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Jorge Mozo Fernández http://jorgemozo.blogs.uva.es — Las matemáticas del cubo de Rubik
1
Las matemáticas del cubo de Rubik
Un paseo por la teoŕıa de grupos
Bachillerato de Excelencia de la JCYL
9 de febrero de 2021
Jorge Mozo Fernández
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Universidad de Valladolid
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Jorge Mozo Fernández http://jorgemozo.blogs.uva.es — Las matemáticas del cubo de Rubik
2¿Qué es el cubo de Rubik?
I El cubo de Rubik es uno de los pasatiempos más famosos de los tiempos
recientes.
I Su inventor es Ernö Rubik, arquitecto húngaro que concibió varios juegos
como apoyo a sus clases, para ayudar a visualizar la geometŕıa del espacio.
Figura: Ernö Rubik. Fuente: The Guardian (13 Sep 2020). Fotograf́ıa: Richard
Drew/AP
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2¿Qué es el cubo de Rubik?
I El cubo de Rubik es uno de los pasatiempos más famosos de los tiempos
recientes.
I Su inventor es Ernö Rubik, arquitecto húngaro que concibió varios juegos
como apoyo a sus clases, para ayudar a visualizar la geometŕıa del espacio.
Figura: Ernö Rubik. Fuente: The Guardian (13 Sep 2020). Fotograf́ıa: Richard
Drew/AP
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2¿Qué es el cubo de Rubik?
I El cubo de Rubik es uno de los pasatiempos más famosos de los tiempos
recientes.
I Su inventor es Ernö Rubik, arquitecto húngaro que concibió varios juegos
como apoyo a sus clases, para ayudar a visualizar la geometŕıa del espacio.
Figura: Ernö Rubik. Fuente: The Guardian (13 Sep 2020). Fotograf́ıa: Richard
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3
I El pasatiempo más conocido diseñado por Rubik fue el cubo que le ha
dado fama.
El espacio siempre me intrigó, con sus posibilidades incréıblemente ri-
cas, la alteración del espacio por los objetos arquitectónicos, las trans-
formaciones de los objetos en el espacio (escultura, diseño), el movi-
miento en el espacio y en el tiempo, su correlación, su repercusión en
la humanidad, la relación entre el hombre y el espacio, el objeto y el
tiempo. Creo que el CUBO surgió a partir de este interés.
Ernö Rubik (entrevista en la CNN, 2013)
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4Estructura del cubo
I Cada una de las 6 caras del cubo está dividida en 9 cuadrados. Las caras
son inicialmente monocromas.
I F́ısicamente se compone de 27 piezas, de varios tipos:
I Una pieza central, no visible.
I Seis piezas centrales de cada cara.
I Doce piezas de arista, bicolores, entre cada par de caras adyacentes.
I Ocho piezas vértice, tricolores.
I Cada cara se mueve de manera independiente, arrastrando con ella a sus
piezas. La pieza central de cada cara se encuentra anclada a la pieza
central del cubo, y no se desplaza, sólo gira.
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I Cada una de las 6 caras del cubo está dividida en 9 cuadrados. Las caras
son inicialmente monocromas.
I F́ısicamente se compone de 27 piezas, de varios tipos:
I Una pieza central, no visible.
I Seis piezas centrales de cada cara.
I Doce piezas de arista, bicolores, entre cada par de caras adyacentes.
I Ocho piezas vértice, tricolores.
I Cada cara se mueve de manera independiente, arrastrando con ella a sus
piezas. La pieza central de cada cara se encuentra anclada a la pieza
central del cubo, y no se desplaza, sólo gira.
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I Cada una de las 6 caras del cubo está dividida en 9 cuadrados. Las caras
son inicialmente monocromas.
I F́ısicamente se compone de 27 piezas, de varios tipos:
I Una pieza central, no visible.
I Seis piezas centrales de cada cara.
I Doce piezas de arista, bicolores, entre cada par de caras adyacentes.
I Ocho piezas vértice, tricolores.
I Cada cara se mueve de manera independiente, arrastrando con ella a sus
piezas. La pieza central de cada cara se encuentra anclada a la pieza
central del cubo, y no se desplaza, sólo gira.
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I Cada una de las 6 caras del cubo está dividida en 9 cuadrados. Las caras
son inicialmente monocromas.
I F́ısicamente se compone de 27 piezas, de varios tipos:
I Una pieza central, no visible.
I Seis piezas centrales de cada cara.
I Doce piezas de arista, bicolores, entre cada par de caras adyacentes.
I Ocho piezas vértice, tricolores.
I Cada cara se mueve de manera independiente, arrastrando con ella a sus
piezas. La pieza central de cada cara se encuentra anclada a la pieza
central del cubo, y no se desplaza, sólo gira.
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I Cada una de las 6 caras del cubo está dividida en 9 cuadrados. Las caras
son inicialmente monocromas.
I F́ısicamente se compone de 27 piezas, de varios tipos:
I Una pieza central, no visible.
I Seis piezas centrales de cada cara.
I Doce piezas de arista, bicolores, entre cada par de caras adyacentes.
I Ocho piezas vértice, tricolores.
I Cada cara se mueve de manera independiente, arrastrando con ella a sus
piezas. La pieza central de cada cara se encuentra anclada a la pieza
central del cubo, y no se desplaza, sólo gira.
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I Cada una de las 6 caras del cubo está dividida en 9 cuadrados. Las caras
son inicialmente monocromas.
I F́ısicamente se compone de 27 piezas, de varios tipos:
I Una pieza central, no visible.
I Seis piezas centrales de cada cara.
I Doce piezas de arista, bicolores, entre cada par de caras adyacentes.
I Ocho piezas vértice, tricolores.
I Cada cara se mueve de manera independiente, arrastrando con ella a sus
piezas. La pieza central de cada cara se encuentra anclada a la pieza
central del cubo, y no se desplaza, sólo gira.
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I Cada una de las 6 caras del cubo está dividida en 9 cuadrados. Las caras
son inicialmente monocromas.
I F́ısicamente se compone de 27 piezas, de varios tipos:
I Una pieza central, no visible.
I Seis piezas centrales de cada cara.
I Doce piezas de arista, bicolores, entre cada par de caras adyacentes.
I Ocho piezas vértice, tricolores.
I Cada cara se mueve de manera independiente, arrastrando con ella a sus
piezas. La pieza central de cada cara se encuentra anclada a la pieza
central del cubo, y no se desplaza, sólo gira.
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5Objetivo
I El objetivo del juego es, partiendo de una posición arbitraria, realizar
movimientos elementales de las caras para devolver el cubo a su
configuración original.
=⇒
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I El objetivo del juego es, partiendo de una posición arbitraria, realizar
movimientos elementales de las caras para devolver el cubo a su
configuración original.
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I El objetivo del juego es, partiendo de una posición arbitraria, realizar
movimientos elementalesde las caras para devolver el cubo a su
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Jorge Mozo Fernández http://jorgemozo.blogs.uva.es — Las matemáticas del cubo de Rubik
6Otros juegos
Hay otros juegos populares en el mercado de la misma naturaleza: se trata de
recomponer una situación inicial, o llegar a una situación, siguiendo unos
movimientos limitados.
Figura: Juego del 15, inventado por Samuel Loyd en el s. XIX. Solitario, que data del
s. XVIII, y de origen desconocido.
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6Otros juegos
Hay otros juegos populares en el mercado de la misma naturaleza: se trata de
recomponer una situación inicial, o llegar a una situación, siguiendo unos
movimientos limitados.
Figura: Juego del 15, inventado por Samuel Loyd en el s. XIX. Solitario, que data del
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Jorge Mozo Fernández http://jorgemozo.blogs.uva.es — Las matemáticas del cubo de Rubik
7El juego del 15
I Inventado por Samuel Loyd en 1878.
I Propuso pagar 1000 dólares a quien consiguiera invertir el 14 y el 15.
I Dos art́ıculos en American J. Math. de 1879 resolvieron el problema.
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7El juego del 15
I Inventado por Samuel Loyd en 1878.
I Propuso pagar 1000 dólares a quien consiguiera invertir el 14 y el 15.
I Dos art́ıculos en American J. Math. de 1879 resolvieron el problema.
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7El juego del 15
I Inventado por Samuel Loyd en 1878.
I Propuso pagar 1000 dólares a quien consiguiera invertir el 14 y el 15.
I Dos art́ıculos en American J. Math. de 1879 resolvieron el problema.
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8Las matemáticas, ¿dónde están?
I Vamos a estudiar el cubo desde un punto de vista matemático.
I Nos podemos hacer numerosas preguntas, del tipo:
I ¿Se puede alcanzar cualquier configuración de colores desordenando el
cubo?
I ¿Cuántas posiciones posibles hay?
I ¿Se puede desarrollar un método matemático para reconstruirlo, que
funcione siempre?
I ¿Cuál es el ḿınimo número de movimientos necesarios para reconstruir el
cubo, desde una posición arbitraria?
I Trataremos de dar respuesta a algunas de ellas.
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I Vamos a estudiar el cubo desde un punto de vista matemático.
I Nos podemos hacer numerosas preguntas, del tipo:
I ¿Se puede alcanzar cualquier configuración de colores desordenando el
cubo?
I ¿Cuántas posiciones posibles hay?
I ¿Se puede desarrollar un método matemático para reconstruirlo, que
funcione siempre?
I ¿Cuál es el ḿınimo número de movimientos necesarios para reconstruir el
cubo, desde una posición arbitraria?
I Trataremos de dar respuesta a algunas de ellas.
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I Vamos a estudiar el cubo desde un punto de vista matemático.
I Nos podemos hacer numerosas preguntas, del tipo:
I ¿Se puede alcanzar cualquier configuración de colores desordenando el
cubo?
I ¿Cuántas posiciones posibles hay?
I ¿Se puede desarrollar un método matemático para reconstruirlo, que
funcione siempre?
I ¿Cuál es el ḿınimo número de movimientos necesarios para reconstruir el
cubo, desde una posición arbitraria?
I Trataremos de dar respuesta a algunas de ellas.
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I Vamos a estudiar el cubo desde un punto de vista matemático.
I Nos podemos hacer numerosas preguntas, del tipo:
I ¿Se puede alcanzar cualquier configuración de colores desordenando el
cubo?
I ¿Cuántas posiciones posibles hay?
I ¿Se puede desarrollar un método matemático para reconstruirlo, que
funcione siempre?
I ¿Cuál es el ḿınimo número de movimientos necesarios para reconstruir el
cubo, desde una posición arbitraria?
I Trataremos de dar respuesta a algunas de ellas.
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I Vamos a estudiar el cubo desde un punto de vista matemático.
I Nos podemos hacer numerosas preguntas, del tipo:
I ¿Se puede alcanzar cualquier configuración de colores desordenando el
cubo?
I ¿Cuántas posiciones posibles hay?
I ¿Se puede desarrollar un método matemático para reconstruirlo, que
funcione siempre?
I ¿Cuál es el ḿınimo número de movimientos necesarios para reconstruir el
cubo, desde una posición arbitraria?
I Trataremos de dar respuesta a algunas de ellas.
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I Vamos a estudiar el cubo desde un punto de vista matemático.
I Nos podemos hacer numerosas preguntas, del tipo:
I ¿Se puede alcanzar cualquier configuración de colores desordenando el
cubo?
I ¿Cuántas posiciones posibles hay?
I ¿Se puede desarrollar un método matemático para reconstruirlo, que
funcione siempre?
I ¿Cuál es el ḿınimo número de movimientos necesarios para reconstruir el
cubo, desde una posición arbitraria?
I Trataremos de dar respuesta a algunas de ellas.
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8Las matemáticas, ¿dónde están?
I Vamos a estudiar el cubo desde un punto de vista matemático.
I Nos podemos hacer numerosas preguntas, del tipo:
I ¿Se puede alcanzar cualquier configuración de colores desordenando el
cubo?
I ¿Cuántas posiciones posibles hay?
I ¿Se puede desarrollar un método matemático para reconstruirlo, que
funcione siempre?
I ¿Cuál es el ḿınimo número de movimientos necesarios para reconstruir el
cubo, desde una posición arbitraria?
I Trataremos de dar respuesta a algunas de ellas.
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9¿Qué es un grupo?
Desde un punto de vista matemático, un grupo es un par (G, ·), donde G es un
conjunto, y · una operación interna que verifica las propiedades siguientes:
I Asociativa: (f · g) · h = f · (g · h).
I Existencia de un elemento neutro e: e · g = g · e = g.
I Existencia de elemento simétrico g−1: g · g−1 = g−1 · g = e.
Esta definición puede parecer muy abstracta. Esencialmente tenemos un grupo
cuando tenemos una operación sobre un conjunto que verifica algunas
propiedades básicas.
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9¿Qué es un grupo?
Desde un punto de vista matemático, un grupo es un par (G, ·), donde G es un
conjunto, y · una operación interna que verifica las propiedades siguientes:
I Asociativa: (f · g) · h = f · (g · h).
I Existencia de un elemento neutro e: e · g = g · e = g.
I Existencia de elemento simétrico g−1: g · g−1 = g−1 · g = e.
Esta definición puede parecer muy abstracta. Esencialmente tenemos un grupo
cuando tenemos una operación sobre un conjunto que verifica algunas
propiedades básicas.
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9¿Qué es un grupo?
Desde un punto de vista matemático, un grupo es un par (G, ·), donde G es un
conjunto, y · una operación interna que verifica las propiedades siguientes:
I Asociativa: (f · g)· h = f · (g · h).
I Existencia de un elemento neutro e: e · g = g · e = g.
I Existencia de elemento simétrico g−1: g · g−1 = g−1 · g = e.
Esta definición puede parecer muy abstracta. Esencialmente tenemos un grupo
cuando tenemos una operación sobre un conjunto que verifica algunas
propiedades básicas.
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9¿Qué es un grupo?
Desde un punto de vista matemático, un grupo es un par (G, ·), donde G es un
conjunto, y · una operación interna que verifica las propiedades siguientes:
I Asociativa: (f · g) · h = f · (g · h).
I Existencia de un elemento neutro e: e · g = g · e = g.
I Existencia de elemento simétrico g−1: g · g−1 = g−1 · g = e.
Esta definición puede parecer muy abstracta. Esencialmente tenemos un grupo
cuando tenemos una operación sobre un conjunto que verifica algunas
propiedades básicas.
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9¿Qué es un grupo?
Desde un punto de vista matemático, un grupo es un par (G, ·), donde G es un
conjunto, y · una operación interna que verifica las propiedades siguientes:
I Asociativa: (f · g) · h = f · (g · h).
I Existencia de un elemento neutro e: e · g = g · e = g.
I Existencia de elemento simétrico g−1: g · g−1 = g−1 · g = e.
Esta definición puede parecer muy abstracta. Esencialmente tenemos un grupo
cuando tenemos una operación sobre un conjunto que verifica algunas
propiedades básicas.
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9¿Qué es un grupo?
Desde un punto de vista matemático, un grupo es un par (G, ·), donde G es un
conjunto, y · una operación interna que verifica las propiedades siguientes:
I Asociativa: (f · g) · h = f · (g · h).
I Existencia de un elemento neutro e: e · g = g · e = g.
I Existencia de elemento simétrico g−1: g · g−1 = g−1 · g = e.
Esta definición puede parecer muy abstracta. Esencialmente tenemos un grupo
cuando tenemos una operación sobre un conjunto que verifica algunas
propiedades básicas.
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10Algunos ejemplos de grupos
I Los conjuntos numéricos habituales (Z, Q, R) con la operación suma.
I El conjunto de los giros que dejan fijo un cuadrado. Es un grupo con
cuatro elementos.
I El conjunto de los movimientos que dejan fijo un cuadrado: giros y
simetŕıas. Es un grupo con 8 elementos.
I Lo mismo que antes pero con un poĺıgono regular de n lados. El grupo aśı
formado se llama grupo diedral de orden n, D2n, y tiene 2n elementos.
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10Algunos ejemplos de grupos
I Los conjuntos numéricos habituales (Z, Q, R) con la operación suma.
I El conjunto de los giros que dejan fijo un cuadrado. Es un grupo con
cuatro elementos.
I El conjunto de los movimientos que dejan fijo un cuadrado: giros y
simetŕıas. Es un grupo con 8 elementos.
I Lo mismo que antes pero con un poĺıgono regular de n lados. El grupo aśı
formado se llama grupo diedral de orden n, D2n, y tiene 2n elementos.
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I Los conjuntos numéricos habituales (Z, Q, R) con la operación suma.
I El conjunto de los giros que dejan fijo un cuadrado. Es un grupo con
cuatro elementos.
I El conjunto de los movimientos que dejan fijo un cuadrado: giros y
simetŕıas. Es un grupo con 8 elementos.
I Lo mismo que antes pero con un poĺıgono regular de n lados. El grupo aśı
formado se llama grupo diedral de orden n, D2n, y tiene 2n elementos.
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I Los conjuntos numéricos habituales (Z, Q, R) con la operación suma.
I El conjunto de los giros que dejan fijo un cuadrado. Es un grupo con
cuatro elementos.
I El conjunto de los movimientos que dejan fijo un cuadrado: giros y
simetŕıas. Es un grupo con 8 elementos.
I Lo mismo que antes pero con un poĺıgono regular de n lados. El grupo aśı
formado se llama grupo diedral de orden n, D2n, y tiene 2n elementos.
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11Grupo diedral
Figura: Grupo diedral de orden 8
I ¿Y dónde anda el cubo en todo esto?
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I ¿Y dónde anda el cubo en todo esto?
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12Grupos de permutaciones
I Si tenemos un conjunto con n elementos distintos, una permutación es
cada una de las maneras de ordenarlos.
I Por ejemplo, supongamos que nuestro conjunto es {1, 2, 3, 4}. Todas las
maneras de ordenar estos cuatro elementos son:
1234 2134 3124 4123
1243 2143 3142 4132
1324 2314 3214 4213
1342 2341 3241 4231
1423 2413 3412 4312
1432 2431 3421 4321
I Hay un total de 24 maneras distintas. Si el conjunto tiene n elementos,
hay un total de n! maneras distintas de ordenarlos.
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12Grupos de permutaciones
I Si tenemos un conjunto con n elementos distintos, una permutación es
cada una de las maneras de ordenarlos.
I Por ejemplo, supongamos que nuestro conjunto es {1, 2, 3, 4}. Todas las
maneras de ordenar estos cuatro elementos son:
1234 2134 3124 4123
1243 2143 3142 4132
1324 2314 3214 4213
1342 2341 3241 4231
1423 2413 3412 4312
1432 2431 3421 4321
I Hay un total de 24 maneras distintas. Si el conjunto tiene n elementos,
hay un total de n! maneras distintas de ordenarlos.
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12Grupos de permutaciones
I Si tenemos un conjunto con n elementos distintos, una permutación es
cada una de las maneras de ordenarlos.
I Por ejemplo, supongamos que nuestro conjunto es {1, 2, 3, 4}. Todas las
maneras de ordenar estos cuatro elementos son:
1234 2134 3124 4123
1243 2143 3142 4132
1324 2314 3214 4213
1342 2341 3241 4231
1423 2413 3412 4312
1432 2431 3421 4321
I Hay un total de 24 maneras distintas. Si el conjunto tiene n elementos,
hay un total de n! maneras distintas de ordenarlos.
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13
I El conjunto de permutaciones de n elementos forma un grupo, llamado
grupo de permutaciones o grupo simétrico de n elementos. Se representa
Sn.
I La manera habitual de representar una permutación es como en el ejemplo
siguiente: (
1 2 3 4 5 6
2 1 5 4 6 3
)
.
I Hay un tipo particular de permutaciones, que son los ciclos. Un ciclo
(a1 a2 · · · ar) es una permutación que env́ıa a1 en a2, a2 en a3, . . . ,
ar−1 en ar y ar en a1, y deja los demás elementos quietos (si los hay).
I Toda permutación puede escribirse de manera única como composición de
ciclos disjuntos, esto es, ciclos sin elementos comunes. La del ejemplo
anterior es
(1 2)(3 5 6).
I Hay un tipo particular de ciclos, que son las trasposiciones: una
trasposición no es más que un ciclo de dos elementos. Es decir, consiste en
intercambiar dos objetos de sitio, dejando los demás fijos.
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I El conjunto de permutaciones de n elementos forma un grupo, llamado
grupo de permutaciones o grupo simétricode n elementos. Se representa
Sn.
I La manera habitual de representar una permutación es como en el ejemplo
siguiente: (
1 2 3 4 5 6
2 1 5 4 6 3
)
.
I Hay un tipo particular de permutaciones, que son los ciclos. Un ciclo
(a1 a2 · · · ar) es una permutación que env́ıa a1 en a2, a2 en a3, . . . ,
ar−1 en ar y ar en a1, y deja los demás elementos quietos (si los hay).
I Toda permutación puede escribirse de manera única como composición de
ciclos disjuntos, esto es, ciclos sin elementos comunes. La del ejemplo
anterior es
(1 2)(3 5 6).
I Hay un tipo particular de ciclos, que son las trasposiciones: una
trasposición no es más que un ciclo de dos elementos. Es decir, consiste en
intercambiar dos objetos de sitio, dejando los demás fijos.
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I El conjunto de permutaciones de n elementos forma un grupo, llamado
grupo de permutaciones o grupo simétrico de n elementos. Se representa
Sn.
I La manera habitual de representar una permutación es como en el ejemplo
siguiente: (
1 2 3 4 5 6
2 1 5 4 6 3
)
.
I Hay un tipo particular de permutaciones, que son los ciclos. Un ciclo
(a1 a2 · · · ar) es una permutación que env́ıa a1 en a2, a2 en a3, . . . ,
ar−1 en ar y ar en a1, y deja los demás elementos quietos (si los hay).
I Toda permutación puede escribirse de manera única como composición de
ciclos disjuntos, esto es, ciclos sin elementos comunes. La del ejemplo
anterior es
(1 2)(3 5 6).
I Hay un tipo particular de ciclos, que son las trasposiciones: una
trasposición no es más que un ciclo de dos elementos. Es decir, consiste en
intercambiar dos objetos de sitio, dejando los demás fijos.
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I El conjunto de permutaciones de n elementos forma un grupo, llamado
grupo de permutaciones o grupo simétrico de n elementos. Se representa
Sn.
I La manera habitual de representar una permutación es como en el ejemplo
siguiente: (
1 2 3 4 5 6
2 1 5 4 6 3
)
.
I Hay un tipo particular de permutaciones, que son los ciclos. Un ciclo
(a1 a2 · · · ar) es una permutación que env́ıa a1 en a2, a2 en a3, . . . ,
ar−1 en ar y ar en a1, y deja los demás elementos quietos (si los hay).
I Toda permutación puede escribirse de manera única como composición de
ciclos disjuntos, esto es, ciclos sin elementos comunes. La del ejemplo
anterior es
(1 2)(3 5 6).
I Hay un tipo particular de ciclos, que son las trasposiciones: una
trasposición no es más que un ciclo de dos elementos. Es decir, consiste en
intercambiar dos objetos de sitio, dejando los demás fijos.
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13
I El conjunto de permutaciones de n elementos forma un grupo, llamado
grupo de permutaciones o grupo simétrico de n elementos. Se representa
Sn.
I La manera habitual de representar una permutación es como en el ejemplo
siguiente: (
1 2 3 4 5 6
2 1 5 4 6 3
)
.
I Hay un tipo particular de permutaciones, que son los ciclos. Un ciclo
(a1 a2 · · · ar) es una permutación que env́ıa a1 en a2, a2 en a3, . . . ,
ar−1 en ar y ar en a1, y deja los demás elementos quietos (si los hay).
I Toda permutación puede escribirse de manera única como composición de
ciclos disjuntos, esto es, ciclos sin elementos comunes. La del ejemplo
anterior es
(1 2)(3 5 6).
I Hay un tipo particular de ciclos, que son las trasposiciones: una
trasposición no es más que un ciclo de dos elementos. Es decir, consiste en
intercambiar dos objetos de sitio, dejando los demás fijos.
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14
Muy bonito, pero... ¿y qué pinta el cubo de
Rubik en todo esto?
Paciencia...
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Muy bonito, pero... ¿y qué pinta el cubo de
Rubik en todo esto?
Paciencia...
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15Tipos de permutaciones
I Hay dos tipos de permutaciones, llamadas pares e impares, según el
número de trasposiciones en que se descompongan.
Teorema
Si descomponemos una misma permutación de dos maneras diferentes como
composición de trasposiciones, el número de estas será, o bien par las dos
veces, o bien impar las dos veces. La paridad o imparidad de una permutación
es la misma que la del número de inversiones que haya.
Ejemplo
I La permutación 2 1 3 4 es impar.
I La permutación 3 2 4 1 es par.
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I Hay dos tipos de permutaciones, llamadas pares e impares, según el
número de trasposiciones en que se descompongan.
Teorema
Si descomponemos una misma permutación de dos maneras diferentes como
composición de trasposiciones, el número de estas será, o bien par las dos
veces, o bien impar las dos veces. La paridad o imparidad de una permutación
es la misma que la del número de inversiones que haya.
Ejemplo
I La permutación 2 1 3 4 es impar.
I La permutación 3 2 4 1 es par.
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15Tipos de permutaciones
I Hay dos tipos de permutaciones, llamadas pares e impares, según el
número de trasposiciones en que se descompongan.
Teorema
Si descomponemos una misma permutación de dos maneras diferentes como
composición de trasposiciones, el número de estas será, o bien par las dos
veces, o bien impar las dos veces. La paridad o imparidad de una permutación
es la misma que la del número de inversiones que haya.
Ejemplo
I La permutación 2 1 3 4 es impar.
I La permutación 3 2 4 1 es par.
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16Permutaciones en el juego del quince
I Al desplazar una ficha en vertical siempre se cambia la paridad de las
permutaciones.
I Para lograr el intercambio del 14 y el 15 hay que desplazar una ficha en
vertical un número par de veces.
I En consecuencia no se cambia la paridad (se cambia un número par de
veces).
I Conclusión: El problema propuesto por San Loyd carece de solución.
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16Permutaciones en el juego del quince
I Al desplazar una ficha en vertical siempre se cambia la paridad de las
permutaciones.
I Para lograr el intercambio del 14 y el 15 hay que desplazar una ficha en
vertical un número par de veces.
I En consecuencia no se cambia la paridad (se cambia un número par de
veces).
I Conclusión: El problema propuesto por San Loyd carece de solución.
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16Permutaciones en el juego del quince
I Al desplazar una ficha en vertical siempre se cambia la paridad de las
permutaciones.
I Para lograr el intercambio del 14 y el 15 hay que desplazar una ficha en
vertical un número par de veces.
I En consecuencia no se cambia la paridad (se cambia un número par de
veces).
I Conclusión: El problema propuesto por San Loyd carece de solución.
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16Permutaciones en el juego del quince
I Al desplazar una ficha en vertical siempre se cambia la paridad de las
permutaciones.
I Para lograr el intercambio del 14 y el 15 hay que desplazar una ficha en
vertical un número par de veces.
I En consecuencia no se cambia la paridad (se cambia un númeropar de
veces).
I Conclusión: El problema propuesto por San Loyd carece de solución.
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17¡Hay grupos en el cubo de Rubik!
I Cada vez que hacemos un movimiento básico con el cubo de Rubik,
estamos cambiando de sitio sus 54 pegatinas: las posiciones del cubo son
por tanto algunas de las que aparecen en el grupo de permutaciones de
¡54 elementos!. Por cierto, 54! es el bonito número siguiente:
23084369733924138047209274268302758108327
8564571807941132288000000000000
I Pero no son todas, está claro. Las pegatinas no se desordenan de cualquier
manera. ¡No se puede conseguir que en una pieza de esquina haya tres
pegatinas del mismo color!
I Los movimientos del cubo se representan con letras mayúsculas: A, B, I,
D, F, T. Cada una de ellas representa en giro de la cara correspondiente
en el sentido de las agujas del reloj. El movimiento inverso es A−1, B−1,
. . . Se tiene que, por ejemplo, A4 = 1 (identidad). De esta manera,
expresando movimientos de manera consecutiva, es claro que tenemos un
grupo, no conmutativo.
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17¡Hay grupos en el cubo de Rubik!
I Cada vez que hacemos un movimiento básico con el cubo de Rubik,
estamos cambiando de sitio sus 54 pegatinas: las posiciones del cubo son
por tanto algunas de las que aparecen en el grupo de permutaciones de
¡54 elementos!. Por cierto, 54! es el bonito número siguiente:
23084369733924138047209274268302758108327
8564571807941132288000000000000
I Pero no son todas, está claro. Las pegatinas no se desordenan de cualquier
manera. ¡No se puede conseguir que en una pieza de esquina haya tres
pegatinas del mismo color!
I Los movimientos del cubo se representan con letras mayúsculas: A, B, I,
D, F, T. Cada una de ellas representa en giro de la cara correspondiente
en el sentido de las agujas del reloj. El movimiento inverso es A−1, B−1,
. . . Se tiene que, por ejemplo, A4 = 1 (identidad). De esta manera,
expresando movimientos de manera consecutiva, es claro que tenemos un
grupo, no conmutativo.
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17¡Hay grupos en el cubo de Rubik!
I Cada vez que hacemos un movimiento básico con el cubo de Rubik,
estamos cambiando de sitio sus 54 pegatinas: las posiciones del cubo son
por tanto algunas de las que aparecen en el grupo de permutaciones de
¡54 elementos!. Por cierto, 54! es el bonito número siguiente:
23084369733924138047209274268302758108327
8564571807941132288000000000000
I Pero no son todas, está claro. Las pegatinas no se desordenan de cualquier
manera. ¡No se puede conseguir que en una pieza de esquina haya tres
pegatinas del mismo color!
I Los movimientos del cubo se representan con letras mayúsculas: A, B, I,
D, F, T. Cada una de ellas representa en giro de la cara correspondiente
en el sentido de las agujas del reloj. El movimiento inverso es A−1, B−1,
. . . Se tiene que, por ejemplo, A4 = 1 (identidad). De esta manera,
expresando movimientos de manera consecutiva, es claro que tenemos un
grupo, no conmutativo.
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18¡Hay grupos en el cubo de Rubik!
I Como lo que movemos son aristas y esquinas, cada movimiento básico
está formado por una permutación de las 12 aristas y una de los 8 vértices.
Además, es un 4-ciclo en las aristas, y un 4-ciclo en los vértices.
I En consecuencia, cada movimiento básico induce una PERMUTACIÓN
PAR de las piezas del cubo. Aśı, la teoŕıa de grupos nos proporciona un
primer resultado importante:
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18¡Hay grupos en el cubo de Rubik!
I Como lo que movemos son aristas y esquinas, cada movimiento básico
está formado por una permutación de las 12 aristas y una de los 8 vértices.
Además, es un 4-ciclo en las aristas, y un 4-ciclo en los vértices.
I En consecuencia, cada movimiento básico induce una PERMUTACIÓN
PAR de las piezas del cubo. Aśı, la teoŕıa de grupos nos proporciona un
primer resultado importante:
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19El grupo del cubo de Rubik
Una posición imposible
Teorema
No se pueden intercambiar dos piezas del cubo haciendo movimientos legales.
Figura: No se puede llegar a esta posición
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19El grupo del cubo de Rubik
Una posición imposible
Teorema
No se pueden intercambiar dos piezas del cubo haciendo movimientos legales.
Figura: No se puede llegar a esta posición
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20El grupo del cubo de Rubik
Moviendo aristas
I La sucesión de movimientos AD−1A2DAD−1AD intercambia dos aristas
adyacentes (y realiza un 4-ciclo con los vértices).
I La sucesión D−1A2DAD−1AD hace un 3-ciclo con aristas de la cara
superior (y mueve vértices).
I La sucesión DAD−1FT−1BD−1B−1F−1T realiza un 3-ciclo con aristas,
¡y no mueve ninguna otra pieza!
I Jugando con estos movimientos llevamos todas las aristas a su posición
correcta.
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20El grupo del cubo de Rubik
Moviendo aristas
I La sucesión de movimientos AD−1A2DAD−1AD intercambia dos aristas
adyacentes (y realiza un 4-ciclo con los vértices).
I La sucesión D−1A2DAD−1AD hace un 3-ciclo con aristas de la cara
superior (y mueve vértices).
I La sucesión DAD−1FT−1BD−1B−1F−1T realiza un 3-ciclo con aristas,
¡y no mueve ninguna otra pieza!
I Jugando con estos movimientos llevamos todas las aristas a su posición
correcta.
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20El grupo del cubo de Rubik
Moviendo aristas
I La sucesión de movimientos AD−1A2DAD−1AD intercambia dos aristas
adyacentes (y realiza un 4-ciclo con los vértices).
I La sucesión D−1A2DAD−1AD hace un 3-ciclo con aristas de la cara
superior (y mueve vértices).
I La sucesión DAD−1FT−1BD−1B−1F−1T realiza un 3-ciclo con aristas,
¡y no mueve ninguna otra pieza!
I Jugando con estos movimientos llevamos todas las aristas a su posición
correcta.
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20El grupo del cubo de Rubik
Moviendo aristas
I La sucesión de movimientos AD−1A2DAD−1AD intercambia dos aristas
adyacentes (y realiza un 4-ciclo con los vértices).
I La sucesión D−1A2DAD−1AD hace un 3-ciclo con aristas de la cara
superior (y mueve vértices).
I La sucesión DAD−1FT−1BD−1B−1F−1T realiza un 3-ciclo con aristas,
¡y no mueve ninguna otra pieza!
I Jugando con estos movimientos llevamos todas las aristas a su posición
correcta.
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21El grupo del cubo de Rubik
Moviendo vértices
I La sucesión F (DAD−1A−1)(DAD−1A−1)(DAD−1A−1)F−1 intercambia
dos pares de vértices adyacentes de una cara y no toca lo demás.
I La sucesión (D2I2BD2I2A2)2 intercambia dos pares de vértices opuestos
de una cara y no toca lo demás.
I La sucesión DT−1DF 2D−1TDF 2D2 permuta tres vértices de una cara, y
no toca más piezas.
I Con estos movimientos básicos se podŕıan llevar todos los vértices a su
ubicación correcta, aunque no quedasen en posición correcta. Al final
tenemos todas las piezas en su sitio, aunque en posición incorrecta
http://jorgemozo.blogs.uva.esJorge Mozo Fernández http://jorgemozo.blogs.uva.es — Las matemáticas del cubo de Rubik
21El grupo del cubo de Rubik
Moviendo vértices
I La sucesión F (DAD−1A−1)(DAD−1A−1)(DAD−1A−1)F−1 intercambia
dos pares de vértices adyacentes de una cara y no toca lo demás.
I La sucesión (D2I2BD2I2A2)2 intercambia dos pares de vértices opuestos
de una cara y no toca lo demás.
I La sucesión DT−1DF 2D−1TDF 2D2 permuta tres vértices de una cara, y
no toca más piezas.
I Con estos movimientos básicos se podŕıan llevar todos los vértices a su
ubicación correcta, aunque no quedasen en posición correcta. Al final
tenemos todas las piezas en su sitio, aunque en posición incorrecta
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21El grupo del cubo de Rubik
Moviendo vértices
I La sucesión F (DAD−1A−1)(DAD−1A−1)(DAD−1A−1)F−1 intercambia
dos pares de vértices adyacentes de una cara y no toca lo demás.
I La sucesión (D2I2BD2I2A2)2 intercambia dos pares de vértices opuestos
de una cara y no toca lo demás.
I La sucesión DT−1DF 2D−1TDF 2D2 permuta tres vértices de una cara, y
no toca más piezas.
I Con estos movimientos básicos se podŕıan llevar todos los vértices a su
ubicación correcta, aunque no quedasen en posición correcta. Al final
tenemos todas las piezas en su sitio, aunque en posición incorrecta
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21El grupo del cubo de Rubik
Moviendo vértices
I La sucesión F (DAD−1A−1)(DAD−1A−1)(DAD−1A−1)F−1 intercambia
dos pares de vértices adyacentes de una cara y no toca lo demás.
I La sucesión (D2I2BD2I2A2)2 intercambia dos pares de vértices opuestos
de una cara y no toca lo demás.
I La sucesión DT−1DF 2D−1TDF 2D2 permuta tres vértices de una cara, y
no toca más piezas.
I Con estos movimientos básicos se podŕıan llevar todos los vértices a su
ubicación correcta, aunque no quedasen en posición correcta. Al final
tenemos todas las piezas en su sitio, aunque en posición incorrecta
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22El grupo del cubo de Rubik
Torciendo vértices
I Si fijamos una orientación de los vértices, vemos que todo movimiento
básico tuerce los vértices en un número de veces que es siempre 0 o un
múltiplo de 3.
I Aśı, por ejemplo, si arrancamos un vértice y lo giramos y volvemos a
colocar, obtenemos una posición no alcanzable del cubo.
Figura: Una posición imposible y una posible
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22El grupo del cubo de Rubik
Torciendo vértices
I Si fijamos una orientación de los vértices, vemos que todo movimiento
básico tuerce los vértices en un número de veces que es siempre 0 o un
múltiplo de 3.
I Aśı, por ejemplo, si arrancamos un vértice y lo giramos y volvemos a
colocar, obtenemos una posición no alcanzable del cubo.
Figura: Una posición imposible y una posible
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22El grupo del cubo de Rubik
Torciendo vértices
I Si fijamos una orientación de los vértices, vemos que todo movimiento
básico tuerce los vértices en un número de veces que es siempre 0 o un
múltiplo de 3.
I Aśı, por ejemplo, si arrancamos un vértice y lo giramos y volvemos a
colocar, obtenemos una posición no alcanzable del cubo.
Figura: Una posición imposible y una posible
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23El grupo del cubo de Rubik
Torciendo vértices
I El movimiento (FBF−1B−1)2A(BFB−1F−1)2A−1 gira un par de
vértices adyacentes, uno en sentido de las agujas del reloj, y otro, al revés.
I El movimiento (FBF−1B−1)2A2(BFB−1F−1)2A2 hace lo mismo, pero
con vértices opuestos de una cara.
I Repitiendo estos movimientos llegamos a tener todos los vértices bien
colocados.
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23El grupo del cubo de Rubik
Torciendo vértices
I El movimiento (FBF−1B−1)2A(BFB−1F−1)2A−1 gira un par de
vértices adyacentes, uno en sentido de las agujas del reloj, y otro, al revés.
I El movimiento (FBF−1B−1)2A2(BFB−1F−1)2A2 hace lo mismo, pero
con vértices opuestos de una cara.
I Repitiendo estos movimientos llegamos a tener todos los vértices bien
colocados.
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23El grupo del cubo de Rubik
Torciendo vértices
I El movimiento (FBF−1B−1)2A(BFB−1F−1)2A−1 gira un par de
vértices adyacentes, uno en sentido de las agujas del reloj, y otro, al revés.
I El movimiento (FBF−1B−1)2A2(BFB−1F−1)2A2 hace lo mismo, pero
con vértices opuestos de una cara.
I Repitiendo estos movimientos llegamos a tener todos los vértices bien
colocados.
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24El grupo del cubo de Rubik
Invirtiendo aristas
I Un razonamiento similar con las aristas muestra que cualquier movimiento
básico induce un cambio total en la orientación de las aristas que es
múltiplo de dos.
I En consecuencia, no son alcanzables las posiciones siguientes:
I Hay varios movimientos que invierten un par de aristas. Uno de ellos es
IFD−1F−1I−1A2DADA−1D2A2D.
I Otro posible es el llamado movimiento de Thistlethwaite:
T−1B2T 2BT−1B−1T−1B2FITI−1F−1.
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24El grupo del cubo de Rubik
Invirtiendo aristas
I Un razonamiento similar con las aristas muestra que cualquier movimiento
básico induce un cambio total en la orientación de las aristas que es
múltiplo de dos.
I En consecuencia, no son alcanzables las posiciones siguientes:
I Hay varios movimientos que invierten un par de aristas. Uno de ellos es
IFD−1F−1I−1A2DADA−1D2A2D.
I Otro posible es el llamado movimiento de Thistlethwaite:
T−1B2T 2BT−1B−1T−1B2FITI−1F−1.
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24El grupo del cubo de Rubik
Invirtiendo aristas
I Un razonamiento similar con las aristas muestra que cualquier movimiento
básico induce un cambio total en la orientación de las aristas que es
múltiplo de dos.
I En consecuencia, no son alcanzables las posiciones siguientes:
I Hay varios movimientos que invierten un par de aristas. Uno de ellos es
IFD−1F−1I−1A2DADA−1D2A2D.
I Otro posible es el llamado movimiento de Thistlethwaite:
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Invirtiendo aristas
I Un razonamiento similar con las aristas muestra que cualquier movimiento
básico induce un cambio total en la orientación de las aristas que es
múltiplo de dos.
I En consecuencia, no son alcanzables las posiciones siguientes:
I Hay varios movimientos que invierten un par de aristas. Uno de ellos es
IFD−1F−1I−1A2DADA−1D2A2D.
I Otro posible es el llamado movimiento de Thistlethwaite:
T−1B2T 2BT−1B−1T−1B2FITI−1F−1.
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25El grupo del cubo de Rubik
El teorema
Lo interesante de todo lo anterior es que estas son las únicas restricciones que
hay para construir posiciones válidas del cubo de Rubik. Con más precisión,
tenemos el siguiente resultado:
Teorema Gordo
Una posición del cubo es alcanzable a partir de la posición inicial si y sólo si se
verifican las tres condiciones siguientes:1. La permutación de las piezas es de ı́ndice par.
2. El número de torsiones de los vértices es un múltiplo de tres.
3. El número de inversiones de las aristas es un múltiplo de dos.
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25El grupo del cubo de Rubik
El teorema
Lo interesante de todo lo anterior es que estas son las únicas restricciones que
hay para construir posiciones válidas del cubo de Rubik. Con más precisión,
tenemos el siguiente resultado:
Teorema Gordo
Una posición del cubo es alcanzable a partir de la posición inicial si y sólo si se
verifican las tres condiciones siguientes:
1. La permutación de las piezas es de ı́ndice par.
2. El número de torsiones de los vértices es un múltiplo de tres.
3. El número de inversiones de las aristas es un múltiplo de dos.
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26Una estrategia
I De lo anterior, podemos desarrollar una estrategia, al menos teórica, para
recomponer el cubo. Por ejemplo:
1. Colocar todos los vértices en su lugar, aunque no en su posición.
2. Colocar todas las aristas en su lugar, aunque no en su posición.
3. Girar vértices hasta que todos estén en su posición correcta, sin alterar el
resto de las piezas.
4. Girar aristas hasta que todas estén en posición correcta, sin alterar las
demás.
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26Una estrategia
I De lo anterior, podemos desarrollar una estrategia, al menos teórica, para
recomponer el cubo. Por ejemplo:
1. Colocar todos los vértices en su lugar, aunque no en su posición.
2. Colocar todas las aristas en su lugar, aunque no en su posición.
3. Girar vértices hasta que todos estén en su posición correcta, sin alterar el
resto de las piezas.
4. Girar aristas hasta que todas estén en posición correcta, sin alterar las
demás.
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I De lo anterior, podemos desarrollar una estrategia, al menos teórica, para
recomponer el cubo. Por ejemplo:
1. Colocar todos los vértices en su lugar, aunque no en su posición.
2. Colocar todas las aristas en su lugar, aunque no en su posición.
3. Girar vértices hasta que todos estén en su posición correcta, sin alterar el
resto de las piezas.
4. Girar aristas hasta que todas estén en posición correcta, sin alterar las
demás.
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26Una estrategia
I De lo anterior, podemos desarrollar una estrategia, al menos teórica, para
recomponer el cubo. Por ejemplo:
1. Colocar todos los vértices en su lugar, aunque no en su posición.
2. Colocar todas las aristas en su lugar, aunque no en su posición.
3. Girar vértices hasta que todos estén en su posición correcta, sin alterar el
resto de las piezas.
4. Girar aristas hasta que todas estén en posición correcta, sin alterar las
demás.
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26Una estrategia
I De lo anterior, podemos desarrollar una estrategia, al menos teórica, para
recomponer el cubo. Por ejemplo:
1. Colocar todos los vértices en su lugar, aunque no en su posición.
2. Colocar todas las aristas en su lugar, aunque no en su posición.
3. Girar vértices hasta que todos estén en su posición correcta, sin alterar el
resto de las piezas.
4. Girar aristas hasta que todas estén en posición correcta, sin alterar las
demás.
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27El grupo del cubo de Rubik
¿Cuántas posiciones hay?
El Teorema Gordo nos permite calcular el número total de posiciones posibles
alcanzables. Este número es:
8! · 12! · 212 · 38
2 · 2 · 3 = 43252003274489856000.
Si pudiéramos hacer 100 posiciones por segundo, para conseguir hacerlas todas
necesitaŕıamos más de 13700 millones de años. Esto es, ¡aproximadamente la
edad del universo!
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27El grupo del cubo de Rubik
¿Cuántas posiciones hay?
El Teorema Gordo nos permite calcular el número total de posiciones posibles
alcanzables. Este número es:
8! · 12! · 212 · 38
2 · 2 · 3 = 43252003274489856000.
Si pudiéramos hacer 100 posiciones por segundo, para conseguir hacerlas todas
necesitaŕıamos más de 13700 millones de años. Esto es, ¡aproximadamente la
edad del universo!
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Jorge Mozo Fernández http://jorgemozo.blogs.uva.es — Las matemáticas del cubo de Rubik
28Otros cubos y similares
Figura: Otros juegos del estilo del cubo de Rubik
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28Otros cubos y similares
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28Otros cubos y similares
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29Algunos datos curiosos
I En 2018 Yusheng Du consiguió una marca de 3.47 segundos en el torneo
Wuhu Open. Feliks Zemdegs, australiano de 22 años, teńıa el record
anterior, con 4.22 segundos
(https://www.youtube.com/watch?v=NevGDFBfQGw). Zemdegs tiene
también el mejor registro de velocidad media, con 5.53 segundos en Sidney
(2019).
I En 2010 se demostró, con ayuda de ordenadores, que 20 movimientos son
suficientes para recomponer el cubo desde una posición arbitraria. El
procedimiento para hacerlo no es algoŕıtmico, y esta cifra es óptima
(http://cube20.org/).
I En Youtube (https://www.youtube.com/watch?v=Q4BrzJbtRZg) se
puede ver un video en el que Oskar van Deventer hace un cubo
17× 17× 17, en 7 horas y media. Hay una versión acelerada del v́ıdeo, por
si no tienes paciencia de verlo todo
(https://www.youtube.com/watch?v=qlnUEknwdcI).
I Un robot puede resolver el cubo de Rubik en 0.38 segundos:
https://www.youtube.com/watch?v=nt00QzKuNVY
I Hasta 2014, se calcula que se hab́ıan vendido en el mundo al menos 350
millones de unidades del cubo.
http://jorgemozo.blogs.uva.es
https://www.youtube.com/watch?v=NevGDFBfQGw
http://cube20.org/
https://www.youtube.com/watch?v=Q4BrzJbtRZg
https://www.youtube.com/watch?v=qlnUEknwdcI
https://www.youtube.com/watch?v=nt00QzKuNVY
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29Algunos datos curiosos
I En 2018 Yusheng Du consiguió una marca de 3.47 segundos en el torneo
Wuhu Open. Feliks Zemdegs, australiano de 22 años, teńıa el record
anterior, con 4.22 segundos
(https://www.youtube.com/watch?v=NevGDFBfQGw). Zemdegs tiene
también el mejor registrode velocidad media, con 5.53 segundos en Sidney
(2019).
I En 2010 se demostró, con ayuda de ordenadores, que 20 movimientos son
suficientes para recomponer el cubo desde una posición arbitraria. El
procedimiento para hacerlo no es algoŕıtmico, y esta cifra es óptima
(http://cube20.org/).
I En Youtube (https://www.youtube.com/watch?v=Q4BrzJbtRZg) se
puede ver un video en el que Oskar van Deventer hace un cubo
17× 17× 17, en 7 horas y media. Hay una versión acelerada del v́ıdeo, por
si no tienes paciencia de verlo todo
(https://www.youtube.com/watch?v=qlnUEknwdcI).
I Un robot puede resolver el cubo de Rubik en 0.38 segundos:
https://www.youtube.com/watch?v=nt00QzKuNVY
I Hasta 2014, se calcula que se hab́ıan vendido en el mundo al menos 350
millones de unidades del cubo.
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https://www.youtube.com/watch?v=NevGDFBfQGw
http://cube20.org/
https://www.youtube.com/watch?v=Q4BrzJbtRZg
https://www.youtube.com/watch?v=qlnUEknwdcI
https://www.youtube.com/watch?v=nt00QzKuNVY
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I En 2018 Yusheng Du consiguió una marca de 3.47 segundos en el torneo
Wuhu Open. Feliks Zemdegs, australiano de 22 años, teńıa el record
anterior, con 4.22 segundos
(https://www.youtube.com/watch?v=NevGDFBfQGw). Zemdegs tiene
también el mejor registro de velocidad media, con 5.53 segundos en Sidney
(2019).
I En 2010 se demostró, con ayuda de ordenadores, que 20 movimientos son
suficientes para recomponer el cubo desde una posición arbitraria. El
procedimiento para hacerlo no es algoŕıtmico, y esta cifra es óptima
(http://cube20.org/).
I En Youtube (https://www.youtube.com/watch?v=Q4BrzJbtRZg) se
puede ver un video en el que Oskar van Deventer hace un cubo
17× 17× 17, en 7 horas y media. Hay una versión acelerada del v́ıdeo, por
si no tienes paciencia de verlo todo
(https://www.youtube.com/watch?v=qlnUEknwdcI).
I Un robot puede resolver el cubo de Rubik en 0.38 segundos:
https://www.youtube.com/watch?v=nt00QzKuNVY
I Hasta 2014, se calcula que se hab́ıan vendido en el mundo al menos 350
millones de unidades del cubo.
http://jorgemozo.blogs.uva.es
https://www.youtube.com/watch?v=NevGDFBfQGw
http://cube20.org/
https://www.youtube.com/watch?v=Q4BrzJbtRZg
https://www.youtube.com/watch?v=qlnUEknwdcI
https://www.youtube.com/watch?v=nt00QzKuNVY
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I En 2018 Yusheng Du consiguió una marca de 3.47 segundos en el torneo
Wuhu Open. Feliks Zemdegs, australiano de 22 años, teńıa el record
anterior, con 4.22 segundos
(https://www.youtube.com/watch?v=NevGDFBfQGw). Zemdegs tiene
también el mejor registro de velocidad media, con 5.53 segundos en Sidney
(2019).
I En 2010 se demostró, con ayuda de ordenadores, que 20 movimientos son
suficientes para recomponer el cubo desde una posición arbitraria. El
procedimiento para hacerlo no es algoŕıtmico, y esta cifra es óptima
(http://cube20.org/).
I En Youtube (https://www.youtube.com/watch?v=Q4BrzJbtRZg) se
puede ver un video en el que Oskar van Deventer hace un cubo
17× 17× 17, en 7 horas y media. Hay una versión acelerada del v́ıdeo, por
si no tienes paciencia de verlo todo
(https://www.youtube.com/watch?v=qlnUEknwdcI).
I Un robot puede resolver el cubo de Rubik en 0.38 segundos:
https://www.youtube.com/watch?v=nt00QzKuNVY
I Hasta 2014, se calcula que se hab́ıan vendido en el mundo al menos 350
millones de unidades del cubo.
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https://www.youtube.com/watch?v=NevGDFBfQGw
http://cube20.org/
https://www.youtube.com/watch?v=Q4BrzJbtRZg
https://www.youtube.com/watch?v=qlnUEknwdcI
https://www.youtube.com/watch?v=nt00QzKuNVY
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I En 2018 Yusheng Du consiguió una marca de 3.47 segundos en el torneo
Wuhu Open. Feliks Zemdegs, australiano de 22 años, teńıa el record
anterior, con 4.22 segundos
(https://www.youtube.com/watch?v=NevGDFBfQGw). Zemdegs tiene
también el mejor registro de velocidad media, con 5.53 segundos en Sidney
(2019).
I En 2010 se demostró, con ayuda de ordenadores, que 20 movimientos son
suficientes para recomponer el cubo desde una posición arbitraria. El
procedimiento para hacerlo no es algoŕıtmico, y esta cifra es óptima
(http://cube20.org/).
I En Youtube (https://www.youtube.com/watch?v=Q4BrzJbtRZg) se
puede ver un video en el que Oskar van Deventer hace un cubo
17× 17× 17, en 7 horas y media. Hay una versión acelerada del v́ıdeo, por
si no tienes paciencia de verlo todo
(https://www.youtube.com/watch?v=qlnUEknwdcI).
I Un robot puede resolver el cubo de Rubik en 0.38 segundos:
https://www.youtube.com/watch?v=nt00QzKuNVY
I Hasta 2014, se calcula que se hab́ıan vendido en el mundo al menos 350
millones de unidades del cubo.
http://jorgemozo.blogs.uva.es
https://www.youtube.com/watch?v=NevGDFBfQGw
http://cube20.org/
https://www.youtube.com/watch?v=Q4BrzJbtRZg
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30Un cubo para vagos
I Si alguien no ha entendido nada, y de todas formas quiere montar el cubo
de Rubik, aún tiene solución:
https://www.youtube.com/watch?v=FqYFlcvedGU
I Asimismo, existe una versión del cubo de Rubik con conexión Bluetooth:
Figura: Fuente: Rubik’s connected.
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https://www.youtube.com/watch?v=FqYFlcvedGU
https://www.rubiks.com/en-us/connected-cube
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30Un cubo para vagos
I Si alguien no ha entendido nada, y de todas formas quiere montar el cubo
de Rubik, aún tiene solución:
https://www.youtube.com/watch?v=FqYFlcvedGU
I Asimismo, existe una versión del cubo de Rubik con conexión Bluetooth:
Figura: Fuente: Rubik’s connected.
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https://www.youtube.com/watch?v=FqYFlcvedGU
https://www.rubiks.com/en-us/connected-cube
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31Referencias
I C. Bandelow. Inside Rubik’s cube and beyond. Birkhäuser, 1982.
I R. Esteban Romero. Las matemáticas del cubo de Rubik. Pensamiento
Matemático, vol. 3, no. 2 (Octubre 2013), págs. 97–110.
I J. Heber Nieto. Permutaciones y el Juego del 15. Bolet́ın Asoc. Matem.
Venezolana , vol. XII, no. 2 (2005), págs. 259–264.
I C. Kośniowski. Domine “fácilmente” el cubo mágico. Ed. Fontalba, 1981.
I D. Singmaster. Notas sobre el cubo de Rubik. Altalena, 1981.
I A. Warusfel. El cubo mágico de Rubik. Altalena, 1981.
I https://es.wikipedia.org/wiki/Cubo_de_Rubik
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https://es.wikipedia.org/wiki/Cubo_de_Rubik
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GRACIAS POR LA ATENCIÓN
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