Ondas planas - Arturo Lara (1)

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Ondas planas
El principio, se acepta que cualquier solución de las ecuaciones de Maxwell que satisfaga condiciones de frontera dadas en un posible campo electromagnético que podría ser producido por una distribución-apropiada de cargas y corrientes. Sin embargo, en la práctica no resulta conveniente tratar de resolver ecuaciones de Maxwell indiscriminadamente, sino buscar soluciones de algún tipo en particular, o aquéllas que parezcan ser apropiadas para la situación de interés en un momento dado. En primer lugar se estudian varios ejemplos de este último procedimiento para campos que dependen del tiempo, postergando de momento la cuestión de cómo se podrían producir dichos campos en caso de que se deseara hacerlo.
En el resto de éste libro, a excepción de algunas partes del apéndice B, se supone que los medios con los que se trata son isotrópicos lineales y homogéneos en todas sus propiedades.
23- 1 Ecuaciones separadas para E y para B
Para empezar, supóngase que no existen cargas o corrientes libres externas en la región de interés, es decir, que se toma py — 0 y - 0. En este caso (21-45) quedan como
V-E = 0	(24-1)
VxE=-~	(24-2)
VB = 0	(24-3)
V X B = poE + p.e	(24-4)
Se puede eliminar uno de los campos de la siguiente manera. Si se toma el rotacional de (24-2) y se utilizan (1-122), (24-1) y (244), se encuentra que
V X(V XE) = V(V-E) — V2E= — V2E= —V XB = ~/w ~ ~
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o sea
V72I7 9E 02E	z_.
V2E —	— iie—r=0	(24-5)
'dz2
De exactamente la misma manera, A X (A X B) conduce a
_2_ 9B 92B n
V2B - lia - /re = 0	(24-6)
Se puede observar que E y B por separado satisfacen la misma ecuación. Así, si 0(r, Z) es cualquiera de las seis componentes rectangulares de E y B, se encuentra que
V2^_^_^=0	(24-7)
de modo que, de hecho, únicamente se tiene una ecuación escalar por resolver.
Sin embargo, este último resultado no significa que se pueda tomar cualesquiera seis soluciones arbitrarias de (24-7), llamarles Ex EyBz, de cualquier manera y considerar que el resultado sea un posible campo electromagnético. La razón es que los campos deben de todas formas satisfacer las ecuaciones de Maxwell dadas arriba, lo que impone ciertas restricciones sobre E y B. Esto ha ocurrido porque se derivaron las ecuaciones de Maxwell para obtener (24-5) a (24-7) y durante el proceso de derivación siempre se pierde algo de información. Sin embargo, se puede continuar de esa manera aunque finalmente se tenga que satisfacer (24-1) a (244) también.
Resulta aquí conveniente tratar de simplificar un poco las cosas.
23- 2 Ondas planas en medios no conductores
En primer lugar supóngase que el medio no es conductores decir,a = 0; entonces (24-7) toma la forma
VV-/»^=0	(24-8)
9Z
que se conoce como la ecuación de onda tridimensional. Aunque más adelante se regresará a (24 - 8), búsquese ahora una función 0 del tipo especial i// = ^(z,Z). En otras palabras, que para cualquier Z. es independiente de x y y, de modo que dado cualquier valor de z, i// es constante sobre el correspondiente plano infinito paralelo al plano xy;uno de tales planos se indica en la figura 24-1. En este caso (24-8) se vuelve
a2^	„
—~~ — ue —r — 0
dz2 9z2
(24-9)
que es la ecuación de onda unidimensional.
En esencia, el término onda se utiliza para describir una configuración (o forma) que se propaga, es decir, que viaja. Así, una función f(z,t) = f(z-vt), en la que z y t aparecen únicamente en la combinación z — vt, siendo v una constante, puede tomarse como una onda que viaja en el sentido positivo de la dirección z a velocidad v. (A esto se le llama una
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Figura 24-2 La configuración a f = 0 se ha desplazado una distancia z0 en un tiempo t0.
onda plana porque f es constante sobre el plano z = const.). Se puede verificar lo anterior por medio de la figura 24-2. Considérese el valor de f en t = 0 y z = 0: /(O) -fg. En un tiempo posterior, t0, f volverá a tener el mismo valor f0 en una nueva posición z0 tal que el argumento vuelva a ser igual a cero, es decir,f(z0 — vt0) = f0 =/(0), de modo que
zo— v¡0
(24-10)
En otras palabras, el valor particularque aparecióenz = Oy í = 0,se han movido ahora a la nueva posición z0 dada por (24-10), es decir, a un punto alcanzado al viajar con velocidad constante v. Se pueden hacer observaciones similares con respecto a los valores de f en t = 0, siendo el resultado neto que toda la configuración se ha movido en la dirección positiva de z una distancia vt0. De manera similar, se puede demostrar que g(z + vt) representa una onda de forma arbitraria que se mueve en la dirección negativa de z, es decir, hacia la izquierda, con rapidez v y por lo tanto con una velocidad —v.
Se desea aquí demostrar que es posible demostrar una solución completamente general de (24-9) en la forma
iKz,t)=f(z-vt) + g(z + vt)	(24-11)
donde f y g son funciones arbitrarias. Para lograrlo, sea w = z — vt; así, se puede escribir /'=/'(w), encontrándose que
df _ df dw _ df dz dw dz dw
d2f _ d2f dw _ d2f dz2 dw2 dz dw2
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mientras que
32/ = G d2f -y2
dz2 dw2 9/ dw2
3z dw dt dw
Al sustituir estos resultados en (24-9) se obtiene
que demuestra que f(z — vt) es una solución siempre que v2/j.e = 1, o séa que
V^p-e
De manera similar puede demostrarse que g(z + vt) es una solución de (24-9), con v dada por la misma expresión (24-12). De esta manera se puede ver ya que los campos electromagnéticos pueden tomar la forma de ondas planas que propagan en la dirección z, estándola velocidad de las ondas determinada exclusivamente por las propiedades electromagnéticas del medio, dadas por el producto ¡ie.
Es común expresar (24-12) de una manera algo diferente; si se utilizan (10-53), (20-55) y (23-5), se ve que se puede escribir
v=-	(24-13)
n
n = Vi^Km	(24-14)
donde n recibe el nombre de índice de refracción del medio, yes una cantidad sin dimensiones. Para el vacío, n = 1 y la velocidad de la onda es simplemente c, que, como ya se hizo notar tras (234), es igual a la velocidad medida para la luz en el vacío. Maxwell fue el primero en obtener este resultado y tanto él como otros muchos desde entonces lo han tomado como una fuerte evidencia de que las ondas de luz son realmente ondas electromagnéticas. Desde los tiempos de Maxwell se ha acumulado una gran cantidad de evidencia adicional en apoyo a esta idea-tanta de hecho, que hoy en día se acepta umversalmente como cierta. Lo que es más, el concepto de ondas electromagnéticas se han extendido mucho más allá de la mera descripción de la luz visible, tanto en forma experimental como teórica.
Al sustituir (24-12) en (24-9) se encuentra que la ecuación de onda se puede expresar en la forma
d2xp _ 1 d2ip
dz2 v2 dt2
(24-15)
Aunque se sabe que (24-11) representa una solución general de esta ecuación, resulta muy general para el propósito presente, por lo que deben considerarse otras soluciones de forma más específica. Para tener una idea del tipo que se desea estudiar, tómese de nuevo
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la ecuación (24-15) y apliqúese a ella el método de separación de variables que resultó tan útil en las secciones 11-4 y 11-5; en otras palabras, inténtese con la forma = Z (z)T(í). Al sustituir esto en (24-15), dividir después entre ZT y proceder de la manera normal, se encuentra que
U2Z _ 1
2 dz2 v2T
d2T t ,2
	= const. = — k
dt2
Se tienen así dos ecuaciones diferenciales:
d2Z
-—- + k2z=o y
dz2
(24-16)
donde
V
Las soluciones generales para (24-16) pueden escribirse como Zk{z) -c^eik2 + ikz y Tk(t) = 7keíajt +	donde ak (3k, yk> y 5k son constantes eí = V ~1. Si se mul
tiplican estos dos resultados entre sí se obtiene una solución de la ecuación de onda para este valor particular de k y la correspondiente dada en (24-17). Dado que bien puede haber varios valores aceptables de k, y debido a que (24-15) es una ecuación diferencial lineal, la suma de soluciones de esta misma forma es también una solución. Por lo tanto, si se suman estos productos ZkTk con respecto a todos los posibles valores de k, se obtendrá la solución general de la ecuaciónde onda, la cual tiene la forma
k
+ S	+ pk8ke~i(kz+ut)]	(24-18)
k
Por medio de (24-17) se puede observar que los argumentos de los términos exponenciales son todos de la forma kz + cot = k[z + (cc//c)í] = k(z + vf), de modo que se parece ahora a (24-11) y, de hecho, la primera suma de (24-18) puede identificarse con/, mientras que la segunda suma es igual a g. Se ha encontrado así que la solución de la ecuación de onda unidimensional puede expresarse como una superposición de ondas planas sinusoidales.
Se puede reducir aún más la complejidad de (24-18). Considérese el término que abarca a e¿(kz - cof); por razones que resultarán evidentes más adelante, siempre se toma a co como una cantidad positiva. Si resulta que también k es positiva, esta forma representa una onda plana que viaja en la dirección positiva de z a velocidad v - <x>!k. Si k es negativa, se puede escribir k = — |£|, llegándose ala forma e —z(|Á:|z + cot), la cual es una onda plana en la dirección negativa de z a velocidad v = co/\k|. Por lo tanto, es lo que concierne al primer término de cada una de las sumas de (24-18), lo único que se necesita considerar viene siendo la forma simple &(.kz - 600, y el signo de k (positivo o negativo) indicará el sentido del movimiento de la onda. Los otros términos exponenciales de (24-18) son simplemente los conjugados complejos de los que se acaban de estudiar, teniendo también la forma apropiada. De acuerdo con todo esto, para el presente propósito será suficiente
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estudiar el comportamiento de una sola onda plana prototipo para un valor particular de k (y la co correspondiente), que puede tomarse como la de la forma
(24-19)
donde i//0 es una constante; la solución general se puede construir como la suma de los términos encontrados a partir de ésta, como se muestra en (24-18). [La forma (24-19) es la forma normal de representar una onda plana en física; sin embargo, en algunos otros libros el término exponencial se escribe como eK^t - fez), es decir, como la conjugada compleja de (24-19). Además, muy a menudo se suele encontrar la notación / en lugar de i para — 1. Hablando en términos generales, pueden compararse los resultados si se reemplaza la i por —i por ± j, según sea el caso].
Dado que representa una componente deEoB, es una cantidad física y por lo tanto debe ser real. Sin embargo, resulta más conveniente manejar funciones exponenciales que funciones con senOs y cosenos, de modo que resulta práctica común seguir escribiendo 0 en la forma (24-19), suplementando este procedimiento con una convención: si i// (o E o B) se escribe o se encuentra en forma compleja, se toma la parte real como la solución significativa desde el punto de vista físico, es decir,
■Prísic. =Re<A=Re[<V"‘2~“'’]
(24-20)
(Esta convención resulta posible porque la ecuación de la onda es lineal, de modo que la parte real de co y su parte imaginaria son soluciones separadas). Dado que por lo general la amplitud i//0 es en sí misma compleja, resulta útil contar con formas explícitas para la parte real. Si se escribe i//0 en función de su parte real, i//Or?, y de su parte imaginaria,
'Po ~ 'Por? + ¿'Por	(24-21)
y se utilizan
e'M = cosw + iscnu e~‘u — cosu — isenu	(24-22)
se encuentra que (24-19) se vuelve = (i//0^ + i>Poj)[cos(kz - coi) 4- i s.en(kz - coi)], de modo que
Reí// = \p0R cos (kz — <¿t) — ip0/ sen(A:2 — coi)	(24-23)
Otro maneral útil de expresar un número complejo es en función de una amplitud real, ’Poa, Y un ángulo de face ■&'.
(24-24)
Se observa que estas diversas cantidades están relacionadas entre sí por
«Por? = toa c°s d	'Por = »Poa sen #
(24-25)
'Poa = ('Por? + 'Po/)1/2 tan# —
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Cuando se constituye (24-24) en (24-19) ésta se convierte en 0 = üoae ^kz - de modo que
Reí// = i//Oa eos (kz — c¿t +)	(24-26)
que muy a menudo resulta ser una forma conveniente. Así, una amplitud compleja i//0 significa que existe un factor de fase, ■&, en la onda plana sinusoidal.
La ecuación 24-26 muestra, por ejemplo, que una onda plana sinusoidal es periódica tanto en el espacio como en el tiempo. Al período espacial, X, se le denomina longitud de onda, y el período temporal, T, está relacionado con la frecuencia v por T = 1/p. Estas cantidades pueden relacionarse con k y con w como sigue: Dado que el período de un coseno es 2tt, la función de (24-26) se repetirá siempre que su argumento cambie por 2tt. Por lo tanto, para una t fija,&\(kz - a>t + i>)| = 2tt =\kdz| = |A:|X de modo que |A:| = 2ir/\. De manera similar, para una posición fija, A|(fe - coi + t>)| = 2rr = co Ai = coT y co = 2tt/7’ = 2itv. Por tanto,las relaciones son
|&| = -^	<^ = 2ttv=^y	(24-27)
Según (24-17), se tiene que |A:| = a>/v y cuando (24-27) se combina con esto se obtiene el conocido resultado para una onda plana sinusoidal
v = vX	(24-28)
A la cantidad k se le denomina la constante de propagación y se mide en (metros) “ 1; cc es la frecuencia (angular) y se mide en (radianes)/segundo, mientras que v se mide en hertz como ya se vio justo antes de (17-14). Como resultado de todas estas relaciones, existe una gran variedad de maneras en que se pueden expresar las ecuaciones relacionadas con una onda plana; por lo general, aquí se seguirá utilizando (24-19) por economía en la notación.
El argumento de la exponencial, kz — coi, recibe el nombre de fase de la onda, de modo que la velocidad v viene a ser la rapidez a la que un valor definido de esta fase viaja; de acuerdo con esto, a v se le conoce como velocidad de fase.
Las tres características de la onda (fc,w,v) se relacionan en el resultado anterior (24-17). Las propiedades del medio determinan v, según (24-12); así, las otras dos (k y cc) no pueden ser escogidas de manera independiente. Dado que co (o p) se determina por lo general por la fuente que produce la onda, es costumbre tomar a la frecuencia como la variable independiente que caracteriza la onda, de modo que k se vuelve la variable dependiente del conjunto.
Puesto que se ha decidido considerar sólo la forma (24-19) de <//, todas las componentes de E y B tendrán también esta forma, es decir, para una onda plana sinusoidal se tendrá
E=E^i{kz	B = Boe,(kz ~ “z)	(24-29)
donde Eo y Bo son amplitudes vectoriales constantes apropiadas que deben relacionarse entre sí de manera que satisfagan las ecuaciones de Maxwell. Estas formas permiten sim
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plificar la expresión de esas ecuaciones. Dado que 0 es una función únicamente de z y de t, se encuentra a partir de (24-19) que
dx dy ° dz lk^ dt ~	(24-30)
y por lo tanto V- E = Q Ez¡dz =ikEz y V • B =ikBz. De manera similar se encuentra que V X E = ik(— Eyk + Exy), con una expresión correspondiente para 57 X B; también se tiene que dB/dt = — zcoB. Sustituyendo estas expresiones en (24-1) a (24-4), haciendo o - 0 y utilizando (24-12), se encuentra que las ecuaciones de Maxwell para una onda plana que viaja a una dirección z en un medio no conductor son
kEz=Q	kBz = 0
+	k(-Byx + Bxy)=-^
(24-31)
Se les puede escribir en forma más compacta y útil si se observa que Ez = t • Ey que — Eyx + Ex$ = 2 X E, con expresiones similares para B; asi', es posible escribir (24-31) como
Zcz-E = O	£z-B = 0
AzXE = u'B ZczXB= — — E
..2
(24-32)
recordando que la dirección de propagación está dada por + z, según sea el signo de k.
Supóngase que k - 0; en este caso es posible que Ez 0 y que Bz ¥= 0 Pero de (24-17) se observa que en este caso co - 0 también, de modo que, de hecho, se tiene una situación estática. Aunque esto es posible, no es de primordial interés aquí.
Para un caso no estático, w 7 0 y por lo tanto k A V 0- Se ve entonces que según las dos primeras ecuaciones de (24-32) se debe tener que Ez = 0 y Bxq. Por lo tanto, ni B ni E tienen componentes en la dirección de propagación, es decir, que tanto B como E son perpendiculares a ella; en otras palabras, la onda electromagnética plana es una onda transversal. De kz X E = cüB se observa que B es perpendicular a E, lo que también se desprende de la última ecuación de (24-32). Todo esto significa quelos dos vectores forman un conjunto mutuamente perpendicular; esta situación se ilustra en la figura 24-3 k positiva. Como también se indica en la figura, el vector de PoyntingS - E X H = (E X B)/ju está en la dirección de propagación. Sise resuélvela tercera ecuación de (24-3 2) y se utiliza (24-17), se encuentra que
B=—zXE=—zXE
W	V
(24-33)
Figura 24-3 Relaciones entre vectores de campo, dirección de propagación y flujo de energía para una onda plana transversal.
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demostrando que las magnitudes de los campos se relacionan por
|B| = ^|E| = ||E| = V^|E| = ^|E|	(24-34)
de tal forma que para el vacío, |B|/|E| = 1/c.
Según (24-29), las ecuaciones anteriores son válidas también para las amplitudes vectoriales Eo y Bo, ya que los factores exponenciales se cancelan en ambos lados. Además, si Eo tiene la forma compleja Eo = EOaez,?, estas relaciones también son válidas paralas amplitudes reales Eoa y BOa. En consecuencia, si se requiriera tomar las partes reales de las soluciones, como se hizo en el caso de (24-26), se obtendrían
Ereai = EOfl eos (kz - wZ + #)	Breal = BOfl eos (kz - wZ +)	(24-35)
Dado que los argumentos de los cosenos son los mismos en ambos casos, se dice que los dos campos están en fase—ss vuelven cero juntos, alcanzan sus máximos juntos, y así sucesivamente. La figura 244 ilustra esta situación para k positiva y un instante definido, es decir, la figura muestra una “instantánea” de los campos en función de la distancia a lo largo de la dirección de propagación. Para un observador en un punto fijo (z = const.), la dependencia de los campos con respecto al tiempo, descrita en (24-35), puede visualizarse si se imagina que esta imagen se mueve en la dirección positiva del eje z con velocidad v. [Para simplificar se ha supuesto que E (y B) descansan siempre sobre el mismo plano, es decir, que se encuentra linealmente polarizado; se volverá a tocar este punto en la sección
23- 7].
Aunque no se ha utilizado explícitamente la última relación de (24-32), es decir, k2 X B = (<o/v2)E, se puede verificar fácilmente que es consistente con (24-33).