BertJanssen-RelatividadGeneral-111

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7.2. La derivada covariante
Supongamos ahora que tenemos una conexión Γρµν , que nos dice cómo hacer transporte para-
lelo a vectores de un punto p a un punto q. Con esta estructura matemática, podemos definir un
nuevo tipo de operador diferencial que no tiene el problema de la derivada parcial, es decir que
transforma como un tensor bajo cambios generales de coordenadas.
Aplicando la fórmula (7.4), donde utilizamos la expresión (7.5) para V µp (q) obtenemos un
operdaor diferencial, llamada la derivada covariante:
∇νV µ = ∂νV µ + ΓµνρV ρ. (7.9)
La derivada covariante actúa por lo tanto como una parcial, pero luego suma un término de co-
rrección, lineal en V µ, debido al transporte paralelo del vector. Podemos generalizar el concepto
de derivada covariante a lo largo de una direccion xµ a una derivada covariante a lo largo de una
curva xµ(τ) definiendo como ∇γV µ = uρ∇ρV µ, donde uµ = dxµ(τ)/dτ es el vector tangente a la
curva xµ(τ). Decimos entonces que un vector V µ es transportado paralelo a lo largo de una curva
xµ(τ) si uµ∇µV ν = 0 a lo largo de toda la curva.
Por otro lado, también es necesario definir derivadas covariantes para tensores, ya que con
un razonamiento análogo al caso de vectores, la deriavda pacial de tensores tampoco transfor-
ma bien bajo cambios generales de coordenadas. Definimos por lo tanto la derivada covariante
actuando sobre un tensor de rango (2, 0) como
∇µT νρ = ∂µT νρ + ΓνµλT λρ + ΓρµλT νλ. (7.10)
Fı́jese que la derivada covariante de un tensor de rango (2, 0) tiene dos términos de corrección,
uno por cada ı́ndice, y que para cada ı́ndice dentro de su término de corrección, la estructura de
los ı́ndices es igual que para una vector.
La derivada covariante (el operador ∇ se pronuncia nabla) comparte con la derivada parcial
las propiedades de linealidad y el regla del producto de Leibniz
∇µ(αV ν + βW ν) = α∇µV ν + β∇µW ν ,
∇µ(V νW ρ) = (∇µV ν)W ρ + V ν(∇µW ρ), (7.11)
pero encima tiene la propiedad que transforma bien como un tensor de rango (1, 1), por lo menos
si elegimos bien las reglas de transformación de la conexión. Efectivamente, exigiendo que
∇αV γ =
∂xµ
∂yα
∂yγ
∂xρ
∇µV ρ (7.12)
y sustituyendo la definición (7.9) encontramos que
∂αV
γ + ΓγαβV
β =
∂xµ
∂yα
∂yγ
∂xρ
(
∂µV
ρ + ΓρµνV
ν
)
= ∂αV
γ − ∂x
µ
∂yα
V ρ
∂2yγ
∂xµ∂xρ
+
∂xµ
∂yα
∂yγ
∂xρ
ΓρµνV
ν , (7.13)
donde en la segunda igualdad hemos utilizado las reglas (7.2) de transformación de ∂µV
ρ. Qui-
tando a la izquierda y a la derecha el término ∂αV
γ y escribiendo el vector V β en las coordenadas
xµ, obtenemos
Γγαβ
∂yβ
∂xν
V ν =
∂xµ
∂yα
∂yγ
∂xρ
ΓρµνV
ν − ∂x
µ
∂yα
∂2yγ
∂xµ∂xν
V ν . (7.14)
Dado que este relación tiene que ser verdad para cualquier vector V ν , encontramos que las reglas
de transformación de la conexión vienen dadas por
Γγαβ =
∂xµ
∂yα
∂xν
∂yβ
∂yγ
∂xρ
Γρµν −
∂2yγ
∂xµ∂xν
∂xµ
∂yα
∂xν
∂yβ
. (7.15)
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	II Geometría Diferencial
	Conexión afín y curvatura
	La derivada covariante