BertJanssen-RelatividadGeneral-15

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Una primera observación es que en este caso la distribución de masas se hace continua y el
sistema de masas conectadas por muelles tiende a una varilla elástica con cierta densidad de
masa ρ. El ı́ndice discreto α que hace referencia a la α-ésima masa, se convierte en una variable
continua x, indicando los puntos a lo largo de la varilla. Concretamente, la coordenada genera-
lizada φα(t) que indica el desplazamiento de la masa α se convierte en una función φ(x, t) del
desplazamiento de una cantidad infinitesimal de masa dm a lo largo de la recta.
De este modo hemos pasado de una teorı́a con un número discreto de grados de libertad a
una teorı́a con un número continuo de grados de libertad. En otras palabras, a una teorı́a de
campos. Nótese que, a pesar de que φ(x, t) es una función de x y de t sin que ninguna de los dos
variables juegue un rol más fundamental que el otro, el origen de cada uno de las variables es
muy distinto. Merece la pena enfatizar que en el lı́mite de teorı́a de campos, las cantidades fı́sicas
fundamentales, las que juegan el papel de coordenada generalizada, son los campos φ(x, t) y no
las posiciones x. Las posiciones x no son en cierto modo más que una etiqueta continua para
distinguir los diferentes grados de libertad φ.
Miremos ahora cómo se transforman el lagrangiano (1.3) y las ecuaciones de movimiento
(1.4) en el lı́mite L0 → 0. Está claro que en este caso las cantidades φ̇α(t) y φ̈α(t) se convierten en
derivadas parciales con respecto al tiempo:
φ̇α(t) −→
∂
∂t
φ(x, t), φ̈α(t) −→
∂2
∂t2
φ(x, t). (1.5)
Además, el segundo término de (1.3) es prácticamente por definición la derivada parcial con
respecto a x (ésta es la razón por haber sacado el factor L0 antes),
ĺım
L0→0
φα+1(t) − φα(t)
L0
= ĺım
L0→0
φ(x + L0, t) − φ(x, t)
L0
=
∂
∂x
φ(x, t) (1.6)
y consecuentemente los términos del lado derecho de (1.4) se convierten en una derivada segun-
da:
ĺım
L0→0
[(φα+1 − φα
L20
)
−
(φα − φα−1
L20
)]
= ĺım
L0→0
1
L0
[∂φ(x + L0, t)
∂x
− ∂φ(x, t)
∂x
]
=
∂2φ(x, t)
∂x2
. (1.7)
Queda por lo tanto identificar el lı́mite de los parámetros que aparecen en el lagrangiano y la
ecuación de movimiento. La cantidad m/L0 tiene dimensión ML
−1,1 y en el lı́mite continuo se
convierte en la densidad ρ de la varilla. La cantidad kL0 se identifica de la siguiente manera: la
fuerza necesaria para extender uno de los muelles la distancia (φα+1 − φα) viene dada por
F = k(φα+1 − φα) = kL0
(φα+1 − φα)
L0
= Y ∆L0, (1.8)
donde ∆L0 = (φα+1−φα)/L0 es la extensión por unidad de longitud y Y es el módulo de Young,
la constante de proporcionalidad entre la fuerza aplicada y la extensión por unidad de longitud
en los materiales elásticos, una constante que depende del material considerado.
Con esta identificación de la densidad y el módulo de Young podemos escribir el lagrangiano
(1.3) como
L =
∫
dx
[1
2
ρ (∂tφ)
2 − 1
2
Y (∂xφ)
2
]
, (1.9)
donde la suma sobre los desplazamientos
∑
α L0 se ha convertido en una integral
∫
dx sobre
la variable continua x. Del mismo modo, la ecuación de movimiento (1.4) se convierte en una
ecuación de ondas
ρ ∂2t φ(x, t) − Y ∂2xφ(x, t) = 0, (1.10)
1Para el análisis dimensional usado en este libro referimos al Appendice ??.
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