4- CURVATURA GEODESIC-EL TEOREMA DE ROTACIÓN DE LAS TANGENTESA

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CURVATURA GEODÉSICA. 
Ya hemos visto en el curso de Geometría Diferencial 1 las definiciones de curvatura de una curva, 
curvatura normal, entre otras; sin embargo teniendo en cuenta la importancia de las geodésicas, 
la curvatura geodésica surge como un concepto importante. 
 
Consideremos 𝑆 una superficie regular orientada y 𝛾: 𝐼 → 𝑆 una curva parametrizada, sea 𝑊(𝑡) 
un campo diferenciable de vectores unitario a lo largo de 𝛾, como 〈𝑊(𝑡), 𝑊(𝑡)〉 = 1, derivando 
obtenemos que 〈𝑊 ′(𝑡), 𝑊(𝑡)〉 = 0, esto es 
𝐷
𝜕 𝑡
𝑊(𝑡) es ortogonal a 𝑊(𝑡) 
Entonces 
𝐷
𝜕 𝑡
𝑊(𝑡) es paralelo a 𝑁 × 𝑊(𝑡) por lo que 
𝐷
𝜕 𝑡
𝑊(𝑡) = 𝜆(𝑡)(𝑁 × 𝑊(𝑡)) 
 
 
 
 
Notación: 𝜆(𝑡) es denotado por [𝐷𝑊/𝜕𝑡] 
Un cálculo simple da que 
 
 
 
Este número depende de la orientación de 𝑆 
 
Cuando el campo a lo largo de una curva es su vector tangente, el valor algebraico de su derivada 
covariante recibe el nombre de curvatura geodésica que a continuación definimos: 
 
 
 
 
 
 
 
En otras palabras 
Definición. El número 𝜆(𝑡) es llamado de valor algebraico de la derivada covariante de 𝑊 en 𝑡 
[𝐷𝑊/𝜕𝑡] = 〈𝑊′, 𝑁 × 𝑊〉 
 
Definición. Sea 𝑆 una superficie regular orientada y 𝛼. 𝐼 → 𝑆 una curva p.l.a de una curva 
regular 𝐶 orientada con 𝛼(0) = 𝑝. Para 𝑡 suficientemente pequeño, el número [𝐷𝛼′(𝑡)/𝜕𝑡] 
es llamado de curvatura geodésica de 𝐶 en 𝑝 y es denotada por 𝑘𝑔 
 
𝑘𝑔 = [𝐷𝛼′(𝑡)/𝜕𝑡] 
 
𝐷
𝜕 𝑡
𝛼′(𝑡) = 𝑘𝑔(𝑁 × 𝛼′(𝑡)) 
Existe una relación entre la curvatura con las curvaturas geodésica y normal de una curva p.l.a 
𝛼. 𝐼 → 𝑆 que a continuación exhibimos: 
Por definición curvatura, 𝛼′′ = 𝑘𝑛 donde 𝑘 es la curvatura de 𝛼 y 𝑛 su vector normal. 
Expresando este vector respecto a su parte tangencial y su parte ortogonal (respecto al plano 
tangente) 
𝛼′′ = (𝛼′′)𝑇 + (𝛼′′)⊥, 
Entonces 
𝛼′′ =
𝐷
𝜕 𝑡
𝛼′ + 𝑎𝑁 
 
Luego 
𝑎 = 〈𝛼′′, 𝑁〉 
Y teniendo en cuenta que 𝛼′′ = 𝑘𝑛, entonces 
𝑎 = 𝑘〈𝑛, 𝑁〉 
Concluimos que 𝑎 = 𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜗 
Esto es 
𝑎 = 𝑘𝑛 
Remplazando obtenemos que 
𝛼′′ = 𝑘𝑔(𝑁 × 𝛼′) + 𝑘𝑛𝑁 
Finalmente usando el teorema de Pitágoras tenemos que 
𝑘 2 = 𝑘𝑔 
2 + 𝑘𝑛 
2 
 
 
 
 
 
EL TEOREMA DE ROTACIÓN DE LAS TANGENTES 
 
Es conocido que si se tienen una curva 𝛼: [𝑎, 𝑏] → ℝ2 p.p.a y una base ortonorrmal {𝑒1, 𝑒2} de 
ℝ2 , entonces existe una función diferenciable 𝜃(𝑠) de modo que 
𝛼′(𝑠) = cos (𝜃(𝑠) ) + sen(𝜃(𝑠) )𝑒2 
Si 𝛼: [0, 𝑙] → ℝ2 está p.l.a y como tal el ángulo de rotación total de esta curva está dada por 
𝑅𝑜𝑡(𝛼) = 𝜃(𝑙) − 𝜃(0) 
En el caso de curvas cerradas se define el índice de rotación como 
𝑖𝛼 =
𝑅𝑜𝑡(𝛼)
2𝜋
 
 
Por lo que tenemos el siguiente teorema 
Teorema. Sea 𝛼: [0, 𝑙] → ℝ2una curva diferenciable por partes, p.p.a, cerrada y simple con 
vértices 𝛼(𝑠𝑖) con 0 = 𝑠𝑜 < 𝑠1 ⋯ < 𝑠𝑘 = 𝑙. Si 𝜖𝑖 son los correspondientes ángulos externos y 
𝜃𝑖 el ángulo de rotación de 𝛼𝑖 = 𝛼|[𝑠𝑖−1,𝑠𝑖] entonces 
∑(𝜃𝑖
𝑘
𝑖=1
(𝑠𝑖) − 𝜃𝑖(𝑠𝑖−1)) + ∑ 𝜖𝑖 = ±2𝜋
𝑘
𝑖=1
 
Donde ± depende de la orientación de 𝛼 
 
 
 
 
PRÁCTICA PARA SER REALIZADA EN CLASES 
 
 
Referencia libro de Manfredo Do Carmo “Geometría Diferencial de Curvas y Superficies”