BertJanssen-RelatividadGeneral-168

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a
n
e
nb
Σ
c
d
Figura 10.3: Estructuras no-locales en las soluciones de las ecuaciones de Einstein: un espacio es geodési-
camente completo si cualquier geodésica se extiende hasta el infinito, sino acaba en un borde o una singu-
laridad (a). No en todos los espacios es posible definir superficies de Cauchy, ya que una influencia puede
venir del infinito sin haber cruzado la superficie espacial Σ (b). Un espacio es orientable con respecto al
tiempo, si hay una definición global de la dirección en que fluye el tiempo (c). Curvas temporales cerradas
son curvas que son temporales en todos sus puntos, pero que vuelven al mimso punto y permiten viajar
al pasado (d). Las ecuaciones de Einstein determinan sólo la geometrı́a local, pero no dicen nada sobre la
topologı́a de la solución (e).
espaciotiempo puede ser ası́ que, aún especificando condiciones iniciales en Σ, haya curvas tem-
porales que vengan del infinito y que no crucen la superficie Σ. En otras palabras, en algunos
espacios es posible que un evento en el futuro de la superficie Σ esté influenciado por hechos no
especificados en las condiciones iniciales (véase el caso b en la Figura 10.3). En tales espacios no se
puede calcular el futuro del espacio entero, sino solo de trozos pequeños en el futuro inmediato
de Σ. El espacio de anti-De Sitter es un ejemplo de un espacio donde no existen superficies de
Cauchy.
Otro ejemplo de una propiedad geométrica curiosa es la orientabilidad del tiempo. En algu-
nos espacios, no es posible definir un campo vectorial temporal que tenga la misma orientación
en todo el espacio. Intuitivamente más o menos se corresponde al hecho de que no haya una di-
rección global en la que fluya el tiempo, sino que en distintas regiones del espacio el tiempo fluye
en direcciones diferentes. Concretamente, si en tal espacio se coge una foliación con superficies
Σk que son espaciales en todos sus puntos, el campo vectorial n
µ ortogonal a Σk es temporal en
todos los sitios. En espacios que no son orientables con respecto al tiempo resulta que, aunque se
elija nµ siempre dirigido hacia el futuro, la orientación de nµ con respecto a Σk no es la misma
en todo el espacio. En algunas regiones nµ estará “por un lado” de Σk y en otras regiones por
“el otro lado” (véase caso c en la figura 10.3). En cada punto del espacio tenemos una estructu-
ra lorentziana bien definida, con una dirección temporal bien definida, pero globalmente no es
posible definir un sentido global para una dirección temporal.
Un último ejemplo de una estructura geométrica contraintuitiva, en este caso incluso patológi-
ca, es la presencia de curvas temporales cerradas. Ya hemos mencionado que una curva temporal
puede servir como posible trayectoria de una partı́cula masiva. En principio es posible que la
variación de la orientación de los conos de luz de punto en punto sea tal que existan curvas tem-
porales cerradas, es decir, que sean temporales a lo largo de toda la curva y además vuelvan al
mismo punto (véase el caso d en la Figura 10.3). Estas curvas temporales cerradas en general no
son geodésicas, pero en principio serı́a posible que en estos espacios un observador viajara a su
propio pasado. En general se suelen descartar estas soluciones no fı́sicas, por los probemas lógi-
cos relacionados con poder influenciar el pasado, pero no hay nada en las ecuaciones de Einstein
que impida estas soluciones. Un ejemplo es el universo de Gödel.
Finalmente, merece la pena enfatizar que las ecuaciones de Einstein determinan la métrica gµν
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