Tema 11 - Clase 3

Vista previa del material en texto

Tema 11: Inflación y tasas de interés 
 
Clase 3 
 
La tasa de interés y las decisiones de los hogares 
 
Arriba argumentamos que la tasa de interés relevante en la determinación de la demanda de dinero es 
la nominal. Aqúı argumentaremos que la tasa de interés relevante para las decisiones intertem- 
porales de consumo, trabajo e inversión es la real. Por favor note que, como volveremos al modelo 
sin incertidumbre, llamaremos r1 a la tasa de interés real de los bonos entre los peŕıodos 1 y 2. 
Esto lo hacemos para mantener la notación consistente con las notas anteriores. 
Consideremos las restricciones presupuestarias del consumidor/productor. En un peŕıodo t 
cualquiera, la restricción presupuestaria en términos nominales es 
 
PtCt + PtIt + Bp + Md = PtAtf (Kt−1, lt) + (1 + it−1)Bp + Md — PtTt 
t t t−1 t−1 
 
Aqu´ı estamos suponiendo que los bonos a los que tiene acceso el consumidor son bonos nominales. 
El stock de capital evoluciona de acuerdo a 
 
Kt = (1 − δ) Kt−1 + It 
0 
2 
h i 
1 
1 
1 1 0 
2 1 1 
1 1 0 
2 1 1 
L 
L 
L 
L 
L 
p d d 
Por lo tanto, la restricción presupuestaria se puede escribir como 
 
PtCt + Pt (Kt − (1 − δ) Kt−1) + Bp + Md = PtAtf (Kt−1, Lt) + (1 + it−1)Bp + Md 
 
— PtTt. 
t t t−1 t−1 
 
Vamos a considerar el modelo de dos peŕıodos asumiendo que los bonos iniciales son cero, Bp = 0, y 
también impondremos que los consumidores elegirán morir sin activos, por lo que Bp = 0 y K2 = 0. 
Por lo tanto, las restricciones presupuestarias de los peŕıodos 1 y 2 se reducen a 
 
P1C1 + P1K1 + Bp + Md = P1 [A1f (K0, L1) + (1 − δ) K0] + Md − P1T1 (13) 
 
P2C2 + Md = P2 [A2f (K1, L2) + (1 − δ) K1] + (1 + i1) Bp + Md − P2T2. (14) 
Si bien es posible escribir una única restricción presupuestaria intertemporal, resolveremos el prob- 
lema considerando las dos restricciones (13) y (14), a las cuales asignaremos los multiplicadores de 
Lagrange λ1 y λ2, respectivamente. De este modo, el Lagrangiano del problema del consumidor es 
 
max L = u (C1) + v (1 − L1) + β [u (C2) + v (1 − L2)] 
— λ1 P1C1 + P1K1 + B + M − P1 [A1f (K0, L1) + (1 − δ) K0] − M + P1T1 
— λ2 
h
P2C2 + Md − P2 [A2f (K1, L2) + (1 − δ) K1] − (1 + i1) Bp − Md + P2T2
i
 
 
donde la maximización es con respecto a las variables C1, L1, Bp, K1, C2 y L2. Las condiciones de 
primer orden son 
 
∂ = 0 ⇒ uJ (C ) = λ P 
 
 
(15) 
∂C1 
1 1 1 
∂ = 0 ⇒ vJ (1 − L ) = λ P A f (K , L ) (16) 
∂L1 1 1 1 1 L 0 1 
∂L 
∂Bp 
= 0 ⇒ λ1 = λ2 (1 + i1) (17) 
∂ = 0 ⇒ λ P = λ P [A f (K , L ) + 1 − δ] (18) 
∂K1 1 1 2 2 2 K 1 2 
∂ = 0 ⇒ βuJ (C ) = λ P (19) 
∂C2 
2 2 2 
∂ = 0 ⇒ βvJ (1 − L ) = λ P A f (K , L ) , (20) 
∂L2 
2 2 2 2 L 1 2 
 
más las restricciones presupuestarias (13) y (14). 
Usando las condiciones (15) y (16) obtenemos la condición intratemporal usual entre ocio y 
consumo, 
vJ (1 − L1) 
= A f
 
 
 
(K , L ) . (21) 
uJ (C1) 
1 L 0 1 
Las ecuaciones (19) y (20) determinan la condición análoga en el peŕıodo 2, 
 
vJ (1 − L2) 
= A f
 
 
 
 
(K , L ) . (22) 
uJ (C2) 
2 L 1 2 
 
Usando las condiciones (15), (17) y (19) encontramos la ecuación de Euler del consumo, 
 
uJ (C1) 
 
P1 
uJ (C2) 
= β 
P2 
 
(1 + i1) 
 
o bien 
uJ (C ) = βuJ (C ) 
 
1 + i1 
 
 
1 
 
Por lo tanto, usando la ecuación de Fisher 
 
1 + r1 
2 1 + π2 
 
= 
1 + i1 
.
 
1 + π2 
 
podemos escribir la ecuación de Euler como 
 
uJ (C1) = βuJ (C2) (1 + r1) . (23) 
 
De las ecuaciones (15), (18) y (19) encontramos la ecuación de Euler intertemporal para el capital, 
 
uJ (C1) = βuJ (C2) [A2fK (K1, L2) + 1 − δ] 
Sin embargo, usando la condición (23) encontramos la demanda de capital tradicional 
 
A2fK (K1, L2) − δ = r1 (24) 
donde la productividad marginal del capital neta de la tasa de depreciación se iguala a la tasa de 
interés real r1. 
Finalmente, podemos usar las condiciones (21), (22) y (23) para encontrar la ecuación que 
determina la asignación intertemporal del trabajo que, como ya mencionamos hasta el hartazgo, es 
una ecuación redundante pero nos sirve para entender la sustitución intertemporal del trabajo. 
vJ (1 − L ) = 
A1fL (K0, L1) (1 + r ) βvJ (1 − L ) (25) 
1 
A2fL (K1, L2) 
1 2
 
Note que en todas las condiciones de optimalidad solo aparece la tasa de interés real (nunca la tasa 
nominal). Por lo tanto, a diferencia de la demanda de dinero, las decisiones de consumo, inversión, 
ahorro y trabajo dependen únicamente de tasa de interés real.
1 
 
2 1 
2 1 
2 1 
1 1 0 
2 1 1 
Md − Md 
2 
P 
1 
(Y — T ) 
Restricción presupuestaria intertemporal 
Usando las restricciones presupuestarias flujo podemos construir la restricción presupuestaria in- 
tertemporal, 
P1C1 + P1I1 + Bp + Md = P1Y1 + Md − P1T1 
P2C2 + P2I2 + Md = P2Y2 + (1 + i1) Bp + Md − P2T2. 
Dividimos la segunda ecuación por 1 + i1, despejamos el valor de Bp y reemplazamos el resultado 
en la primer ecuación para obtener 
d d P2 (C2 + I2) M
d − Md 
 
 
Y2 − T2 
P1 (C1 + I1) + M1 − M0 + 1 + i1 + 
2 1 
1 + i1 
= P1 (Y1 − T1) + P2 . 1 + i1 
 
Equivalentemente, 
 
 
 
 
 
 
Md−Md 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La ecuación (26) es la restricción presupuestaria intertemporal en términos nominales e implica que el 
valor presente del gasto nominal debe ser igual al valor presente de los ingresos nominales. Note que 
para descontar valores nominales usamos la tasa de interés nominal i1. 
Podemos dividir la ecuación anterior por P1 y encontramos 
 
d d C + I + 
M 
d−Md 
C + I + 
M1 − M0 + 
P2 2 2 P2 = (Y — T ) + 
P2 Y2 − T2 . 
1 1 P1
 
P1 1 + i1 
1 1 P1
 
1 + i1 
Usando la definición de inflación, 
d d C + I + M 
d−Md 
C + I + 
M1 − M0 2 2 + (1 + π ) 
P2 = (1 + π ) 
Y2 − T2 + (Y — T ) 
1 1 P1
 2 1 + i1 
2 1 + i1 
1 1 
Finalmente, usamos la ecuación de Fisher, (1 + i1) = (1 + r1) (1 + π2), y obtenemos la restricción 
presupuestaria intertemporal en términos reales, 
d d C + I + M 
d−Md 
C1 + I1 + 
M1 − M0 + 
2 
P1 
2 P2 
1 + r1 
= 
Y2 − T2 + (Y 1 + 
r1 1 
— T1) (27) 
Note que cuando escribimos los flujos de ingresos y gastos en términos reales, el valor presente 
P 1 C 1 + I 1 + 
1 0 
1 + i1 
2 
= P 1 (Y 1 — T1) + 
2 2 
1 + i1 
2 
(26) 
P2 
C2 + I2 + P 
P1 
+ 
M 
− + = 
descontado de esos flujos se calcula con la tasa de interés real. En otras palabras, para descontar 
valores reales usamos la tasa de interés real r1. 
También podemos escribir la ecuación anterior en otra forma equivalente, 
Md Md 
d 
C2 + I2 + P 
2
 
 
Md Y2 − T2 
 C1 + I1 + 
1 1 2 0 + 
+ (Y1 − T1) 
P1 P2 (1 + r1) 1 + r1 P1 1 + r1 
 
M
 
P 
M 
M 
0 
d 
d 
1 
o bien 
 
C 
 
 
d 1 + I + 1 1 − 
 
 
 
C2 + I2 + M2 
+ 2 
 
= 
M0 + 
Y2 − T2 
+ (Y 
 
 
 
— T ) 
1 1 P1
 (1 + π2) (1 + r1) 1 + r1 P1 1 + r1 
1 
1
 
 
Pero (1 + π2) (1 + r1) = 1 + i1, por lo que 
 1 1 i1 
1 − = 1 − = . 
(1 + π2) (1 + r1) 1 + i1 1 + i1 
 
De este modo, la restricción presupuestaria intertemporal se puede escribir como 
 
 
C1 + I1 + 
d i1 
P1 1 + i1 
d 
C2 + I2 + P 
2
 
+ 2 
1 + r1 
 M
d 
= 
P1 
+ 
Y2 − T2 
1 + r1 
+ (Y1 − T1) 
8 
1 
1+i 
 
Esta ecuación nos dice que “el precio real” de la cantidad real de dinero M d/P1 en términos de 
unidades de consumo del primer peŕıodo es i1 . Esto refleja formalmente el costo de oportunidad 
1 
real en términos de bienes de consumo de demandar dinero.