Tema 2 - Clase 4

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Tema 2: La economía de Robinson Crusoe 
 
CLASE 4 
 
 
1 Elección de consumo y trabajo 
 
Robinson Crusoe maximiza su utilidad eligiendo consumo, ocio y trabajo sujeto a las restricciones 
de tecnolog´ıa y de tiempo El problema general de Robinson Crusoe es el siguiente 
 
Problema 1: 
 
 
sujeto a 
 
max u (c, h) 
c,h,l 
 
c = f (l) 
l + h = 1. 
 
Hay varias formas equivalentes de resolver este problema. Podemos usar la segunda restricción, 
resolver para el trabajo l y reemplazar el resultado en la primera restricción. De este modo, el 
problema de Robinson Crusoe se convierte en 
− 
− 
Problema 2: 
 
max u (c, h) 
c,h 
sujeto a 
c = f (1 − h) . 
La solución a este problema está graficada en el panel A de la Figura 4. 
Finalmente, podemos introducir la restricción en la función de utilidad y resolver el siguiente 
problema simplificado: 
 
Problema 3: 
 
 
La condición de primer orden es 
 
max u (f (1 h) , h) . 
h 
 
uc (c, h) f J (1 − h) × (−1) + uh (c, h) = 0 
 
o bien 
uh (c, h) = f J (1 h) (12) 
uc (c, h) 
que nos dice que la tasa marginal de sustitución entre ocio y consumo (MRS) debe ser igual a la 
productividad marginal del trabajo. 
Para interpretar intuitivamente esta ecuación, la reescribamos del siguiente modo 
 
uh (c, h) = f J (1 − h) uc (c, h) 
Supongamos que Robinson Crusoe decide aumentar en el margen (un poquito) su oferta de trabajo. 
El costo en términos de utilidad de ese aumento marginal del trabajo es uh (c, h) . Por otro lado, 
al trabajar un poco más, Robinson Crusoe produce f J (1 − h) más unidades de consumo. El valor 
marginal en términos de utilidad de consumir un poco más de bienes es uc (c, h) . Por lo tanto, 
el beneficio marginal medido en términos de utilidad de incrementar el trabajo en el margen es 
f J (1 − h) uc (c, h). En el óptimo, el costo marginal de trabajar más, capturado por el término 
uh (c, h), debe ser igual al beneficio marginal de ese trabajo adicional, capturado por el término 
f J (1 − h) uc (c, h). 
 
 
 
Elección entre consumo y trabajo 
También podemos plantear el problema de Robinson Crusoe como en el libro de Barro. En vez 
de pasar del Problema 1 al Problema 2, ahora usamos la restricción 1 = h + l para despejar el ocio 
− 
− 
 
 
Figure 4: Elección óptima entre consumo y ocio/trabajo 
 
h y reemplazar la solución en la función objetivo. De este modo, el problema se reduce a 
 
max u (c, 1 l) sujeto a c = f (l) . 
c,l 
 
La solución a este problema está graficada en el panel B de la Figura 4. 
Como en el caso del ocio, podemos reemplazar c en la función objetivo y maximizar 
 
max u (f (l) , 1 l) . 
l 
 
La condición de primer orden es 
 
uc (f (l) , 1 − l) f J (l) + uh (f (l) , 1 − l) × (−1) = 0. 
 
Reorganizando términos llegamos a 
 
uh (f (l) , 1 − l) 
= f J (l) (13)
 
uc (f (l) , 1 − l) 
 
que es la misma condición que (12) pero escrita en términos de trabajo. 
 
Ejemplo Cobb-Douglas: Consideremos un ejemplo con función de utilidad y función de 
producción Cobb-Douglas. En particular, supongamos que 
 
u (c, h) = cφh1−φ y 
 
f (l) = Alα, 
donde 0 < φ < 1 y 0 < α < 1. 
 
−
 
 
La tasa marginal de sustitución entre ocio y consumo es 
 
uh (c, 1 − l) 
= 
 
1 − φ 
 
 c 
.
 
uc (c, 1 − l) 
La productividad marginal del trabajo es 
φ 1 − l 
 
f (l) = αAlα−1. 
 
Usando la condición (13) encontramos 
 
1 − φ
 
 c 
= αAlα−1.
 
φ 1 − l 
 
Pero en equilibrio la condicion de factibilidad requiere que 
 
c = Alα. 
 
Reemplazando en la condición de arriba encontramos 
 
1 φ Alα 
= αAl 
 
 
α−1. 
 
o bien 
φ 1 − l 
 
1 − φ
 
1 
= 
1 − l 
φ α l 
1 
= 
l 
− 1 
 
Resolvemos 
1 
= 
1 − φ + φα 
l φα 
o 
l∗ = 
φα 
. 
1 − φ + φα 
Note que 0 < l∗ < 1. De la función de producción tenemos 
 
 
c∗ = y∗ 
 
= Alα = A 
 φα α 
. 
1 − φ + φα 
 
Note que la elección óptima de trabajo l∗ no depende del nivel de productividad A. 
0 
7 
 
 
Por lo tanto, el término del numerador de la ecuación (16) (sin el signo negativo) 
satisface 
uhh (uc)2 + ucc (uh)2 + 2uhuc (−uhc) < uhh (uc)2 + ucc (uh)2 + 2uhuc
√
uccuhh 
= −
 √
−uhhuc − 
√
−uccuh
 2 
< 0. 
 
Esta desigualdad junto con (16) implican 
 
d2c 
dh2 
> 0 
independientemente del signo de uch. Por lo tanto, la curva de indiferencia es convexa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2Esto sale de resolver la desigualdad x2 ≤ M : −
√
M ≤ x ≤ 
√
M.