BertJanssen-RelatividadGeneral-109

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p
s s
1 2
V
V
1
V
2
α
q
Figura 7.2: En una variedad con curvatura,, el resultado del transporte paralelo de un vector de un punto
p a un punto q depende de la curva entre p y q que uno usa para transportar el vector.
Un ejemplo del segundo serı́a un campo vectorial constante apuntando al Polo Norte. Aquı́ tam-
bién varı́a el campo vectorial de punto en punto, pero por razones geométricas (y no dinámicas):
la dirección norte es distinta en diferentes puntos de la Tierra.
El transportado paralelo V µp (q) serı́a por lo tanto el vector V
µ(p) en el punto q “si el campo
vectorial no hubiera cambiado”, es decir “si el cambio sólo hubiera sido causado por la variedad”.
Una vez hallado V µp (q), el objeto
ĺım
δxν→0
V µ(q) − V µp (q)
δxν
(7.4)
estarı́a bien definido, puesto que V µ(q) y V µp (q) viven en el mismo espacio.
La pregunta inmediata que surge ahora es ¿cómo se define el vector V µp (q)? En otras palabras,
¿cómo se identifica el vector de Tq(M) que es paralelo a V µ(p) en Tp(M)? En realidad esta pre-
gunta es imposible contestarla en esta forma, porque en una variedad arbitraria el resultado de
un transporte paralelo de un vector de un punto p a otro q depende de la curva que uno sigue
para ir de p a q (vease figura 7.2). Como veremos más adelante en la sección 7.3, esta propiedad es
básicamente la definición de curvatura en una variedad. Para determinar cuál es el vector V µp (q)
en Tq(M), tenemos que decir cómo hemos transportado V µ(p) hasta el punto q.
Supongamos que transportamos el vector V µ(p) hasta q a lo largo de una de las direcciones
de coordenadas. Es decir, si el punto p tiene coordenadas xµ y el punto q coordenadas xµ + δxµ
y trasladamos el vector V µ(p) a lo largo del intervalo δxµ, podemos escribir el nuevo vector
V µp (q) como V
µ
p (q) = V
µ(p)+δV µ. En otras palabras, el vector transportado paralelo es un vector
original más un término (¡no tensorial!) de corrección, que depende de δxµ. Es razonable suponer
que para desplazamientos pequeños, el término de corrección es lineal tanto en δxµ como en
V µ(p). Por lo tanto tenemos que
V µp (q) = V
µ(p) − ΓµνρδxνV ρ(p), (7.5)
donde los Γµνρ, que aparecen como los coefficientes de proporcionalidad, es la conexión afı́n o
simplemente la conexión. El signo menos se ha elegido por futuro comodidad. La conexión es
el conjunto de N3 funciones (en una variedad N -dimensional) de las coordenadas xµ que define
cómo hacer el transporte paralelo entre los puntos. Concretamente, Γµνρ es el cambio de la compo-
nente µ del vector en la dirección ρ bajo el desplazamiento en la dirección ν. Los Γµνρ’s que hemos
encontrado en la sección 6.2 son un caso especial de la conexión introducido en (7.5), llamado la
conexión de Levi-Civita, que definiremos en el siguiente capı́tulo.
Podemos ilustrar esto con el ejemplo de transporte paralelo en R2, con la noción intuitiva
de paralelo, la conexión de Levi-Civita: las componentes cartesianas V i no cambian bajo una
traslación en una dirección xj , ası́ que en coordenadas cartesianas todos las componentes de la
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