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|e’ > |e’ > xy |e’ > |e’ >xy |v> |e > |e > |e >x x y y|e > = |v> Figura 4.2: El cambio de base (4.40) con a = 2 √ 2 y b = √ 2/2 (izquierda) y a = b = 2 √ 2 (derecha). En el segundo caso, una base ortonormal transforma en otra base ortogonal, pero no normalizada. bajo un ángulo π4 en sentido contrarreloj. Por otro lado, si a = b 6= 1, M−1 transforma una base ortonormal en una base ortogonal, pero no normalizada, puesto que aparte de una rotación con ángulo π4 , escalea los vectores de base con un factor a 2. Sea ahora {|ei〉} una base ortonormal, es decir |ex〉 = ( 1 0 ) , |ey〉 = ( 0 1 ) . (4.41) Entonces la nueva base {|e′i〉} viene dada en función de los vectores de la base vieja como (4.4) |e′x〉 = a√ 2 |ex〉 + b√ 2 |ey〉, |e′y〉 = − a√ 2 |ex〉 + b√ 2 |ey〉, (4.42) y vice versa |ex〉 = 1√ 2a |e′x〉 − 1√ 2a |e′y〉, |ey〉 = 1√ 2b |e′x〉 + 1√ 2b |e′y〉. (4.43) Un vector |v〉, que en la base {|ei〉} tiene componentes |v〉 = √ 2b|ey〉 tiene en la nueva base la forma |v〉 = |e′x〉 + |e′y〉, puesto que por (4.5) ( 1√ 2a 1√ 2b − 1√ 2a 1√ 2b )( 0 √ 2b ) = ( 1 1 ) . (4.44) Una aplicación lineal 〈w| = 〈ex| + 2〈ey| tendrá en la base {〈e′i|} componentes 〈w| = a + 2b√ 2 〈e′x| + −a + 2b√ 2 〈e′y|, (4.45) o bien por (4.16), o bien por la la multiplicación de matrices ( 1 2 ) ( a√ 2 − a√ 2 1√ 2b b√ 2 ) = ( a+2b√ 2 −a+2b√ 2 ) . (4.46) El producto escalar entre los vectores 〈w| y |v〉 tiene el mismo valor en las dos bases {|ei〉} y {|e′i〉}, ya que 〈w|v〉 = wivi = 0 + 2 √ 2b = 2 √ 2b = w′iv ′i = a + 2b√ 2 + −a + 2b√ 2 = 2 √ 2b. (4.47) 74
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