3-GEODESICAS

Vista previa del material en texto

INTRODUCCIÓN A LAS GEODÉSICAS 
 
En el espacio euclidiano ℝ𝑛 la curva de longitud mínima dentro de todas aquellas que unen dos 
puntos fijos es un segmento de recta con extremos en estos dos puntos, y esta es curva es única. 
pero si ahora tenemos una superficie regular, dados dos puntos, ¿es posible determinar las curvas 
de longitud mínima dos puntos de esta superficie? En caso de ser afirmativa la respuesta, esta 
curva es única. En este contexto, si la superficie es conexa, la respuesta a la primera pregunta es 
afirmativa y respecto a la segunda es negativa. 
A continuación estudiamos este tipo de curvas, esto es, curvas de longitud mínima entre todas 
aquellas que tienen los mismos extremos, a estas curvas las llamamos de geodésicas. 
Decir que una curva de una superficie regular tiene longitud mínima implicaría tomar en 
consideración su operador longitud y si este fuere diferenciable, restringiéndolo entre todas las 
curvas que tienen los mismos extremos de la curva dada, entonces tendría un punto crítico en la 
curva de longitud mínima, esto es: 
Si 𝑆 es una superficie regular conexa y 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑆 dos puntos, denote por 𝛼𝑝,𝑞: [0,1] → 𝑆 una 
curva diferenciable por partes que une 𝑝 a 𝑞 con 𝛼𝑝,𝑞(0) = 𝑝 y 𝛼𝑝,𝑞(1) = 𝑞 entonces se 
requiere determinar una curva 𝛼: [0,1] → 𝑆 con 𝛼(0) = 𝑝 y 𝛼(1) = 𝑞 (0) = 𝑝 de modo 
que 
log(𝛼) 𝑖𝑛𝑓𝛼𝑝,𝑞{log(𝛼𝑝,𝑞) } 
 
En caso de la esfera unitaria 𝑆2 la curva de longitud mínima que une dos puntos 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑆2 es el 
menor segmento de círculo máximo de 𝑆2 que une estos puntos 
 
 
Para estudiar este tipo de curvar, existen dos posibilidades, una es por Cálculo de Variaciones, 
que veremos después, y el otro es por medio de la derivada covariante. 
 
 
 
Definición: Una curva parametrizada 𝛾: 𝐼 → 𝑆 es una geodésica en 𝑡0 ∈ 𝐼 si 
𝐷
𝜕 𝑡
𝛾′(𝑡0) = 0. Si 
𝛾 es una geodésica para todo 𝑡 ∈ 𝐼 decimos que 𝛾 es una geodésica. Si [𝑎, 𝑏] ⊂ 𝐼, la 
restricción de 𝛾 a [𝑎, 𝑏] es llamado de segmento geodésico que une 𝛾(𝑎) a 𝛾(𝑏) 
 
Una observación de mucha importancia, pero de fácil verificaciones es: 
Si 𝛾: 𝐼 → 𝑆 es una geodésica, entonces 
〈𝛾′(𝑡), 𝛾′(𝑡)〉 = 𝑐𝑡𝑒. 
 
La demostración se sigue de que 
𝜕
𝜕 𝑡
〈𝛾′(𝑡), 𝛾′(𝑡)〉 = 2 〈
𝐷
𝜕 𝑡
𝛾′(𝑡), 𝛾′(𝑡)〉 = 0 
 
Como conclusión, sin pérdida de generalidad, podemos considerar siempre que las geodésicas 
están parametrizadas por longitud de arco. 
 
Ecuaciones diferenciales de una geodésica. 
Vamos a ahora a considerar las ecuaciones locales que satisfacen una geodésica 𝛾: 𝐼 → 𝑆 de 
una superficie regular 𝑆 con respecto a un punto 𝛾(𝑡0). 
Sea 𝜑: 𝑈 ⊂ ℝ2 → 𝑉 ⊂ 𝑆 una parametrización de 𝛾(𝑡0) con coordenadas (𝑢, 𝑣) 
Si 𝛾(𝑡) = 𝜑(𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)) entonces 
𝛾′(𝑡) = 𝑢′𝜑𝑢 + 𝑣′𝜑𝑣 
Luego 𝛾 es una geodésica si y solamente si 
0 =
𝐷 𝛾′
𝜕 𝑡
(𝑡) 
Si y solamente si 
0 =
𝐷 𝛾′
𝜕 𝑡
(𝑡) = (𝑢′′ + 𝑢′ 𝑢′Γ11
1 + 𝑢′𝑣′ Γ12
1 + 𝑣′𝑢′Γ12
1 + 𝑣′𝑣′Γ22
1 )𝜑𝑢
+ (𝑣′′ + 𝑢′ 𝑢′Γ11
2 + 𝑢′𝑣′ Γ12
2 + 𝑣′𝑢′Γ12
2 + 𝑣′𝑣′Γ22
2 )𝜑𝑢 
 
Lo que es equivalente a 
 
 
 
 
 
 
𝑢′′ + 𝑢′
2
Γ11
1 + 2𝑢′𝑣′Γ12
1 + +𝑣′
2
Γ22
1 = 0
𝑣′′ + 𝑢′
2
Γ11
2 + 2𝑢′𝑣′ Γ12
2 + 𝑣′
2
 Γ22
2 = 0
 
 
Este es un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden cuyas coordenadas 
(𝑢(𝑡), 𝑣(𝑡)) son funciones diferenciables, entonces este sistema tiene única solución con 
condiciones iniciales 
(𝑢(𝑡0), 𝑣(𝑡0)), (𝑢′(𝑡0), 𝑣′(𝑡0)) 
El siguiente teorema es consecuencia del análisis anterior. 
 
 
 
 
 
 
Demostración. 
Consecuencia inmediata del sistema de ecuaciones diferenciables de segundo orden exhibido 
anteriormente 
 
Teorema (existencia y unidad de geodésicas) Dado 𝑝𝜖𝑆 y 𝑣 ∈ 𝑇𝑝𝑆 un vector 
no nulo, entonces existe una única geodésica 𝛾: 𝐼 → 𝑆 de modo que 𝛾(0) = 𝑝 
y 𝛾′(0) = 𝑣