RESUMEN TEMA 5 VECTORES

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U.N.Sa. - Facultad de Ciencias Exactas
Asignatura: Algebra Lineal y Geometría Analítica
Carreras: LAS, PM, LF, LER, TEU, TUES, TUP
Año: 2
do
Cuatrimestre 2019
Docente: Ing. Augusto A. Estrada V.
RESUMEN DEL TEMA 5
VECTORES
1.- INTRODUCCION
El concepto de vector tiene distintos significados según el contexto en el que se lo utiliza. Así en
la física un vector se utiliza para designar alguna magnitud física en la que se necesita para
determinarla indicar además de su magnitud escalar, una dirección y un sentido por ejemplo para
describir una fuerza, la velocidad de un móvil etc. En la medicina más precisamente en la
epidemiología se utiliza el término de vector para indicar el organismo portador y trasmisor de una
enfermedad, por ejemplo se dice que el vector del dengue es el mosquito Aedes Aegypti.
En matemática un vector se considera como un elemento de un espacio vectorial y en el caso de
n como una n  upla ordenada de números reales y desde el punto de vista geométrico como un
segmento dirigido. Esta última acepción es la que vamos a estudiar en el presente capítulo.
2.- VECTORES
2.1.-Vectores en n
En el Tema 3 estudiamos el concepto de espacio vectorial y probamos que n es un espacio
vectorial sobre el cuerpo de los reales con las operaciones de suma y producto por un escalar
usualesy sobre el cuerpo :
Suma () : U,V  n, U  u1, u2, . . .un ; V  v1, v2, . . .vn
 U  V  u1  v1,u2  v2, ,un  vn
Producto por un escalar ( : U  n    U  u1, u2, ,un
Asimismo utilizando el concepto de coordenadas de un vector mostramos que:
X  n ,X  x1, x2, ,xn se cumple que: x1,
x2, ,xn  x11,0, , 0  x20,1, , 0   xn0,0, , 1
Siendo el conjunto 1,0, , 0, 0,1, , 0, , 0,0, , 1 una base de n llamada la base
canónica de n. De esta manera, dijimos que x1, x2, ,xn son las coordenadas de cualquier
vector X  n respecto a la base canónica de n y consideramos a los elementos de n como una
n  upla ordenada de números reales y por ser elementos de un espacio vectorial los llamamos
vectores. Esta forma de definir un vector, es desde el punto de vista algebraico.
En este capítulo definiremos un vector desde el punto de vista geométrico. Lo haremos en
particular para el caso n  2 (el plano bidimensional 2) y n  3 (el espacio tridimensional 3
como espacios euclídeos.
2.2.-Vectores en 2 y 3
Dados dos puntos distintos P,Q de 2 ó 3, sabemos por un axioma de la geometría euclidiana
que determinan una recta. También sabemos por otro axioma que los puntos de una recta constituyen
un conjunto abierto, denso y ordenado y que hay dos formas una opuesta de la otra de ordenar los
puntos de una recta, indicando un orden de precedencia entre dos puntos distintos de la recta. Así si
establecemos que el punto P precede a Q estamos estableciendo un sentido de recorrido en la recta
opuesto al que correspondería a establecer que el punto Q le precede a P.
2.2.1.-Definición de vector desde el punto de vista geométrico.
Dados dos puntos distintos P,Q de 2 ó 3, definimos como vector de origen P y extremo Q al
segmento dirigido desde P hacia Q y lo simbolizamos con PQ o bien V  PQ
El vector desde el punto de vista geométrico queda bien definido si se dan tres datos: su
magnitud, su dirección, y su sentido.
La magnitud del vector PQ es la longitud del segmento de extremos P y Q y que será igual a la
distancia entre los puntos P y Q
La dirección del vector PQ es la de la recta determinada por P y Q o cualquier recta paralela
El sentido es el que va desde P (origen del vector) hacia Q (extremo del vector)
2.2.2.-Definición de igualdad de vectores
Dados dos vectores U,V  n. Decimos que U,V son equivalentes (iguales) si y solo si tienen
igual magnitud, igual dirección e igual sentido.
Esta definición nos permite afirmar que podemos trasladar un vector sobre la recta que lo
contiene o en forma paralela a ella y el vector ocupara distintas posiciones del plano o del espacio
pero seguirá siendo el mismo vector (o equivalente).
2.2.3.-Operaciones de suma y producto por un escalar
Se consideran las operaciones de suma y producto por un escalar usuales definidas más arriba
para n particularizadas para n  2 ( 2 ó n  3 ( 3). Al ser n un espacio vectorial sobre el
cuerpo de los reales con estas operaciones, ellas son operaciones cerradas y cumplen con todas las
propiedades de espacio vectorial.
2.2.3.1.- Suma geométrica (regla del paralelogramo)
La suma de vectores en forma geométrica (gráfica) se realiza utilizando la regla del
paralelogramo. Esta regla indica que el vector suma de U  V es el vector que se obtiene llevando en
forma paralela el vector V hasta hacer coincidir su origen con el extremo del vector U el vector suma
será aquel que tiene origen en el origen de U y extremo en el punto al cual se traslada el extremo de
V. Geométricamente el vector suma es la diagonal del paralelogramo de lados U y V y cuyo origen
coincide con el origen de esos vectores.
Esta forma de sumar vectores es equivalente a la suma usual definida en el espacio n. En la
figura 1 se muestra el cumplimiento de la propiedad conmutativa.
Figura 1
U
V U+V
U
V
V+U
2.2.3.2,- Producto por un escalar (interpretación geométrica)
El producto de un escalar (número real) por un vector es otro vector que tiene la misma dirección
que el vector por el cual se multiplica el escalar (es una combinación lineal de él) así que ambos
vectores son paralelos o colineales por lo que tendrán la misma dirección (sus extremos serán puntos
alineados). Si el escalar es el cero será el vector nulo, sí es positivo los vectores tendrán igual sentido
y si el escalar es negativo tendrán sentidos contrarios. En la figura 2 se muestra la interpretación
geométrica de la situación.
Figura 2
O
V
r
tV, t>0; V y tV tienen igual sentido
tV, t<0 ; V y tV tienen entidos contrarios
2.2.4.- Representación de un vector en el plano ( 2
Si consideramos un sistema de coordenadas ortogonales x,y (asociado a la base canónica de 2).
Sabemos que cualquier punto de 2 se considera como un par ordenado de números reales x,y,
donde x e y son sus coordenadas respecto a esa base. Entonces cada punto del plano es el extremo de
un vector cuyo origen es el origen de coordenadas (llamado vector posición del punto).
Dado el vector PQ entonces podemos graficar los vectores posición de los puntos P y Q.
sabemos que el vector P es paralelo y de sentido contrario que el vector P en consecuencia el
vector Q  P  Q  P es el vector que tiene origen en el origen en el origen de Q que es O y el
extremo del vector suma de Q y P (que sabemos se realiza llevando a continuación de Q el vector
P de manera que los puntos O,P,Q,P son vértices de un paralelogramo y sabemos que sus lados
opuestos son paralelos y de igual medida. De esta manera el vector PQ se obtiene haciendo la
diferencia de las respectivas coordenadas de los puntos Q y P como se observa en la figura 3
Figura 3 Figura 4
1
1
P
Q
Q-P
-P
Q-P
y
x
q2
p2
q1
(q2-p2)
-P
p1
O
1
1
y
x
X=(x,y)=(2,3)
2
3
En la figura 4 se muestra como se grafica un vector X  x,y  2,3. El punto X, extremo del
vector, se obtiene marcando las coordenadas cartesianas x  2 e y  3 del vector y como
intersección de las paralelas al eje y por x  2 y al eje x por y  3. El vector X es la diagonal del
paralelogramo.
2.2.5.-.Representación de un vector en el espacio ( 3
De forma similar que en el plano, si consideramos un sistema de coordenadas ortogonales x,y, z
cualquier punto del espacio se considera como una terna ordenada de números reales x,y, z en la
que x,y, z son las coordenadas respecto a la base canónica de 3 y cada punto del espacio será
entonces el extremo de un vector con origen en el origen de coordenadas y con extremo en el punto
considerado.
En la figura 5 se muestra como se grafica un vector en 3. El procedimiento es similar al
utilizado en el plano. Primero se marcan las coordenadas x  2, y  2, z  3 en el sistema de ejes
cartesianos ortogonalesx,y, z cuyo origen es O, luego se traza en cada uno de los planos
coordenados las paralelas a cada uno de los ejes por ejemplo en el plano xy trazamos la paralela al
eje y por x  2 y la paralela al eje x por y  2. De esta manera se forman los paralelogramos que
constituyen las caras de un paralelepípedo cuyos lados tienen longitud igual a las respectivas
coordenadas 2, 2, 3.El vector X es la diagonal del paralelepípedo que une los puntos O y X.
Figura 5
O
z
x
y
X=(x, y, z) = (2, 2, 3)
2
2
3
1 1
1
2
Observación: Debido a que el eje x está inclinado (en perspectiva) las longitudes en él no se ven
en verdadera magnitud sino que dependen de la perspectiva con la que se dibuja. En cambio tanto en
el eje y como en el z, las longitudes se aprecian en su verdadera magnitud. Por ello y a los efectos de
que los objetos que se dibujan se vean en perspectiva, las escalas (unidad) en los ejes y, z son las
mismas no así el eje x. En el dibujo el eje x está inclinado a 45º por lo que la unidad respecto a los
otros se toma en forma aproximada la mitad.
3.- PRODUCTO INTERNO
3.1.- Definición: Sea ( ,, , un espacio vectorial, Una función , :   , define un
producto interno en si verifica los siguientes axiomas
 U,V,W   
Ax1 : U,V  V,U conmutatividad Ax2 : kU,V  kU,V Homogeneidad
Ax3 : U,V  W  U,V  U,W Linealidad Ax4 : U,U  0  U,U  0  U  
No negatividad ( neutro de la suma en 
4.- PRODUCTO INTERNO USUAL O ESCALAR EN n
4.1.- Definición: Dados U  u1, u2, ,un y V  v1, v2, ,vn U y V se define ,  : n  n
 /
U,V  
i1
n
uiv i  u1v1  u2v2   unvn
Se puede demostrar que esta función cumple con los axiomas que definen un producto interno,
por lo que define un producto interno en n. A esta función se la denomina producto interno usual
o producto escalar en n
5.-NORMA DE UN VECTOR
Dado un espacio vectorial con producto interno ,  y X  . Definimos Norma del vector X y
la simbolizamos por X
X  X,X
En el caso particular de que  n con el producto interno usual (escalar) definido
anteriormente tendremos que:
Si ,X  x1, x2, ,xn entonces:
X  X,X  x1,x2, ,xn, x1,x2, ,xn  x1
2  x2
2   x2
2 . Entonces:
X  x1
2  x2
2   x2
2 1
La 1 proporciona la norma de cualquier vector X  n. Es la llamada norma euclidea y nos da
la longitud del vector X.
En el caso de que ,X  PQ siendo P  p1, p2, ,pn y Q  q1, q2, ,qn puntos distintos de
n y como X  Q  P  q1  p1, q2  p2, , qn  pn será:
X  q1  p12, q2  p22, , qn  pn2 2
La 2 proporciona la longitud del vector X  n y es la distancia entre los punto P y Q.
5.1.- Propiedades de la norma
Dado el espacio vectorial real con producto interno , y U,V  entonces
P1 : U  O  U  0  U  
P2 : U
2  U,U
P3 : kU  |k|U
P4 : |U,V|  UV (Desigualdad de Cauchy-Schwardz
P5 : U  V  U  VDesigualdad triangular
5.2.-Vector unitario
Definición: Dado un espacio vectorial con producto interno , y U  . Decimos que U es
un vector unitario si y solo sí U  1
Ejemplo 1:  2, U,V  2, U  u1, u2 y V  v1, v2 y U,V  u1v1  u2v2
Los vectores de la base canónica de 2 I  1,0 y J  0,1 son vectores unitarios ya que:
I  I, I  1,0, 1,0  1  1  0  0  1 y
J  J,J  0,1, 0,1  0  0  1  1  1
Teorema 5.1: Sea con el producto interno , y U  , entonces el vector W   1
U
U es
un vector unitario
Corolario: Si  n con el producto intern usual y sobre ,U  nyW   1
U
U. Si
U   entonces W   y si U  , entonces W tiene la misma dirección que U y tiene el mismo
sentido ó sentido contrario que U.
6.-ANGULO ENTRE DOS VECTORES
Dado un espacio vectorial real con producto interno , , U,V  . Sabemos por la desigualdad
de Cauchy-Schwardz
|U,V|  UV. Si aplicamos la propiedad de valor absoluto en
UV  U,V  UV, entonces:
1  U,V
UV
 1
Tiene sentido dar la siguiente definición: Dados dos vectores U,V de un espacio vectorial con
producto interno ,  , llamamos angulo entre U,V al ángulo , 0     tal que:
cos 
U,V
UV
Si consideramos el caso en el que cos  0 entonces U,V  0 y recíprocamente si U,V  0
entonces cos  0
ORTOGONALIDAD:
Definición:
Diremos que dos vectores U,V no nulos de un espacio vectorial con producto interno ,  son
ortogonales y se simboliza con UV, si y solo si su producto interno es nulo: En símbolos:
UV  U,V  0
En particular si  n con el producto interno usual y sobre
Dados dos vectores U,V  n, el ángulo , 0     es el ángulo entre U,V y cumple:
cos 
U,V
UV
y en consecuencia:   arcocos
U,V
UV
 3
Si   2  cos  0  U,V  0
7.- PROYECCION ORTOGONAL DE UN VECTOR SOBRE OTRO
Dados dos vectores U,V  siendo un espacio vectorial con producto interno , .
Definimos Proyección ortogonal de U sobre V al vector W y lo simbolizamos por proyVU dado
por:
proyVU 
U,V
V2
V 4
La 4 proporciona el vector W, proyección ortogonal del vector U sobre el vecto V.
Si  n con el producto interno usual y sobre y U,V no nulos de n tendremos que el
vector proyección ortogonal de U sobre V ,tiene la misma dirección que V y tiene el mismo sentido ó
sentido contrario que V.
Si llamamos V1  1V
V ,V1 es un vector unitario que tiene la misma dirección y el mismo
sentido que V tendremos que la 4 se puede expresar como:
proyVU 
U,V
V
V1 o bien proyVU  U,V1 V1
El Vector W tiene la misma dirección que el vector V, su sentido es igual al de V si U,V  0 ó
tiene sentido contrario a V si U,V  0 y:
W 
U,V
V
5
La 5 proporciona la norma del vector proyección ortogonal de U sobre V.
En la figura 6 se muestra la interpretación geométrica del vector proyección ortogonal de U
sobre V.
Figura 6
V
U
V
U
WW
W y V tienen sentido contrario W y V tienen igual sentido

 
Si consideramos que proyVU  W 
U,V
V
V1, tendremos que W  kV1 con k 
U,V
V
y como
V1 es un vector unitario que tiene la misma dirección que V tendremos que el vector U puede
obtenerse como suma de W y un vector X cuya dirección es ortogonal a la de V. En este caso
podemos decir que W es la componente de U en la dirección de V y que si tomáramos un sistema de
coordenadas en el que uno de los ejes coordenados sea el dado por la dirección de V, k 
U,V
V
es
la coordenada de U respecto a dicho eje.
8.- COMPLEMENTO ORTOGONAL
8.1.- Definición:
Dado un subespacio de un espacio vectorial con producto interno , . LLamamos
complemento ortogonal de y lo simbolizamos por  al conjunto de todos los vectores del espacio
que son ortogonales a cualquier vector de . Es decir;
  X  /X,Y  0Y  
Definición: Sea un espacio vectorial con producto interno , , un subespacio de y V 
Decimos que V es ortogonal a y lo simbolizamos por V si y solo si V es ortogonal a
cualquier vector de
En símbolos será:
V V,Y  0Y 
Teorema 5.3: Si G V1,V2, ,Vk es un conjunto generador de un subespacio  ,
espacio vectorial con producto interno yW  entonces:
WV i i  1,2, ,k  W
9.- BASES ORTOGONALES Y ORTONORMALES.
Definición: Dada una base B V1,V2, ,Vn de un espacio vectorial con producto interno
1. Decimos que B es una base ortogonal de si y solo si: V i,V j   0 i  j
2. Decimos que B es una base ortonormal de si y solo si: V i,V j   0 i  j  V i  1
i  1,2, ,n
10.- PROCESO DE ORTOGONALIZACION DE GRAM-SCHMIDT
Dada B V1,V2, ,Vn una base de n, y el producto interno usual en n, entonces existen un
par de bases B1 y B2 para n, siendo B1 una base ortogonal y B2 una base ortonormal, con la
aplicación del siguiente proceso:
Si B1  W1,W2, ,Wny B2  U1,U2, ,Un
Serán:
W1  V1  U1  1W1
W1
W2  V2  V2,U1 U1  U2  1W2
W2
.
.
Wk  Vk  Vk,U1 U1  Vk,U2 U2   Vk,Uk1 Uk1  Uk  1Wk
Wk
Las últimas igualdades nos dan la fórmula general para cualquier k, que en particular para k  1
nos da W1 y U1 , para k  2 nos daW2 y U2 y así sucesivamente.
Ejemplo 1: Dada B V1,V21,2, 2,3 una base de 2. Utiliza el proceso de
Gram-Schmidt para encontrar una base ortogonal y una base ortonormal para 2
Si aplicamos la fórmula general del proceso de Gram-Schmidt con k  1,2 tendremos que:
W1  V1  U1  1W1
W1  U1  1V1
V1
W2  V2  V2,U1 U1  U2  V2  V2, 1V1
V1 1V1
V1
 U2  V2  V2, 1
V1
2 V1 V1  V2 
V2,V1 
V1
2 V1
Te propongo que realices los cálculos y encuentres las bases, ortogonal y ortonormal para 2.
11.-PRODUCTO VECTORIAL
Dados los vectores U  u1,u2,u3,V  v1,v2,v3 de 3
11.1.- Definición: Denominamos producto vectorial de U por el vector V y se lo denota U  V
(también U  V al vector W  U  V  u2v3  v2u3,v1u3  u1v3,u1v2  v1u2
Si consideramos sus coordenadas en la base canónica de 3, se lo puede expresar como:
W U  V  u2v3  v2u3,v1u3  u1v3,u1v2  v1u2  u2v3  v2u3I  v1u3  u1v3J  u1v2  v1u
W U  V  u2v3  v2u3I  u1v3  v1u3J  u1v2  v1u2K 6
Se puede mostrar que este último resultado se puede obtener calculando el determinante de una
matriz especial mediante el desarrollo de Laplace por su primera fila. Esta matriz especial de 3  3
es la matriz cuya primer fila tiene como elementos a los vectores de la base canónica de 3, como
segunda fila al vector U y como tercera fila al vector V. Es decir:
W  U  V 
I J K
u1 u2 u3
v1 v2 v3
7
El desarrollo de Laplace por la primera fila nos da la 6. En consecuencia, la 7 permite
calcular el producto vectorial de U por V, que como podemos ver se calcula mediante un
determinante, por lo que gozará de todas las propiedades de un determinante.
Con esta definición se puede demostrar que el vector producto vectorial U  V es un vector,
por lo que deben estar definidos, su longitud, dirección y sentido, que vienen dados por:
1 Longitud: U  V  UVsen siendo  el ángulo entre U y V
2 Dirección: U  VU U  VV (perpendicular simultáneamente a U y V (o bien
perpendicular al plano generado por los vectores U y V si estos son L. I. 
3 Sentido: Está dado por la regla de la mano derecha (ó el del avance de un tornillo universal
cuando se realiza el giro desde U hacia V
De la 1 podemos decir que si   0    180, es decir U y V son colineales o paralelos
entonces sen  0 y en consecuencia
U  V  UVsen  0 que es la condición necesaria y suficiente para que dos vectores
sean paralelos o colineales. Es decir:
U  V  0  UV
11.2.-Propiedades
Dados U,V,W  3 y   entonces:
P1 : U     U  
P2 : U  V  V  U
P3 : U  V  U  V  U  V
P4 : U  V  W  U  V  U  W
P5 : U   y V    U  V    UV
P6 : U  V
2  U2V2  U,V2
11.3.- Aplicaciones:
11.3.1 Area del paralelogramo de lados los vectores U y V
U
V
P U  V 8
La 8 permite calcular el área del paralelogramo de lados los vectores U y V
10.3.1,- Area del tríangulo de lados los vectores U y V
U
V
T  12 U  V 9
La 9 permite calcular el área del triángulo de lados los vectores U y V.
12.- PRODUCTO MIXTO
Dados los vectores de 3,U  u1,u2,u3,V  v1,v2,v3 yW. w1,w2,w3
12.1.- Definición: Llamamos producto mixto de U,V,W  3y lo denotamos U,V,W al
escalar obtenido al combinar las operaciones de producto escalar y producto vectorial. Es decir
realizar el producto interno entre el vector U  V y el vector W
Es decir:
UVW  U  V,W 10
Se puede demostrar que si realizamos tal producto, el resultado es equivalente al determinante de
la matriz de 3  3 cuyas filas son los vectores U,V,W
U,V,W  U  V,W 
u1 u2 u3
v1 v2 v3
w1 w2 w3
11
La 11 permite calcular el producto mixto entre los vectores U,V yW. Nuevamente podemos
ver que el producto mixto se calcula como un determinante, por lo que goza de todas las propiedades
del mismo. Así que si recordamos las propiedades de los determinantes, podemos afirmar que:
Sí U,V,W  0 significará que U,V,W es linealmente dependiente, (condición necesaria y
suficiente para que un conjunto de tres vectores de 3 sea linealmente dependiente.
Es decir:
U,V,W  0  U,V,W L.D.
12.2.-Propiedades
P1 : U  V,W  U,V  W
P2 : U,U  V  V,U  V  0
12.3.-Aplicaciones
12.3.1.- Volumen de un paralelepípedo de lados los vectores U, V, W.
U
V
W
U x V
P
h
Vol  Sb.h
Siendo:
Sb : Superficie de la base
h : Altura respecto a la base
La base del paralelepípedo (de la figura) es el paralelogramo de lados los vectores U y V. Ya
probamos que su superficie viene dada por: Sb  U  V
Como la altura respecto a la base se mide sobre la perpendicular a la base y la dirección
perpendicular a la base está dada por el vector U  V, entonces tendremos que:
h : proyUVW 
U  V,W
U  V

|U  V,W|
U  V

|U,V,W|
U  V
Si reemplazamos en la expresión del volumen tendremos que:
Vol  Sb.h  |U  V|
|U,V,W|
U  V
 |U,V,W|
Es decir:
Vol  |U,V,W| 12
La 12 permite el volumen del paralelepípedo cuyos lados son los vectores U, V, W, y muestra
es el valor absoluto del producto mixto de los tres vectores.
Ing Augusto A. Estrada V.