BertJanssen-RelatividadGeneral-215

Vista previa del material en texto

de modo que la métrica (13.22) coge la forma
ds2 = a2(τ)
[
dτ2 − g̃ijdxidxj
]
, (13.32)
donde el factor de escala a(τ) = a(t(τ)) ahora es una función del tiempo conforme. El tiem-
po conforme no es el tiempo propio de ningún observador en particular (obsérvese que τ tiene
dimensión L−1para k = 0, pero es adimensional para k = ±1), pero estas coordenadas tienen al-
gunas ventajas, como por ejemplo dejar claro que las métricas FRW con k = 0 son conformemente
planas.
Los tensores de curvatura en estas coordenadas vienen dados por
Rττ = 3
[
a−1a′′ − a−2(a′)2
]
, Gττ = −3
[
k + a−2(a′)2
]
,
Rij = −
[
2k + a−1a′′ + a−2(a′)2
]
, Gij =
[
k + 2a−1a′′ − a−2(a′)2
]
,
R = 3
[
2a−2k + 2a−3a′′
]
, (13.33)
donde el acento indica una derivación con respecto al tiempo conforme τ . Las ecuaciones de
Friedmann en estas coordenadas son entonces
(a′
a
)2
=
1
3
κa2ρ − k,
a′′
a
− 1
2
(a′
a
)2
= −1
2
κa2P − 1
2
k, (13.34)
y la ecuación de acelerción viene dada por
a′′
a
=
1
6
κa2(ρ + 3P ). (13.35)
13.4. Distancias y horizontes cosmológicos
Hay varias maneras inequivalente de definir distancias entre dos puntos en una métrica de
Friedmann-Robertson-Walker, cada uno con sus ventajas y su significado fı́sico.
Quizá el más intuitivo es la distancia instantánea, o la distancia geométrica. Esta definición usa
el hecho de que la métrica de Friedmann-Robertson-Walker tiene un tiempo cosmológico prefe-
rido, el tiempo propio de un observador comóvil, de modo que podemos calcular la distancia
entre dos puntos a un tiempo t constante. Intuitivamente equivale a la longitud de una goma
extendida entre dos puntos. Sin pérdida de generalidad podemos tomar uno de los dos puntos
en el origen del sistema de coordenadas, de modo que el desplazamiento sea puramente radial.
En otras palabras podemos tomar dt = dΩ2 = 0 en la métrica (13.20). La distancia geométrica
está entonces definida como
D(t) =
∫
ds =
∫ r
0
a(t) dr′√
1 − kr′2
= a(t)
∫ χ
0
dχ′ = a(t)χ, (13.36)
donde en la tercera igualdad hemos usado el cambio de coordenadas (13.12) para k = 1, (13.16)
para k = −1, y simplemente tomamos χ = r para k = 0. Vemos por lo tanto que la distancia
geométrica es la distancia euclidea χ entre los dos puntos, medida dentro de las secciones espa-
ciales, multiplicada por el fector de escala. Al expandir o contraerse el universo, las distancias
geométricas entre los distintos eventos varı́an.
215
	IV Soluciones de las Ecuaciones de Einstein
	Cosmología relativista
	Distancias y horizontes cosmológicos