BertJanssen-RelatividadGeneral-65

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ct
x
x’
ct’ (ct, x) = (ct’, x’)
O
O’
β
β
Figura 3.6:Una transformación de Lorentz en el espacio de Minkowski: el mismo suceso tiene coordenadas
(ct, x) para el observador O y coordenadas (ct′, x′) para el observador O′. Los dos sistemas de referencia
están relacionados a través de una transformación de Lorentz (3.19).
respecto al cono de luz, es decir el ángulo entre el eje x y x′ también es β (véase Figura 3.6). Tanto
el sistema de referencia (ct, x, y, z) de O como el sistema (ct′, x′, y′, z′) de O′ forman una base
completa del espacio de Minkowski, y la diferencia entre ellos es un cambio de base a través de
la transformación (3.19).9
Con los diagramas de espacio-tiempo descritos arriba podemos fácilmente derivar efectos
como la contracción de Lorentz y la no-simultaneidad de eventos. Una varilla de longitud L′
(medida en coordenadas x′) que se mueve junto con el observador O′, barrerá una trayectoria
como la dibujada en la Figura 3.7. Del dibujo está claro que O y O′ no ven la vara de la misma
manera.
Para cada observador dos eventos simultáneos son dos eventos que tienen el mismo valor de
la coordenada temporal. Pero como O y O′ usan cada uno su propio coordenada temporal, no
estarán de acuerdo sobre si ciertos eventos coindicen o no. Para O, los sucesos simultáneos son
los que tienen el mismo valor para ct (lı́neas horizontales en la Figura 3.7), como los puntos a y c
a los extremos de la varilla visto porO. ParaO′, los sucesos simultáneos tienen el mismo valor de
ct′ (lı́neas inclinadas en la Figura 3.7), como los puntos a y b a los extremos de la varilla visto por
O′. En otras palabras, para O en un momento dado la vara se extiende de a a c, mientras paraO′
se extiende de a a b. La vara vista porO′ en un tiempo dado es un “corte de la vara visto porO en
distintos momentos”, y vice versa. Por lo tanto no es de extrañar que los observadores tampoco
se ponen de acuerdo sobre la longitud de la vara: O mide una longitud L (el intervalo [a, c]),
mientras queO′ sólo mide L′ (el intervalo [a, b]). La contracción de Lorentz y la no-simultaneidad
de eventos van mano en mano.
En general, en el diagrama de la Figura 3.7 podemos ver que para cualesquiera dos eventos
separados por un intervalo temporal existe un observador que ve estos eventos en el mismo
lugar, mientras para dos eventos separados por un intervalo espacial existe un observador que
los ve simultáneos (ejerc.).
Hemos visto que la posición (ct, x, y, z) de un evento es un vector en el espacio de Minkows-
ki y la transformación de Lorentz (3.19), un cambio de base. Pero t y x no son las únicas can-
tidades fı́sicas que están relacionadas a través de una transformación de Lorentz. La ecuación
(3.31) dice que también la energı́a E y el momento ~p definido en (3.25) transforman unos en
9Obsérvese que, al contrario de lo que podrı́a sugerir la Figura 3.6, tanto el sistema (ct, x, y, z) de O como el sistema
(ct′, x′, y′, z′) deO′ forman bases ortogonales según la definición (3.55) (ejerc.).
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