BertJanssen-RelatividadGeneral-178

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Mφ φ
δ = φ + φ1 2
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Figura 11.3: La deflexión de la luz: la luz de un objeto (estrella negra) que pasa cerca de un objeto masivo,
está desviada por el campo gravitatorio y proyecta una imagen (estrella blanca) en una posición distinta.
y asumiendo que la solución u(ϕ) es una perturbación del resultado newtoniano
u(ϕ) = u0(ϕ) + εu1(ϕ), (11.46)
con u0(ϕ) dado por (11.42), se puede ver fácilmente que la ecuación para u1 es de la forma
d2u1
dϕ2
+ u1 = R
−1
0 sin
2(ϕ − ϕ0), (11.47)
cuya solución viene dada, hasta primer orden en ε, por
u1(ϕ) ≈
1
3
R−10 +
1
3
βR−10 cos(ϕ − ϕ0) +
1
3
R−10 cos
2(ϕ − ϕ0), (11.48)
con β una constante adimensional arbitraria, que podemos poner a cero para el caso que nos
interesa. La solución completa, hasta primer orden en ε, es por lo tanto
u(ϕ) ≈ R−10 sin(ϕ − ϕ0) +
M
R20
[
1 + cos2(ϕ − ϕ0)
]
, (11.49)
o, en terminos de r,
r sin(ϕ − ϕ0) ≈ R0 −
M
R0
[
1 + cos2(ϕ − ϕ0)
]
, (11.50)
donde efectivamente se puede ver el término entre corchetes como una perturbación de (11.43).
Lejos del centro del objeto masivo (es decir para r ≫ M ), la solución tiende asintóticamente
al espacio de Minkowski, de modo que para r → ∞, la trayectoria de la luz tiende a una recta.
Sólo cerca del objeto masivo, la desviación es apreciable y la trayectoria real interpola entre una
recta entrante y otra saliente. Consecuentemente, el ángulo δ de la deflexión de la luz es el ángulo
entre estas dos rectas, que viene dado por la suma de los ángulos ϕ1 y ϕ2 que hacen las rectas con
el eje x (véase Figura 11.3). Para determinar δ en términos de M y R0, basta con expresar ϕ1 y ϕ2
en función de éstas, a través de (11.50).
Cuando u → 0, ϕ → ϕ2 a lo largo de la recta saliente, de modo que (11.49) se reduce a
0 ≈ R−10 sin(ϕ − ϕ2) +
M
R20
[
1 + cos2(ϕ − ϕ2)
]
, (11.51)
o, en hasta primer orden en ϕ − ϕ2,
ϕ2 ≈ ϕ +
2M
R0
. (11.52)
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