BertJanssen-RelatividadGeneral-100

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La métrica gµν juega el mismo papel que la métrica euclı́dea cartesiana δij . En particular, la
métrica y su inversa suben y bajan los ı́ndices de vectores co- y contravariantes
Vµ = gµνV
ν , V µ = gµνVν , (6.13)
y el producto escalar de dos vectores en coordenadas curvilı́neas está definido como
〈V |W 〉 = VµWµ = gµνV µW ν . (6.14)
Las operaciones diferenciales son un poco más sutiles en coordenadas curvilı́neas que en
coordenadas cartesianas. Donde en coordenadas cartesianas la derivada de un campo vectorial
es simplemente la derivada de cada componente
∂|V 〉
∂xi
=
∂V j
∂xi
|ej〉, (6.15)
en coordenadas curvilı́neas el operador diferencial también actúa sobre los vectores de base |eµ〉,
puesto que éstos cambian de punto en punto. Por lo tanto la derivada de un vector ~V está dada
por
∂µ|V 〉 = ∂µV ν |eν〉 + V ν∂µ|eν〉 =
(
∂µV
ρ + V νΓρµν
)
|eρ〉. (6.16)
En la última igualdad hemos definido la conexión de Levi-Civita (o los sı́mbolos de Christoffel) Γρµν
como
∂µ|eν〉 = Γρµν |eρ〉, (6.17)
o sea, Γρµν es el componente ρ del vector ∂µ|eν〉 en la base {|eρ〉}. El objeto
∇µV ρ = ∂µV ρ + ΓρµνV ν (6.18)
es la derivada covariante de Vµ y veremos que tiene la propiedad de que transforma como un tensor
de rango 2 bajo cambio de coordenadas. Aunque no es obvio de la definición (6.17), la conexión
de Levi-Civita Γρµν es simétrica en los ı́ndices µ y ν (ejerc.) y se puede expresar en función de la
métrica como (ejerc.)
Γρµν =
1
2
gρλ
(
∂µgλν + ∂νgµλ − ∂λgµν
)
. (6.19)
Es fácil de comprobar que la conexión de Levi-Civita es cero en coordenadas cartesianas, pero no
lo es en coordenadas esféricas o cilı́ndricas. Utilizando estas definiciones de derivadas en coor-
denadas curvilı́neas se puede obtener las expresiones conocidas del gradiente, la divergencia, el
rotacional y el laplaciano en coordenadas esféricas y cilı́ndricas. Para su expresión referimos la
literatura y para una discusión más elaborada sobre estos operadores en coordenadas arbitrarias
al Capı́tulo 7.
6.3. Variedades
Hemos visto en la sección 5.4 que la fı́sica de la relatividad general sugiere que el espa-
cio(tiempo) parece plano (Minkowski) a escalas pequeñas, pero globalmente no se puede des-
cribir con un sistema de coordenadas cartesianas. Matemáticamente el objeto que tiene esta pro-
piedad es una variedad (en inglés manifold).
En grandes lı́neas se puede decir que una variedad N -dimensional MN es un espacio que
localmente tiene el aspecto de RN . En cada punto p de la variedad se puede definir el espacio
tangente en el punto p, Tp(MN ), y ese espacio tangente es isomorfo a RN . Ahora, si decimos que
la variedad es localmente RN , queremos decir que en una región pequeña alrededor de p, el
espacio tangente Tp(MN ) es una buena aproximación a la variedad. Sin embargo, los espacios
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	II Geometría Diferencial
	Variedades y cambios de coordenadas generales
	Variedades