parametros fisica onda calor

Vista previa del material en texto

Cálculo de la parametrix de la ecuación de
transmisión de calor sobre variedades
Riemannianas
Rafael F. Córdoba L.
Código: 201630880
5 de diciembre de 2020
La mecánica clásica introdujo el estudio de las ecuaciones diferenciales parcia-
les en la física matemática. En particular, el estudio de ecuaciones diferenciales
parciales (PDEs) se desarrolló en conjunto con el estudio de la ecuación de trans-
misión de calor, de onda, de Laplace, etc. Cuyo estudió enriqueció ambos campos,
la matemática y la física mediante la tecnificación de herramientas funcionales.
Bajo el contexto histórico, el estudio de las PDEs se desarrolla naturalmente
sobre R3 y, posteriormente, se generalizó en dimensiones arbitrarias. El estudio
de variedades y, particularmente variedades Riemannianas, introdujo espacios más
generales en donde se realizaron generalizaciones de las PDEs clásicas de la física-
matemática.
En variedades Riemannianas el análogo del operador de Laplace (∆) se conoce
como el operador de Laplace-Beltrami (L-B). En coordenadas (x1, x2, ..., xn) el ope-
rador L-B es
∆ = − 1√
det g
∂xi
(√
det ggij∂xj
)
nótese que al introducir las coordenadas Riemannianas normales (en donde g toma
la forma diagonal g = diag(1, 1, ..., 1)) se recupera el operador de Laplace del espacio
euclidiano Rn
∆ = −∂xi(δij∂xj) = −
n∑
i=1
∂2
(∂xi)2
Por otra parte, en una variedad Lorentziana (cuya signatura es (-1,1,...,1)) el operador
L-B bajo las coordenadas (t, x1, ..., xn) tomará la forma (g = diag(−1, 1, ..., 1))
∆ =
∂2
∂t2
−
n∑
i=1
∂2
(∂xi)2
1
y, por lo tanto, la ecuación de calor sobre una variedad Riemanniana estará dada
por
(∂t + ∆)u(p, t) = 0 (1)
donde ∂t = ∂∂t . mientras que la ecuación de onda sobre una variedad Lorentziana
será
∆u(p, t) = 0 (2)
A lo largo del curso se estudiaron la ecuación 1 y 2 sobre el espacio euclidiano Rn,
sus problemas de frontera y su existencia. Sin embargo, estudiar la solución de 1
sobre una variedad Riemanniana M requiere definir una función globalmente lo
cual en general no suele ser una construcción fácil y, por tanto, sería útil realizar
(sobre la variedad) una aproximación de la solución. Esta aproximación, en muchos
casos del análisis geométrico suele ser suficiente y, se conoce como el método de
la parametrix para la ecuación de calor.
Definición 1. La parametrix de una PDE es una aproximación del núcleo de la PDE.
La parametrix del operador de calor es una función H(t, x, y) ∈ C∞(R+ ×M ×M)
que satisface las condiciones siguientes
(∂t + ∆y)H ∈ C0(R+ ∪ {0}×M ×M) (3)
ĺım
t→0
∫
M
H(t, x, y)f(y) dy = f(x) (4)
Recuerde que la solución de 1 sobre Rn está dada por
u(t, x) =
∫
Rn
G(t, x− y)ϕ(y)dy
donde
G(t, x) =
1
(2
√
π · t)n
· e−
|x|2
4t (5)
es el núcleo de Poisson o núcleo de 1. El problema sobre M es definir la distancia
entre dos puntos |x − y| y generar una función global sobre M . Por lo tanto, se
realizará la construcción de esta.
Definición 2. El radio de inyectividad es el radio máximo ε = ε(x) tal que el mapa
exponencial expx genera un difeomorfismo entre la bola Bε(0) ⊂ TxM y su imagen
(vecindad de x, Vx).
2
En [1] se muestra que sobre una variedad Riemanniana M, este ε(x) es una fun-
ción suave y, por lo tanto, si y ∈ Vx se define r(x, y) < ε(x) como la distancia de la
geodésica que une los puntos x e y. Por lo tanto, sobreUε = {(x, y) ⊂M ×M : y ∈ Vx, r(x, y) < ε}
el mapa
G(t, x, y) ≡ (4πt)−
n
2 e−
r2(x,y)
4t t ∈ R+, (x, y) ∈ Ur
es suave, g ∈ C∞(R+ × Uε) pero aun así no es una función global.
Lema 1. Sea f, g ∈ C∞(M) entonces
∆(fg) = (∆f)g − 2〈df, dg〉+ f∆g
Demostración. En coordenadas Riemannianas normales,
∆(fg) = −
n∑
i=1
∂2fg
(∂xi)2
= −g
n∑
i=1
∂2f
(∂xi)2
− 2
n∑
i,j=1
∂f
∂xi
∂g
∂xj︸ ︷︷ ︸
〈df,dg〉
−f
n∑
i=1
∂2g
(∂xi)2
�
Para encontrar la parametrix de 1 se realiza el antzats1 de Sk sobre Uε como una
modificación de 5.
Sk(t, x, y) = (4πt)
−n
2 e−
r2(x,y)
4t
(
u0(x, y) + . . .+ uk(x, y)t
k
)
k ∈ Z+
donde uj ∈ C∞(Uε), j = 0, 1, . . . , k son funciones para determinar. Introduciendo
este ansatz en 1 tenemos las condiciones 6 y 7
∂S
∂t
= G(t, x, y)
((
− n
2t
+
r2
4t2
)(
u0 + . . .+ t
kuk
)
+
(
u1 + 2u2t+ . . .+ kukt
k−1)) (6)
y, usando el lema,
∆yS = (∆G)
(
u0 + . . .+ ukt
k
)
− 2
〈
dG, d
(
u0 + . . .+ ukt
k
)〉
+G∆
(
u0 + . . .+ ukt
k
)
(7)
1Solución estimada a una ecuación inicial que describen un problema físico o matemático (Wiki-
pedia)
3
Sobre coordenadas polares tenemos
〈
dG, d
(
u0 + . . .+ ukt
k
)〉
=
〈
∂G
∂r
dr +
∂G
∂θ
dθ, d
(
u0 + . . .+ ukt
k
)〉
=
〈
∂G
∂r
dr,
∂u0
∂r
dr +
∂u0
∂θ
dθ + . . .+ tk
∂uk
∂r
dr + tk
∂uk
∂θ
dθ
〉
=
〈
∂G
∂r
dr,
∂u0
∂r
dr + . . .+ tk
∂uk
∂r
dr
〉
=
∂G
∂r
(
∂u0
∂r
+ . . .+ tk
∂uk
∂r
)
= − r
2t
(
∂u0
∂r
+ . . .+ tk
∂uk
∂r
)
G
Teorema 2. Sea r la coordenada radial en coordenadas polares exponenciales cen-
tradas en p. Sea T = ∂r, D = det
(
d expp
)
y ∆S el Laplaciano sobre la esfera S de
distancia r0. Entonces, si q ∈ S y f ∈ C∞(M),
∆f(q) = −∇T∇Tf(q) + ∆Sf(q)−
(
n− 1
r
+D−1∇TD
)
∇Tf(q)
Demostración. La prueba es una aplicación rutinaria de coordenadas polares. Véase
[1].
�
Por lo tanto, en coordenadas normales (∇T = ∂r)
∆G = −∂
2G
∂r2
−
(
n− 1
r
+D−1∂rD
)
∂G
∂r
=
(
n
2t
− r
2
4t2
)
G+
r
2t
D′
D
G
De esta forma, sumando 6 y 7 junto con sus expansiones, tenemos
(∂t + ∆y)S = G(u1 + . . .+ kt
k−1uk +
r
2t
D′
D
(
u0 + . . .+ t
kuk
)
(8)
+
r
t
(
∂u0
∂r
+ . . .+ tk
∂uk
∂r
)
+ ∆yu0 + . . .+ t
k∆yuk
)
(9)
Ahora bien, sí se impone
r
∂u0
∂r
+
r
2
D′
D
u0 = 0 =⇒ u0 = kD−
1
2 (10)
4
r
∂ui
∂r
+
(
r
2
D′
D
+ i
)
ui + ∆yui−1 = 0, i = 1, . . . , k (11)
la expresión 9 estará dada por
(∂t + ∆)Sk = Gt
k∆yuk(x, y)
La cual no es exactamente 1 pero resultará que es "suficientemente buena".
Se procede a construir Sk. Para encontrar los ui, i 6= 0 resolvemos primero
r
∂ui
∂r
+
(
r
2
D′
D
+ i
)
ui = 0 =⇒ ui = k(θ, r)r−iD−1/2
y, por tanto, la ecuación 11 bajo la escogencia previa de ui es equivalente a
∂k
∂r
= −D1/2 (∆ui−1) ri−1
así, integrando a lo largo de la geodésica (camino que une los puntos x e y) x(s).
ui(x, y) = −r−i(x, y)D−
1
2 (y)
∫ r
0
D
1
2 (x(s))∆yui−1(x(s), y)s
i−1ds.
De esta forma, es posible definir los {ui ∈ C∞(Uε)}ki=0 inductivamente.
Como es usual, para extender esta familia de funciones {ui} junto conG se define
la función de golpe (bump) η ∈ C∞(M ×M) como
η(x, y) =

0 (x, y) ∈M × U cε
1 (x, y) ∈M × Uε/2
g(x, y) d.l.c
.
donde g(x, y) conecta suave estas dos regiones. Por lo tanto, es posible extender Sk
sobre M ×M mediante Hk = ηSk ∈ C∞(R+ ×M ×M)
Lema 3. Hk(t, x, y) ∈ C∞(R+ ×M ×M), k > n/2 es una parametrix de la ecuación 1.
Demostración. Para determinar la condición 3 se revisan las tres regionesUε/2, Uε\Uε/2, U cε .
Claramente, para valores en R+ × U cε , Hk se anula y, por lo tanto, (∂t + ∆y)Hk = 0.
Sobre R+ × Uε/2 tenemos
(∂t + ∆y)Hk = (∂t + ∆y)Sk =
1
(4πt)n/2
tke−
x2
4t ∆uk →︸︷︷︸
t→0
0
5
y, sobre R+ × Uε\Uε/2
(∂t+∆y)Hk = η∂tSk+∆y(ηSk)︸ ︷︷ ︸
Lema 1
= η(∂t+∆y)Sk−2〈dη, dSk〉+(∆yη)Sk =
1
(4πt)n/2
e−
x2
4t φ(t, x, y)
Donde φ ∈ C∞(R+ ×M ×M) es la multiplicación de g con G.
Para determinar la condición 4 se debe tener
ĺım
t→0
∫
M
1
(4πt)n/2
e−
r2
4t η(x, y) (u0 + · · ·+ tkuk(x, y))︸ ︷︷ ︸
h(t,x,y)
f(y) dy = f(x)
Se realizan primero unos calculos.
I(x) = ĺım
t→0
∫
M
1
(4πt)n/2
e−
r2
4t η(x, y)ui(x, y)f(y) dy
= ĺım
t→0
∫
Bε/2(x)
1
(4πt)n/2
e−
r2
4t η(x, y)ui(x, y)f(y) dy + ĺım
t→0
∫
Bε/2(x)
c
1
(4πt)n/2
e−
r2
4t η(x, y)ui(x, y)f(y) dy
Note que la segunda integral tiende a 0 cuando t → 0. Para la primera integral se
puede realizar un cambio de coordenadas bajo el mapa exponencial y, así, trabajar
sobre el caso euclidiano.
I(x) = ĺım
t→0
∫
Bε/2(x)
1
(4πt)n/2
e−
r2
4t η(x, y)ui(x, y)f(y) dy
= ĺım
t→0
∫
Bε/2(0)⊂TxM
1
(4πt)n/2
e−
r2(0,v)
4t ui(x, expxv)f(expxv)D(v) dv
1 . . . dvn
= ĺım
t→0
∫
TxM
1
(4πt)n/2
e−
r2(0,v)
4t︸ ︷︷ ︸
Nucleo Poisson
ui(x, expxv)f(expxv)D(v) dv
1 . . . dvn
donde se extendióui afuea de Bε/2 como ui = 0. La última integral es una integral
sobre Rn y, por tanto, se puede entender como la integral del núcleo de Poisson
junto con la función ui · f ·D. De acuerdo a las propiedades del núcleo de Poisson
vease [2],
I(x)→ ui(x expx 0)f(expx 0)D(0) = ui(x, x)f(x).
D(0) = 1. Y, por lo tanto,
ĺım
t→0
∫
M
1
(4πt)n/2
e−
r2
4t η(x, y)u0(x, y)f(y) dy = f(x)
6
ĺım
t→0
∫
M
1
(4πt)n/2
e−
r2
4t η(x, y)tiui(x, y)f(y) dy = 0, i > 0
Por lo tanto, sumando todo en h(t, x, y) se tiene
ĺım
t→0
∫
M
1
(4πt)n/2
e−
r2
4t η(x, y)(u0 + · · ·+ tkuk(x, y))f(y) dy = f(x)
La determinación del núcleo de 1 está dada por el siguiente teorema �
Sea Kk = (∂t + ∆y)Hk. y sea Qk =
∑∞
λ=1(−1)λ+1K∗λk
Teorema 4. Para k > 2 + n
2
sea e(t, x, y) = Hk(t, x, y)−Qk ∗Hk(t, x, y) i.e.
e(t, x, y) = Hk(t, x, y) +
[
Hk ∗
∞∑
λ=1
(−1)λK∗λ
]
(t, x, y) (12)
entonces e(t, x, y) ∈ C∞(R+ ×M ×M) es independiente de k y es el núcleo de la
ecuación de transmisión de calor.
Demostración. Vease [1]. �
Note que el núcleo estará generado por la parametrix Hk y, por lo tanto, la ex-
presión 12 del núcleo se podrá aproximar según su serie. De esta forma, se encontró
el núcleo de la ecuación 1 sobre la variedad RiemannianaM de donde se puede en-
contrar la solución de la ecuación de transmisión de calor para empezar a estudiar
las propiedades de esta solución.
Referencias
[1] Steven Rosenberg. The Laplacian on a Riemannian Manifold: An Introduction to
Analysis on Manifolds. London Mathematical Society Student Texts. Cambridge
University Press, 1997.
[2] Giniatoulline Andrei. Introducción a las ecuaciones de la física matemática. Edi-
ciones Uniandes-Universidad de los Andes, 2011.
7
[3] James Eells and J. H. Sampson. Harmonic mappings of riemannian manifolds.
American Journal of Mathematics, 86(1):109–160, 1964.
[4] Lawrence C. Evans. Partial Di�erential Equations. American Mathematical So-
ciety, 1998.
[5] Parametrix method - encyclopedia of mathematics. https://
encyclopediaofmath.org/wiki/Parametrix_method.
8
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Parametrix_method
https://encyclopediaofmath.org/wiki/Parametrix_method