BertJanssen-RelatividadGeneral-78

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es un tensor de rango (m + p, n + q).
Se puede cambiar el rango de los tensores utilizando la métrica para “bajar ı́ndices”. Siendo
Ai1...imj1...jn un tensor de rango (m, n), entonces
Ci1...im−1kj1...jn = δklA
i1...im−1l
j1...jn (4.67)
es un tensor de rango (m− 1, n+1). De la misma manera se puede “subir ı́ndices” con la métrica
inversa δij y convertir un tensor de rango (m, n) en uno de rango (m + 1, n − 1). Un ejemplo de
esto ya lo hemos visto en (4.52), al cambiar un vector covariante por uno contravariante.
Se puede bajar el rango de un tensor contrayendo un ı́ndice covariante con uno contravarian-
te. Si Ai1...imj1...jn es un tensor de rango (m, n), entonces
Ci1...im−1j1...jn−1 = A
i1...im−1k
j1...jn−1k (4.68)
es un tensor de rango (m−1, n−1). Lo mismo se puede hacer contrayendo dos ı́ndices del mismo
tipo con la métrica o la inversa. Por ejemplo
Di1...im−2 j1...jn = δklA
i1...im−2kl
j1...jn (4.69)
es un tensor de rango (m−2, n). Visto ası́, el producto escalar es un tensor de rango 0 (un escalar)
que surge de la contracción del producto tensorial de dos vectores xiy
j . Otro ejemplo es que
la traza T ii = δijT
ij = δijTij de un tensor de rango 2 es un escalar. Esto explica el conocido
resultado de que la traza tiene el mismo valor en todas las bases.
El operador ∂, la derivada con respecto a las coordenadas, se comporta como un vector. Para
ver esto, es mejor mirar como actúa sobre un campo escalar. Consideramos la derivada parcial
∂V/∂xi. Por la regla de la cadena tenemos que
∂V
∂xi
=
∂V
∂x′k
∂x′k
∂xi
=
∂V
∂x′k
Mki, (4.70)
donde en la última igualdad hemos utilizado la relación (4.5) entre las coordenadas xi y x′i. En
otras palabras la derivada ∂iV ≡ ∂V/∂xi tiene la misma regla de transformación que un vector
covariante:
∂′iV = (M
−1)ji∂jV. (4.71)
Del mismo modo se puede demostrar que la derivada ∂iV ≡ ∂V /∂xi transforma como un vector
contravariante. En notación vectorial muchas veces se utiliza el operador nabla ~∇ = (∂i.)~ei y se
identifica con el operador matemático de la derivada direccional.
Tomando en cuenta el hecho que ∂i y ∂
i se comportan como un vector covariante y contrava-
riante respectivamente, se puede utilizar estos operadores para actuar sobre campos tensoriales.
Dado que la derivada de un campo escalar es un vector, en general la derivada ∂i de un campo
tensorial de rango (m, n) es un tensor de rango (m + 1, n) y la derivada ∂i de un campo tensorial
de rango (m, n) es un tensor de rango (m, n + 1).
De este modo se puede interpretar los conocidos operadores diferenciales en R3 (la mayorı́a
fácilmente generalizables a N dimensiones) en términos de (contracciones de) vectores y tenso-
res: el gradiente ~∇φ = ∂iφ ~ei de un campo escalar φ es un vector, al ser la derivada de un escalar.
La divergencia ~∇· ~A = ∂iAi de un vector contravariante Ai es un escalar, al ser el producto escalar
entre los vectores ∂i y A
i. El laplaciano ∆φ = ∂i∂
iφ de un campo escalar φ es un escalar por ser
el producto escalar entre los vectores ∂i y ∂
iφ. Finalmente, el rotacional ~∇ × ~A = εijk∂jAk de un
vector covariante es un vector contravariante, por ser la contracción del tensor de Levi-Civita
tridimensional εijk con el tensor de rango (0, 2) ∂iAj . Esta operación corresponde al producto
vectorial entre los vectores ∂i y A
i y solamente está definido en tres dimensiones, porque sólo en
tres dimensiones el tensor de Levi-Civita εijk puede convertir un tensor antisimétrico de rango 2
en un vector.
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