Geometriıa Riemanniana - Joaquín Pérez Muñoz

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Joaqu´ın Pe´rez Mun˜oz
Geometr´ıa Riemanniana
Introduccio´n
Estos son los apuntes de la asignatura Geometr´ıa Riemanniana, optativa de
quinto curso de la Licenciatura de Matematicas de la Universidad de Granada. Son de
libre distribucio´n, y pueden bajarse de la pa´gina web
http://www.ugr.es/local/jperez/
En ellos encontrara´s los enunciados y demostraciones de los resultados contenidos en el
programa de la asignatura, distribuidos por temas tal y como e´sta se estructuro´ y aprobo´ en
Consejo de Departamento. Algunas veces, las demostraciones esta´n resumidas y dejan que
el lector compruebe los detalles como ejercicio. Adema´s de e´stos, al final de cada tema hay
una relacio´n de ejercicios propuestos.
Como siempre en estos casos, los apuntes no estara´n libres de errores, y es labor con-
junta del autor y de los lectores mejorarlos, un trabajo que nunca se termina. Si encuentras
algu´n error, env´ıa un e-mail a jperez@ugr.es
Todo lo que se dice en los apuntes puede encontrarse, a menudo explicado con ma´s pro-
fundidad, en numerosos textos ba´sicos. Recomiendo al lector interesado los siguientes:
V.I. ARNOLD, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer 1984.
M. BERGER, A panoramic View of Riemannian Geometry, Springer 2003.
M. DO CARMO, Riemannian Geometry, Birkha¨user (1992).
W. KLINGENGERG, Riemannian Geometry, Walter de Gruyter (1982).
M. SPIVAK, A comprehensive introduction to Differential Geometry I-V, Publish
or Perish (1979).
F. WARNER, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Scott-Foresman
(1971).
Granada, Diciembre de 2004.
Joaqu´ın Pe´rez Mun˜oz
i
ii
I´ndice general
1. Variedades Riemannianas. 1
1.1. Longitudes y distancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Curvas a distancia constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. Billares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. El concepto de variedad Riemanniana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Isometr´ıas, isometr´ıas locales, inmersiones isome´tricas. . . . . . . . . . . . . 10
1.4. Me´tricas Riemannianas y acciones propiamente discontinuas. . . . . . . . . 11
1.5. Variedades Riemannianas en Meca´nica cla´sica. . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1. Sistemas con 1 grado de libertad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2. Sistemas con 2 grados de libertad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5.3. El pe´ndulo doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.4. Formulacio´n general de la meca´nica Lagrangiana. . . . . . . . . . . . 19
1.5.5. Principios de conservacio´n y el Teorema de Noether. . . . . . . . . . 21
2. Ca´lculo en variedades Riemannianas. 25
2.1. Gradiente de una funcio´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. La conexio´n de Levi-Civita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3. Derivada covariante y transporte paralelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4. Geode´sicas y aplicacio´n exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5. Divergencia de un campo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6. Hessiano de una funcio´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7. Laplaciano de una funcio´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.8. Superficies parametrizadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.9. Curvaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.10. Campos de Jacobi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.10.1. Campos de Jacobi en V.R. de curvatura seccional constante. . . . . 60
2.10.2. Campos de Jacobi y valores conjugados. . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.10.3. Campos de Jacobi y curvatura seccional. . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.10.4. Campos de Jacobi y coordenadas polares. . . . . . . . . . . . . . . . 65
iii
iv
3. Geometr´ıa y curvatura. 75
3.1. Distancia asociada a una me´trica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2. Entornos totalmente normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3. Completitud. El Teorema de Hopf-Rinow. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.4. Variedades con curvatura seccional constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.1. Espacios recubridores Riemannianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.4.2. Clasificacio´n de las V.R. de c.s.c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.5. Variedades de curvatura negativa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6. Variaciones de la energ´ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.7. Variedades de curvatura positiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Cap´ıtulo 1
Variedades Riemannianas.
Veremos en este primer tema los conceptos fundamentales de la asignatura, y los ejem-
plos ma´s importantes de variedades, que nos servira´n para ilustrar los conceptos. Pero
antes daremos un recorrido por cuestiones de geometr´ıa elemental, que nos sugerira´n al-
gunas de las cuestiones a estudiar posteriormente en ambientes ma´s generales.
1.1. Longitudes y distancias.
Cua´l es la curva ma´s corta uniendo dos puntos del plano? ¿Y en una superficie
de R3?
Sean S ⊂ R3 una superficie, α : [a, b] → S una curva p.p.a. (la longitud es invariante
frente a reparametrizaciones) y f : [a, b] × (−ε, ε) → S una variacio´n de α (i.e. f ∈
C∞([a, b]× (−ε, ε),R3), f(t, 0) = α(t)) con campo variacional V (t) = ∂f∂s (t, 0). Llamando
L(·) =longitud(·), tenemos
Lema 1.1.1 (Primera fo´rmula de variacio´n de la longitud) En la situacio´n ante-
rior,
d
ds
∣∣∣∣
0
L(f(·, s)) = −
∫ b
a
〈α′′(t), V (t)〉dt+ 〈α′(b), V (b)〉 − 〈α′(a), V (a)〉.
Demostracio´n.
d
ds
∣∣∣∣
0
L(f(·, s)) = d
ds
∣∣∣∣
0
∫ b
a
∣∣∣∣∂f∂t (t, s)
∣∣∣∣dt = ∫ b
a
d
ds
∣∣∣∣
0
∣∣∣∣∂f∂t (t, s)
∣∣∣∣dt = ∫ b
a
〈α′(t), ∂
2f
∂s∂t
(t, 0)〉dt
=
∫ b
a
〈α′(t), ∂
2f
∂t∂s
(t, 0)〉dt =
∫ b
a
〈α′(t), V ′(t)〉dt = −
∫ b
a
〈α′′(t), V (t)〉dt+ [〈α′(t), V (t)〉]ba.
2
1
2 CAPI´TULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Si so´lo consideramos curvas que unan dos puntos p, q ∈ S, entonces las variaciones sera´n
propias (f(a, s) = p, f(b, s) = q ∀s), luego V (a) = V (b) = 0 y
d
ds
∣∣∣∣
0
L(f(·, s)) = −
∫ b
a
〈α′′(t), V (t)〉dt.
Como lo anterior es cierto ∀V ∈ X(α) con V (a) = V (b) = 0 y de esta forma podemos
“barrer” todos los vectores tangentes a S en puntos de α(a, b), se obtiene que la parte
tangente α′′(t)T de α′′(t) es cero ∀t ∈ (a, b) (y por continuidad, tambie´n en [a, b]).
Corolario 1.1.1 Si α es una curva con la menor longitud de entre todas las curvas en S
uniendo p, q, entonces (α′′)T ≡ 0.
En el caso particular de S = R2, α′′ es tangente a S luego el Corolario 1.1.1 nos dice
que α′′ = 0, y por tanto α es un segmento recorrido a velocidad 1. Tenemos entonces el
resultado cla´sico
Corolario 1.1.2 La curva ma´s corta entre dos puntos del plano es el segmento que los
une.
En general, la condicio´n (α′′)T = 0 se enunciara´ diciendo que α es una geode´sica de S.
No´tese que esto no es suficiente para que la curva minimize la longitud entre sus extremos
(pensar en un trozo de c´ırculo ma´ximo en S2(1) con longitud estrictamente mayor que pi).
El concepto de geode´sica sera´ uno de los centrales en el curso. Es interesante adelantar que
este concepto y muchos otros que nos aparecera´n, son intr´ınsecos: no dependen de co´mo
la superficie esta´ metida en R3. De hecho, los formularemos en ambientes mucho ma´s
generales (variedades Riemannianas), donde el objeto sobre el que se hace geometr´ıa no
tiene porque´ tener dimensio´n 2 ni estar metido dentro de un espacio eucl´ıdeo de dimensio´n
superior.
En el ejemplo anterior hemos visto una herramientaque tambie´n usaremos para obtener
otros objetivos: el ca´lculo de variaciones. Como ilustracio´n, veamos otra situacio´n en el
que el ca´lculo de variaciones tiene interesantes aplicaciones geome´tricas y f´ısicas.
Lema 1.1.2 (Primera fo´rmula de variacio´n de la distancia en R2) Sean α, β cur-
vas C1 (no nec. p.p.a.) en R2 con α(t) 6= β(t) ∀t. Entonces,
d
dt
|α(t)− β(t)| = 〈α′(t)− β′(t), α(t)− β(t)|α(t)− β(t)| 〉.
Demostracio´n. Ca´lculo directo. 2
Veamos dos consecuencias del Lema 1.1.2.
1.1. LONGITUDES Y DISTANCIAS. 3
1.1.1. Curvas a distancia constante.
Lema 1.1.3 Sea I ⊂ R un intervalo, R = {Rs}s∈I una familia 1-parame´trica de rectas
(o segmentos) y α, β dos curvas en R2 sin puntos comunes y perpendiculares a las l´ıneas
de R, i.e. ∀t ∈ Dom(α), ∃sα(t) ∈ I, ∃t1(t) ∈ Dom(β) tales que t1(t) es C1 y
1. α(t) ∈ Rsα(t) y α′(t) ⊥ ~Rsα(t).
2. β(t1(t)) ∈ Rsα(t) y β′(t1(t)) ⊥ ~Rsα(t).
Entonces, |α(t)− (β ◦ t1)(t))| es constante en t.
Demostracio´n. Usando el Lema 1.1.2 sobre α, β ◦ t1,
d
dt
|α(t)− (β ◦ t1)(t)| = 〈α′(t)− t′1(t)β′(t1(t)),
α(t)− β(t1(t))
|α(t)− β(t1(t))|〉. (1.1)
Como α(t) − β(t1(t)) es paralelo a ~Rsα(t) y α′(t), β′(t1(t)) ⊥ ~Rsα(t), el miembro de la
derecha de (1.1) es cero. As´ı, |α− (β ◦ t1)| es constante. 2
Del Lema 1.1.3, tomando β ≡ origen de R2 yR = {rayos partiendo del origen}, se tiene
que una curva α ⊂ R2 es perpendicular a R si y so´lo si es (parte de) una circunferencia
centrada en el origen.
1.1.2. Billares.
Sea Ω ⊂ R2 un dominio acotado, convexo y con ∂Ω regular. Supongamos que una
part´ıcula infinitesimal se mueve con velocidad constante a lo largo de un segmento en Ω,
de forma que al llegar a ∂Ω sale rebotada siguiendo la ley
El a´ngulo de incidencia es igual al a´ngulo de reflexio´n.
Llamaremos una trayectoria a una poligonal como la anterior. Las trayectorias son impor-
tantes es meca´nica (teor´ıa de choques) y en f´ısica ato´mica (aceleradores de part´ıculas).
Dos importantes cuestiones sobre trayectorias son
¿Que´ pasa con una trayectoria si el movimiento se considera perpetuo?
Hay resultados que dicen que bajo condiciones naturales, una trayectoria es perio´dica o
densa. Las trayectorias perio´dicas son indudablemente interesantes desde el punto de vista
f´ısico (si en un acelerador algunas part´ıculas siguen una trayectoria densa, los choques
de e´stas con cualquier placa no producira´n una n´ıtida impresio´n en la misma; pero si
encontramos una trayectoria perio´dica, tendremos incidencia una y otra vez en cierta zona
definida de la placa).
4 CAPI´TULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
¿Podemos asegurar la existencia de trayectorias perio´dicas?
Sea k ∈ N. Considero k puntos p1, . . . , pk ∈ ∂Ω ordenados pero no necesariamente
distintos. Podemos ver P = (p1, . . . , pk) como los ve´rtices (ordenados c´ıclicamente) de una
poligonal perio´dica en Ω, candidata a trayectoria perio´dica. Se trata de saber si podemos
situar los ve´rtices de P para que se cumpla la ley de incidencia-reflexio´n de a´ngulos. Dada
una lista P como antes, llamaremosm ∈ N al nu´mero de vueltas que la poligonal perio´dica
asociada da alrededor de ∂Ω (en una estrella de 5 puntas con ve´rtices en ∂Ω, es k = 5 y
m = 2). Sea
Ck,m = {poligonales perio´dicas con k ve´rtices en ∂D que dan m vueltas}
Es posible dotar a Ck,m de una topolog´ıa natural, basada en co´mo se mueven los ve´rtices
de sus poligonales sobre ∂Ω. Como admitimos que dos o ma´s ve´rtices se colapsen en uno,
puede probarse que Ck,m es compacto. La misma idea permite ver Ck,m como variedad
diferenciable de dimensio´n k. Dada P ∈ Ck,m, se define la longitud L(P ) de P como
la longitud total de los lados de la poligonal asociada. Admitiendo que la aplicacio´n l :
Ck,m → R es C1, veamos que
Lema 1.1.4 Si P ∈ Ck,m en un punto cr´ıtico de l, entonces P produce una trayectoria
perio´dica.
Demostracio´n. Identificando pk+1 con p1 en P = (p1, . . . , pk), tenemos
L(P ) =
k∑
i=1
|pi+1 − pi|.
Supongamos ahora que t 7→ Pt = (p1(t), . . . , pk(t)) es una curva C1 en Ck,m con P0 = P .
As´ı,
d
dt
∣∣∣∣
0
L(Pt) =
k∑
i=1
d
dt
∣∣∣∣
0
|pi+1(t)− pi(t)|.
Usando el Lema 1.1.2 (para ello necesitamos la condicio´n te´cnica de que pi 6= pi+1 para
cada i),
d
dt
∣∣∣∣
0
L(Pt) =
k∑
i=1
〈p′i+1(0)− p′i(0),
pi+1 − pi
|pi+1 − pi| 〉.
Como P en punto cr´ıtico de l, lo anterior se anula para toda variacio´n de P en Ck,m.
Elegimos tal variacio´n de forma que so´lo mueva el ve´rtice p2. Entonces, p′i(0) = 0 siempre
que i 6= 2 luego
0 =
d
dt
∣∣∣∣
0
L(Pt) = 〈p′2(0),
p2 − p1
|p2 − p1| −
p3 − p2
|p3 − p2|〉. (1.2)
1.1. LONGITUDES Y DISTANCIAS. 5
Veamos que (1.2) implica que se cumple la ley de incidencia-reflexio´n de a´ngulos en p2.
Como dicha ley so´lo afecta a a´ngulos, podemos trasladar en R2 de forma que p2 = 0. As´ı,
p1
|p1| +
p3
|p3| es perpendicular a p
′
2(0). Pero
p1
|p1| ,
p3
|p3| son unitarios luego
~0, p1|p1| ,
p3
|p3| ,
p1
|p1| +
p3
|p3|
son los ve´rtices de un rombo R, una de cuyas diagonales es d1 =
p1
|p1| +
p3
|p3| . Como la otra
diagonal d2 de R es ortogonal a d1, conclu´ımos que d2 es paralela a p′2(0), que a su vez
genera Tp2∂Ω. De aqu´ı es fa´cil ver que la ley de incidencia-reflexio´n de a´ngulos se cumple
en p2.
Repitiendo lo anterior para todo ve´rtice de α, conclu´ımos que α es una trayectoria. 2
Corolario 1.1.3 Para cualesquiera k,m ∈ N, existe al menos una trayectoria perio´dica
en Ck,m.
Demostracio´n. Por el Lema 1.1.4, basta asegurar que existe al menos un punto cr´ıtico en
Ck,m de l, y esto esta´ asegurado por ser Ck,m compacto. 2
Dejemos ahora el Ca´lculo de Variaciones para profundizar ma´s en distancias y lon-
gitudes de curvas. Supongamos que los habitantes de un mundo imaginario viven sobre
una superficie conexa S ⊂ R3 y que no pueden en ningu´n momento abandonar S. ¿Co´mo
medir´ıan la distancia entre dos puntos p, q ∈ S? Pensando en lo que hacemos en el caso
S = R2, es lo´gico que tomen dicha distancia como la menor longitud de una curva γ en S
que una p con q, si dicha curva existe. Pero ¿existe realmente una curva γ que realiza la
distancia de p a q? Del Lema 1.1.1 se deduce que caso de existir, dicha curva γ sera´ una
geode´sica, i.e. (γ ′′)T = 0 si parametrizamos γ por el arco. En algunas situaciones, γ no
existe (tomar S = R2 − {(0, 0)} y q = −p 6= (0, 0)), pero au´n as´ı tiene sentido definir
d(p, q) = inf{L(α) | α curva C∞ a trozos uniendo p, q}, ∀p, q ∈ S,
ya que el ı´nfimo anterior siempre existe. Estudiaremos a fondo d y veremos que siempre
define una distancia sobre S, y que esto puede generalizarse a variedades Riemannianas.
En el caso de una curva embebida y regular α : I → R3, la distancia correspondiente
es d : α(I)× α(I)→ R+0 donde
d(p, q) = |L(α)qp| =
∣∣∣∣∫ t2
t1
|α′(t)| dt
∣∣∣∣ ,
donde p = α(t1), q = α(t2) (no´tese que no tiene porque´ ser t1 ≤ t2). Tenemos entonces que
(α(I), d) es un espacio me´trico (intr´ınseco, ya que para calcular distancias so´lo necesitamos
longitudes de curvas). El dia´metro de (α(I), d) es, claramente, la longitud total de α (que
podr´ıa ser ∞).
Las variedades Riemannianas vistas como espacios me´tricos so´lo son interesantes a
partir de dimensio´n 2, como pone de manifiesto el siguiente
6 CAPI´TULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Lema 1.1.5 Todas las curvas α : I → R3 embebidas y regulares con la misma longitud
son isome´tricas como espacios me´tricos.
Demostracio´n. Sea α : I → R3 una curva embebida y regular, con para´metro t. Sea
β : J ⊂ R → R3 una reparametrizacio´n por el arco de α, con para´metro s. Claramente,
L(α) coincide con la longitud del intervalo J , que a su vez es el dia´metro del espacio me´trico
(J, d0) donde d0 es la distancia usual de R. El Lema estara´ probado (por transitividad) si
vemos que los espacios me´tricos (α(I), d), (J, d0) son isome´tricos.Definimos F : (J, d0)→
(α(I) = β(J), d) mediante F (s) = β(s) = α(t(s)). Entonces,
d(F (s1), F (s2)) = |L(α)t(s2)t(s1)| = |L(β)
s2
s1 | = |s2 − s1| = d0(s1, s2),
luego F es una isometr´ıa de espacios me´tricos. 2
Como hemos dicho, a partir de dimensio´n 2 el Lema 1.1.5 no tiene un enunciado equiv-
alente. De hecho, veremos que la esfera no puede ser isome´trica (ni siquiera localmente)
al plano1: la existencia de isometr´ıas locales entre variedades Riemannianas estara´ ı´ntima-
mente ligada al concepto de curvatura, otro de los conceptos centrales que desarrollaremos
en la asignatura.
Esperamos que las ideas anteriores hayan motivado un estudio ma´s detallado de diver-
sos objetos geome´tricos como la longitud, la distancia o la curvatura en situaciones ma´s
generales. A continuacio´n empezaremos con este trabajo.
1.2. El concepto de variedad Riemanniana.
A lo largo del resto del tema, Mn denotara´ una variedad diferenciable.
Definicio´n 1.2.1 Una me´trica es una aplicacio´n g : X(M) × X(M) → F(M,R) =
{aplics. de M en R} tal que ∀X, Y,X1, X2 ∈ X(M), ∀f ∈ C∞(M,R),
1. g(X, Y ) = g(Y,X),
2. g(X1 +X2, Y ) = g(X1, Y ) + g(X2, Y ), g(fX, Y ) = fg(X, Y ),
3. g(X,X)≥ 0 en M y si p ∈M cumple g(X,X)(p) = 0, entonces Xp = 0.
De 1,2 deducimos que g es tensorial en funciones, luego pueden definirse las restricciones
g|U y gp, donde U ⊂M abierto y p ∈M , de la siguiente forma:
Dados X, Y ∈ X(U) y p ∈ U , se define (g|U)(X, Y )(p) = g(X˜, Y˜ )(p), donde X˜, Y˜ ∈
X(M) cumplen X˜ |Vp = X |Vp, Y˜ |Vp = Y |Vp, siendo Vp un abierto de U con p ∈ Vp.
1De hecho, e´ste es el punto de partida de la cartograf´ıa.
1.2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD RIEMANNIANA. 7
Dados v, w ∈ TpM , se define gp(v, w) = g(V,W )(p) donde V,W ∈ X(M) con Vp =
v,Wp = w.
La idea para probar que g|U esta´ bien definida es la siguiente:
Lema 1.2.1 Sea g una me´trica sobre M , X, Y ∈ X(M) y U ⊂ M abierto. Si X |U = 0
o´ Y |U = 0, entonces g(X, Y )|U = 0.
Demostracio´n. Fijemos p ∈ U y veamos que g(X, Y )(p) = 0. Como {p},M − U son
cerrados disjuntos, ∃fp ∈ C∞(M) tal que fp|M−U = 1 y fp(p) = 0. Supongamos primero
que X |U = 0. Entonces, X = fpX en M (razonar por separado en U y en M − U), luego
g(X, Y ) = g(fpX, Y ) = fpg(X, Y ). Evaluando en p y usando que fp(p) = 0, tenemos
g(X, Y )(p) = 0. Como g es sime´trica, el caso Y |U = 0 puede reducirse al anterior. 2
Ahora la definicio´n de g|U no depende de las extensiones X˜, Y˜ de X, Y ∈ X(U), ya que
si tomamos otras extensiones X̂, Ŷ de X, Y , entonces X˜ − X̂ esta´ en las condiciones del
Lema 1.2.1 sobre el abierto Vp donde ambas extensiones coinciden con X , luego g(X˜ −
X̂, Y˜ )|Vp = 0 y as´ı, g(X˜, Y˜ )(p) = g(X̂, Y˜ )(p). Aplicando el Lema 1.2.1 a Y˜ −Ŷ y razonando
ana´logamente concluimos que g(X̂, Y˜ )(p) = g(X̂, Ŷ )(p), luego g(X˜, Y˜ )(p) = g(X̂, Ŷ )(p).
En cuanto a probar que gp esta bien definida, necesitamos otro resultado previo.
Lema 1.2.2 Sea g una me´trica sobre M , X, Y ∈ X(M) y p ∈ M . Si Xp = 0 o´ Yp = 0,
entonces g(X, Y )(p) = 0.
Demostracio´n. De nuevo por simetr´ıa de g basta suponer que Xp = 0. Tomemos una carta
local (U, φ = (x1, . . . , xn)) de M alrededor de p. As´ı, X |U = ∑ni=1 ai ∂∂xi con ai ∈ C∞(U)∀i. Como g|U esta´ bien definida,
g(X, Y )(p) = (g|U)(X |U , Y |U)(p) = (g|U)(∑i ai ∂∂xi , Y |U)(p) =∑i ai(p)(g|U)( ∂∂xi , Y |U)(p).
Lo anterior se anula porque al ser Xp = 0, tenemos ai(p) = 0 ∀i = 1, . . . , n. 2
Y ahora un razonamiento ana´logo al que hac´ıamos para probar que g|U esta´ bien definida
(cambiando el Lema 1.2.1 por el Lema 1.2.2) permite demostrar que gp tambie´n lo esta´.
gp es pues, un producto escalar definido positivo sobre TpM .
Si g es una me´trica sobre M y (U, φ = (x1, . . . , xn)) es una carta local, las funciones
gij = (g|U)( ∂∂xi , ∂∂xj ) esta´n en F(U,R) y la matriz (gij)i,j se llama la matriz de g respecto
a (U, φ).
Definicio´n 1.2.2 Una me´trica g sobreMn se dice Riemanniana o diferenciable si ∀X, Y ∈
X(M), g(X, Y ) ∈ C∞(M). Al par (M, g) se le llama una variedad Riemanniana (V.R.)
8 CAPI´TULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Proposicio´n 1.2.1 Sea g una me´trica sobre M y {(Uα, φα)}α un atlas en M . Son equiv-
alentes:
1. g es una me´trica Riemanniana.
2. ∀U ⊂M abierto, ∀X, Y ∈ X(U), (g|U)(X, Y ) ∈ C∞(U).
3. ∀α, ∀i, j = 1, . . . , n, gαij ∈ C∞(Uα).
Demostracio´n. Ejercicio. 2
Definicio´n 1.2.3 Sea (M, g) una V.R. Dado X ∈ X(M), la norma de X es la funcio´n
‖X‖ = √g(X,X) ∈ C∞(M − {p ∈ M | Xp = 0}). Dos vectores v, w ∈ TpM se dicen
ortogonales si lo son respecto a gp. Dos campos X, Y ∈ X(M) se dicen ortogonales si lo
son en cada p ∈M .
Ejemplos de variedades Riemannianas.
1. El espacio eucl´ıdeo n-dimensional. M = Rn, g0(X, Y ) =
∑n
i=1XiYi donde X =
(X1, . . . , Xn), Y = (Y1, . . . , Yn) ∈ X(Rn) ≡ C∞(Rn,Rn).
2. Me´tricas conformes y homote´ticas. Si (M, g) es una V.R. y f ∈ C∞(M,R+),
entonces fg es otra me´trica Riemanniana sobre M , que se dice conforme a g. Si
f es constante, a fg se le llama me´trica homote´tica a g (ejercicio: probar que “ser
conforme a” y “ser homote´tica a”definen relaciones de equivalencia en el conjunto
de me´tricas Riemannianas sobre una variedad diferenciable).
3. El espacio hiperbo´lico n-dimensional (modelo del semiespacio).
M = (Rn)+ = {x ∈ Rn | xn > 0}, g = 1x2n g0. No´tese que gx(e1, e1) =
1
x2n
, luego ‖e1‖
se hace mayor cuanto ma´s nos aproximamos al borde de (Rn)+.
4. El espacio hiperbo´lico n-dimensional (modelo de la bola).
M = Bn(0, 1) = {x ∈ Rn |‖x‖0 < 1}, g = 4(1−‖x‖20)2 g0. De nuevo ‖e1‖ se hace mayor
cuanto ma´s nos aproximamos al borde de Bn(0, 1), y g se acerca a g0 cuando x→ 0.
5. El grupo lineal general.
M =Mn(R) ≡ Rn2 , g(B,C)(A) = Traza(B·Ct), ∀A ∈ Mn(R), ∀B,C ∈ X(Mn(R)) ≡
C∞(Mn(R),Mn(R)).
6. Me´trica producto.
Sean (Mn1 , g1), (M
m
2 , g2) V.R.. Se define la me´trica producto de g1 y g2 como
[(g1 × g2)(Z1, Z2)] (p1, p2) =
2∑
i=1
(gi)pi
(
(dpii)(p1,p2)(Z1(p1,p2) , (dpii)(p1,p2)(Z2(p1,p2)
)
,
1.2. EL CONCEPTO DE VARIEDAD RIEMANNIANA. 9
∀Z1, Z2 ∈ X(M1 ×M2), (p1, p2) ∈ M1 ×M2, donde pi1, pi2 son las proyecciones de
M1 ×M2 sobre sus factores. Que g1 × g2 es una me´trica se deduce directamente de
la ecuacio´n
(g1 × g2)(p1,p2) ((v1, v2), (w1, w2)) =
2∑
i=1
(gi)pi(vi, wi), (1.3)
donde pi ∈ Mi y vi ∈ TpiMi (ejercicio). En cuanto a la diferenciabilidad, usare-
mos la Proposicio´n 1.2.1: tomemos cartas locales (U, φ = (x1, . . . , xn)), (V, ϕ =
(xn+1, . . . , xn+m)) en M1,M2. As´ı, (U × V, φ × ϕ) es una carta en M1 × M2 con
funciones coordenadas zi = xi ◦ pi1 si i ≤ n, ai = xi ◦ pi2 si i ≥ n + 1, y es posible
construir un atlas de M1 ×M2 con cartas producto de esta forma. Bastara´ entonces
probar que las funciones gij = (g1 × g2)( ∂∂zi , ∂∂zj ) son C∞ en U × V . Pero
(gij)i,j=1,...,n+m =
(
(g1)ij ◦ pi1 0
0 (g2)ij ◦ pi2
)
(ejercicio), de donde la diferenciabilidad de gij se deduce directamente. No´tese que
(1.3) implica que vectores del tipo (v1, 0), (0, v2) ∈ Tp1M1 × Tp2M2 son siempre
ortogonales en la me´trica producto. Adema´s, si los campos Z1, Z2 ∈ X(M1 ×M2)
son proyectables (i.e. Z1 ≡ (X1, X2), Z2 ≡ (Y1, Y2) con Xi, Yi ∈ X(Mi), entonces
(g1 × g2) ((X1, X2), (Y1, Y2)) =
2∑
i=1
gi(Xi, Yi) ◦ pii.
7. Me´trica pullback por una inmersio´n.
Sea F :Mn → Nm una inmersio´n y g una me´trica Riemanniana sobre N . Se define
F ∗g (me´trica pullback de g por F ) mediante
(F ∗g)(X, Y )(p) = gF (p)(dFp(Xp), dFp(Yp)), ∀X, Y ∈ X(M), ∀p ∈M.
F ∗g es claramente una me´trica sobre M . Para ver su diferenciabilidad, tomemos
X, Y ∈ X(M) y probemos que (F ∗g)(X, Y ) ∈ C∞(M). Basta que dado p ∈ M ,
exista un abierto U ⊂M conteniendo a p donde (F ∗g)(X, Y )|U sea C∞. Como F es
inmersio´n, ∃V ⊂ M abierto conteniendo a p tal que F : V → N es embebimiento.
As´ı, F (V ) es una subvariedad de N difeomorfa a V y podemos proyectar los campos
X |V , Y |V a F∗(X |V ), F∗(Y |V ) ∈ X(F (V )).Como F (p) ∈ F (V ), ∃X˜, Y˜ ∈ X(N) y
∃ un entorno abierto de F (p) en F (V ) (que puedo escribir de la forma F (U) con
p ∈ U abto.⊂ V ) tales que (F∗X)|F (U) = X˜|F (U), (F∗Y )|F (U) = Y˜ |F (U). Ahora es fa´cil
ver que (F ∗g)(X, Y ) = g(X˜, Y˜ ) ◦ F en U , luego (F ∗g)(X, Y ) ∈ C∞(U).
10 CAPI´TULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
8. La esfera Sn(R).
Dado R > 0, sea Sn(R) = {x ∈ Rn+1 | ‖x‖ = R}. Como la inclusio´n i : Sn(R) ↪→
Rn+1 es un embebimiento, tiene sentido g = i∗g0 (me´trica cano´nica sobre Sn(R)). As´ı,
dados p ∈ Sn(R) y v, w ∈ TpSn(R) = 〈p〉⊥, es gp(v, w) = g0(v, w) y dados X, Y ∈
X(Sn(R)) = {F ∈ C∞(Sn(R),Rn+1) | g0(F (p), p) = 0 ∀p ∈ Sn(R)}, g(X, Y ) =∑n+1
i=1 XiYi.
9. El grupo ortogonal.
Dado n ∈ N, el grupo ortogonal es O(n) = {A ∈ Mn(R) | A ·At = In}. O(n) es una
subvariedad de dimensio´n n(n− 1)/2 de Mn(R), con
TAO(n) = {AB | Bt = −B}, ∀A ∈ O(n).
Como la inclusio´n i : O(n) ↪→Mn(R) es un embebimiento y sobre Mn(R) tenemos
la me´trica esta´ndar (g0)A(B,C) = Traza(B · Ct), deducimos que g = i∗g0 es una
me´trica Riemanniana sobre O(n), llamada su me´trica cano´nica.
1.3. Isometr´ıas, isometr´ıas locales, inmersiones isome´tricas.
Definicio´n 1.3.1 Una isometr´ıa entre dos V.R. (Mn1 , g1), (M
n
2 , g2) es un difeomorfismo
φ : M1 → M2 tal que ∀p ∈ M1, dφp es una isometr´ıa vectorial entre (TpM1, (g1)p) y
(TF (p)M2, (g2)F (p)) (esto u´ltimo equivale a que g1 = φ∗g2). En tal caso, (Mn1 , g1), (Mn2 , g2)
se dicen variedades Riemannianas isome´tricas.
“Ser isome´trica a” es una relacio´n de equivalencia en el conjunto de todas las V.R. (ejerci-
cio). El conjunto Iso(M, g) de todas las isometr´ıas de una V.R. en s´ı misma tiene estructura
de grupo con la composicio´n.
Ejemplos.
1. La aplicacio´n φ : Mn(R) → Rn2 dada por φ(A) = (a11, . . . , ann) si A = (aij)i,j
es una isometr´ıa si en Mn(R),Rn2 consideramos sus respectivas metricas usuales
(ejercicio).
2. Las V.R. (Sn(R), g) y (Sn(1), R2g) son isome´tricas (ejercicio).
3. La transformacio´n de Mo¨bius φ(z) = 2ii−1
z−1
z+i es una isometr´ıa entre los modelos
D(0, 1) y (R2)+ del plano hiperbo´lico (ejercicio).
4. Las traslaciones a izquierda lA : O(n)→ O(n), lA(B) = AB y a derecha rA : O(n)→
O(n), rA(B) = BA, son isometr´ıas de (O(n), g) en s´ı mı´smo (ejercicio).
1.4. ME´TRICAS RIEMANNIANAS Y ACCIONES PROPIAMENTEDISCONTINUAS.11
Definicio´n 1.3.2 Una isometr´ıa local entre dos V.R. (Mn1 , g1), (M
n
2 , g2) es un difeomor-
fismo local φ : M1 → M2 tal que g1 = φ∗g2). En tal caso, (Mn1 , g1), (Mn2 , g2) se dicen
variedades Riemannianas localmente isome´tricas.
Definicio´n 1.3.3 Una inmersio´n isome´trica entre dos V.R. (Mn1 , g1), (M
m
2 , g2) es una
inmersio´n φ : M1 → M2 tal que g1 = φ∗g2). As´ı, una isometr´ıa local es una inmersio´n
isome´trica entre variedades de la misma dimensio´n. Y si F : Mn → (Nm, g) es una
inmersio´n, entonces F : (M,F ∗g)→ (N, g) es una inmersio´n isome´trica.
1.4. Me´tricas Riemannianas y acciones propiamente discon-
tinuas.
Definicio´n 1.4.1 SeaMn una variedad diferenciable y G un grupo algebraico. Una accio´n
es una aplicacio´n λ : G×M →M tal que ∀g, g1, g2 ∈ G, ∀p ∈M ,
1. e · p = p,
2. g1 · (g2 · p) = (g1 · g2) · p.
Dado g ∈ G, se define λg :M → M por λg(p) = g · p. Entonces, λg es una biyeccio´n, con
inversa λg−1.
La accio´n λ se dice diferenciable cuando ∀g ∈ G, λg es un difeomorfismo de M en
s´ı misma (i.e. cuando λg ∈ C∞(M,M)), y se dice propiamente discontinua cuando ∀p ∈M ,
∃U ⊂M abierto conteniendo a p tal que U ∩ λg(U) = Ø ∀g ∈ G− {e}.
Toda accio´n λ sobre M define una relacio´n de equivalencia sobre M :
p ∼G q ⇔ ∃g ∈ G | g · p = q.
Llamemos pi : M → M/G = M/ ∼G a la proyeccio´n cano´nica de M en su cociente. pi es
continua si en M/G consideramos la topolog´ıa cociente, y abierta (porque pi−1(pi(O)) =
∪g∈Gλg(O), ∀O ⊂M).
Proposicio´n 1.4.1 Si la accio´n λ es diferenciable y propiamente discontinua, entonces
existe una u´nica estructura diferenciable D sobreM/G que convierte a pi en difeomorfismo
local. Adema´s, la topolog´ıa subyacente a D es la topolog´ıa cociente.
Demostracio´n. Existencia.
Consideremos en M/G la topolog´ıa cociente T /G de la topolog´ıa T de M . Dado p ∈M ,
sea U un abierto deM conteniendo a p dado por la discontinuidad de la accio´n λ. Entonces,
pi|U : U → pi(U) es un homeomorfismo (es continua, sobreyectiva, inyectiva y abierta).
12 CAPI´TULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Ahora podemos definir las cartas de M/G como la composicio´n de pi|U con cartas de M
cuyo abierto coordenado este´ contenido en U . Variando U y aplicando este procedimiento,
se obtiene un atlas diferenciable sobre M/G, que genera una estructura diferenciable D
que hace a pi difeomorfismo local (ejercicio).
Unicidad.
Si M/G admite una estructura diferenciable D′ que hace de pi un difeomorfismo local y
llamamos T ′ a la topolog´ıa subyacente a D′, entonces pi : (M, T )→ (M/G, T ′) es contin-
ua, sobreyectiva y abierta, luego identificacio´n. Por tanto, T ′ = T /G. Ahora considero las
aplicaciones M pi→ (M/G,D) 1M/G→ (M/G,D′), cuya composicio´n es pi. Como las dos pi son
difeomorfismos locales, conclu´ımos que 1M/G es diferenciable de (M/G,D) en (M/G,D′).
El rec´ıproco es igual, con lo que D = D′. 2
Teorema 1.4.1 Sea λ : G×M →M una accio´n diferenciable y propiamente discontinua,
y g una me´trica Riemanniana sobre M . Entonces, son equivalentes:
1. Existe una me´trica Riemanniana g′ sobre M/G que hace a pi : (M, g)→ (M/G, g′)
isometr´ıa local.
2. λh ∈ Iso(M, g) ∀h ∈ G.
Adema´s, g′ es u´nica (cuando exista).
Demostracio´n. Si g′ existe, entonces dados p ∈ M y u, v ∈ TpM se tendra´ gp(u, v) =
g′pi(p)(dpip(u), dpip(v)). Como pi es sobreyectiva y dpip biyectiva, la u´ltima ecuacio´n determina
a g′. Adema´s dado h ∈ G,
gh·p((dλh)p(u), (dλh)p(v)) = g′pi(p)(d(pi ◦ λh)p(u), d(pi ◦ λh)p(v))
= g′pi(p)(dpip(u), dpip(v)) = gp(u, v)
luego λh ∈ Iso(M, g). Rec´ıprocamente, si λh es una isometr´ıa entonces la definicio´n
g′[p](u
′, v′) := gp((dpip)−1(u′), (dpip)−1(v′))
no depende del representante p ∈ [p]. Es fa´cil comprobar que g′ es una me´trica (ejercicio).
Su diferenciabilidad se tendra´ si vemos que g′(X ′, Y ′) ∈ C∞(M/G) ∀X ′, Y ′ ∈ X(M/G).
Pero X ′, Y ′ producen campos X, Y ∈ X(M) invariantes por la accio´n λ (i.e. (λh)∗X =
X, (λh)∗Y = Y ∀h) tales que X ′pi(p) = dpip(Xp), Y ′pi(p) = dpip(Yp) ∀p. Es fa´cil ver que
g′(X ′, Y ′) ◦ pi = g(X, Y ). Como g(X, Y ) ∈ C∞(M), tenemos que g′(X ′, Y ′) ∈ C∞(M/G).
por u´ltimo, que pi : (M, g)→ (M/G, g′) se hace isometr´ıa local es evidente (ejercicio). 2
Ejemplos.
1.5. VARIEDADES RIEMANNIANAS EN MECA´NICA CLA´SICA. 13
1. El espacio proyectivo real RPn.
Si A es la aplicacio´n ant´ıpoda sobre Sn(1), entonces el grupo G = {1Sn(1), A} actu´a
diferenciable, propia y discontinuamente sobre Sn(1), luego existe una u´nica me´trica
g′ sobre Sn(1)/G = RPn que convierte a pi en isometr´ıa local. A g′ se le llama la
me´trica esta´ndar sobre RPn.
2. Toros llanos TnB.
Dada una base B = {v1, . . . , vn} de Rn, el grupo de traslaciones G = {Tv | v ∈
Zv1 ⊕ . . . ⊕ Zvn} actu´a diferenciable, propia y discontinuamente sobre Rn, donde
Tv es la traslacio´n de vector v. El cociente Rn/G = TnB es un toro n-dimensional
(difeomorfo a S1× n). . . ×S1), y la me´trica g′0 inducida sobre TnB por g0 se llama la
me´trica llana sobre TnB.
1.5. Variedades Riemannianas en Meca´nica cla´sica.
Muchos sistemas f´ısicos, sobre todo en Meca´nica, pueden modelarse usando una varie-
dad diferenciable, y las ecuaciones de movimiento del sistema resultan ser las ecuaciones de
Euler-Lagrange para un funcional definido sobre curvas en la variedad. Esta formulacio´n,
que en f´ısica se conoco comoMeca´nica Lagrangiana, a menudo se sustenta en una variedad
Riemanniana, y los principios de conservacio´n cla´sicos (energ´ıa, momento angular, etc.)
pueden verse como invarianza del lagrangiano frente a un grupode difeomorfismos de la
variedad. Veamos algunos ejemplos de este tipo.
1.5.1. Sistemas con 1 grado de libertad.
Supongamos que una part´ıcula se mueve en una trayectoria rectil´ınea x(t) con
x¨(t) = f(x(t)), (1.4)
donde f ∈ C∞(R) (e´ste es el caso de, por ejemplo, un movimiento oscilatorio rectil´ıneo
como un muelle2. Estamos interesados en describir losmovimientos del sistema, que son las
soluciones del EDO anterior. La teor´ıa general de EDO nos dice que x(t) esta´ determinada
un´ıvocamente por x(0), x˙(0). Se llama espacio de configuraciones al conjunto cuyos puntos
describen completamente la posicio´n del sistema en un momento dado. En nuestro caso
x(t) ∈ R, luego el espacio de configuraciones es R. La energ´ıa cine´tica de x(t) es T =
2La ley de Hooke dice: “La deformacio´n que experimenta un muelle al ejercer sobre e´l una cierta fuerza
es directamente proporcional a magnitud de dicha fuerza, i.e. F = −kx donde F es la fuerza aplicada,
k es la constante de elasticidad del muelle y x la posicio´n del extremo mo´vil del muelle. Como la 2a ley
de Newton asegura que F = mx¨ donde m es la masa del objeto mo´vil suspendido del muelle, tenemos
x¨ = − k
m
x, que es una ecuacio´n del tipo de (1.4).
14 CAPI´TULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
1
2 [x˙(t)]
2, que puede verse como la evaluacio´n en x˙(t) ∈ R = Tx(t)R de la forma cuadra´tica
T (p, v) = 12 |v|2, (p, v) ∈ TR. La energ´ıa potencial so´lo depende de la posicio´n:
V (x) = −
∫ x
0
f(ξ) dξ.
Claramente, el potencial V determina a f , luego determina la ecuacio´n (1.4) llamada
ecuacio´n del movimiento. Adema´s, si cambiamos el potencial suma´ndole una constante,
no cambian ni la EDO (1.4) ni los movimientos. Desde el punto de vista de la meca´nica
Lagrangiana, uno considera el lagrangiano L(x, x˙) = T (x˙) − V (x) ∈ C∞(TR). Fijados
P,Q ∈ R, sea F el espacio de funciones γ : [0, 1] → R de clase C1 tales que γ(0) =
P, γ(1) = Q. Sobre F tenemos el funcional
Φ(γ) =
∫ 1
0
L(γ, γ˙)dt,
cuyos puntos cr´ıticos son exactamente las ecuaciones de movimientos del sistema. Para
ver esto, tomemos una variacio´n γs : [0, 1] → R de γ definida en |s| < ε, con γs(0) =
P, γs(1) = Q ∀s. Llamando η(t) = ∂γs∂s (t, 0) al campo variacional de γs,
d
ds
∣∣∣∣
0
Φ(γs) =
∫ 1
0
d
ds
∣∣∣∣
0
L(γs, γ˙s) dt
=
∫ 1
0
∂L
∂x
(γ(t), γ˙(t))
∂γs
∂s
(t, 0) dt+
∫ 1
0
∂L
∂x˙
(γ(t), γ˙(t))
∂γ˙s
∂s
(t, 0) dt
=
∫ 1
0
∂L
∂x
(γ, γ˙)η dt+
[
∂L
∂x˙
(γ, γ˙)η
]1
0
−
∫ 1
0
∂
∂t
(
∂L
∂x˙
(γ, γ˙)
)
η dt.
Como la variacio´n es propia, η(0) = η(1) = 0 y
d
ds
∣∣∣∣
0
Φ(γs) =
∫ 1
0
[
∂L
∂x
− ∂
∂t
(
∂L
∂x˙
)]
(γ, γ˙) η dt.
Por tanto, los puntos cr´ıticos de Φ sobre F son las funciones x : [0, 1]→ R tales que
∂L
∂x
=
∂
∂t
(
∂L
∂x˙
)
. (1.5)
A (1.5) se les llama las ecuaciones de Euler-Lagrange del sistema. En nuestro caso, ∂L∂x =
−dVdx = f(x) y ∂L∂x˙ = dTdx˙ = ˙ xluego ∂
2L
∂t∂x = x¨. Ahora de (1.4) y (1.5) deducimos que
Los puntos cr´ıticos de Φ en F coinciden con los movimientos del sistema.
1.5. VARIEDADES RIEMANNIANAS EN MECA´NICA CLA´SICA. 15
La energ´ıa total del sistema es E = T + V ∈ C∞(TR,R), que depende de la posicio´n
y de la velocidad, y el sistema admite una ley de conservacio´n de la energ´ıa: Si x(t) es un
movimiento, entonces E(x(t), x˙(t)) es constante (en te´rminos anal´ıticos, E es una primera
integral de (1.4)): en efecto,
d
dt
E(x(t), x˙(t)) =
d
dt
(
1
2
[x˙(t)]2 −
∫ x(t)
0
f(ξ)dξ
)
= ˙ x(t) (¨x(t)− f(x(t))) = 0.
El sistema (1.4) es una EDO de segundo orden, y por tanto equivalente a un sistema de
dos EDO de primer orden: {
x˙ = y
y˙ = f(x),
(1.6)
sistema que puede verse sobre el llamado espacio de fases, que en nuestro caso no es ma´s
que TR = R×R y que en general es el fibrado tangente del espacio de configuraciones. El
sistema (1.6) determina un campo X ∈ X(TR), X(x,y) = (y, f(x)). A las curvas integrales
de X se es llama curvas de fases. As´ı, una curva α(t) = (x(t), y(t)) ∈ TR es curva de fase si
y so´lo si x(t) es un movimiento del sistema, y encontrar los movimientos de nuestro sistema
equivale a calcular las curvas de fases. Como por cada punto de una variedad para una
u´nica curva integral de un campo dado sobre la misma, tenemos otra forma de justificar el
que para cada x(0), x˙(0) ∈ R existe una u´nico movimiento con esas condiciones iniciales.
No´tese que una curva de fase podr´ıa reducirse a un so´lo punto del espacio de fases, y que
esto ocurre precisamente en un cero del campo X . A los ceros de X en el espacio de fases
se las llama posiciones de equilibrio.
La ley de conservacio´n de la energ´ıa puede enunciarse diciendo que si x(t) es un
movimiento, entonces (x(t), x˙(t)) cae en un subconjunto {E = c} ⊂ TR (c ∈ R). Cabe
preguntarse cua´ndo {E = c} es una hipersuperficie de TR (en este caso, cua´ndo es una
curva regular y embebida). Por el teorema de la funcio´n impl´ıcita, esto ocurre cuando
c ∈ R sea valor regular de E. Dados (x0, y0) ∈ TR, (x˙, y˙) ∈ T(x0,y0)TR,
dE(x0,y0)(x˙, y˙) = dTy0(y˙) + dVx0(x˙) = y0y˙ − x˙f(x0).
Si y0 6= 0, entonces dE(x0,y0)(0, y0) = y20 6= 0. Si y0 = 0 pero f(x0) 6= 0, tenemos
dE(x0,y0)(f(x0), 0) = −f(x0)2 6= 0. Y si y0 = 0 y f(x0) = 0 entonces dE(x0,y0) = 0
luego deducimos:
Los u´nicos puntos cr´ıticos de E son las posiciones de equilibrio en el espacio de fases.
Las posiciones de equilibrio esta´n sobre el eje {y = 0} del espacio de fases, y
corresponden a los (x0, 0) tales que x0 es punto cr´ıtico de la energ´ıa potencial (i.e.
dV
dx (x0) = 0).
16 CAPI´TULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Figura 1.1: Izquierda: El potencial V = V (x). Derecha: espacio de fases y curvas de fases.
Si (x0, y0) ∈ TR no es una posicio´n de equilibrio, entonces el conjunto de nivel
{E = E(x0, y0)} es una curva regular y embebida alrededor de (x0, y0), cuya primera
componente define el movimiento del sistema con codiciones iniciales x(0) = x0,
x˙(0) = y0.
Por ejemplo, supongamos que el potencial sigue una gra´fica como la de la Figura 1.1
izquierda. V tiene tres puntos cr´ıticos: dos mı´nimos locales x0, x2 y un ma´ximo local x1.
Los puntos (x0, 0), (x1, 0), (x2, 0) del espacio de fases son las posiciones de equilibrio del
sistema. La energ´ıa total es E(x, x˙) = 12(x˙)
2 + V (x). Al recorrer una curva de fase Γ E
se mantiene constante, luego cuanto menor sea la energ´ıa potencial en un punto de Γ
mayor sera´ la energ´ıa cine´tica en tal punto (se recorre la curva ma´s ra´pido). La geometr´ıa
de las curvas de fase {E = c} puede describirse analizando los valores de c pro´ximos a
las posiciones de equilibrio. Por ejemplo, para (x, x˙) pro´ximo (pero no igual) a (x0, 0), el
potencial se desarrolla V (x) = V (x0) + 12V
′′(x0)(x− x0)2+O((x− x0)3). As´ı, la ecuacio´n
E = c se transforma en c = 12(x˙)
2+V (x0)+ 12V
′′(x0)(x−x0)2+O((x−x0)3). Despreciando
el te´rmino O((x− x0)3), tenemos la co´nica del (x, x˙)-plano
(x˙)2 + V ′′(x0)(x− x0)2 = 2(c− V (x0)). (1.7)
No´tese que V ′′(x0) ≥ 0 (x0 es mı´nimo local de V ) y que c− V (x0) ≥ 0 (en caso contrario
(1.7) no tiene soluciones en el (x, x˙)-plano, luego tampoco las tiene {E = c}). Adema´s,
c−V (x0) = 0 exactamente cuando la energ´ıa cine´tica es cero, lo que ocurre en la posicio´n
de equilibrio, luego podemos suponer c−V (x0) > 0. Suponiendo adema´s V ′′(x0) 6= 0, (1.7)
es la ecuacio´n de una elipse, luego las curvas de fases {E = c} pro´ximas a la posicio´n de
equilibrio (x0, 0) son curvas cerradas simples, como en la Figura 1.1 derecha (si V ′′(x0) = 0
tendriamos un ana´lisis similar acudiendo a la primera derivada no nula de V en x0, lo cual
eleva el grado de la ecuacio´n polino´mica ana´loga a (1.7)). El estudio para (x, x˙) ∼ (x2, 0)
1.5. VARIEDADES RIEMANNIANAS EN MECA´NICA CLA´SICA. 17
es similar al anterior, del que so´lohemos usado V ′′(x0) > 0. Pero en x1 la situacio´n es
diferente, ya que V ′′(x1) < 0. En este caso, cambiando x0 por x1 en (1.7) tendremos:
Para c−V (x1) = 0 (i.e., para el valor de E dado por la posicio´n de equilibrio), (1.7)
es la ecuacio´n de un par de rectas que se cruzan en (x1, 0) (el eje {x˙ = 0} biseca el
a´ngulo formado por estas dos rectas). Por tanto, el conjunto de nivel {E = V (x1)}
consiste en tres curvas de fases: la posicio´n de equilibrio y dos curvas de fases que
son arcos abiertos con l´ımite (x1, 0), ver Figura 1.1 derecha.
Para c − V (x1) < 0, las curvas de nivel {E = c} definen una foliacio´n de los dos
“sectores” opuestos del complemento de {E = V (x1)} en un disco centrado en (x1, 0)
que contienen puntos del eje {x˙ = 0} (de igual forma que ramas de hipe´rbolas folian
los cuadrantes primero y tercero, localmente alrededor del origen).
Para c− V (x1) > 0, el comportamiento es similar al del punto anterior, cambiando
los sectores opuestos por los que no contienen puntos del eje {x˙ = 0}.
1.5.2. Sistemas con 2 grados de libertad.
Supongamos ahora que nuestra part´ıcula se mueve en un plano siguiendo una trayec-
toria p(t) = (x1(t), x2(t)) ∈ R2 tal que
p¨(t) = f(p(t)), (1.8)
donde ahora f ∈ C∞(R2,R2). El espacio de configuraciones es ahora R2 y de nuevo la teor´ıa
general de EDO nos dice que p(t) esta´ determinada un´ıvocamente por p(0), p˙(0) ∈ R2. La
energ´ıa cine´tica de p(t) es la evaluacio´n en p˙(t) ∈ R2 = Tp(t)R2 de la forma cuadra´tica
T (p, v) = T (v) =
1
2
g0(v, v)
(g0 es el producto escalar usual de R2). A diferencia del caso 1-dimensional, la energ´ıa
potencial no puede definirse siempre (f es ahora un campo, luego integrarlo supone encon-
trar una funcio´n sobre R2 cuyo gradiente sea ese campo). El sistema se dice conservativo
si ∃V ∈ C∞(R2) tal que f = −∇0V (gradiente en el sentido del Ana´lisis), lo cual equivale
a que el rotacional del campo f sea cero. De ahora en adelante supondremos que nuestro
sistema es conservativo. De nuevo el potencial determina las ecuaciones de movimiento y
sus soluciones (i.e. los movimientos del sistema) y si sumamos una constante al potencial,
las ecuaciones de los movimientos no cambian. Estas ecuaciones diferenciales coinciden con
las ecuaciones de Euler-Lagrange del funcional Φ(γ) =
∫ 1
0 L(γ, γ˙)dt, donde L ∈ C∞(TR2)
es el lagrangiano L(p, v) = T (v) − V (p), y Φ se aplica a cualquier curva γ : [0, 1] → R2
con extremos prefijados.
18 CAPI´TULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
La energ´ıa total del sistema es la funcio´n E ∈ C∞(TR2,R) dada por E(p, v) = T (v) +
V (p), que tambie´n cumple una ley de conservacio´n: E es una primera integral de (1.8)).
Para ver esto, tomemos un movimiento p(t) del sistema. Omitiendo la t,
d
dt
E(p, p˙) =
d
dt
(
1
2
g0(p˙, p˙) + V (p)
)
= g0(p˙, p¨) + g0(∇0V )(p), p˙) = g0(p˙, p¨− f(p)) = 0.
El espacio de fases es ahora TR2 ≡ R4 y (1.8) equivale al sistema{
p˙ = q
q˙ = f(p),
(1.9)
El campo asociado al sistema anterior es X ∈ X(TR2), X(p,q) = (q, f(p)), y las curvas
integrales α(t) = (p(t), q(t)) ∈ TR2 de X proyectan al primer factor dando movimientos
de (1.8) y viceversa. La ley de conservacio´n de la energ´ıa se enuncia diciendo que para
cada movimiento p(t), la curva (p(t), p˙(t)) cae en una hipersuperficie {E = c} c ∈ R
(como en el caso 1-dimensional, e´ste conjunto es realmente una hipersuperficie a menos
que c = E(p0, 0) = U(p0) con f(p0) = 0).
1.5.3. El pe´ndulo doble.
En los ejemplos anteriores el espacio de configuraciones era un espacio eucl´ıdeo (y
por tanto tambie´n el espacio de fases es eucl´ıdeo), y la me´trica g cuya forma cuadra´tica
defin´ıa la energ´ıa cine´tica T era (salvo una constante) el producto escalar usual. Pero
existen situaciones f´ısicas modeladas por espacios de configuraciones que son variedades
diferenciables ma´s generales, o donde la me´trica g que define a T es ma´s elaborada. Un
ejemplo es el pe´ndulo doble, que es un sistema compuesto por dos part´ıculas B,C de
masas respectivas m1, m2 > 0 unidas a un punto fijo A por segmentos inextensibles l1, l2
de longitudes r1, r2 > 0 como en la Figura 1.2 (se supone que los puntos B,C se mueven
un un plano vertical fijo). La posicio´n del sistema en un momento dado queda determinada
por los a´ngulos θ1, θ2 ∈ S1 que forman l1, l2 con la vertical (Figura 1.2), luego el espacio
de configuraciones es ahora M = S1 × S1. Los movimientos del sistema son curvas γ(t) =
(θ1(t), θ2(t)) que describen la evolucio´n del doble pe´ndulo partiendo de una posicio´n inicial
γ(0) y de una velocidad inicial γ˙(0). Situando el origen en A, las coordenadas cartesianas
de B,C son
B(θ1, θ2) = r1(sen θ1,− cos θ1), C(θ1, θ2) = r1(sen θ1,− cos θ1) + r2(sen θ2,− cos θ2).
La energ´ıa cine´tica de una curva γ(t) = (θ1(t), θ2(t)) en M es
T =
1
2
m1‖B˙‖2 + 12m2‖C˙‖
2 =
1
2
[
(m1 +m2)r21θ˙
2
1 +m2r
2
2θ˙
2
2 +m2r1r2 cos(θ1 − θ2)θ˙1θ˙2
]
,
1.5. VARIEDADES RIEMANNIANAS EN MECA´NICA CLA´SICA. 19
Figura 1.2: Un pe´ndulo doble.
que puede verse como la evaluacio´n en γ˙ de una forma cuadra´tica sobre TγM (luego
T ∈ C∞(TM)). La energ´ıa potencial es V (θ1, θ2) = m1GB2 +m2GC2, donde G ∼ 9,8 es
la constante gravitatoria y B2, C2 son las alturas de B,C. Esto da
V (θ1, θ2) = −(m1 +m2)Gr1 cos θ1 −m2Gr2 cos θ2.
Alternativamente, los movimientos son los puntos cr´ıticos del funcional
Φ(γ) =
∫ 1
0
L(γ, γ˙) dt
definido sobre el espacio F de curvas en M que unen dos puntos P,Q dados, donde
L ∈ C∞(TM) es el lagrangiano L = T−V , y por tanto son las soluciones de las ecuaciones
de Euler-Lagrange de Φ,
d
dt
(
∂L
∂θ˙1
)
=
∂L
∂θ1
,
d
dt
(
∂L
∂θ˙2
)
=
∂L
∂θ2
(esto se vera´ en general en la Seccio´n 1.5.4).
1.5.4. Formulacio´n general de la meca´nica Lagrangiana.
SeaMn una variedad diferenciable. Un lagrangiano sobreM es una funcio´n diferencia-
ble L ∈ C∞(TM), y una curva γ : R→M se dice un movimiento del sistema lagrangiano
(M,L) si es un punto cr´ıtico del funcional
Φ(α) =
∫ 1
0
L(α, α˙) dt
definido en el espacio de curvas α : [0, 1]→M tales que α(0), α(1) esta´n prefijados.
20 CAPI´TULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Lema 1.5.1 (Ecuaciones de Euler-Lagrange) Tomemos coordenadas locales (p, v) en
TM donde ahora p = (p1, . . . , pn) se mueve en un abierto de Rn y v = (v1, . . . , vn) en Rn.
Entonces, γ : R→M es un movimiento del sistema si y so´lo si
∀i = 1, . . . , n, ∂L
∂pi
(γ(t), γ˙(t)) =
∂2L
∂t∂vi
(γ(t), γ˙(t)).
Demostracio´n. Tomemos una variacio´n propia γu(t) de γ con campo variacional ξ = ξ(t) ∈
X(γ).
d
du
∣∣∣∣
u=0
∫ 1
0
L(γu(t), γ˙u(t))dt =
∫ 1
0
d
du
∣∣∣∣
0
L(γu(t), γ˙u(t))dt =∫ 1
0
n∑
i=1
(
∂L
∂pi
(γu(t), γ˙u(t))
∂γi
∂u
(t, u) +
∂L
∂vi
(γu(t), γ˙u(t))
∂γ˙i
∂u
(t, u)
)
u=0
dt =
∑
i
∫ 1
0
(
∂L
∂pi
(γ(t), γ˙(t))ξi(t) +
∂L
∂vi
(γ(t), γ˙(t))
∂2γ˙i
∂u∂t
(t, 0)
)
dt =
∑
i
(∫ 1
0
∂L
∂pi
(γ, γ˙)ξi dt+
∫ 1
0
{
d
dt
[
∂L
∂vi
(γ, γ˙)
∂γ˙i
∂u
(t, 0)
]
− ∂
2L
∂t∂vi
(γ, γ˙)
∂γ˙i
∂u
(t, 0)
}
dt
)
.
Como la variacio´n es propia, el sumando central anterior se anula por la regla de Barrow
luego
d
du
∣∣∣∣
u=0
∫ 1
0
L(γu(t), γ˙u(t))dt =
∑
i
(∫ 1
0
∂L
∂pi
(γ, γ˙)ξi dt−
∫ 1
0
∂2L
∂t∂vi
(γ, γ˙)ξi dt
)
=
∑
i
∫ 1
0
(
∂L
∂pi
− ∂
2L
∂t∂vi
)
(γ, γ˙)ξi dt.
Ahora el Lema se deduce de que podemos elegir el campo variacional arbitrariamente
(siempre que se anule en los extremos). 2
Definicio´n 1.5.1 Sea (Mn, g) una V.R. La forma cuadra´tica v ∈ TpM 7→ 12gp(v, v) se
llama la energ´ıa cine´tica, T : TM → R. Una energ´ıa potencial (o simplemente un potencial)
es una funcio´n diferenciable V ∈ C∞(M). Un lagrangiano L en M se dice natural si
L = T − V .
En general, las ecuacionesde movimiento de un sistema Lagrangiano (i.e. las ecuaciones
de Euler-Lagrange del Lema 1.5.1) no son las ecuaciones de las geode´sicas de una me´trica
Riemanniana sobre M . Cuando el potencial es cero (o constante), entonces L = T luego
el funcional Φ cuyos puntos cr´ıticos son los movimientos del sistema coincide, salvo una
1.5. VARIEDADES RIEMANNIANAS EN MECA´NICA CLA´SICA. 21
contante multiplicativa, con el funcional energ´ıa de g y por tanto sus puntos cr´ıticos son
las geode´sicas de la me´trica g. En general, para que las ecuaciones de Euler-Lagrange de
L sean las de las geode´sicas de una me´trica necesitamos que el potencial V dependa no
so´lo de la posicio´n, sino tambie´n de la velocidad.
1.5.5. Principios de conservacio´n y el Teorema de Noether.
En F´ısica encontramos a menudo una ley de conservacio´n, como en los ejemplos de
las Secciones 1.5.1 y 1.5.2, en los que una cierta cantidad escalar es conservada a lo largo
de cualquier movimiento del sistema f´ısico. Ya que los movimientos son soluciones de un
sistema de EDO de segundo orden sobre el espacio de configuracionesM (o de primer orden
sobre el espacio de fases TM), que una funcio´n I sea constante a lo largo de cualquier
movimiento es equivalente a que I sea una integral primera del sistema de segundo orden.
Hemos visto ejemplos de lagrangianos naturales L = T − V sobre (R, g0) o´ (R2, g0) en
los que E = T + V es una integral primera del sistema. El siguiente criterio nos permite
asegurar la existencia de una integral primera cuando el lagrangiano L no sea natural. Sea
(Mn, g) una variedad diferenciable y L ∈ C∞(TM) un lagrangiano sobre ella. Decimos
que un difeomorfismo φ :M → M conserva L si
L(φ(p), dφp(v)) = L(p, v), ∀(p, v) ∈ TM.
Teorema 1.5.1 (Noether) Supongamos que existe una familia 1-parame´trica de difeo-
morfismos φs : M → M que conservan el lagrangiano L, con φ0 = 1M . Entonces, existe
una funcio´n I ∈ C∞(TM,R) que es una integral primera del sistema lagrangiano, i.e. todo
movimiento γ del sistema cumple I ◦ γ = cte.
Demostracio´n. Localmente puedo tomar coordenadas (p, v) en TM donde ahora veo p =
(p1, . . . , pn) en un abierto de Rn y v = (v1, . . . , vn) en Rn. Tomemos un movimiento γ del
sistema. Como φs conserva L,
L(φs(γ(t)), (dφs)γ(t)(γ˙(t))) = L(γ(t), γ˙(t)) (1.10)
Luego llamando ψ(t, s) = φs(γ(t)) y derivando en s,
0 =
∂
∂s
L(γ(t), γ˙(t)) =
∂
∂s
L(ψ(t, s),
∂ψ
∂t
(t, s))
=
n∑
i=1
(
∂L
∂pi
(ψ(t, s),
∂ψ
∂t
(t, s))
∂ψi(t, s)
∂s
+
∂L
∂vi
(ψ(t, s),
∂ψ
∂t
(t, s))
∂2ψi(t, s)
∂s∂t
)
. (1.11)
Fijado s,
∂L
∂pi
(φs◦γ,
˙︷ ︸︸ ︷
φs ◦ γ) = ∂L
∂pi
(φs(γ), (dφs)γ(γ˙)) =
∂L
∂pi
(γ, γ˙) =
∂2L
∂t∂vi
(γ, γ˙) =
∂2L
∂t∂vi
(φs◦γ,
˙︷ ︸︸ ︷
φs ◦ γ),
22 CAPI´TULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
donde hemos usado (1.10) en la segunda igualdad. Por el Lema 1.5.1, t 7→ ψ(t, s) es un
movimeinto del sistema. Sustituyendo en (1.11) queda
0 =
n∑
i=1
(
∂2L
∂t∂vi
(ψ(t, s),
∂ψ
∂t
(t, s))
∂ψi(t, s)
∂s
+
∂L
∂vi
(ψ(t, s),
∂ψ
∂t
(t, s))
∂2ψi(t, s)
∂s∂t
)
=
n∑
i=1
∂
∂t
(
∂L
∂vi
(ψ(t, s),
∂ψ
∂t
(t, s))
∂ψi(t, s)
∂s
)
=
∂F (t, s)
∂t
,
donde F (t, s) =
∑n
i=1
∂L
∂vi
(ψ(t, s), ∂ψ∂t (t, s))
∂ψi(t,s)
∂s . Si ahora definimos
I(p, v) =
n∑
i=1
∂L
∂vi
(p, v)
d
ds
∣∣∣∣
0
φis(p)
en el dominio de la carta de TM que estamos usando, entonces I(γ(t), γ˙(t)) = F (t, 0)
(aqu´ı se usa que φ0 = 1M). Por tanto,
d
dt
I(γ(t), γ˙(t)) =
∂
∂t
F (t, 0) = 0,
de donde I(γ, γ˙) es constante. Quedar´ıa so´lo ver que I es una funcio´n globalmente definida
sobre TM , i.e. no depende de la carta de TM usada para definirla. Esto se reduce a un
cambio de cartas en TM . 2
1.5. VARIEDADES RIEMANNIANAS EN MECA´NICA CLA´SICA. 23
Ejercicios.
1. En el semiplano superior (R2)+ = {(x, y) / y > 0} se considera la me´trica hiperbo´lica
g = y−2〈·, ·〉. Demostrar que toda transformacio´n de Mo¨bius que conserve dicho semies-
pacio, ϕ(z) = az+bcz+d , donde a, b, c, d ∈ R con ad−bc > 0, es una isometr´ıa de ((R2)+, g)
en s´ı mismo. Concluir que dados p, q ∈ (R2)+, existe una isometr´ıa de ((R2)+, g) en
s´ı mismo que lleva p en q.
2. Dada una base B de Rn, denotemos por TB al toro n-dimensional obtenido como
cociente de Rn por el grupo Zv1 ⊕ . . .⊕ Zvn, y sea g0 su me´trica llana esta´ndar. Por
otro lado, dado r > 0 consideremos la circunferencia S1(r) ⊂ R2 centrada en el origen y
de radio r, con me´trica esta´ndar g inducida por el producto escalar usual de R2. Probar
que para cualesquiera r1, . . . , rn > 0, existe una base B de Rn tal que el toro (TB, g0)
es isome´trico a (S1(r1)× . . .× S1(rn), g× n). . .×g). ¿Es B u´nica?
3. Se considera el embebimiento dado por el toro de Clifford,
F : S1(1)× S1(1) −→ S3(1)
/
F (x1, x2, x3, x4) = 1√2(x1, x2, x3, x4).
En cada esfera se considera su me´trica cano´nica. Probar que la me´trica pullback v´ıa F de
la me´trica esta´ndar sobre S3(1) es homote´tica a la me´trica producto sobre S1(1)×S1(1).
4. Se considera la inmersio´n
F˜ : R2 −→ R6
/
F (t1, t2) = 1√3
(
e2piit1 , e2piit2 , e2pii(t1+t2)
)
.
Sea Γ el ret´ıculo de R2 generado por los vectores v1 = (1, 0), v2 = (0, 1). Demostrar
que F˜ induce un embebimiento F del toro T = R2/Γ en S5(1) (toro equila´tero). En
S5(1),T = R2/Γ se consideran respectivamente la me´trica cano´nica g (inducida por el
producto escalar usual de R6) y la me´trica pullback F ∗g. Encontrar una me´trica g1 sobre
R2 que se induzca al cociente T = R2/Γ y que lo haga isome´trico a (T, F ∗g).
5. Demostrar que el embebimiento de Veronese, inducido en RP2 por la inmersio´n
F˜ : S2(1) −→ S4(1/√3)
/
F˜ (x, y, z) =
(
1
2(x
2 − y2), xz, yz, xy,
√
3
6 (x
2 + y2 − 2z2)
)
es un embebimiento isome´trico si en RP2, S4(1/
√
3) consideramos sus respectivas me´tri-
cas esta´ndar (cociente de la me´trica cano´nica sobre S2(1) e inducida por el producto
escalar usual de R5, respectivamente).
6. Se considera el embebimiento de Tai F : RPn −→ S(n+1,R), inducido por la inmersio´n
F˜ : Sn(1) −→ S(n+ 1,R) / F˜ (p) =t p · p,
24 CAPI´TULO 1. VARIEDADES RIEMANNIANAS.
donde S(n+ 1,R) denota el espacio de matrices sime´tricas reales de orden n + 1. Sea
g1 la me´trica esta´ndar sobre RPn (cociente de la me´trica cano´nica sobre la esfera) y
g0(A,B) = Traza(A · B) la me´trica cano´nica sobre S(n + 1,R). Demostrar que la
me´trica pullback F ∗g0 es homote´tica a g1.
7. Un difeomorfismo φ : (M1, g1) −→ (M2, g2) entre V.R. se dice una transformacio´n
conforme si la me´trica pullback φ∗g2 es conforme a g1.
(A) Probar que toda transformacio´n conforme conserva a´ngulos (si (M, g) es una V.R.
y p ∈ M , el a´ngulo entre u, v ∈ TpM − {0} se define como el menor θ ∈ [0, 2pi[
que cumple gp(u, v) = ‖u‖‖v‖ cosθ).
(B) Demostrar que la proyeccio´n estereogra´fica respecto de un punto a ∈ Sn(1) es una
transformacio´n conforme de (Sn(1) − {a}, g1) en (Rn, g0), donde g1, g0 son las
me´tricas cano´nicas de Sn(1) y Rn, respectivamente.
8. Se consideran dos isometr´ıas φi : (Mi, gi) −→ (Ni, g˜i), i = 1, 2. Demostrar que la
aplicacio´n producto φ1 × φ2 : (M1 × M2, g1 × g2) −→ (N1 × N2, g˜1 × g˜2) es una
isometr´ıa.
9. Probar que sobre toda variedad diferenciable existe una me´trica Riemanniana (Indicacio´n:
usar particiones de la unidad).
Cap´ıtulo 2
Ca´lculo en variedades
Riemannianas.
Una forma de encarar el estudio de una V. R. es por medio de los espacios de funciones,
campos o formas que soporta. Sobre estos espacios de funciones, campos y 1-formas actu´an
ciertos operadores diferenciales, en te´rminos de los que podemos estudiar ecuaciones difer-
enciales que nos dara´n informacio´n sobre la V.R. Dedicaremos este tema a introducir
algunos de estos operadores diferenciales sobre una V.R. (Mn, g).
2.1. Gradiente de una funcio´n.Definicio´n 2.1.1 Sea f ∈ C∞(M). Dado p ∈ M , se define (∇f)p ∈ TpM como el u´nico
vector de TpM que cumple
gp((∇f)p, v) = v(f), ∀v ∈ TpM.
O equivalentemente, g(∇f,X) = X(f) ∀X ∈ X(M).
Lema 2.1.1 ∇f ∈ X(M).
Demostracio´n. So´lo hay que probar la diferenciabilidad de ∇f , y podemos hacer esto en
coordenadas locales. Dada (U, ψ = (x1, . . . , xn)) carta local paraM , no es dif´ıcil comprobar
que
∇f =
n∑
i,j=1
∂f
∂xj
gij
∂
∂xi
en U,
donde (gij)i,j es la matriz inversa de (gij)i,j (ejercicio). 2
En el caso particular (Mn, g) = (Rn, g0), obtenemos la fo´rmula cla´sica∇0f =
(
∂f
∂x1
, . . . , ∂f∂xn
)
.
25
26 CAPI´TULO 2. CA´LCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Proposicio´n 2.1.1 Sean f, h ∈ C∞(M).
1. ∇(f + h) = ∇f +∇h, ∇(fh) = f∇h + h∇f , ∇(1/f) = − 1
f2
∇f .
2. Si φ : (M1, g1) → (M2, g2) es una isometr´ıa, entonces φ∗∇(f2 ◦ φ) = ∇′f2, ∀f2 ∈
C∞(M2).
3. Si g′ = λg con λ ∈ C∞(N,R+), entonces ∇′f = 1λ∇f .
4. El gradiente es ortogonal a las hipersuperficies de nivel: Si a ∈ R es valor regular de
f , entonces (∇f)p ⊥ Tpf−1({a}) ∀p ∈ f−1({a}).
Demostracio´n. (Ejercicio). 2
2.2. La conexio´n de Levi-Civita.
En el espacio eucl´ıdeo sabemos derivar un campo diferenciable Y en la direccio´n de
otro X (basta usar la derivada direccional dY (X) del Ana´lisis), y obtenemos otro campo
diferenciable. Si intentamos la misma operacio´n sobre una superficie regular S ⊂ R3, el
resultado no tiene porque´ ser tangente a la superficie, luego es natural tomar so´lo la parte
tangente dY (X)T de dY (X). Pero si tenemos una variedad abstracta sobre la que no
podemos servirnos de una estructura extr´ınseca, co´mo podemos definir el equivalente a
dY (X)T? Esta cuestio´n nos llevara´ a la conexio´n de Levi-Civita, una herramienta que
nos abrira´ una puerta para estudiar geode´sicas, curvatura y otros objetos claves de la
Geometr´ıa Riemanniana, pero desde el punto de vista intr´ıseco. Seguimos denotando por
(Mn, g) a una V.R.
Definicio´n 2.2.1 Dados X, Y ∈ X(M), se define ∇XY ∈ X(M) como el u´nico campo
que cumple la fo´rmula de Koszul,
2g(∇XY, Z) = X(g(Y, Z))+ Y (g(Z,X))− Z(g(X, Y ))
+ g([X, Y ], Z) + g(Y, [Z,X])− g(X, [Y, Z]), ∀Z ∈ X(M),
donde [·, ·] es el corchete de Lie de campos en M .
Justificaremos ma´s adelante la fo´rmula anterior. Hemos dicho que ∇XY ∈ X(M). La
diferenciabilidad de ∇XY se deduce de su expresio´n en coordenadas locales: si (U, ψ =
(x1, . . . , xn)) es una carta local de M , entonces
∇ ∂
∂xi
∂
∂xj
=
n∑
k=1
Γkij
∂
∂xk
,
2.2. LA CONEXIO´N DE LEVI-CIVITA. 27
donde los coeficientes Γkij (llamados s´ımbolos de Christoffel de g) vienen dados por
Γkij =
1
2
n∑
h=1
(
∂gjh
∂xi
+
∂gih
∂xj
− ∂gij
∂xh
)
ghk. (2.1)
(Probar (2.1) como ejercicio). En particular, Γkij ∈ C∞(U) ∀i, j, k, de donde es fa´cil probar
que ∇XY ∈ X(M) ∀X, Y ∈ X(M).
Proposicio´n 2.2.1 La aplicacio´n ∇ : X(M)×X(M)→ X(M), ∇(X, Y ) = ∇XY , cumple
las siguientes propiedades:
1. ∇fX1+X2Y = f∇X1Y +∇X2Y, ∇X(fY1 + Y2) = X(f)Y1 + f∇XY1 +∇XY2 (∇ es
una conexio´n af´ın sobre M).
2. ∇XY − ∇YX = [X, Y ] (∇ es libre de torsio´n).
3. X(g(Y, Z)) = g(∇XY, Z) + g(Y,∇XZ) (∇ paraleliza a la me´trica).
4. ∇ es la u´nica conexio´n af´ın sobre M libre de torsio´n y que paraleliza a la me´trica.
Demostracio´n. 1,2,3 son consecuencia directa de la fo´rmula de Koszul. En cuanto a 4, si
∇ es una conexio´n af´ın sobre M libre de torsio´n y que paraleliza a g, entonces
X(g(Y, Z)) = g(∇XY, Z) + g(Y,∇XZ),
Y (g(Z,X)) = g(∇Y Z,X) + g(Z,∇YX),
Z(g(X, Y )) = g(∇ZX, Y ) + g(X,∇ZY ).
Sumando las dos primeras ecuaciones, restando la tercera y usando que ∇ es libre de
torsio´n, obtenemos
X(g(Y, Z))+Y (g(Z,X))−Z(g(X,Y )) = g(2∇XY +[Y,X ], Z)+g(Y, [X,Z])+g(X, [Y,Z]),
luego ∇ tambie´n cumple la fo´rmula de Koszul, de donde ∇ = ∇. 2
La demostracio´n anterior justifica la Definicio´n 2.2.1.
Definicio´n 2.2.2 En la situacio´n anterior, a ∇ se le llama la conexio´n de Levi-Civita de
(Mn, g).
Ejemplos.
1. La conexio´n de Levi-Civita de (Rn, g0) es ∇XY = dY (X) (esto se deduce de la
expresio´n local de ∇ y de (2.1) con gij = δij).
28 CAPI´TULO 2. CA´LCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
2. Si S ⊂ R3 es una superficie regular con me´trica inducida g, entonces su conexio´n de
Levi-Civita es
(∇XY )p = dYp(Xp)− gp(Xp, ApYp)Np = (dYp(Xp))T ,
donde N es la aplicacio´n de Gauss (localmente definida) de S y A = −dN es el
endomorfismo de Weingarten asociado a N (se deduce del apartado 4 de la Proposi-
cio´n 2.2.1).
3. La conexio´n de Levi-Civita de (Sn(1), g = i∗〈·, ·〉) es
(∇XY )p = dYp(Xp) + 〈Xp, Yp〉p
(tambie´n se deduce del apartado 4 de la Proposicio´n 2.2.1). Esta fo´rmula tiene un
ana´logo para el espacio hiperbo´lico Hn con el modelo del paraboloide en el espacio
de Lorentz-Minkowski, consultar el ejercicio 4.
4. Si φ : (M1, g1)→ (M2, g2) es una isometr´ıa entre V.R. y ∇1,∇2 son respectivamente
las conexiones de Levi-Civita de (M1, g1), (M2, g2), entonces
∇2φ∗Xφ∗Y = φ∗(∇1XY ), ∀X, Y ∈ X(M1).
(Ejercicio).
5. Conexio´n de Levi-Civita y me´tricas conformes.
Sea g′ = e2ug una me´trica conforme a g sobre M , donde u ∈ C∞(M). Entonces, la
fo´rmula de Koszul da la siguiente relacio´n entre las conexiones de Levi-Civita ∇ de
g y ∇′ de g′:
∇′XY = ∇XY +X(u)Y + Y (u)X − g(X, Y )∇u,
donde ∇u es el gradiente de u respecto de g (ejercicio).
2.3. Derivada covariante y transporte paralelo.
Sea α ∈ C∞(]a, b[,M) una curva y t0 ∈]a, b[ tal que α′(t0) 6= 0. Dado X ∈ X(α), existe
ε > 0 y ∃X˜ ∈ X(M) con X˜α(t) = X(t) siempre que |t− t0| < ε.
Lema 2.3.1 ∇α′(t0)X˜ no depende de la extensio´n X˜ de X.
Demostracio´n. Expresar X como combinacio´n lineal de una base local de campos asociada
a una carta. Las propiedades de tensorialidad de una conexio´n nos llevara´n a que la
expresio´n de ∇α′(t0)X˜ no depende ma´s que del comportamiento de X˜ a lo largo de α en
un entorno de α(t0), donde coincide con X (ejercicio). 2
El Lema 2.3.1 nos permite hacer la siguiente definicio´n.
2.3. DERIVADA COVARIANTE Y TRANSPORTE PARALELO. 29
Definicio´n 2.3.1 En la situacio´n anterior, la derivada covariante de X en t0 es el vector
DX
dt
(t0) = ∇α′(t0)X˜.
Proposicio´n 2.3.1 La derivada covariante tiene las siguientes propiedades:
1. ∀X ∈ X(α), DXdt ∈ X(α).
2. ∀X, Y ∈ X(α), f ∈ C∞(]a, b[), D(fX+Y )dt = f ′X + f DXdt + DYdt .
3. ddt(gα(X, Y )) = gα(
DX
dt , Y ) + gα(X,
DY
dt ).
Demostracio´n. 1 es consecuencia de la expresio´n local de DXdt en una carta (U, ψ =
(x1, . . . , xn)):
DX
dt
=
n∑
k=1
a′k + n∑
i,j=1
(xi ◦ α)′aj(Γkij ◦ α)
( ∂
∂xk
)
α
, (2.2)
donde X =
∑
i ai
(
∂
∂xi
)
α
y Γkij son los s´ımbolos de Christoffel en dicha carta. 2 es una
aplicacio´n directa de las propiedades de una conexio´n (en realidad, 1,2 son va´lidas para
cualquier conexio´n af´ın), y 3 se deduce de que la conexio´n de Levi-Civita paraleliza a la
me´trica. 2
Definicio´n 2.3.2 Sea α :]a, b[→ M una curva regular. Un campo X ∈ X(M) se dice
paralelo si DXdt = 0.
Como los campos paralelos son el nu´cleo del operador Ddt : X(α)→ X(α), forman un sube-
spacio vectorial de X(α) (pero no un C∞(]a, b[)-mo´dulo). Del apartado 3 de la Proposi-
cio´n 2.3.1 se sigue que
Lema 2.3.2 Si X, Y ∈ X(α) son paralelos, entonces gα(X, Y ) es constante en ]a, b[. En
particular, la norma de un campo paralelo es constante.
Una consecuencia de (2.2) es que los campos paralelos son localmente las soluciones del
sistema de EDO en ]a, b[
a′k +
n∑
i,j=1
(xi ◦ α)′aj(Γkij ◦ α) = 0 ∀k = 1, . . . , n. (2.3)
Teorema 2.3.1 Sea α : [a, b] → M una curva regular1. Dado t0 ∈ [a, b] y v ∈ Tα(t0)M ,
∃!X ∈ X(α) paralelo tal que X(t0) = v.
1α es restriccio´n a [a, b] de una curva regular definida en un intervalo abierto que contiene a [a, b].
30 CAPI´TULO 2. CA´LCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
Demostracio´n. Si latraza de α esta´ contenida en un abierto coordenado, entonces el
teorema es consecuencia directa de la teor´ıa general de EDO. En el caso general, se recubre
α([a, b]) por abiertos coordenados y se usa la unicidad de solucio´n de un p.v.i. para probar
que los campos paralelos dados por el caso anterior coinciden en la interseccio´n de dos
parches. 2
Definicio´n 2.3.3 Sea α :]a, b[→M una curva regular y [t0, t1] ⊂]a, b[. El traslado paralelo
de t0 a t1 lo largo de α es la aplicacio´n τ t1t0 : Tα(t0)M → Tα(t1)M tal que τ t1t0 (v) es el valor
en t1 del u´nico campo X ∈ X(α) paralelo con X(t0) = v.
Proposicio´n 2.3.2 En la situacio´n anterior,
1. τ t1t0 es una isometr´ıa vectorial de (Tα(t0)M, gα(t0)) en (Tα(t1)M, gα(t1)), con inversa
(τ t1t0 )
−1 = τ t0t1 .
2. τ t2t1 ◦ τ t1t0 = τ t2t0 .
Demostracio´n. La linealidad de τ t1t0 es consecuencia directa de que estructura de espacio
vectorial en el conjunto de campos paralelos y de la unicidad del campo paralelo a partir
de una condicio´n inicial. Para ver que τ t1t0 es biyectiva, primero hay que dar sentido a τ
t0
t1
cuando t1 > t0. Sea β : [t0, t1]→M la reparametrizacio´n β(s) = α(t0+t1−s) de α recorrida
al reve´s. Entonces, tenemos un isomorfismo de C∞([t0, t1])-mo´dulos ∗ : X(α) → X(β)
donde X∗(s) = X(t0 + t1 − s), que cumple
DX∗
ds
= −
(
DX
dt
)∗
(probarlo usando coordenadas locales). Por tanto, ∗ lleva campos paralelos a lo largo de
α en campos paralelos a lo largo de β (y viceversa). De aqu´ı se deduce fa´cilmente que
τ t1t0 (α) ◦ τ t1t0 (β) = 1Tα(t1)M , τ
t1
t0 (β) ◦ τ t1t0 (α) = 1Tα(t0)M ,
que es el sentido riguroso de la igualdad (τ t1t0 )
−1 = τ t0t1 del enunciado. Que τ
t1
t0 respeta las
me´tricas es consecuencia del Lema 2.3.2. 2
Si α :]a, b[→ M es una curva regular, [t0, t1] ⊂]a, b[ y {v1, . . . , vn} es una base de
Tα(t0)M , entonces los campos Pi ∈ X(α|[t0,t1]) paralelos definidos por Pi(t0) = vi o equiv-
alentemente Pi(t) = τ tt0(vi), forman base de cada Tα(t)M en cada t ∈ [t0, t1], y se llaman
la base de campos paralelos que extiende a {v1, . . . , vn}. Adema´s, si {v1, . . . , vn} es gα(t0)-
ortonormal, entonces {P1(t), . . . , Pn(t)} es gα(t)-ortonormal ∀t ∈ [t0, t1], luego todo campo
X ∈ X(α|[t0,t1]) se expresara´
X =
n∑
i=1
gα(X,Pi)Pi.
2.4. GEODE´SICAS Y APLICACIO´N EXPONENCIAL. 31
Lema 2.3.3 Sea {P1, . . . , Pn} ⊂ X(α|[t0,t1]) la base de campos paralelos que extiende a
una base {v1, . . . , vn} de Tα(t0)M (no necesariamente ortonormal). Entonces, un campo
X : [t0, t1] → M a lo largo de α es diferenciable si y so´lo si X =
∑n
i=1 aiPi con ai ∈
C∞([t0, t1]), 1 ≤ i ≤ n.
Demostracio´n. Ejercicio. 2
La expresio´n de un campo X ∈ X(α) en funcio´n de una base de campos paralelos permite
probar el siguiente
Teorema 2.3.2 Sean X, Y ∈ X(M), p ∈M tal que Xp 6= 0 y α :]− ε, ε[→M una curva
regular con α(0) = p, α′(0) = Xp. Entonces,
(∇XY )p = l´ım
t→0
1
t
[
(τ t0)
−1(Yα(t))− Yα(0)
]
,
donde τ t0 es el traslado paralelo a lo largo de α.
Demostracio´n. Sea {P1, . . . , Pn} la base de campos paralelos a lo largo de α que extiende
a una base {v1, . . . , vn} de Tα(0)M . Como Y ◦ α ∈ X(α), tendremos Y ◦ α =
∑
i aiPi para
ciertas ai ∈ C∞(]− ε, ε[), 1 ≤ i ≤ n. Por definicio´n de derivada covariante,
(∇XY )p = D(Y ◦ α)
dt
(0) =
D
dt
∣∣∣∣
t=0
(∑
i
aiPi
)
=
∑
i
a′i(0)vi
=
∑
i
l´ım
t→0
1
t
[ai(t)− ai(0)] vi = l´ım
t→0
1
t
[∑
i
ai(t)(τ t0)
−1(Pi(t))− Yα(0)
]
,
de donde el Teorema se deduce directamente. 2
2.4. Geode´sicas y aplicacio´n exponencial.
Seguimos con nuestra V.R. (Mn, g).
Definicio´n 2.4.1 Una γ :]a, b[→M una curva regular se dice geode´sica si γ ′ es paralelo,
i.e.
Dγ ′
dt
= 0 en ]a, b[.
Del Lema 2.3.2 tenemos que la velocidad de una geode´sica es siempre constante en norma.
Esto nos dice que “ser geode´sica” dependera´ de la parametrizacio´n de la curva. Ma´s
precisamente, si φ :]c, d[→]a, b[ es un difeomorfismo entonces dds(γ ◦φ) = dφds
(
dγ
dt ◦ φ
)
, luego
32 CAPI´TULO 2. CA´LCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
D
ds
(
d
ds (γ ◦ φ)
)
= d
2φ
ds2
(
dγ
dt ◦ φ
)
+ dφds
D
ds
(
dγ
dt ◦ φ
)
. Aplicando el apartado b) del Ejercicio 8 al
segundo sumando anterior, tenemos Dds
(
dγ
dt ◦ φ
)
= dφds
[
D
dt
(
dγ
dt
)
◦ φ
]
, que se anula por ser
γ geode´sica. Por tanto, γ ◦ φ vuelve a ser geode´sica si y so´lo si d2φds2 = 0 en ]a, b[, i.e. φ(s)
es una funcio´n af´ın.
Del sistema de EDO (2.3) y de que localmente γ ′ =
∑
i(xi ◦ γ)′
(
∂
∂xi
)
γ
en te´rminos de
una carta local (U, ψ = (x1, . . . , xn)) de M se deduce el siguiente
Lema 2.4.1 γ :]a, b[→M es geode´sica si y so´lo si
(xk ◦ γ)′′+
∑
i,j
(xi ◦ γ)′(xj ◦ γ)′(Γkij ◦ γ) = 0 en ]a, b[, ∀k = 1, . . . , n. (2.4)
Lo anterior es un sistema de EDO de segundo orden, luego tiene solucio´n u´nica para cada
eleccio´n de (xk ◦ γ)(t0), (xk ◦ γ)′(t0) ∈ R, 1 ≤ k ≤ n (siendo t0 ∈]a, b[). Como lo primero
son las coordenadas de p = γ(0) y lo segundo las de γ ′(0), deducimos
Teorema 2.4.1 Dados p ∈M , v ∈ TpM , ∃! geode´sica γ de (M, g) definida en un entorno
de 0 ∈ R, tal que γ(0) = p, γ ′(0) = v. Esta unicidad significa que si β es una geode´sica en
(M, g) con γ(0) = β(0) y γ ′(0) = β′(0), entonces γ = β en Dom(γ)∩Dom(β).
Recordemos que los movimientos de un sistema f´ısico pod´ıan verse como las proyec-
ciones sobre el primer factor de las curvas integrales de cierto campo en el espacio de fases,
y que esta construccio´n se basaba en que un sistema de EDO de segundo orden sobre una
variedad M puede convertirse en un sistema de EDO sobre TM . Ahora usaremos esta
misma idea para ver las geode´sicas de (M, g) como las proyecciones sobre el primer factor
del flujo geode´sico.
Sea (U, ψ = (x1, . . . , xn)) una carta local para M . Asociada a (U, ψ) tenemos la car-
ta de TM
(
pi−1(U), (ψ× 1Rn) ◦ ψ˜
)
, donde pi : TM → M es la proyeccio´n pi(p, v) = p
y ψ˜ : pi−1(U) → U × Rn viene dada por ψ˜(p, v) = (p, v(x1), . . . , v(xn)). Llamemos
(q1, . . . , qn, q˙1, . . . , q˙n) a las funciones coordenadas de (ψ × 1Rn) ◦ ψ˜, i.e. qi(p, v) = xi(p),
q˙i(p, v) = v(xi), 1 ≤ i ≤ n. Consideremos el campo que en coordenadas locales se escribe
XG =
n∑
k=1
q˙k
∂
∂qk
−
n∑
k=1
 n∑
i,j=1
q˙iq˙j(Γkij ◦ pi)
 ∂
∂q˙k
∈ X(pi−1(U)). (2.5)
Lema 2.4.2 Si γ˜ :]a, b[→ pi−1(U) es curva integral de XG, entonces γ˜ es de la forma
γ˜ = (γ, γ ′) para cierta curva γ :]a, b[→ U .
2.4. GEODE´SICAS Y APLICACIO´N EXPONENCIAL. 33
Demostracio´n. En principio, γ˜ sera´ del tipo (γ,W ), donde γ :]a, b[→ U y W ∈ X(γ). Pero
γ˜ ′(t) = XG
γ˜(t)
=
∑
k
q˙k(γ,W )
(
∂
∂qk
)
(γ,W )
−
∑
i,j,k
q˙i(γ,W )q˙j(γ,W )Γkij(γ)
(
∂
∂q˙k
)
(γ,W )
=
∑
k
[W (t)](xi)
(
∂
∂qk
)
(γ,W )
−
∑
i,j,k
[W (t)](xi)[W (t)](xj)Γkij(γ)
(
∂
∂q˙k
)
(γ,W )
.
Por tanto,
γ ′ = (pi ◦ γ˜)′ = dpiγ˜(γ˜ ′) =
∑
k
[W (t)](xi)dpi(γ,W )
((
∂
∂qk
)
(γ,W )
)
−
∑
i,j,k
[W (t)](xi)[W (t)](xj)Γkij(γ)dpi(γ,W )
((
∂
∂q˙k
)
(γ,W )
)
.
Si vemos que
dpi(p,v)
((
∂
∂qk
)
(p,v)
)
=
(
∂
∂xk
)
p
, dpi(p,v)
((
∂
∂q˙k
)
(p,v)
)
= 0, (2.6)
entonces tendremos
γ ′ =
∑
k
[W (t)](xi)
(
∂
∂xk
)
γ
= W (t),
como desea´bamos. La demostracio´n de (2.6) es como sigue: Sabemos que los campos ba´sicos
asociados a una carta en TM son la imagen inversa por la diferencial de la carta de los
vectores de la base cano´nica de R2n. Usando esto para (ψ × 1) ◦ ψ˜, es fa´cil llegar a
dpi(p,v)
((
∂
∂qk
)
(p,v)
)
= d(pi ◦ ψ˜−1)(p,(ai))
((
∂
∂xk
)
p
, 0
)
,
dpi(p,v)
((
∂
∂q˙k
)
(p,v)
)
= d(pi ◦ ψ˜−1)(p,(ai)) (0, ek) ,
donde (a1, . . . , an) son las coordenadas de v respecto de la base de campos de ψ en p.Pero
pi ◦ ψ˜−1 es la proyeccio´n de U × Rn sobre su primer factor, luego
d(pi ◦ ψ˜−1)(p,(ai))
((
∂
∂xk
)
p
, 0
)
=
(
∂
∂xk
)
p
,
d(pi ◦ ψ˜−1)(p,(ai)) (0, ek) = 0.
2
Proposicio´n 2.4.1 En la situacio´n anterior, se tiene:
34 CAPI´TULO 2. CA´LCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
1. Si γ˜ es curva integral de XG, entonces γ˜ = (γ, γ ′) siendo γ una geode´sica de (M, g).
2. Si γ :]a, b[→ U es geode´sica de (M, g), entonces γ˜ = (γ, γ ′) es curva integral de XG.
Demostracio´n. Si γ˜ es curva integral de XG, entonces γ˜ = (γ, γ ′) por el Lema 2.4.2.
Expresando la igualdad γ˜ ′ = XG
γ˜
en combinacio´n lineal de ∂∂qk ,
∂
∂q˙k
e igualando coeficientes
obtenemos (qk ◦ γ˜)′ = ˙ qk ◦ γ˜ y
(q˙k ◦ γ˜)′ = −
n∑
i,j=1
(q˙i ◦ γ˜)(q˙j ◦ γ˜)(Γkij ◦ pi ◦ γ˜), 1 ≤ k ≤ n. (2.7)
Comparando lo anterior con (2.4) deducimos que γ es una geode´sica. Rec´ıprocamente, si
γ es geode´sica de (M, g) entonces, la ecuacio´n (2.4) nos dice que (2.7) se cumple. Como
(qk ◦ γ˜)′ = ˙ qk ◦ γ˜ se da porque γ˜ = (γ, γ ′), deducimos que γ˜ ′ = XGγ˜ . 2
Corolario 2.4.1 XG no depende de la carta (U, ψ) usada en la ecuacio´n (2.5), y define
un campo XG ∈ X(TM) (llamado flujo geode´sico).
Demostracio´n. Sean (U, ψ), (V,φ) dos cartas locales para M , y XG, Y G los campos re-
spectivos en pi−1(U), pi−1(V ). Supongamos que U ∩ V 6= Ø y sea (p, v) ∈ pi−1(U ∩ V ).
Llamemos γ˜, Γ˜ a las u´nicas curvas integrales de XG, Y G pasando por (p, v) en t = 0.
Por la Proposicio´n 2.4.1, γ˜ = (γ, γ ′), Γ˜ = (Γ,Γ′) con γ,Γ geode´sicas de (M, g). Adema´s,
la condiciones iniciales de γ˜, Γ˜ implican que γ(0) = Γ(0) = p, γ ′(0) = Γ′(0) = v luego
γ = Γ por el Teorema 2.4.1, de donde γ˜ = Γ˜. Derivando y evaluando en t = 0 obtenemos
XG(p,v) = Y
G
(p,v). 2
Dado (p, v) ∈ TM , sea γG(p,v) : I(p,v) → TM la curva integral maximal de XG con
condicio´n inicial γG(p,v)(0) = (p, v). As´ı, el grupo local uniparame´trico deX
G es {ϕGt }t donde
ϕGt : D
G
t → DG−t es el difeomorfismo ϕGt (p, v) = γG(p,v)(t) yDGt = {(q, w) ∈ TM | t ∈ I(q,w)},
abierto de TM .
Teorema 2.4.2 Dado (p, v) ∈ TM , se tienen:
1. La curva γ(·, p, v) = pi ◦ γG(p,v) : I(p,v) → M es la u´nica geode´sica de (M, g) con
condiciones iniciales γ(0, p, v) = p, γ ′(0, p, v) = v e I(p,v) es su intervalo maximal de
definicio´n.
2. ∃ε > 0, ∃V(p,v) abierto de TM con (p, v) ∈ V(p,v) tales que γ :] − ε, ε[×V(p,v) → M
dada por
γ(t, q, w) = (pi ◦ γG(q,w))(t) = (pi ◦ϕGt )(q, w)
esta´ definida y es diferenciable.
2.4. GEODE´SICAS Y APLICACIO´N EXPONENCIAL. 35
Demostracio´n. 1 es consecuencia de los resultados anteriores, y 2 de la teor´ıa general del
grupo uniparame´trico local asociado a un campo. 2
Lema 2.4.3 (Homogeneidad de las geode´sicas) Dados (p, v) ∈ TM y λ > 0, se tiene
I(p,λv) = 1λI(p,v) y γ(t, p, λv) = γ(λt, p, v), ∀t ∈ I(p,λv).
Demostracio´n. Como α(t) = γ(λt, p, v) es una reparametrizacio´n proporcional al arco de
una geode´sica, α es tambie´n geode´sica. Sus condiciones iniciales son α(0) = p, α′(0) =
λv, luego a(·) = γ(·, p, λv) por unicidad de las geode´sicas. De aqu´ı el Lema se deduce
fa´cilmente. 2
Ejemplos de V.R. y sus geode´sicas.
1. Geode´sicas en (Rn, g0).
Las geode´sicas son las rectas afines recorridas con velocidad constante.
2. Geode´sicas en (Sn(1), g).
Dados p ∈ Sn(1) y v ∈ TpSn(1) = 〈p〉⊥, ‖v‖ = 1. Sea γ : R → Sn(1) el c´ırculo
ma´ximo γ(t) = cos t ·p+sen t ·v. La conexio´n de Levi-Civita de la esfera implica que
Dγ′
dt = dXγ(γ
′) + 〈γ ′, Xγ〉γ, donde X ∈ X(Sn(1)) cumple Xγ = γ ′ localmente. As´ı,
Dγ′
dt = γ
′′+ ‖γ ′‖2γ = −γ + γ = 0, luego γ es geode´sica. Si ahora tomamos cualquier
v ∈ TpSn(1) − {0}, entonces el Lema de homogeneidad implica que γ(t, p, v) =
γ(‖v‖t, p, v‖v‖) = cos(‖v‖t) · p + sen(‖v‖t) · v‖v‖ . Estas son todas las geode´sicas en la
esfera (adema´s de las constantes).
3. Geode´sicas en RPn.
Como una isometr´ıa local conserva las conexiones de Levi-Civita (apartado 4 de la
pa´gina 28), el punto anterior nos dice que las geode´sicas no triviales de RPn son
las proyecciones a RPn de los c´ırculos ma´ximos de Sn(1), recorridos con velocidad
constante en norma.
4. Geode´sicas en el plano hiperbolico con el modelo del semiplano.
A continuacio´n determinaremos todas las geode´sicas del plano hiperbo´lico usando
transformaciones de Mo¨bius. El estudio que sigue puede hacerse en dimensio´n n,
donde hay tambie´n un concepto de transformacio´n de Mo¨bius (entendida como una
composicio´n de inversiones respecto a (n−1)-esferas o (n−1)-planos de Rn) aunque
no tengamos la ayuda del Ana´lisis complejo. En el ejercicio 4 pueden encontrarse las
geode´sicas del espacio hiperbo´lico Hn con el modelo del paraboloide en el espacio de
Lorentz-Minkowski.
Consideremos sobre (R2)+ = {(x, y) ∈ R2 | y > 0} la me´trica hiperbo´lica g = 1
y2
g0
y la carta global ((R2)+, 1d). Los s´ımbolos de Christoffel de g respecto a esta carta
36 CAPI´TULO 2. CA´LCULO EN VARIEDADES RIEMANNIANAS.
son (ver ejercicio 5):
Γ111 = Γ
2
12 = Γ
2
21 = Γ
1
22 = 0, Γ
2
11 = −Γ112 = −Γ121 = −Γ222 =
1
y
,
luego la ecuacio´n (2.4) de las geode´sicas γ = (γ1, γ2) se transforma en el sistema de
EDO  γ ′′1 − 2
γ′1γ
′
2
γ2
= 0,
γ ′′2 +
(γ′1)
2
γ2
− (γ′2)2γ2 = 0
(2.8)
Empezamos buscando soluciones de (2.8) de la forma γ(t) = (a, γ2(t)) con a ∈ R
(rectas verticales). La primera ecuacio´n de (2.8) ahora no dice nada, y la segunda
se transforma en γ
′′
2
γ′2
= γ
′
2
γ2
. Integrando dos veces tenemos γ2(t) = eb+ct, luego salvo
un cambio de para´metro af´ın, γ(t) = (a, et). No´tese que gγ(γ ′, γ ′) = 1, luego es-
ta geode´sica esta´ normalizada, y definida para todo valor del para´metro. Su traza
coincide con una geode´sica en la me´trica g0 de R2, pero no su parametrizacio´n. Si
hacemos algo parecido buscando geode´sicas del tipo γ(t) = (γ1(t), b) llegaremos a γ
constante.
En cuanto al resto de geode´sicas, sabemos por el ejercicio 1 del Tema 1 que toda
transformacio´n de Mo¨bius ϕ(z) = az+bcz+d con a, b, c, d ∈ R, ad−bc > 0, es una isometr´ıa
de (R2)+, g) en s´ı mismo. Sea L una recta vertical en C, y ϕ una transformacio´n de
Mo¨bius del tipo anterior. ϕ(L) sera´ una recta o circunferencia en C que corta ortog-
onalmente a ϕ(R) = R, luego o bien ϕ(L) es una recta vertical (que ya hemos estudi-
ado como geode´sica del plano hiperbo´lico) o ϕ(L) es una circunferencia centrada en
un punto de R. Adema´s como γ(t) = (a, et) es una parametrizacio´n como geode´sica
de una semirrecta vertical y ϕ es isometr´ıa, conclu´ımos que (ϕ ◦ γ)(t) = ϕ(a + iet)
es una geode´sica de (R2)+, g), definida ∀t ∈ R. De forma que toda recta vertical o
circunferencia centrada en un punto de R ⊂ C, cortada con el semiplano superior,
admite una parametrizacio´n como geode´sica de ((R2)+, g).Geome´tricamente es claro
que dados p ∈ (R2)+ y v ∈ R2 = Tp(R2)+, ∃! recta vertical o´ circunferencia centra-
da un un punto de R que pasan por p y son tangentes a v, luego por unicidad de
las geode´sicas e´stas son todas las geode´sicas de ((R2)+, g). Otro hecho gra´ficamente
evidente es que dados p, q ∈ (R2)+ distintos, existe una u´nica geode´sica que los une
(esto sera´ generalizable a variedades de Cartan-Hadamard, ver Teorema 3.5.1).
Volvamos al grupo uniparame´trico {ϕGt : DGt → DG−t}t del flujo geode´sico. Sea A =
DG1 = {(p, v) ∈ TM | 1 ∈ I(p,v)}, abierto de TM
Lema 2.4.4 En la situacio´n anterior,
1. A contiene a la seccio´n cero de TM .
2.4. GEODE´SICAS Y APLICACIO´N EXPONENCIAL. 37
2. Dado p ∈ M , el conjunto A(p) = {v ∈ TpM | (p, v) ∈ A} es un abierto estrellado
respecto del origen de TpM .
Demostracio´n. 1 se deduce de que ∀p ∈ M , I(p,0) = R porque γ(·, p, 0) ≡ p. En cuanto
a 2, A(p) es abierto de la subvariedad TpM de TM porque A(p) = A ∩ TpM , A(p)
contiene al origen por el punto 1 anterior y es estrellado respecto del origen por el Lema
de Homogeneidad.