales se retomarán definiciones 
para encontrar puntos de división de un segmento. Como recordarás, razón es la comparación por división de 
dos cantidades semejantes, por lo general es mediante el cociente de las mismas. 
 
Ejemplo 1. 
Diego puede leer 350 palabras por minuto y un lector promedio lee 250 palabras por minuto. ¿Cuánto más 
rápido lee Diego? Para poder encontrar la relación, se divide: 
 
 
 
Esto es, por cada 7 palabras que lee Diego, un lector promedio lee 5. 
De la misma forma si se tiene un segmento que es dividido en dos partes, la razón se calcula de la manera 
siguiente 
 
 
A continuación se realizará un análisis de diferentes razones en el eje coordenado horizontal y posteriormente 
se generalizará al plano cartesiano. 
 
Ejemplo 2. 
 
El punto P divide el segmento 
punto biseca al segmento. 
 
 
en dos partes iguales, encontrar la razón a la cual el 
 
 
 
Independientemente de lo que mida cada tramo, son iguales, y la razón se establece: 
 
 
 
El punto de división es el punto medio y los segmentos están a razón de 1. 
 
Ejemplo 3. 
 
Se divide el segmento 
 
en tres partes iguales, encontrar las razones en las cuales se 
divide al segmento por cada punto de trisección. 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
22 
g.f.s. 
 
 
Primero se obtiene la razón a la cual punto P1 divide al segmento denominándola r1. 
 
 
 
Ahora se obtiene la razón para el punto P2, la cual se denomina r2. 
 
 
 
Por lo tanto, el primer punto de trisección P1 está a razón de 1/2, y el punto P2 está a razón de 2. 
 
Ejemplo 4. 
 
 Se divide un segmento en 4 partes iguales y se desea encontrar la razón del punto que está a la izquierda del 
extremo izquierdo, como se ve en la figura. 
 
 
 
En este caso el segmento AP cambia de dirección y se refleja en el numerador de la razón, como se observa a 
continuación. 
 
 
 
 
Ejemplo 5. 
Se divide un segmento en 4 partes iguales y se desea encontrar la razón del punto que está a la derecha del 
extremo derecho del segmento. 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
23 
g.f.s. 
 
 
 
División de un segmento del plano cartesiano, en una razón dada. 
 
Para dividir un segmento construido en el plano cartesiano, se requiere ubicar un punto que lo divida y trazar 
las proyecciones de sus coordenadas. 
 
 
 
 
 
 
 
A continuación se observa que se forman dos triángulos semejantes con las proyecciones, ya que los ángulos 
que forman el segmento con las proyecciones horizontales son iguales, por lo cual, se puede establecer las 
proporciones de los lados correspondientes, como se muestra a continuación. 
 
 
 
 
Cambiando la parte izquierda de cada una de las proporciones 
anteriores por “r”, ya que corresponde a lo que se conoce como 
razón, se obtiene: 
 
 
 
Si se desea encontrar las coordenadasdel punto de partición P(x, y), 
teniendo como datos conocidos los extremos del segmento y la 
razón a la que se encuentra el punto, se puede deducir la fórmula a 
partir de las proporciones anteriores, de la siguiente manera: 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
24 
g.f.s. 
 
Se realiza el despeje de las variables “x” y “y” de la proporción correspondiente. 
 
 
 
Las fórmulas obtenidas son las coordenadas del punto que divide a un segmento a una razón dada. 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1: Hallar las coordenadas del punto P(x, y) que divide al segmento cuyos extremos son los puntos A 
y B, y encuentra la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son A (1, 1) y B (11,6) en una razón de 
 
 
Paso 1: Aplicamos las fórmulas 
 
 
 
Paso 2: 
 
Sustituyendo los datos: 
 
 
 
 
 
 
Tenemos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paso 3: 
Por lo tanto las coordenadas del punto P son: P(5, 3) 
 
Punto medio. (Pm) es un caso particular de la 
división de un segmento en una razón dada, en la 
cual r = 1. De acuerdo con ello, obtenemos las 
fórmulas para calcular el punto medio: 
Por lo tanto las coordenadas del punto medio 
son: Pm = (Xm , Ym ) 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
25 
g.f.s. 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1: Calcula las coordenadas del punto medio del segmento rectilíneo P1 (4, –2) y P2 (3, 4) 
 
Paso1: 
Aplicamos las fórmulas 
 
 
 
Paso 2: 
Sustituyendo los datos 
 
 
 
Tenemos que: 
 
 
 
Paso3: 
Por lo tanto las coordenadas del punto 
medio son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
26 
g.f.s. 
Práctica 4 
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________ 
Dividir un segmento en una razón dada 
I. Resuelve los ejercicios siguientes. 
1. Determina en qué razón el punto P(3, 3) divide el segmento de recta cuyos puntos extremos 
son A(-5,1) y B(15,6) 
 2/3 
 
 
 
 
2. Indica en qué razón divide el punto P{3, 2) el segmento de recta AB cuyos puntos extremos son 
A(—4, 7) y B(10, -3) 
 1 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
27 
g.f.s. 
3. Indica en qué razón divide el punto P (4/3, 4) el segmento de recta AB cuyos puntos extremos 
son A(6, -2) y B(-1,7) 
 2 
4. Indica las coordenadas del punto P(x, y) que divide el segmento de recta determinado por los 
puntos A(-4, 3) y B(8,6) en la razón r = 2. 
 
 
 
 
 
 P(4,5) 
5. Halla las coordenadas del punto P(x, y) que divide el segmento de recta cuyos puntos 
extremos son A(-3, 8) y B(9, -4) en la razón r =1/2 
 
 
 
 
 
 P(l,4) 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
28 
g.f.s. 
6. El punto P(-11/5) divide el segmento de recta QR en la razón r = 2/3. Si las coordenadas del 
punto Q son (-7, -3), halla las coordenadas de R. 
 
 
 
 
 R(5, 6) 
7. Determina las coordenadas del punto P{x, y) que divide el segmento de recta cuyos puntos 
extremos son P1(-3, 1) y P2(6,7) en la razón r = -1/3 
 
 
 
 
 
 P(-15/2, -2) 
8. El punto P(4, 1) es el punto medio del segmento de recta cuyos extremos son los puntos 
P1(x, 7) y P2(5, y). Determina los valores de "x" y" y". 
 
 
 
 
 
 
 
 x = 3 , y = -5 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
29 
g.f.s. 
9. P(l, 3) es el punto medio del segmento de recta AB y las coordenadas de A son (-1,11). Halla 
las coordenadas del punto B 
 
 
 
 
 
 B(3, -5) 
10. El punto medio del segmento PQ es el punto R(-2, 3); las coordenadas del extremo P son 
(6, 5). Halla las coordenadas del punto Q. 
 
 
 
 
 Q(-10, 1) 
11. Un niño de 24 kilogramos (kg) se sienta en el punto A(2, 5) de una tabla de madera y otro 
niño de 12 kg se sienta en el punto 5(8, 12). Halla las coordenadas del punto P entre A y B, donde 
se debe calcular un soporte para que la tabla permanezca en equilibrio. Por la ley de las 
palancas debe cumplirse que 24AP = 12PB 
 P(4,22/3) 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
30 
g.f.s. 
EL SISTEMA DE LAS COORDENADAS POLARES. 
 
En el sistema de las coordenadas polares se necesita un ángulo θ y una distancia r. Para medir el ángulo 
necesitamos los siguientes elementos de referencia: un punto fijo llamado polo y denotado con la letra O y 
una semirrecta dirigida que parte del origen, llamada eje polar y denotada con la letra e, como se muestra en 
la figura 
 
 
 
 
A la distancia dirigida del polo al punto P(r , θ) se le llama radio vector del punto y al ángulo θ ángulo 
polar, o bien argumento 
 
A continuación te mostramos la gráfica de tres puntos en el eje polar: A(3,60º), B(2,π) y C(225º,4). Analiza 
cuidadosamente su gráfica e intenta comprender la manera en que se gráfica cualquier punto P(r , θ) de esas 
características. 
 
 
 
 
También es posible que el radio vector sea negativo, al igual que el ángulo polar. Observa cuidadosamente la 
gráfica de los puntos: A(-3,60º). B(-2,30º), C(4,-45º). D(4,-150º). 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
31 
g.f.s. 
 
De lo anterior podemos concluir que: 
a) Si r es positiva y θ positiva, entonces se traza el radio vector, de magnitud r, a partir del polo y con el 
ángulo polar dado, quedando así ubicado el punto (r , θ). Si r es negativa y θ positiva, el radio vector 
se traza en sentido contrario a lo que se hace cuando r es positiva. A continuación te mostramos un 
dibujo donde se representa lo escrito. 
 
 
 
 
 
b) Como pudiste observar, si el ángulo θ es positivo, se mide a partir del eje polar en sentido contrario 
al movimiento de las manecillas del reloj y en el sentido de las manecillas del reloj cuando es 
negativo, como muestra a continuación. En ambos casos hemos supuesto que el radio vector es 
positivo. 
 
 
 
El argumento se puede medir o dar en medidas angulares, grados, o en medidas circulares, radianes. 
 
LOCALIZACIÓN DE UN PUNTO EN EL PLANOPOLAR. 
 
Después de haber comprendido lo anterior, no te será difícil entender el procedimiento que se te propone con 
el fin de localizar puntos en el plano polar. 
 
Si deseas localizar el punto P(r , θ), una forma de hacerlo es: 
 
1) Traza una circunferencia de radio r con centro en O. 
2) Después traza una línea con un ángulo de inclinación θ, considerando su signo. 
3) Por último localiza el punto de intersección entre la circunferencia y la recta, tomando en cuenta el 
signo de r. Este será el punto P(r , θ). 
 
ACTIVIDAD 3. 
En la siguiente figura se han trazado circunferencias de radio 1, 2, 3 y 4, y el plano polar, en Ella localiza los 
siguientes puntos A(1,90°), B(1,135°), C(1,-120°), D(-1,-135°) y E(-1,225°). En caso de tener dudas 
pregúntale a tu profesor, para que te ayude. 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
32 
g.f.s. 
 
 
 
 
Con el fin de que puedas realizar la transformación de grados a radianes y de radianes a grados te mostramos 
el siguiente procedimiento, basado en que: 
 
 2πrad = 360º 
 
1) Como 2πrad = 360º, entonces 1rad = 360º/2π. Lo anterior se obtiene al dividir ambas extremos del 
signo igual por 2π. 
 
2) A partir de que 1rad = 360º/2π, si multiplicamos ambos lados por x obtendremos: 
 
 
 
 esta relación nos sirve para transformar x radianes a grados. 
 
 3) De igual forma, si a 2πrad = 360º la dividimos por 360 obtendremos 2πrad/360 = 1º. Lo cual al 
simplificarlo queda como π rad/180 = 1º, o bien que 1º = π rad/180. Finalmente, si multiplicamos ambos 
lados por x obtendremos: 
 
 
 
la cual nos permitirá transformar x grados en sus respectivos radianes. 
 
Realiza lo que se te pide en cada uno de los siguientes enunciados. 
EJERCICIO 3. 
Localiza los puntos M (2,π/4), N (1,π/12) y P (-3,π) en el plano polar. 
 
RELACIÓN ENTRE COORDENADAS CARTESIANAS Y POLARES 
 
Es conveniente poder transformar las representaciones gráficas del plano cartesiano al polar, del polar al 
cartesiano, así como las representaciones algebraicas asociadas a cada una de ellas. En muchas ocasiones el 
hacer esto permite resolver más fácilmente el problema que se esté tratando. 
¿Qué coordenadas le corresponderán al punto (3,60°) del plano polar en el plano cartesiano? 
Para contestar la pregunta dibujaremos el punto en un plano en el cual se encuentren las dos representaciones 
superpuestas. 
 
En el plano cartesiano los valores correspondientes a la abscisa y la ordenada los podremos encontrar 
utilizando las funciones trigonométricas seno y coseno como sigue: 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
33 
g.f.s. 
 
 
 
 
Así pues, el punto (3,60°) del plano polar se transforma en el punto (3cos60°,3sen60°) del plano cartesiano. 
 
Ahora bien, ¿y el punto (4,5) del plano cartesiano cómo quedará representado en el plano polar? Sigamos un 
procedimiento análogo. Dibujemos el punto en una gráfica en donde subsistan los dos planos. 
 
En este caso, nuestro problema es encontrar los 
valores del radio vector y del ángulo polar 
correspondientes al punto (4,5) en el plano 
cartesiano. ¿Cómo determinaremos el valor de r? 
Claro, utilizando el teorema de Pitágoras. Y el valor 
de θ? Utilizando la función trigonométrica tangente. 
 
Pasemos a hacerlo: 
 
 
 
Por lo anterior, podemos afirmar que el punto (4,5) del plano se transforma en el punto (41,tan
-1
(54)) en el 
plano polar. 
 
EJERCICIO 4. 
Determina la representación gráfica y como pareja en el plano cartesiano de los puntos indicados en el plano 
polar: A (1,45°), B(-4,30°) y C(5,-60°). 
 
ACTIVIDAD 4. 
Encuentra la representación gráfica y como pareja en el plano polar de los puntos indicados en el plano 
cartesiano: A(4,-4), B(-3,4) y C(8,3). 
 
Ahora pasemos a determinar, de manera general, cómo se transforma la representación de un punto en 
coordenadas polares a coordenadas cartesianas y viceversa. Completa los pasos que no lo están. 
 
a) Primero vamos a transformar el punto (x , y) en el plano cartesiano al punto (r , θ) en el plano polar. 
 
Para auxiliarnos trazamos la gráfica del punto en los dos planos superpuestos. 
 
 
Utilizando el teorema de Pitágoras obtenemos que: 
 
 r
2 
= 
 
de donde r 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
34 
g.f.s. 
Como sabemos, tanθ = 
 
, por lo que 
 
 
 
 
Hemos encontrado que el punto (x,y) en el plano cartesiano se transforma en el punto 
En el plano polar 
 
 
 
b) Pasemos a transformar el punto (r , θ) en el plano polar al punto (x , y) en el plano cartesiano. 
 
Podemos utilizar la figura anterior considerando que ahora tenemos como información al punto (r , θ). De ahí, 
usando las funciones trigonométricas seno y coseno obtendremos: 
 
 cos θ = , de donde x = r cos θ 
 
 senθ = , por lo que y = r sen θ 
 
Por lo tanto, el punto (r , θ) en el plano polar se transforma en el punto (r cos θ , r sen θ) en el plano polar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
35 
g.f.s. 
Práctica 5 
Nombre: ___________________________________________________________Gpo:_________ 
Sistema coordenado polar. Transformación del sistema polar al rectangular y viceversa. 
 
Ejercicio 1. 
En la figura anterior localiza además los siguientes puntos F(2,90°), G(3,135°), H(2,-120°), K(-3,-
135°) y M (-4,225°). 
Ejercicio 2. 
Encuentra las coordenadas polares de los puntos que se muestran en el siguiente plano polar y 
asígnale a cada punto una letra mayúscula para su identificación. 
 
 
Ejercicio 3. 
Encuentra las coordenadas polares y realiza su interpretación gráfica en ambos planos 
sobrepuestos de los siguientes puntos. 
a) A(3,4) b) B (1,1) c) C(-2,3) d) D(2,-3) 
e) E(2,-1) f) F (-1,-1) g) G(-2,-3) 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
36 
g.f.s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 4. 
Encuentra las coordenadas cartesianas y realiza su interpretación gráfica en ambos planos 
sobrepuestos. 
a) A(3,45°) b) B (1,30°) c) C(-2,30°) d) D(2,135°) 
e) E(2,-30°) f) F(-1,-225°) g) G(-2,60°) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
37 
g.f.s. 
Apertura 
 
Práctica 1 
Nombre: ___________________________________________________________Gpo:_________ 
Apertura. Secuencia dos 
 
I. De manera individual contesta el siguiente ejercicio. 
 
Un tema de preocupación de la humanidad es el calentamiento global, éste se esta viendo reflejado en 
diversos cambios climáticos, uno de ellos es en el aumento de agua y temperatura en el mar por los deshielos 
glaciares, a continuación realiza lo que se te pide y contestas las preguntas. 
 
a) Indica los puntos de acuerdo a la 
siguiente información: 
 
(N1) Nivel del Mar en 1980: (-4, -2) 
(N2) Nivel del Mar en 2003: (8, 5) 
 
b) Une los puntos con color azul. 
 
c) Observa el comportamiento del nivel 
del mar 
 
 
d) ¿Qué relación encuentras entre el comportamientodel nivel del mar con el título: espacio y diversidad? 
 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________ 
 
II. De manera individual contesta las siguientes preguntas y guiados por tú maestro realicen un 
pequeño debate grupal. 
 
1.- ¿Crees recomendable en los próximos años invertir en bienes raíces a la orilla del mar? 
¿Por qué? 
 
________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________ 
 
2.- Si ustedes fueran parte de un consejo técnico para la prevención de catástrofes ambientales, que 
recomendaciones propondrían para los constructores de las zonas costeras. 
(Menciona mínimo 3 recomendaciones). 
 
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________ 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
38 
g.f.s. 
LÍNEA RECTA 
 
Desarrollo 
 
Desde el punto de vista analítico, la ecuación de una recta y su gráfica sirven para modelar situaciones de 
variada naturaleza, donde la tasa de crecimiento o decrecimiento es constante como: pagos de impuestos, 
alargamiento de materiales, costos de productos, interés simple de un capital, ingresos económicos, 
conversión de escalas de temperatura, etc. El uso de estos modelos lineales en la vida es muy extenso. Es 
importante por esta razón conocer las diversas definiciones de la línea recta, entre ellas se encuentran: 
 
 
Geométricamente 
 
Analíticamente 
 
 
Gráficamente 
 
 
 
 
 
 
Se define como la distancia más corta entre dos puntos. 
 
Es una ecuación de primer grado con dos variables. 
 
 
Es el lugar geométrico de la sucesión de puntos, tales que, tomados dos puntos 
diferentes cualesquiera P1( X1 , Y1 ) y P2 ( X2 ,Y2 ) del lugar geométrico, el valor de 
la pendiente m es siempre constante. 
 
PENDIENTE E INCLINACIÓN DE UNA RECTA 
 
La pendiente ( m ) de una recta “ L ” se define como 
la razón que existe en la variación de ordenadas (eje 
y) entre la variación de abscisas (eje x). 
 
 
La siguiente figura muestra la gráfica de la ecuación lineal y = 
2x – 4, en ella se puede observar que el valor de y aumenta en 
2 unidades cada vez que el valor de x aumenta una unidad, 
La razón de cambio de y entre el cambio correspondiente de x 
es. 
 
A esta razón se le llama pendiente de la recta y se define 
como sigue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
También se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de un ángulo de inclinación. 
 
Si la pendiente de la recta es: 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
39 
g.f.s. 
 
 
Valor del ángulo de inclinación: 
A partir de la ecuación , despejando para el ángulo de inclinación de una recta tenemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1: Encuentra y grafica la pendiente de la recta y su ángulo de inclinación determinada por los 
siguientes pares de puntos: 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
40 
g.f.s. 
 
a) A (-4, -1) y B (5, 2) 
 
Paso 1: Identificamos P1 y P2. Si P1 (X1, Y1) = (-4, -1) y P2 ( X2, Y2) = (5, 2), entonces tenemos que: 
 
Paso 2: Sustituir datos en formulas correspondientes 
 
 
 
 
 
 
b) A (3, -6) y B (-2, 5). 
 
Paso 1: Identificamos los P1 y P2 
 
Si P1( X1, Y1) = (3, -6) y P2( X2, Y2) = (-2, 5), entonces tenemos: 
 
Paso 2:Sustituir datos en formulas correspondientes 
 
 
 
 
 
Paso 3: Los resultados son: 
Pendiente es: m = - 2.2 
 
Ángulo de inclinación de la recta es: 
Θ= 114.44° 
 
 
c) A(3, -1) y B(-2, -1) 
 
Paso 1: Identificamos los P1 y P2 
 
Si P1( X1, Y1) = (3, -1) y P2( X2, Y2) = (-2, -1), 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
41 
g.f.s. 
entonces tenemos : 
 
Paso 2:Sustituir datos en formulas correspondientes 
 
 
 
 
 
Paso 3: Los resultados son: 
Pendiente es: 
m = 0 
Ángulo de inclinación de la recta es: 
Θ = 0° 
 
 
d) A(4, -4) y B(4, 5) 
 
Paso 1: Identificamos los P1 y P2 
 
Si P1( X1, Y1) = (4, -4) y P2( X2, Y2) = (4, 5) entonces tenemos : 
 
Paso 2:Sustituir datos en formulas correspondientes 
 
 
 
 
 
Paso 3: Los resultados son: 
Pendiente es: 
m = ∞ 
 
Ángulo de inclinación de la recta es: 
Θ = 90° 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Calcule la pendiente, dado el ángulo de inclinación. 
 
El procedimiento a seguir para su solución es sustituir el ángulo en la formula: 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
42 
g.f.s. 
 
 
Ejemplo 3: Dada la pendiente, encuentre el ángulo Θ de inclinación. 
 
 
 
 
Como la pendiente es negativa entonces el ángulo de 
inclinación que resulta negativo se tendrá que hacer 
una diferencia con respecto a 180° para obtener un 
ángulo positivo: 
 
 
 
 
 
 
 
Como la pendiente es positiva el ángulo de 
inclinación es el resultante de la formula: 
 
 
 
 Θ = 63.43° 
 
 
 
 
 
Como la pendiente es cero entonces el ángulo de 
inclinación es: 
 
 Θ = 0° 
 
 
 
Como la pendiente es negativa entonces el ángulo de 
inclinación que resulta negativo se tendrá que hacer 
una diferencia con respecto a 180° para obtener un 
ángulo positivo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
43 
g.f.s. 
Práctica 2 
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________ 
La recta. Ángulo de inclinación y pendiente de una recta. 
I. Halla la pendiente y la inclinación de cada una de las rectas siguientes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
44 
g.f.s. 
5. Determina la pendiente y la inclinación de la recta que pasa por los puntos A(-3, 0) y B(1, 2). 
a. Pendiente 
 
 
 m = 1/2 
b. Inclinación de la recta 
 
 
 Ɵ = 26.56° 
6. Determina la pendiente y la inclinación de la recta a. Pendiente que pasa por los puntos M(-3, 3) y N(3, -4). 
 a. Pendiente b. Inclinación de la recta 
 
 
 m = -7/6 Ɵ = 130.6° 
7. Halla la pendiente y la inclinación de la recta que p asa por los puntos P1(7, 3) y P2(4, -3). 
a. Pendienteb. Inclinación de la recta 
 
 
 
 m = 2 63,43° 
8. Halla la inclinación de la recta que pasa por los puntos A(-1, 1) y B(2, 4). 
 
 
 
 Ɵ=45° 
9. Halla la inclinación de la recta que pasa por los puntos A(2, 9) y B(7, 4). 
 
 
 Ɵ= 135° 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
45 
g.f.s. 
 
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA 
La ecuación de la línea recta se puede presentar de distintas maneras, destacando en cada caso alguna 
característica del lugar geométrico. 
 
 
 
 
Formas de la ecuación de la recta 
 
Ejemplo 1: 
Encuentra la ecuación de la recta en las formas punto-pendiente y - y1= m(x - x1 ), pendiente-ordenada 
y m x b , y general A x B y C 0, que pasa por los puntos A (-2,3) y B (5,-2) 
 
Solución: 
 
Primero hay que encontrar la pendiente 
 
 
 
Para la forma punto-pendiente 
por donde pasa. 
 necesitamos conocer la pendiente y un punto 
 
 
Si tenemos que 
 
y tomamos el punto A (-2,3), se sustituyen en la ecuación: 
 
 
 
Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma punto – pendiente es: 
 
 
 
 
 
Para la forma pendiente- ordenada y = m x + b 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
46 
g.f.s. 
Tenemos que encontrar el valor de b, para ello, sustituimos el valor de m y uno de los puntos A o B en la 
ecuación de la forma pendiente ordenada, una vez obtenido, se acomodan los valores de acuerdo a la forma de 
la ecuación. 
 
Despejamos b de la ecuación 
 
 
Sustituyendo el punto B (5, -2) en la ecuación ya despejada tenemos que: 
 
 
 
Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma pendiente – ordenada es: 
 
 
Para la forma general 
 
De la forma pendiente-ordenada despejamos la ecuación a la izquierda e igualamos a cero. 
 
 
 
Multiplicamos todo por el mínimo común denominador (m.c.d.) para este caso 7 tenemos que 
 
 
 
Por lo tanto, la ecuación de la recta de la forma general es: 
 
 
 
 
Ejemplo 2: 
 
En mí casa se consumen dos refrescos diarios por persona al día, mí mama compra 3 refrescos extras por si 
hace falta, crea la ecuación de la recta y representarla en una grafica. 
 
Solución: 
R(n) representa la cantidad de refrescos a comprar, mientras que n es la cantidad de personas consumidoras de 
refresco en la casa. 
 
Con una persona en la casa la cantidad de refresco a comprar seria: R(1) = 2(1)+3= 5. 
Con dos personas: R(2) = 2(2)+3 =7 
Con tres personas: R(3) = 2(3)+3 =9 
Con cuatro personas: R(4) = 2(4)+3 =11 
 
Por lo que se puede deducir que la ecuación R(n) = 2(n)+3 representa la cantidad de refrescos a comprar 
dependiendo de la cantidad de n personas que se encuentren en casa. 
 
De donde y = 2x+3 representa la ecuación de la recta pendiente-ordenada, que muestra la cantidad de 
refrescos a comprar respecto la cantidad de n personas presentes en casa. 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
47 
g.f.s. 
 
La ecuación general de la recta se obtiene igualando a cero, por lo que resulta 2x-y+3=0. 
 
Gráficamente: 
 
Ecuación: 
 
 
y=2x+
3 
 
 
 
 
 
 (Ejercicios en binas) 
 
En binas resuelve los ejercicios que a continuación se presentan real ízalos en tú libreta en lo individual, 
anexándolo al reverso. 
 
A) Encuentra la ecuación de la recta en las formas punto-pendiente , pendiente- 
ordenada y = m x +b, y en general que pasa por los pares de puntos dados. No olvides 
graficar, puedes utilizar hojas milimétricas: 
 
 
 
B) Escribe la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada dada por la pendiente ( m ) y con 
intersección en “ y ” ( b ). 
 
 
 
C) Encuentra la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente y general que pasa por el punto A y que 
tiene pendiente m. 
 
 
 
D) Encuentra la pendiente (m) y la ordenada (b) de las siguientes rectas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
48 
g.f.s. 
Práctica 3 
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________ 
La recta. Ecuación de la recta Punto-pendiente, y Pendiente-ordenada en el origen. 
I. Escribe la ecuación que corresponde a la respuesta correcta en la forma pendiente-ordenada en 
el origen. Además determina la gráfica. 
1. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-4, 5) y cuya pendiente es 2. 
 
 
 y = 2x + 13 
 
2. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(4, -3) y que tiene pendiente igual a -2. 
 
 
 y = -2x + 5 
3. Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(—3, 0) y B(l, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4: Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos Q{-4, -6) y R(l, 9). 
 
 
 
 y = 3x + 6 
5. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (-5,4) y cuya pendiente es igual a 3/5 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
49 
g.f.s. 
6. Determina la ecuación de la recta de pendiente 4 y ordenada en el origen igual a -5 
 
 
 
 y = 4x - 5 
7. Determina la ecuación de la recta de pendiente -3 y ordenada en el origen igual 7 
 
 
 
 y = - 3x +7 
 
8. Determina la ecuación de la recta de la figura siguiente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Y = x + 5 
9. Determina la ecuación de la recta de la figura siguiente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
50 
g.f.s. 
Práctica 4 
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________La recta. Gráfica de una recta y aplicaciones. 
1. Utiliza la técnica descrita párrafos atrás para trazar la gráfica de la función y = 2x - 3. {Nota: 
puedes escribir el valor de la pendiente como la razón -2/1 o como 2/-1. Si el cambio vertical es 
negativo el desplazamiento a partir del punto (0, b) es hacia abajo, y si el cambio horizontal es 
negativo el desplazamiento es hacia la izquierda. 
 
 
2. Utiliza la pendiente y la ordenada en el origen para trazar la recta cuya ecuación es : 
 
 
 
 
 
 
1. El valor comercial de un automóvil que tiene ocho años de uso es de $56 000. Cuando tenía 
cinco años de uso, su valor era de $80 000. Si dicho valor varía linealmente con el tiempo, 
determina: 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
51 
g.f.s. 
a. La ecuación particular que expresa el valor del auto 
en términos del tiempo de uso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 V = -8000t + 120000 
c. El valor del automóvil cuando era 
nuevo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Costo nuevo $120000 
b. El valor del automóvil cuando tenga 12 años de uso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 $24000 
d. A los cuántos años de uso el automóvil 
ya no tendrá valor comercial 
 
 
 
 
 
 
 
 15 años 
 
e. Utiliza la pendiente como razón de cambio para completar la tabla siguiente. 
T 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
v 
 
2. Una casa que tiene cuatro años de uso tiene un valor de $480 000, pero cuando era nueva su 
valor era de $300 000. Si el valor de la casa varía linealmente con el tiempo, calcula. 
a. La ecuación que expresa el valor de la casa en valor de la casa 
dentro de 20 años. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 V = 45000t + 300000 
c. La variación del valor de la casa por 
año. términos del tiempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 $45000/año 
b. El valor de la casa dentro de 20 años. 
 
 
 $1200000 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
52 
g.f.s. 
d. Completa la tabla. 
T 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
t 
 
3. A 15 000 pies sobre el nivel del mar el agua hierve a 185°F, mientras que a 18000 pies hierve a 
179.6 °F. Si la relación entre el punto de fusión del agua y la altitud es lineal, determina: 
a. La ecuación que expresa la temperatura de fusión 
del agua respecto a la altitud. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 T = -0.0018h + 212 
b. La temperatura de fusión del agua al 
nivel del mar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 212 °F 
c. La temperatura de fusión del agua a 12 000 pies de 
altura sobre el nivel del mar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 190. 4°F 
d. La altura sobre el nivel del mar para la 
cual el agua hierve a 194°F 
 
 
 
 
 
 
 
 
 10000 pies 
e. Cuanto varía la temperatura de fusión del agua por cada pie de altitud. 
 
 
 
 
 -0.0018°F/pie 
 
Altitud h 
(pies) 
0 1000 2000 3000 4000 5000 
Temperatura 
de fusión T 
(°F) 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
53 
g.f.s. 
Práctica 5 
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________ 
La recta. Ecuación de la recta en Forma simétrica, y Forma general. 
I. Forma simétrica 
1. Halla la forma simétrica de la ecuación de la 
recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 
2 y 7, respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
3. Halla la forma simétrica de la ecuación de la 
recta de la figura siguiente. 
 
 
 
 
 
 
2. Halla la forma simétrica de la ecuación de la 
recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 
-3 y 5, respectivamente 
 
 
 
 
 
4. Halla la forma simétrica de la ecuación de la 
recta de la figura siguiente. 
 
6. Halla la forma simétrica de la ecuación de la recta 
y = 5x + 10 
5. Halla la forma simétrica de la ecuación de la 
recta y = 3x - 12. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Halla la forma simétrica de la ecuación de la 
recta 4x - 5y - 20 = 0. 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
54 
g.f.s. 
II. Forma general 
1. Halla la forma general de la ecuación de la 
recta que pasa por el punto P(—5,1) y cuya 
pendiente es 7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7x - y + 36 = 0 
2. Halla la forma general de la ecuación de la 
recta que pasa por los puntos P{-3, 25) y Q(2, -
10). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7x + y - 4 = 0 
3 Halla la forma general de la ecuación de la 
recta que pasa por el punto (-3, -2) y cuya 
pendiente es -2/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2x + 3y + 12 = 0 
4. Halla la forma general de la ecuación de la 
recta que pasa por los puntos P(-10, -7) y Q(-6, 
-2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5x - 4y + 22 = 0 
5. Halla la forma general de la ecuación de la 
recta de la ecuación de la recta de la figura 
siguiente. 
 
6. Halla la forma general de la ecuación de la 
recta de pendiente 3/5 y ordenada en el 
origen -4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3x - 5y - 20 = 0 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
55 
g.f.s. 
7. Halla la forma general de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son -5 y -6, 
respectivamente. 
 
 
x + 5y + 30 = 0 
8. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1(9, -4), P2(-3, 4). En la forma: 
a. Pendiente ordenada en el 
origen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. General. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2x + 3y - 6 = 0 
c. Simétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-5, -32) y B(7, 16) en la forma: 
a. Pendiente ordenada en el 
origen. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b. General. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4x - y -126 = 0 
c. Simétrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
56 
g.f.s. 
DISTANCIA Y COMPORTAMIENTO DE DOS RECTAS 
 
Distancia de un punto a una recta 
La distancia de un punto P ( X1 , Y1 ) desde la recta Ax + By + C = 0 , se determina al sustituir las 
coordenadas de dicho punto en la ecuación de la recta en su forma general, por lo que su valor se obtiene por 
la ecuación: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1: Para el punto y la recta determina la distancia: 
 
Del punto: y de la recta , Determinamos los valores: 
 
 Los sustituimos en la fórmula: 
 
 
Así tenemos: 
 
 
 
Por lo tanto la distancia del punto a la recta es: d = 2 
 
 
 
Distancia entre rectas paralelas 
 
Para encontrar la distancia entre dos rectas paralelas, tomamos un punto en una de ellas y encontramos la 
distancia de ahí a la otra recta. 
 
Ejemplo: 
Encontrar la distancia entre las rectas 6x + 2y - 3 = 0 y 6x + 2y + 5 = 0. 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
57 
g.f.s. 
 
 
Solución: Las rectas son paralelas, pues mediante un cálculo directo se ve que la pendiente de ambas es 
m = -3.Elegimos un punto cualquiera en la primera recta. Para ello, tomamos cualquier valor de x, por 
ejemplo x = 1, lo sustituimos en la ecuación y encontramos el valor de y correspondiente: 
 
 6 (1) + 2y – 3 = 0 
 Por tanto 
 
 
Así que el punto 
 
pertenece a la primera recta. Calculamos ahora la distancia de P a la segunda 
recta: 
 
 
así que la distancia entre las rectas es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
58 
g.f.s. 
Práctica 6 
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________ 
Distancia entre un punto y una recta y entre rectas. 
1. Determina la distancia dirigida del punto P(-2, 3) a la recta 8x - I5y + 10 = 0 
 
3 
2. Halla la distancia dirigida del P(-1,-2)a la 
recta 20x + 2ly + 4 = 0 
 
 
 
 
 
 
2 
4. Halla la distancia dirigida del punto P(4, 2) a 
la recta 6x + 8y + 5 = 0. 
 
 
 
 
 
 
4.5 
3. Halla la distancia dirigida del punto Q(-2,-1) a 
la recta 3x — 4y — 12 = 0. 
 
 
 
 
 
 
14/5 
5. Determina la distancia dirigida que hay del 
punto P(-3, -2) a la recta 5x - 12y - 22 = 0 
 
 
 
 
 
 
1 
6. Halla la distancia no dirigida entre las rectas 
paralelas 3x + 4y - 12 = 0 y 3x + 4y + 8 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
8. Halla la distancia no dirigida que hay entre 
las rectas paralelas 9x + I2y - 27 = 0 y 9x + 12y + 
33 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
59 
g.f.s. 
7. Halla la distancia no dirigida entre las rectas para- 
lelas 15x + 8y + 30 = 0 y 15x + 8y - 4 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
9. Halla la distancia no dirigida entre las rectas 
paralelas 20x - 21y + 9 = 0 y 20x - 2l y - 20 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
10. Halla la distancia dirigida del origen a la 
recta 3x - 4y +10 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
60 
g.f.s. 
Análisis del comportamiento de dos rectas 
 
Sean las rectas: 
 
 L1 de ecuación 
 
 
 L2 de ecuación 
 
Entonces las posiciones relativas que se pueden dar entre ambas rectas son las siguientes: 
 
 
Paralelismo: dos rectas son 
paralelas si y sólo si sus 
pendientes son iguales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Perpendicularidad: dos rectas 
son perpendiculares entre sí, si y 
sólo si, sus pendientes son 
inversas y de signos contrarios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coincidencia: dos rectas 
coinciden entre sí si y sólo si sus 
pendientes son iguales. 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
61 
g.f.s. 
 
Intersección: Dos rectas se 
pueden cortar en uno y 
solamente un punto, si y sólo 
si, no son paralelas entre sí. 
 
 
 
 
 
Ejemplo 1: La ecuación de una recta es 5x - 4y + 20 = 0. Encuentra la ecuación de la recta paralela que pasa 
por el punto (2, 3). 
 
Recta L1 
 
 
 
 
Despejamos la recta para encontrar su pendiente: 
 
 
Por lo tanto su pendiente 
es 
 
Por la condición de paralelismo: 
 
 
 
Se sustituyen los datos en la ecuación : 
 
 
 
Donde 
 
 
 
 
 
 
Multiplicamos todo el resultado por -1 
 
 Se tiene que la ecuación es: 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
62 
g.f.s. 
 
 
 
 
Ejemplo 2: Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto (0,3) y es perpendicular 3x + 2y - 12 = 0 
 
Recta L1 
 
Despejamos la recta para encontrar su pendiente: 
 
 
 
Por lo tanto su pendiente es 
 
 
Por la condición de perpendicularidad: 
 
 
 
Se sustituyen los datos en la ecuación : 
 
 
 
 
 
 
Multiplicamos todo el resultado por -1 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
63 
g.f.s. 
 
 
 
Ángulo entre dos rectas 
En nuestro estudio de la recta, los ángulos están directamente relacionados, ya que, precisamente, los lados 
del ángulo son líneas rectas. El ángulo que se forma en la intersección de un par de rectas se puede calcular en 
función de sus pendientes. 
 
La relación para obtener el valor del ángulo θ entre 
dos rectas está dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para aplicar esta relación se debe determinar cuál es la pendiente m1 y cuál m2. Para ello se debe seguir las 
indicaciones siguientes: 
 
 Si las dos pendientes son positivas, m2 es la mayor y m1 la menor. 
 Cuando una pendiente es positiva y la otra negativa, m2 es la pendiente negativa y m1 la positiva. 
 Cuando las dos pendientes son negativas, m2 tiene mayor valor absoluto. 
 
Ejemplo 1: Determina el valor del ángulo que forman las rectas: 
 
 
Expresamos las ecuaciones de las rectas en su forma pendiente-ordenada: y = mx + b 
 
 
 
Determinamos cuál es m1 y cuál m2 como una es negativa y la otra positiva por lo tanto 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
64 
g.f.s. 
 
 
Sustituimos en la fórmula 
 
 
 
 
 
Obtenemos el valor del ángulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
65 
g.f.s. 
Práctica 7 
Nombre:____________________________________________________________Gpo:_________ 
I. Rectas notables de un triángulo. 
1.-Encuentra la ecuación general de la mediatriz que pasa por el lado AB, en el triángulo 
 cuyos vértices son A(4,1), B(2,-3) y C(-3,-5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sol : x+2y-1=0 
 
2.-Halla la ecuación de la mediana que pasa por el vértice A del triángulo cuyos vértices 
 son A(2, 3), B(5, 7) y C(3, 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sol. 5x+2y-16=0 
3.- Halla la ecuación de la altura que pasa por el vértice C del triángulo cuyos vértices son 
 A(2, 3), B(5, 7) y C(3, 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sol. 3x+4y-7=0 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
66 
g.f.s. 
II. Ecuaciones entre rectas 
4. Halla la forma general de la ecuación de la 
recta que pasa por el punto (3, -2) y que es 
paralela a la recta 2x + 5y + 1 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2x + 5y + 4 = 0 
5. Halla la forma general de la ecuación de la 
recta que pasa por el punto P(6, 4) y que es 
paralela a la recta 2x - 5y - 10 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
2x - 5y + 8 = 0 
6. Halla la forma general de la ecuación de la 
recta que pasa por el punto (4, -2) y que es 
perpendicular a la recta 5jc - y — 3 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X + 5y +6 = 0 
7. Halla la forma general de la ecuación de la 
recta que pasa por el punto B(-4, -6) y que es 
perpendicular a la recta 
 
 
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2x - y + 2 = 0 
8. Hallala forma general de la ecuación de la 
recta que pasa por el punto A(-3, 5) y que es 
perpendicular a la recta y = 3x + 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X + 3y - 12 = 0 
9. Halla la forma general de la ecuación de la 
recta que pasa por el punto P(5,4) y que es 
perpendicular a la recta 
 
 
 — 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5x + 2y - 33 = 0 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
67 
g.f.s. 
9. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto Q(2, -5) y es paralela a la recta y = -4x + 11 
 
 
 
 y = - 4 x + 3 
10. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-3, 2) y que es perpendicular a la recta 
 
 
 
 
 
 
 y = 5 x + 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
68 
g.f.s. 
FALTA OTRA PRÁCTICA SOBRE RECTAS PARALELAS, PERPENDICULARES Y 
OBLICUAS 
 
 
LAS CÓNICAS COMO LUGARES GEOMÉTRICOS 
 
Apertura 
Actividad 1. (Construcción de cónicas y preguntas por equipo) 
En equipo de cuatro personas construir cada integrante un cono, utilizando hojas de papel, cinta o 
pegamento, tijeras. 
 
Cada alumno tiene que realizar los cortes específicos que se muestran a continuación. 
 
 
 
Contesta en equipo las siguientes preguntas. 
 
1. Al realizar el corte del cono 1, observa detenidamente ¿qué tipo de figura se formó? 
 
________________________________________________ 
2. Al realizar el corte del cono 2, observa detenidamente ¿qué tipo de figura se formó? 
 
________________________________________________ 
3. Al realizar el corte del cono 3, observa detenidamente ¿qué tipo de figura se formó? 
 
________________________________________________ 
4. Al realizar el corte de los cono 4 y 5, observa detenidamente ¿qué tipo de figura se formó? 
 
________________________________________________ 
5. Las diferentes figuras que se obtuvieron fueron a partir de: 
 
___________________________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________________________ 
6. ¿Qué puedes decir a cerca de las cónicas? 
 
___________________________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________________________ 
 
___________________________________________________________________________________ 
7. Dibuja un objeto con figura de cada cónica. 
 
 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
69 
g.f.s. 
 
 
 
 
Compara las respuestas con tus compañeros y con la ayuda del maestro lleguen a un acuerdo sobre las 
preguntas anteriores. Pega en tu libreta la figura que te tocó construir. 
 
 
Desarrollo 
 
Actividad 2. (Elaboración de resumen) 
 
Lee cuidadosamente el siguiente tema, subraya lo que consideres más importante y elabora un resumen 
del mismo. 
 
LAS CÓNICAS 
 
 
Las figuras que se van a estudiar, todas ellas conocidas con el nombre genérico 
de cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un 
plano. 
 
Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una 
línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho 
eje; mientras que denominamos simplemente Cónica a la curva obtenida al cortar 
esa superficie cónica con un plano. Las diferentes posiciones de dicho plano nos 
determinan distintas curvas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. 
 
El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga llamado: Cónicas, en el cual se 
estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este 
trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las 
generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono 
fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente. Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio 
hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho a aquélla. 
 
Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una 
de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio, 
haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto 
impone. 
 
La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales: 
 
 La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que éstos siguen órbitas elípticas, 
en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir 
su famosa ley de la gravitación universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las 
elipses. 
 La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la 
línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea 
vertical, es una parábola. 
 Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al 
centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil (si se ignora el rozamiento del aire) es 
una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra. 
 
Una cónica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cónica con un plano, o como el 
lugar geométrico de los puntos del plano tal que, la razón de sus distancias a un punto y a una recta es 
constante; o bien puede darse de ella una definición específica, que es lo que se va a desarrollar en este tema. 
 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
70 
g.f.s. 
 
Circunferencia: 
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de 
un punto fijo llamado centro. El radio de la circunferencia es la 
distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al 
centro. 
 
 
Elipse: 
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de 
distancias a dos puntos fijos es constante. Estos dos puntos 
fijos se llaman focos de la elipse. 
 
 
 
 
Parábola: 
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de 
un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. 
 
 
Hipérbola: 
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya 
diferencia de distancias entre dos puntos fijos es constante. 
Estos dos puntos fijos se llaman focos de la hipérbola. 
 
 
 
 
Cierre 
 
Actividad 3. (Preguntas del tema individualmente) 
 
De acuerdo al tema visto, completa de forma correcta los siguientes enunciados. 
 
1.____________________________ se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un 
plano. 
 
2. El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de ______________________________llamado 
Cónicas. 
 
3.____________________________ es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a 
dos puntos fijos es constante. 
Geometría Analítica MATEMÁTICAS 
71 
g.f.s. 
 
4.____________________________ es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de 
distancias entre dos puntos fijos es constante. 
 
5.____________________________ es el lugar