BertJanssen-RelatividadGeneral-56

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y, derivando la primera ecuación con respecto a t′, tenemos
− v = B/D, (3.11)
donde −v = dx′/dt′ es la velocidad con la que O′ ve moverse el origen de O.
De manera similar, el origen deO′ está en reposo con respecto a sı́ mismo, de modo que x′ = 0
y
Ax + Bt = 0, (3.12)
o, derivando con respecto a t,
Av + B = 0. (3.13)
Comparando (3.11) y (3.13) vemos que A = D y B = −vA, de modo que (3.9) se convierte en
x′ = A(x − vt), t′ = A (C/A x + t). (3.14)
Para determinar A y C, consideramos el siguiente suceso: en el momento t = t′ = 0 (cuando
los orı́genes de ambos sistemas de referencia satisfacen la condición x = x′ = 0), uno de los
observadores emite una señal de luz desde el origen, que se expande en una esfera (véase Figura
3.3). Después de un tiempo t un punto en la esfera tendrá paraO unas coordenadas que satisfagan
x2 + y2 + z2 = (ct)2. (3.15)
Para O′, la luz también se expande en una esfera, dado que la velocidad de la luz es igual para
los dos, según el segundo postulado, sólo que para O′ las coordenadas satisfarán
x′2 + y′2 + z′2 = (ct′)2. (3.16)
Dado que y = y′ y z = z′, vemos que una condición de consistencia para las transformaciones
(3.14) es que
(ct)2 − x2 = (ct′)2 − x′2. (3.17)
Sustituyendo (3.14), encontramos para los valores de los coeficientes
A =
1
√
1 − v2/c2
, C =
−v/c2
√
1 − v2/c2
. (3.18)
Vemos por lo tanto que las transformaciones (3.9) entre observadoresO yO′ que respetan los dos
postulados de la relatividad son de la forma
t′ =
t − vx/c2
√
1 − v2/c2
, x′ =
x − vt
√
1 − v2/c2
. (3.19)
Las transformaciones (3.19) se llaman las transformaciones de Lorentz y se reducen para v ≪ c a las
transformaciones de Galilei (3.8) (por esto la mecánica newtoniana es válida a velocidades coti-
dianas). Obsérvese que las transformaciones (3.19) fueron construidas de tal manera que dejaran
la cantidad
s2 = (ct)2 − x2 − y2 − z2 (3.20)
invariante (ejerc.). Dejamos como ejercicio derivar que las transformaciones de Lorentz reprodu-
cen exactamente los efectos relativistas de la sección 3.1.
3.3. Dinámica relativista
Al derivar las transformaciones de Lorentz hemos tenido que asumir que el factor
√
1 − v2/c2
es real, es decir, que la velocidad relativa entre dos observadores siempre es menor que la velo-
cidad de la luz, v < c; sino las transformaciones (3.19) no están bien definidas.2 Más general,
2Esto elimina el problema del capı́tulo anterior, donde un observador que se mueve junto con una onda electro-
magnética verı́a un perfil de campo electromagnético no permitido por las ecuaciones de Maxwell Ahora vemos que tal
observador no existe, ya que para eso deberı́a viajar con la velocidad de la luz.
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	I El Principio de la Relatividad y la Relatividad Especial
	Breve repaso de la relatividad especial
	Dinámica relativista