MatematicaDiscreta-1

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GUÍA DE APRENDIZAJE 
MATEMÁTICA DISCRETA 
GRADUADO EN INGENIERÍA DE SOFTWARE 
DATOS DESCRIPTIVOS1 
 
CENTRO RESPONSABLE E.U. de INFORMÁTICA 
OTROS CENTROS 
IMPLICADOS 
 
CICLO Grado sin atribuciones 
MÓDULO 
MATERIA: FUNDAMENTOS CIENTÍFICOS DE LA INFORMÁTICA 
ASIGNATURA: MATEMÁTICA DISCRETA 
CURSO: PRIMERO 
DEPARTAMENTO 
RESPONSABLE 
MATEMÁTICA APLICADA 
CRÉDITOS EUROPEOS: 6 
CARÁCTER: Básica 
ITINERARIO: 
CURSO ACADÉMICO: 2013/2014 
PERIODO DE 
IMPARTICIÓN: 
Primer Semestre 
IDIOMAS IMPARTICIÓN: Castellano 
OTROS IDIOMAS DE 
IMPARTICIÓN: 
 
HORAS/CRÉDITO 26 
 
 
 
1 Paso 0 en la aplicación EUROPA 
2 
 
PROFESORADO2 
 
NOMBRE Y 
APELLIDOS 
 
DESPACHO Correo electrónico EN INGLÉS 
Gregoria Blanco Viejo 2103 gblanco@eui.upm.es No 
José Juan Carreño Carreño 2110 jjcc@eui.upm.es No 
Ana Lías Quintero 2005/6108 alias@eui.upm.es No 
Ángeles Martínez Sánchez 
(C) 
2010 ams@eui.upm.es No 
Tribunal 
Ana Lías Quintero 
Gregoria Blanco Viejo 
José Juan Carreño Carreño 
 
 
TUTORÍAS 
 
NOMBRE Y 
APELLIDOS 
TUTORÍAS 
LUGAR DÍA DE A 
Gregoria Blanco 
Viejo 
D - 2103 Se fijará en septiembre 6 horas en total 
 
José Juan Carreño 
Carreño 
D - 2110 Se fijará en septiembre 6 horas en total 
 
Ana Lías Quintero D - 2005 Se fijará en septiembre 6 horas en total 
Ángeles Martínez 
Sánchez 
D - 2010 Se fijará en septiembre 6 horas en total 
 
 
GRUPOS 
 
 Nº de Grupos3 
GRUPOS ASIGNADOS EN: 
Teoría 4 
Prácticas 
Laboratorio 8 
 
 
 
2 Paso 2 en la aplicación EUROPA. 
Si no se sabe el horario de tutorías, poner sólo el despacho. 
3 Los grupos son de teoría y/o de laboratorio (no de prácticas). 
3 
REQUISITOS PREVIOS NECESARIOS4 
 
 
ASIGNATURAS 
SUPERADAS: 
 
OTROS REQUISITOS 
 
CONOCIMIENTOS PREVIOS RECOMENDADOS 
 
ASIGNATURAS PREVIAS 
RECOMENDADAS: 
La asignatura se enmarca en el primer semestre del 
primer curso de la carrera, por lo tanto no exige tener 
ninguna otra superada. La formación previa que se 
precisa es la que se supone que adquiere cualquier 
alumno que haya cursado un bachillerato tecnológico o 
a lo sumo la rama de ciencias de la salud. 
CONOCIMIENTOS 
PREVIOS 
No se exigen conocimientos previos de la asignatura 
porque la mayor parte del temario está constituido por 
temas que se desarrollan de manera autocontenida. 
OTROS CONOCIMIENTOS 
 
 
 
4 Paso 3 en la aplicación EUROPA 
4 
COMPETENCIAS5 
 
CÓDIGO COMPETENCIA NIVEL RA 
G1 Capacidad de análisis y síntesis 3 
G5 
Uso de las tecnologías de la 
información y las comunicaciones 
3 
G6 Resolución de problemas 3 
G9 Razonamiento crítico 3 
G10 
Aprendizaje autónomo, adaptación a 
nuevas situaciones y motivación por 
el desarrollo profesional permanente 
3 
 
G11 Creatividad 1 
I6 
Conocimiento y aplicación de los 
procedimientos algorítmicos básicos 
de las tecnologías informáticas para 
diseñar soluciones a problemas, 
analizando la idoneidad y 
complejidad de los algoritmos 
propuestos. 
1 
 
I7 
Conocimiento, diseño y utilización 
de forma eficiente los tipos y 
estructuras de datos más 
adecuados a la resolución de un 
problema. 
1 
 
I21 
Capacidad para comprender y 
dominar los conceptos básicos de 
matemática discreta, lógica, 
algorítmica y complejidad 
computacional, y su aplicación para 
el tratamiento automático de la 
información por medio de sistemas 
computacionales y su aplicación 
para la resolución de problemas 
propios de la ingeniería. 
3 
 
 
RESULTADOS DE APRENDIZAJE 
 
CÓDIGO DESCRIPCIÓN 
RA_1 Construir modelos matemáticos para la resolución de problemas (modelos 
con grafos y digrafos, modelos recursivos, modelos lineales, modelos 
aleatorios,…) 
RA_2 Aplicar algoritmos básicos (Dijkstra y Kruskal) para resolver problemas de 
distancias, árboles generadores de peso mínimo y planificación de tareas. 
RA_3 Aplicar los principios básicos de combinatoria en problemas de recuento y 
cálculo de probabilidades. 
 
5 Paso 4 y 5 en la aplicación EUROPA. Hay que poner un RA por cada competencia que tenga 
la asignatura en el Plan de Estudios. Imprescindible poner todas las competencias. 
5 
CÓDIGO DESCRIPCIÓN 
RA_4 Manejar las operaciones conjuntistas básicas y la lógica de proposiciones.
RA_5 Construir funciones recursivas y usar los principios de inducción para 
probar propiedades de números y de listas. 
RA_6 Resolver problemas analizando y definiendo los elementos significativos 
que los constituyen, de manera razonada y efectiva. 
 
 
 
INDICADORES DE LOGRO6 
 
CÓDIGO INDICADOR RA 
T1 
Manejar las operaciones conjuntistas básicas. 
Identificar distintos tipos de aplicaciones: inyectivas, 
sobreyectivas, biyectivas y obtener el conjunto imagen en 
casos sencillos. 
Obtener composiciones e inversas de aplicaciones. 
Reconocer, gráfica y formalmente, propiedades de una 
relación binaria y determinar si es de equivalencia o de 
orden. 
Distinguir órdenes parciales y totales. 
Obtener el diagrama de Hasse de una relación de orden y 
sus elementos notables. 
Describir los conjuntos cociente Zn. 
Describir la clase de equivalencia de un elemento y 
obtener el conjunto cociente de una relación de 
equivalencia. 
RA4 
T2 
Resolver problemas de combinatoria donde las 
herramientas a usar son los principios básicos y las 
selecciones sobre conjuntos. 
Aplicar la fórmula del binomio de Newton. 
Usar las propiedades de los números combinatorios y 
obtener el triángulo de Pascal. 
Distinguir espacios de sucesos equiprobables y aplicar la 
regla de Laplace. 
RA3 
 
6 Paso 6 en la aplicación EUROPA 
6 
CÓDIGO INDICADOR RA 
T3 
Formalizar enunciados mediante lógica de proposiciones. 
Definir funciones sobre fórmulas lógicas usando el principio 
de recursión estructural. 
Determinar si una fórmula es tautología, contradicción o 
contingente y saber obtener modelos y no modelos. 
Conocer las equivalencias básicas y usar el método de los 
tableaux. 
Decidir si una estructura deductiva es correcta y probarlo 
usando reglas de inferencia o el método del tableau. 
Demostrar que una estructura deductiva es incorrecta. 
RA4 
T4 
Probar por inducción la igualdad entre expresiones o 
funciones que dependen de números naturales o de listas 
planas. 
Evaluar y construir funciones recursivas. 
Operar con las funciones básicas definidas sobre listas. 
RA5, RA1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T5 
Modelizar problemas eligiendo el tipo adecuado de grafo. 
Determinar si un grafo es regular, bipartito, euleriano, 
hamiltoniano, y dar la partición de vértices o el recorrido 
correspondiente. 
Obtener subgrafos de un grafo dado. 
Estudiar si un par de grafos son isomorfos y establecer el 
isomorfismo correspondiente. 
Aplicar el algoritmo de Dijkstra para resolver distintos 
problemas de distancias. 
Aplicar el algoritmo de Kruskal para resolver distintos 
problemas de árboles recubridores de peso mínimo. 
Determinar si un digrafo es acíclico usando el algoritmo de 
extracción de minimales. Obtener distintos órdenes 
topológicos. 
Calcular el tiempo mínimo de un digrafo ponderado. 
Estudiar si una planificación es correcta y obtener su 
tiempo. 
Determinar si una planificación es óptima. 
RA1, RA2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
CONTENIDOS ESPECÍFICOS (TEMARIO)7 
 
TEMA APARTADOS LOGRO
Tema 1. 
 
CONJUNTOS, APLICACIONES Y RELACIONES 
1.1. Terminología y operaciones conjuntistas. 
1.2. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. 
1.3. Composición de aplicaciones y aplicación inversa. 
1.4. Relaciones binarias. Relaciones de equivalencia y de 
orden. 
 
Tema 2. 
 
COMBINATORIA Y PROBABILIDAD 
2.1. Técnicas básicas: Principios de adición, multiplicación, 
inclusión-exclusión. 
 
2.2. Selecciones sobreconjuntos: variaciones, 
permutaciones y combinaciones, con y sin repetición. 
Coeficientes binomiales y binomio de Newton. 
 
2.3. Introducción a la probabilidad. Regla de Laplace. 
Tema 3. 
 
LÓGICA PROPOSICIONAL 
3.1. Sintaxis y semántica de la lógica de proposiciones. 
3.2. Equivalencias. Método del tableau y aplicaciones. 
3.3. Estructuras deductivas. Reglas de inferencia. Métodos 
de demostración. 
 
Tema 4. 
 
INDUCCIÓN Y RECURSIVIDAD 
4.1. Principios de inducción. 
4.2. Recursividad: funciones recursivas, conjunto de listas. 
Tema 5. 
 
GRAFOS Y DIGRAFOS 
5.1. Conceptos básicos sobre grafos: regular, bipartito, 
subgrafos, isomorfismo, recorridos, conectividad. 
 
5.2. Familias de grafos. Construcción y propiedades. 
5.3. Grafos eulerianos y hamiltonianos. 
5.4. Problemas de distancias: Algoritmo de Dijkstra. 
Centros y medianas. 
 
5.5. Árboles: árboles dirigidos, árbol recubridor, árbol 
recubridor de peso mínimo. Algoritmo de Kruskal. 
 
5.6. Digrafos: dígrafos acíclicos, orden inducido. 
5.7. Problemas de tareas: tiempo mínimo y estudio de 
planificaciones. 
 
 
 
 
7 Paso 7 en la aplicación EUROPA 
8 
 
 
BREVE DESCRIPCIÓN DE LAS MODALIDADES ORGANIZATIVAS UTILIZADAS 
Y MÉTODOS DE ENSEÑANZAS EMPLEADOS8 
 
MODALIDAD DESCRIPCIÓN MÉTODO 
CLASES DE 
TEORÍA 
Se sigue el método expositivo / lección magistral. 
El profesor expone los conceptos de la materia en cada uno de los 
temas. 
CLASES DE 
PROBLEMAS 
Se sigue el método de resolución de problemas en clase. Los 
alumnos disponen de una colección de problemas que tienen que 
resolver aplicando las estrategias vistas en clase. De cara al 
desarrollo de la competencia Resolución de Problemas, se hará 
especial énfasis en señalar las distintas etapas: modelización, 
análisis, selección de estrategia, resolución y conclusión. 
Además, en estas clases se realizarán algunos ejercicios que se 
evaluarán y dicha calificación formará parte de la evaluación 
continua. 
PRÁCTICAS En los temas de recursividad y grafos los alumnos harán uso de 
algunos programas de ordenador (Derive o Maxima y Ahmes) para 
reforzar o completar la materia vista en clase. 
TRABAJOS EN 
GRUPOS 
No está previsto la realización formal de trabajos en grupo. Sin 
embargo, durante las sesiones de problemas, se potenciará su 
discusión en grupo y la posterior exposición en la pizarra. 
ACTIVIDADES 
DE 
APRENDIZAJE 
El alumno deberá realizar Actividades de Aprendizaje de forma 
individual y con apoyo tutorial del profesor si lo requiere. 
Contendrán preguntas tipo test, que deberán responder de forma 
justificada, cuestiones teóricas, ejercicios y problemas de 
contenidos tanto de básicos como elaborados y del mismo nivel 
que tendrán los exámenes. 
TUTORÍAS Las tutorías serán tanto grupales como individuales y los 
estudiantes son atendidos en los horarios establecidos. 
 
8 Paso 10 de la aplicación EUROPA 
9 
 
CRONOGRAMA DE TRABAJO DE LA ASIGNATURA9 
 
SEMANA Actividades Aula Laboratorio Trabajo 
Individual 
Trabajo en Grupo Actividades 
Evaluación 
Otros 
1 Clases de Teoría 
Tema 1 
 Estudio individual Resolución de 
problemas 
 
2 Clases de Teoría 
Tema 1 
 Estudio individual Resolución de 
problemas 
 
3 Clases de Teoría 
Tema 1 y Tema 2 
 Estudio individual Resolución de 
problemas 
Actividad Clase 
4 Clases de Teoría 
Tema 2 
 Estudio individual Resolución de 
problemas 
Actividad Clase 
5 Clases de Teoría 
Tema 2 
 Estudio individual Resolución de 
problemas 
Actividad Clase 
6 Clases de Teoría 
Tema 2 
 Estudio individual Resolución de 
problemas 
Examen Parcial de Temas 1 y 2 
7 Clases de Teoría 
Tema 3 
 Estudio individual Resolución de 
problemas 
 
 
9 Paso 8 en la aplicación EUROPA 
10 
SEMANA Actividades Aula Laboratorio Trabajo 
Individual 
Trabajo en Grupo Actividades 
Evaluación 
Otros 
8 Clases de Teoría 
Tema 3 
 Estudio individual Resolución de 
problemas 
Actividad Clase 
9 Clases de Teoría 
Tema 3 y Tema 4 
 Estudio individual Resolución de 
problemas 
 
10 Clases de Teoría 
Tema 4 
 Estudio individual Resolución de 
problemas 
Actividad Clase 
11 Clases de Teoría 
Tema 4 
Problemas de 
recursividad 
Estudio individual Resolución de 
problemas 
Actividad Clase 
12 Clases de Teoría 
Tema 5 
 Estudio individual Resolución de 
problemas 
Examen Parcial de Temas 3 y 4 
13 Clases de Teoría 
Tema 5 
Problemas de 
isomorfismos 
Estudio individual Resolución de 
problemas 
 
14 Clases de Teoría 
Tema 5 
 Estudio individual Resolución de 
problemas 
Actividad Clase 
15 Clases de Teoría 
Tema 5 
Problemas de 
distancias 
Estudio individual Resolución de 
problemas 
Actividad Clase 
16 Clases de Teoría Problemas de tareas Estudio individual Resolución de 
problemas 
Examen Parcial del Tema 5 
11 
 
EVALUACIÓN DE LA ASIGNATURA 
 
SEMANA ACTIVIDADES 
 Actividad Lugar Técnica eval10. Peso(%) Eval. min 
 Actividades realizadas en clase. Aulas de clase Pruebas de corta duración realizadas en clase 10 % 
6 Examen Parcial de Temas 1 y 2 Aulas de examen 
Pruebas de preguntas tipo test, teoría, ejercicios y 
problemas 
30 % 
12 Examen Parcial de Temas 3 y 4 Aulas de examen 
Pruebas de preguntas tipo test, teoría, ejercicios y 
problemas 
35 % 
 
Examen Parcial del Tema 5 
 Aulas de examen 
Pruebas de preguntas tipo test, teoría, ejercicios y 
problemas 
25 % 
 
 Examen final Aulas de examen 
Pruebas de preguntas tipo test, teoría, ejercicios y 
problemas 
100 % 
 
 
 
10 Escalas de actitudes, Informes/memorias de prácticas, Portafolios, Prueba de Ejecución de tareas reales y/o simuladas, Pruebas de Respuestas Corta, 
Pruebas de Respuestas Largas de desarrollo, Pruebas objetivas, Pruebas orales, Sistema de Autoevaluación, Técnica de observación, Trabajos y Proyectos 
12 
CRITERIOS DE CALIFICACIÓN DE LA ASIGNATURA 
 
CRITERIOS DE CALIFICACIÓN 
 
Opción de Evaluación Continua: 
La evaluación continua se basa en las siguientes pruebas: 
EP: Exámenes parciales. Hay tres exámenes parciales, los dos primeros se realizarán 
durante el semestre en la banda libre del mediodía y el tercero se realizará coincidiendo 
con el examen final. Para realizarlos será necesario entregar resuelta completamente la 
actividad de aprendizaje(*) correspondiente. 
 
EP1: Temas 1 y 2. Necesario entregar AA1 en el momento del examen. Peso 30%. 
EP2: Temas 3 y 4. Necesario entregar AA2 en el momento del examen. Peso 35%. 
EP3: Tema 5. Necesario entregar AA3 en el momento del examen. Peso 25%. 
 
Los exámenes consistirán en preguntas de test, cuestiones teóricas, ejercicios y 
problemas. Se exigirá precisión en la escritura y rigor en la exposición de resultados. 
Entre el 50%-60% de la calificación corresponderá a contenidos básicos. 
 
AC: Actividades realizadas en clase. En cada grupo se harán distintas actividades 
cuyo peso será el 10% de la nota de evaluación continua. 
 
La nota de la evaluación continua se obtendrá ponderando las notas de los tres parciales y la de 
las actividades de clase: 
NotaEC= EP1*0,30+EP2*0,35+EP3*0,25+AC*0,10 
 
(*) AA: Actividades de Aprendizaje. El alumno deberá responder de forma justificada 
a preguntas tipo test, cuestiones teóricas, ejercicios y problemas de contenidos básicos y 
elaborados relacionados con los resultados de aprendizaje que se pretenden lograr en la 
asignatura. Habrá 3 actividades a lo largo del semestre, una por cada parcial. 
Opción de Evaluación Final: 
Por defecto, se entiende que todos los alumnos realizarán la evaluación continua. Los 
que deseen hacer evaluación final deberán solicitarlo explícitamente, a través de 
Moodle, hasta el último día de clase del primer semestre (20 de diciembre de 2013). 
El examen final se realizaráuna vez finalizado el periodo de clases, en la fecha 
determinada por el centro. El formato de esta prueba será el mismo que el de los 
exámenes parciales. 
Convocatoria extraordinaria: 
Se realizará en julio, en la fecha que determine el centro y será un examen análogo al de 
la convocatoria de enero. 
 
13 
CRITERIOS DE CALIFICACIÓN 
 
Competencia Resolución de Problemas: 
En esta asignatura se trabajará la competencia Resolución de Problemas. 
Las actividades para desarrollarla serán la realización de los problemas que aparecen en 
el material del curso (hojas de problemas y actividades de aprendizaje) y se les 
proporcionará la retroalimentación necesaria para que progresen en la adquisición de la 
competencia. 
Las actividades para evaluarla serán los problemas incluidos en los exámenes parciales 
y en el examen final. De este modo, esta evaluación se integra en el proceso habitual de 
evaluación de la asignatura, todos los alumnos realizan la misma prueba y no depende 
de que hayan optado por evaluación continua o final. Se elegirán problemas que 
permitan evaluar la mayor parte de las facetas que recoge la rúbrica oficial del centro. 
Se estima que el peso de la calificación de esta competencia dentro de la asignatura será 
al menos un 20%. 
 
 
 
RECURSOS DIDÁCTICOS11 
 
TIPO DESCRIPCIÓN 
BIBLIOGRAFÍA Matemática Discreta (2ª edición), "Notas de la asignatura" 
editadas por el Servicio de Publicaciones de la E.U. de 
Informática, 1995. 
ROSEN, K.H.: "Matemática Discreta y sus Aplicaciones". Ed. 
McGraw-Hill, 2004. 
HORTALÁ, M.T.; LEACH, J.; RODRÍGUEZ, M.: "Matemática 
Discreta y Lógica Matemática". Ed. Complutense, 1998. 
GRIMALDI, R.P.: "Matemática Discreta y Combinatoria". Ed. 
Addison Wesley, 1997. 
GARCÍA, F.: "Matemática Discreta". Ed. Paraninfo, 2001. 
CABALLERO, R.; HORTALÁ, T.; MARTÍ, N. y otros: "Matemática 
Discreta para Informáticos. Ejercicios resueltos". Ed. Pearson 
Prentice Hall, 2007. 
GARCÍA, F.; HERNÁNDEZ, G.; NEVOT, A.: "Problemas resueltos 
de Matemática Discreta". Ed. Thomson, 2003. 
GARCÍA, C.; LÓPEZ, J. M.; PUIGJANER, D.: "Matemática 
Discreta. Problemas y ejercicios resueltos". Ed. Prentice Hall, 
2002. 
 
11 Paso 11 en la aplicación EUROPA 
14 
TIPO DESCRIPCIÓN 
RECURSOS WEB Plataforma MOODLE http://moodle.upm.es/titulaciones/oficiales/ 
Contiene: guía de la asignatura, calendario de eventos del curso, 
programa detallado de la asignatura, normas de evaluación, test 
de autoevaluación, clasificación detallada de los contenidos 
básicos y elaborados del curso, y material de apoyo. 
Web de la asignatura: http://www.dma.eui.upm.es/docencia/md 
Contiene: programa detallado de la asignatura, descripción del 
modelo de examen y normas de valuación, colección de 
problemas del curso, material de apoyo para algunos temas, 
exámenes resueltos de cursos anteriores, clasificación detallada 
de los contenidos básicos y elaborados del curso y bibliografía. 
EQUIPAMIENTO Aula de la EUI con cañón de vídeo conectado a PC en la mesa 
del profesor y sistema de audio inalámbrico. Pizarra clásica. 
Salas del CIC o Laboratorio del Departamento: Aula con 
portátiles, cañón proyector y pizarra clásica. 
Aplicaciones Software: Derive, Maxima y Ahmes. 
 
OTRA INFORMACIÓN RESEÑABLE12 
 
 
 
 
12 Paso 12 en la aplicación EUROPA