Espacios_afines

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Espacios afines
La geometría afín es un tipo de geometría 
donde la noción de ángulo está indefinida y las 
distancias no pueden ser comparadas en 
diferentes direcciones, es decir, el tercer y 
cuarto postulados de Euclides son ignorados. 
Muchas de las propiedades afines son 
familiares de la geometría euclidea, pero 
además aplicables a un espacio de Minkowski.
 
Definiciones
Sea V un espacio vectorial y A≠∅ Llamado conjunto de puntos, se dice que A es un 
espacio afín asociado a V si existe:
φ : A×A→V /φ(P ,Q)= v̄
Propiedades
1) para todo M∈A y v̄∈V ∃! N∈A / M̄N= v̄
2) para cualquier M , N y P∈A Se tendrá M̄N + N̄P=M̄P
 
Proposiciones
1) M̄N=P̄Q⇒ M̄P=N̄Q
2) M̄N=0⇔M=N
3) M̄N=−N̄M
M
N
P
Q
Vale el quinto postulado!, si el 
espacio es un plano
Postulados nuevos:
3’) No siempre se puede trazar una circunferencia 
dado un centro y un radio
4’) No todos los ángulos rectos son iguales
Asociado a la noción de métrica
 
Transporte paralelo
Supongamos que se tiene una curva paramétrica Γ en la variedad diferenciable M
Considero el vector contravariante V=V μ eμ Definido en la curva, entonces:
d V
d λ
=
d V μ
d λ
eμ+V
μ d eμ
d λ
d eμ
d λ
=∂ν eμ
d X ν
d λ
Como los eµ forman 
una base en el 
espacio tangente
∂ν eμ=Γμ ν
ρ eρ
d V
d λ
=
d X ν
d λ
eρ(∂νV
ρ
+V μΓνμ
ρ
)
Conexiones afín
 
Transporte paralelo
Proposición: V∈TM Se transporta paralelo en una curva paramétrica si d V
d λ
=0
d X ν
d λ
eρ(∂νV
ρ
+V μΓνμ
ρ
)=0 ∂νV
ρ
+V μΓνμ
ρ
=0
Γνμ
ρ
=Γμ ν
ρ
Propiedad de simetría
Espacio sin torsión
 
Teorema de Weyl
Sea M una variedad diferenciable sin torsión, entonces existe un 
punto, x0, en alguna carta coordenada tal que Γ(x0)=0. Por lo que 
el tensor de Riemann será nulo.
 
Transporte paralelo
 
Trasporte paralelo depende de la 
curva
 
Derivada covariante
∇μV
ν
= lim
δXμ→0
V ν(q)−V ν(p)
δ Xμ
=∂μV
ν
+V ρΓρμ
ν
Se define como derivada covariante de un vector contravariante en una 
curva paramétrica a:
 
Derivada covariante
Se debe mostrar que ∇ V , V∈TM Se transforma como un vector de rango (1,1) ante un cambio de coordenadas, es decir
∇ ' (V 'a)=M ∇ V a Donde V 'a=M b
a V b y e 'a=M a
b eb
Matriz jacobiana de cambio de baseM b
a M a
c
=δb
c
Esto no se hará en esta exposición 
Es una derivada porque:
∇ (αV +βW )=α∇V +β∇W lineal
∇(V ρW μ)=(∇V ρ)W μ+V ρ(∇W μ)
 
Mostración que es un vector
V '∈TM
 
Derivada covariante
Algunas propiedades mas fundamentales para vectores contravariantes
∇ X f=X (f ) Campo escalar
∇ X(f A)=X ( f ) A+ f ∇ X A
∇α X+βY A=α∇ X A+β∇ Y A
∇ f X A=f ∇X A
∇ X g=0 Si “g” es una métrica
 
Derivada covariante de un vector 
covariante
Como: ∇μ f=∂μ f y f=AμB
μ entonces ∇ ν (AμB
μ
)=(∇ ν Aμ)B
μ
+Aμ(∂νB
μ
+Γνρ
μ Bρ)
Si se asume que ∇ ν Aμ=∂ν Aμ+Θνμ
ρ Aρ Y sabiendo que ∇ ν (Aμ B
μ
)=∂ν (Aμ B
μ
)
resulta Θμ ν
ρ
+Γμ ν
ρ
=0
∇μ Aν=∂μ Aν−Γμ ν
ρ Aρ
 
Tensor de curvatura
Resulta del estudio del trasporte paralelo 
en una trayectoria cerrada. La curvatura 
local es nula solo cuando en vector inicial 
coincide con el final.
γ1
γ2
γ3
γ4
R∼V γ
1
→γ
2
−V γ
3
→γ
4
∼[∇12 ,∇34]V
Lo cual resulta
[∇μ ,∇ν]eρ=Rμ ν a
b eb
Tensor de curvatura de Riemann
Rσμ ν
ρ
=∂μΓν σ
ρ
−∂νΓμ σ
ρ
+Γμ λ
ρ
Γν σ
λ
−Γνλ
ρ
Γμ σ
λ
 
Tensor de curvatura
Mas rigurosamente
[∇μ ,∇ ν]V
b
=Rμ ν a
b V a−Tμ ν
ρ
∇ρV
b
Tensor de torsión
Aquí se usaran espacios afines sin torsión
Identidades de Bianchi
R[λμ ν]
ρ
=0
Rλ [μ ν ;σ]
ρ
=0
A ;μ=∇μ A
Aquí, [..] significa rotación cíclica 
y suma
 
Tensor de Faraday
Se define como tensor de Faraday a: Fμ ν=[∇μ ,∇ ν]
Es trabajoso, pero se puede mostrar que Fμ ν A
b
=Rμ νρ
b Aρ
Pues ante un cambio
De coordenadas se transforma como: F '=M F M−1 pues ∇ ' (M V )=M ∇(V )
∇ 'μ∇ ' ν(M V )=M ∇μ∇ νV F 'μ νV '=M Fμ νV=M Fμ ν M
−1 V ' F '=M F M−1
 
Tensor de Ricci y curvatura escalar
Para estos dos tensores se asumirá que la variedad tiene métrica gμ ν
Rμ ν=Rμρν
ρ
=gρλ RμρνλTensor de Ricci
R=gμ ν Rμ νCurvatura escalar
Tensor de Einstein Gμ ν=Rμ ν−R gμ ν
Rμ ν−Rνμ=Rμ νρ
ρ
El tensor de Ricci no es siempre simétrico
R=0∨Rμ ν=0 Que el espacio tiempo sea plano
 
Geodésica afín
Una geodésica afín es aquella curva xμ( τ) Cuyo vector tangente α
μ
=
d xμ
d τ
Puede ser trasportado paralelamente a lo largo de la curva. O lo que es lo 
mismo que la derivada covariante “del módulo” en la curva se anula
ϕ=α
μ
αμ ∇αϕ=α(ϕ)=2αμ∇αα
μ
=0 αμ∇ να
μ
=0
αμ(∂να
μ
+α
ρ
Γρν
μ
)=0
d
d τ
=α
ν
∂ν
d
d τ
α
μ
+Γρν
μ
α
ρ
α
ν
=0
Multiplicando m.a.m por αν Y operando...
Ecuación del 
flujo geodésico
α
ν
∇ να
μ
=0
 
Flujo geodésico
Lo anterior se puede generalizar a tensores si se define el operador en la curva geodésica
α
ν
∇ ν Un tensor de rango (n,m) se 
trasporta paralelo en una 
geodésica
α
ν
∇ νT=0
Esto es análogo al concepto de 
derivada orbital de sistemas 
dinámicos
Lt=α
i
∂i
K es una constante movimiento si y solo si
Lt K=α
i
∂i K=0
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