Cálculo Integral para Funciones de una Variable

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1.1. Liashko, A. K. Boiarchuk 
l a . G . Gai, G . R Golovach 
4
H M.JiitlllKi), A, K . liiHiji'iyii, M . I . t a l i . ! . K . I 'iwioiui'i
('ll[MMI(>'llimL HIK'«(>i1f INI IIMCIJIfH MHTOMIHUKI*. 't'OM 1. ' l i l t 11. II*
Miu'umiiih'ilvkhH hi ih j ik j : Hiricipaii
J. /. Liushkfi, A. K. SUuimlutk, hi. C.C.ui, G. J! Gotwach 
Matcmatica superior. Problemas rcsueltos. To mo 2. Andlisis matematico:
edlculo integral p.iin funcioncs de una variable
'IVtitltuvitin tie In aiarta edition rusa (1997) 
lis I, i serif consta do echo voliimenes. Los tun I to primeros tomos con los que se able esta obra,
I'nUtn dodicados al estudio practico de Ids fund ones, las sucesiones, las series, el cflkulo diferencial e 
integral de Ins f Lindanes de una y varias variables; en ellos se presenter! soluciones completamente
• Eelalladas do los problemas expueslos en el famoso libro de li P.llemidovich.
I in los lomos 5 y f>, a parte de una detallada exposition de ia teoria de las funciones de variable
coniplej.% se rcsuelven escnipuiosamente cerca de -100 problem as, muchos de los males aparecen en
la inmortal coleccion del mate 'latico so vie tiro L.L Volkoviski. Ademas de los temas carac ten's Hcos
de los cursns de esle lipo, en esta parte de la obra se Italian euesliones menos comutics como son la
integral de Newton—Leibniz y la derivada de Ferrnat—Lagrange. Se presla una especial atenci&i a 
las aplicactones conformes.
I in aprOximadamente 800 problemas resueltos pa so a pa so, los tamos 7 y H abarcan todus los topicos
del curso habitual de la teori.o de las ecuaciones diferenciales, En cad a section se ex pone el mini mo
leorico csliiclarnenle neeesario para In resolution de los problemas correspondicntes; muchos de
eslos aparecen en la genial coleccion de A,F. Filippov. Aslmismo, en estos volumenes se analizan
toda una serie de tenias basfante alfpicos para libros de esta clasc (teoila de la prolongation de la
Solution def problem a de Caucliy, ecuaciones diferentiales en deiivadas partiales de primer orden
no lineales, algunos metodos numsSricos para la resolution de ecuaciones diferenciales, nplication de
los eriterios de existentia de los ac los 1 unites en el piano lasico, etc.).
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Natalia HnoguUnaoa 
Irina Mitkii-eva 
Viktor Rominov 
Viktoria Malishetiko, Konstantin Miedlwv y Maria Andridnova 
Viktor Ronidmm i/ Vusili Podobied 
Natalia Beketova 
Svietiana tiotidiirenko y Anna Tubinu 
Igor Korovin, Larisa Kirdiiishkhia y Luh Rodriguez Garcia 
Natalia Armcheva y Elena I.6gvinova 
Editorial URSS
http:/' ui'ss.i sa.ac.ru
ISBN 5 - 8 8 4 1 7 - 1 8 3 - 8 (Obra compfeUJ
5 - 8 8 4 1 7 - 1 8 5 - i (Tomo 2) 
© Editorial URSS, 1999
Capitulo 1 
FP — M • Mil • • • I 
Integral indefinida
§ 1. Integrales indefinidas inmediatas
1.1. Definicion de integral indefinida
Definicion. Se dice que una funcion F : X —• M, X C R, es primitiva de una
I micron / : X —> R, si la funcion F es continua en X y su derivada es igual a f(x) en
Jodos ios puntos del intervalo X , a excepcion de un conjunto de puntos numerable.
Si la funcion F tiene derivada igual a /(a?) en cada punto del intervalo X, la
f uncion F se llama primitiva exacta de la funcion /,
El conjunto de todas las primitivas de la funcion / en el intervalo X se denornino
integral indefinida de la funcion / y se designa con el simbolo f f{x)dx. Si F es una
primitiva arbitraria de la funcion / en el intervalo X f se tiene
f(x) dx = F(x) + C, 
Umde C es una constante arbitraria,
1.2. Propiedades fundamentals de la integral indefinida:
a) d (/ f{x) dx) = f(x) dx) b) f dF(x) = F(x) + C; 
c) J Xf(x) dx = A / f(x) dXj A E R\{0}; d) / (f{x) + g(x)) dx ^f f(x) dx +/ g(x) dx. 
1,3. Tabla de integrales inmediatas:
L / dx — x + C. IL / xndx X
, - f i + l
M +1+ C, n £ ™L 
m. f ^ - in \x\ + a 
J X 1 ' 
V.
/
dx - In x+l
IV. J 
VI. / 
dx
l+x.2
dx
vT X
arctg x + Cj
arcctg a; + C,
arcsen ar + C}
-arccos x + C.
vn. / : ( t o In + V x ^ i l ] + C, VIII. J V d ®
/ exdx
aX
iaa+C, a> 0, a ^ l ;
e* + C.
IX. J" sen xdx — — cos :c + C. X. f cos x dx — sen x + C.
XL / scrr a; -CtgX + C XII. / cos tg ar 4- C.
XIII. / sh a? dx — ch a; + C. XIV, / ch x dx ~ sh x Hb C. 
YV r ——- f k - " r * - 1 . f ~ * YVT r f/;Jf i
('.inlluht I, lulrgivtl mdi-fiutd.i
1.4. IVU'tndoH prJfuip.ik 'H d e i n t e g r a t i o n
u) Mt'h>ihi tie hitmdiuiifitt dr utt nnevo atgutuenfn (cunt bio de variables). Si se tiene
jf(x) da: I''{x) I C, on Unlets / f(u) du ~ F(u) I- C. 
b) Mel odd de filial Unci Ml. Si f f(x) dx = F(x) + C, a: £ X, al sustiiuir
x = if(t), >p:Y~> X, 
dondo <p y su derivada ip' son funciones continuas, se obtLene
/ o • ip'(t) dt mF o <p(t) + C. /
c) Metodo de integration por paries. St u y v son funciones diferenciables y la funci6n
uv' tiene primitive entonces es valida ia formula siguiente
J u dv — wv — J v du. 
1 . Demostrar que si J f{x) dx — F{x) + C, entonces
/ f(ax + b)dx = ~F{ax + 5) 4- C, a / 0 .
•* S o l u r i o n . Tenemos
f(ax -j-b)dx ^ - f(ax + b) d(ax -j- 6).
a
Gambia ado lucgo de variable hallamos
I f(ax + b)dx = ^ J f(ax -}- b) d(ax � �� � � J f(u) du = - F(?0 -l- C,
a.
donde u = aa; + b. 
F o r e jemplo, utiJizando Ja labia de integral es calculamos
/ a
dx
+ X1
i / * f ( f )
a J i 
1x = — arete — H- C;
+ « ) a * 
— a rcsen — J - CT;
a
[ _ j £ - f =
J \Z'a2 - x2 J y / j _ 
J v^i^2 y a
donde C = Co — In |a|;
f d x = I f l i t ) = J _ , nJ x2 - 112 a. J 2a
-I C0 = hi® + \/V ± -i- C,
a; - a 
x + a 
+ C. * 
(i I. Integrates indcfinidaN j rimed hit as n
Utilizando la fabla de integrales calcular las integrales siguientes:
• A 
dx
sen x 
< Solucion* Tenemos
dx
1 -f sen x 
d( § x)
l + cos(§ - X)
a? ̂ +2fer,
/ 7T ̂ LF \ 
\4 2/COS'
fcGZ. • 
aj
2 ) + C ,
3. x dx x8 2
Solution. Dado que
dx 1
x2 ~ a2 2a In
x — a 
x + a + C 
do acuerdo con el ej,l se tiene
x dx 1
xs 2 4 
d{xA) 1 , is 4
(a?4)2 - (Viy 8V2
in
£4 + 2 + C. • 
4 . da?
£\/a;2 + 1
M Solucion. Para x ^ 0 se verifies
dx dx
XV,X1 + 1 
sgn x dx 
por eso
dx
xvx2 + 1 
hi 1
I®
+ \ I + 1x
5. dx
xVx2 — 1 
< Solution. Dado que
dx sgn x dx 
xVx2 --1 X 1 - J 
X 2 i - f-M
resulta
-f C = - In 1 -f Vx
2 +1
a;
i
+ C. • 
n1™1 • _ 
7 M > i 
1) ta|i|luk> U Integral tilde I in Ida
6. f .. 
./ Or' I l)«
< Solucir in . Uliltynndo el liecho de que ]a:| — x sgn x fcnemos 
J J + 2 J \ a2/ V ## 
+ C.
En cL proceso del caleulo de la integral asumimos que x estaba sometida a la
condici6n x -f 0. Sin embargo, mediante comprobadon directs ncs cercioramos de que la
funcion ^ es la primitiva de 7̂75572 para cualquier i f 8 .
/ dxV ^ l b x) 
< S o l u t i o n . A partir de la desigualdad + x) > 0 ebtenemos el dominio de definicion del
integrand© X = { x : x > 0 V x < —1}. Para x > 0 tenemos
./ + ^ v W T T i 7 v ' 
Analogs men le, para 1 + x < 0:
di/^x^l)dx _ f dx — ~2 f -
y / x ( \ + J v-x - tv^x j y r
= - 2 In ( - 1 -f <J-x ) + C. 
Ambas soluciortes pueden ser reunidas en una formula. De este modo, tenemos
f = 2 sgn at l n ( v f e y/W + H ) +C, «2[-1,0J. • 
J \/x(i + x) 
8 . f d x
<4 Solucion. El Integra ndo Gsia definido para 0 < « < 1, iuego
d{s/~x) r „ — arcsen y/x + C, • [ d x _ _ f d ? = 2 / -
7 / i ( l - a;) J v^v'T^t " J v / l - (y/xf 
G f _ 
/ v'l I 
S o l u t i o n . Si1 tiene
t dx I dx. f 
J Vt 1 ./ rVc J* 1 1 ./ vT^TT ~ 
InjV * 1 ) H C = « - l n ( l + \/l +e2x ) + C. 
jj I Integrates hidcfinidtiN inm<< J I
| q f mimi com xdx 
J seiv x !• it cos2 x 
•4 Solucion. Dado quo son x cos x dx -
sen x cos x dx 1
v/a2 sen2 x + b2 cos2 x Q> 2 _ h2
obtenemos
d(a2 sen2 x h fr2 cos2 x) _ 
Va2 sen2 x H- b2 cos2' x 
1
a2-b2
a1 sen2 x + b2 cos2 x + C, 2 / it2a o 
1 TL * dx
sen x 
< Solucion, Se tiene
dx dx dx
sen x 2 sen | cos | r\ , X X 2 tg 2 COSz ^ 
d t g f
tg
a; J 
por eso
da:
sen x tg
X In tg
a?
2
+ C , IE fcTT, fc G •
1 2 - / 
dar
cos a;
^ Solucion* Analogamente al ejemplo anterior obtenemos
dx
cosx sen ( | + x) In
7Tf + l +C, fc € Z.
13 sha?
Solucion. Transformando el in teg ran do, para x f 0 obtenemos
d( t h f )da?
shx
da;
2 s h f c h f 2 th
da: _ f 
¥d?f J th a;
In th x
2
+ C. • 
14
• / 
shar
Vch2af
* Solucion. Es evidente que
sha; , 1 = dx - • • 
Vch2x y/2 
d(V2 ch x) 
(\flchx)2-l
J_
a/5
ln(V2chx + Vch2x) + C. •
15. sh x ch a; dx 
8 I ' i ipitulo I. Integral i i i t lrl i i t i i l . i
Sohuirtn. (ii'iic
Nil x ch iK tlx sh a; ch x dx sh 2x dx d(ch 2x) 
entonces
\Z»U'lx r ch'':r ^h^id.'x^h^-.si.^)' 2^/|ch22x + \ 2Vr2\/ch12x + l' 
i ces
/' = 1 f = 1 h l ( c h 2 a ; , v ^ T l = 
J V^VWdi^ 2V57 i/ch^ + l 
1 J ^ + V d ^ + S h ^ + C .
2\/2 \ \/2 / 
16. / dx
ch2£V/ tii2rc
Solution. Es evidente que
f 7 7 = = f Qi~hd(thx) = 3<yihx | C.
J ch2xv th^rc 
I I C a l c u l a r las i n t e g r a t e s s i g u i c n t e s :
/
1 7 . / v T — sen 2x dx. 
M Solucion. Dado que
Vl - son 2x — \J(cos x - sen xf- - ; cos x - sen x\ — (cos x - sen a;) Sgn {cos x - sen x),
entonces, al designar T(x) — f V l — sen 2a: dx obtenemos
-(sen x + cos ar) + C-,~ - 1-k ^ x < ~ - ir,
sen x + cos x + ~ - it ^ x < J ,
- - ( sena + casa?) + C b ^ ^ x < * + • 
(—1)n(son x + cos »} + Cn, nir,
Dado que la funcion primitiva es continua, ha de cumplirse la igual dad
/ ( J + far) = i " ( | + J b r - o ) , fc g Z, 
es dec it; (~l)fc+1<sen + COKHfe) + Q r l = lijn (~l)*(scn x + cos x) + CV donde xk = 
~ + few, k £ %, Por tanto, obtenemos la igualdad -y/2 + Cti i V2 + Ck. Para k = 0 
hallamos C\ -2V2 + C0. Si A = 1 vemos que C2 = 2 V 5 + C\ =2 -2V2 + Cn. Fmpleando
el mdtodo de induction maternities obtenemos C„ — 2\Zln + C, dnndc C — Q, es una
ctmstsinte aibitraiia.
I. htle^ralcs indeljnjil.iN iiiintkili*il«m
FinalnuMiUv lr;ins(omuindo la dtvsigiMldiid 'J I (w )7T t .p < j I U7r en In forma
X ~ 7 -{- 7T
Tl ^ < % 
7r i i ,
lullamos que
£ " f +-K
IT
De este modo,
Vl - sen 2x dx = ( -1 ) (sen x -f cos x) + 2y/2 
x 4 +1T1
7T + c . • 
18. • • • 
sen2 x + 2 cos2 a:'
^ Snlucion. Transformando el integrando obtenemos
m
dx
sen2 x + 2 cos2 a?
da? 1 f tgx
(tg2* + 2) cos2 x ~ V l S V5 ' 
donde nw - | < x < | rar, n G Z . Dado que la primitiva es continua, entonces
I ( ^ -f nir I -f- T2.7T 4- 0 n G Zj
rs decir,
7T
2V2
+ CB
7T
2V"2
+ G n-Hl-
I.)e nqui vemos que Cn+1 — + Cn o bien Cn = 4- C, donde C = Cq. Como
2ar+T- < n + l / n e Z , « e tiene n - r 2 * f *271 [ 2*
i tg® ^ /{#) ^ -— arctg + -7=V2 b \/2 v^
cs exacta en K. • 
2% +7T 
j . Por consiguiente, la primitiva
/ ( f + . - ) .+ C, x ^ - + n-K) lim I(x) . 7 r k 
1 9
• / 
1dx.
* Sol ucion. A partir de la igualdad
x - dx 
1 J.;r
1- da? — 
X ( * + £ ) 2 - 2
si* deduce que
xr — 1 
;i;4 4 1 
- da?
1 In
X + l _ X - y/2 
a? + I _ 3? vVi
+ C 1 , a;In x V2 + 1 
2v5 a;2 + xVl +1
+ C. • 
20. ar + 1
i l t 1 
dx.
1(1 <.'.i|'ilulo I. In tegra l Imli 'ftuitl i i
S o i u d d n , 1'iirti x / I! leiiomoK
^ i - t , l ± i , i & z i )tlx - _ £_ dx — - - 1 - ,
" H ( » - I ) + 2
por est)
Por definicion, hi primitiva dcbe ser continua, por consiguientc, J ( - 0 ) = f(-fO), es
decir, ^ + C_5 - + Ci. Tomando O-i = + C, = ^ + C, donde C es
Lino constante arbitraria, y suponiendo 1(0) — C, nos cercioramos de que la condition
/(- 0) = /(-| 0) = I®) s e verifica, entonces J a integral buscada se escribe en In forma
U® = j ^ = ~ arctg fc* + sgn ar + C, x* �� J(0) = lim I(x). • 
21. J ^ d x , A e R' * > L 0$ 
Soluci6n. Examinemos ei caso A ^ 0. Sea [x] — n, entonces n ^ x < n -| y para ias
res tried ones de la primitiva x h-> /(i) a los inter,'a los [n, n 4 - « € N, obtenemosm-1 f s £ « - j £ r + <V 
Debido a la continuidad de la primitiva debe cumplirse !(n) = /{« - 0), es decir,
—j^i+Qt = + Ch -1 obien CB — , n £ N, de donde lenemos sucesh'aniente
Cj = i + C0 = I + donde Q, = C, 
c2 = ^A + A = I -I- ~~ I C, (3)
^ = A + W + j^1 + C -
Dado que n — [ jr j , de (2) y (3) hallamos
Sea, ahora, A — 0. Entonces, para x € [w, n + 1 [ , n 6 N, se tiene
f n
l(x) = I — dx —. n\x\x + Cn,
J x
Uebido a que la primitiva es continua, se tiene la igualdad I(n) — I(u -0). Entonces por
annlogia eon el caso examinado anterioEmenfe hallamos
C„ = - lit 2 - In 3 In n + C. 
Dado tjue n — [a:] obtenemos
I rfa; ^ [je] I n s —lrt2 - In3 - Intel + C = feci In » - M®1!) -f C. 
|i I. hUograles iiulrfmid+iH inmrdialtiH I I 
V rsle modi >
x \ \ j dx
I? I Ax* 1 ( 1 + £ I 
]
3* 1 1 1 fJ]V) f C si A / 0 
[a] In ar - h\([x]\) + C si A 0.
La primitiva obtenida no es exacta. En efecto, la derivada de cualquier primitiva
exacta on todos los puntos de su dominio es igual al integrando. No obstante, el integrando
rti rues Lion tiene un conjunto numerable de puntos de discontinuidad de primera espeeie,
por !o cual no puede constituir la derivada de la primitiva construida. > 
22
• / 1 • ! • • • • • • • • I • • dx, x £ ]0,1]. 
* SoJucion. Denotaremos l t, luego x h y dx 2 dt ^ - - — f J — " ( 3
/ f 11 j +oo[, Como resultado de la sustitucion obtenemos la integral
. Si X (E 10,1], entoncos
2 [t]dtt3
< un la ayuda del ejemplo anterior obtenemos (para A -- 2)
2 W
t3
dt t r 1 T 2* # 
t ¥ » + 1
M
+ a 
AI reg resar a la antigua variable tenemos
1 1 dx — - 1 1 1 1 1 
'-•s/x-
v^J
donde x G ]0,1]. • 
••• • • . • •
F alcular las integrates utilizando distintos metodos:
23 10x(l — x) dx. 
A Solution. Haciendo uso de la identidad evidente x — 1 — (1 — a;) obtenemos
to;r(l — x) dx 10(1 - X)™ dx u(1 - x)L1 dx 
(1 - x)10 <f(l - a) + j (1 - x)n d( 1 - x) 11 12 •
1 • • • • • • • i j
24. X
(l-x) V100
; dx 
< Sofucion. Desarrollando la funcion x 
pimto x — 1 obtenemos
x2 = (1 
ry
x por la formula de Taylor en un entorno del
xf - 2 {1 - x) + 1.
J W eso
x dx 
•••• ™ ™ • • • 
(1 - x)m
(1 - xf - 2(1 - a) + 1 
(1 - a;)100
dx
/
dx
(1 - »>
2 dx
(1 - X) +
+ dx
O^x)
1 1
100 97 (1 - a?) 49 (1 - x) +
1
99 (1 - x) bC, x^l. • 
( .ipiliili) !. Integral indol l i i i i la
2 5 " h. dx-I I f V » ~ I ' 
Solucion. 'I mm fur ma ndo el integrand o para eliminar las expresiones irraciottales en el
denominador obtenemos
2 6 . J + x2dx.
•4 Solucidn. Dado que x3dx =*((! + x2) - l ) d(l + x2), se tiene
I x3Vl + X2 dx = ((1 1- arp - ( 1 1 or2)5) 1 + zr)
27. f 
J X2 I-: x 2 
A Solucion. Tenemos
1 __ 1 (x + 2)-\x-l) = 1 r 1 \ 
xr+x-2 ~ (x - t ) ( » + 2) ~ 3 ( » !)(« + 2) " 3 \x-l x + 2 / ' 
por consiguientc,
r dx _ 1 / f dx _ f dx \ _ 
J x2 x ~ 2 ~ 3 \J x — 1 J X + 2) ~ 
— | In fx — 1 ] — 1 In \x + 2\ + C=l\n
x- 1 
x + 2 
+ C. 
28. f lJ x* +• + 2 
Solucion. Dado que xdx — \ d(x2) y 2
1 1 ( x 2 + 2 ) - ( x 2 + 	� 1 1 
x'1 4 Stf2 + 2 (x2 f l)(x- 4 2) (x2 + l)(x2 + 2) x2 + 1 x2 + 2' 
entonces
f XdX 1 f 1 f 
J x* + 3 x 2 + 2~ 2 J i? + l 2 J x7- + 2 2 a 2 + 2
2 9 . y sen 'xdx.
Solucion. Integrando la identidad
4 / l - c o s 2 x N 2 1 1 „ I 2 ,
sen — = - — - cos 2.-B + - cos 2x -
V 2 / 4 2 4 
I. lnU'jj;iiiloM iildHinidtm liimcdLilas � ��
i i 
4 2 cos '2.x 
I | ais4;/: [1 I 
obtenemos
8 8 2 ens 7.x 
I- cos 4.x j 
o
sen a? dx ^r - t s e n 4 ^ sen 4x + C, 
O T C \JJLm 
•
• I. •••B m IM !•• • • ̂ • - — • • • • ••
3 0 . f tg3# dx 
4 Solucion, Se tiene
I U^xdx— I tea; ( — VJ J \coszx
1 dx tg x d(tg ar)
sen x da; 1 2 , , , i . ^ ~ - te a? + In cos # + C,
cos a: 2 ° 
7T
£ # y + 
• • • I I I M I P I • • • I I •! I I 111 I • III I M • H || || III I 111 II •• I • M • •! I I iB • ||
3 1 . dx• • • • • • • • • • • • • •
sen x coŝ x 
^ Solution* Utilizando la integral / dxsen x 
dx
sen xcos x 
cos1x + sen2 x 
sen x cos2 x 
dx
In tg ~ + C (v. ej, 11) hallarnos
dx
sen a? +
sen x 
cos2 x 
In tg
x
dx
1
2 cos x 
kit
T •
3 2 . dxsen* x 
4 Solution* Haciendo uso de la igualdad dx
��� x —d(ctga?) obtenemos
f dx 
J sciV*
1
x sen2 x 
d(ctg a?)
3 3 . ch x ch 3x dx. 
(ctg x + 1) d{ctg x) 
1 3-ctg x — ctg x + C. • 
LiJ_l 4 
M Solucion. Se tiene
1 1 ch x ch 3x dx — ^ / (ch 2x -f ch Ax) dx — ™ sh 2x + ™ sh 4a: + C. •
-n—i—i—111—i i—i •—i - I I • ••• • ! I I I B I I II
Pi I'mnleando el metodo de sustltucion hallar las integrates siguientes:
3 4 2 AO (1 — 5x ) dx. 
M t .ijiilnlo !. Inlcgr.tl ImlHIuliLi
<4 Solution, 'limianilo t fir? I obloiYeittos X dx ('|f <i(; x'(t .'ijr)!l1 < / x t w ) d l ,
por consist lit ai U'
' - O f o + C . • 
35. I dx. 
J Vi-x2
Solucion. Sea v'l - X2 -- t, entonces t j — j — —dt y 
= - J L ( 8 + 4x2 + + C, |x| < 1 . • 
10
36. [ 
J 1 + cos2 a.' 
•4 Soluri6n. Toinando 1 + cos2 :c — t obtenemos sen x cos x dx = luego
/ • s e n x c o ^ l + c
J 1 + cos2 a 2 J t 2 2. 
— - ln(l + cos x) - - cos x + C. 
37. f 
J s/T+tf-
•4 Solucion. Al tomar t ~ a : obtenemos
38
• I dx(1 - x7f'2"
Solucion. Sea x = sen t, entonces dx = cos/cW, luego para [asp < 1 se tiene
/ 1 + + c = 
39- JJrr 
li I lulegr.iies irulofinUliif. iiimrdi.il.is IS
4 Solution. Sea x 
nilonces t (.. |(J,
d g 2t — sgn / 
MI'll .'{ , Si x ( | at). r r. I ( 
. 'lenirndo on cucnta ijue |>ara
sgn j; oneontramos
•;,()[; si X <: IA |nuf
eslos va lores de a: y / se verilira
/ X O • • • ™ • • • • m 
y/x2-2
4 sgn cig 2t 
sgn t 
dt
v m i • • • II
2
sen3 2t 
(sen'
se
2 ja2
A |»,irtir de la igualdad sen2£ = ~ - ^ S / |tg£| < 1 para \t\ < obtenemos
t + cos t)
sen31 cos31
dt sgn t ( cos 21•i 111 i — i —
sen2 21 In M l )
C
tg t X± V a ? - 2
V2
V2
y/2
SI X > V5,
si a; < —VX
I Je este modo,
/ sgn ,t >2
2
1
• I • I MM I • ••
f sgn^In a; + y x ' 2 ) + C
a?
2
.L i 
- 2 + In|a: + \/x2-2\ + C. •
id
• r m w w T T • i • • MI • iwmim* • i i f m i • 
40. a2 — a?2 da:.
Solution. Sea a: = asenf, entonces
2 — x2 dx a cos tdt (1 + cos 2t) dt 
tH8™*) + C a x2r arcsen — 4-a x_ x2 + C} f'jc| ^ a •
II i•i i • i • • i • •• • • • • I •• I • • 
41
• / 
dx
yj{x2 + a2)3 * 
* Solution* Sea a; = a tg t, a ^ 0, Entonces tenemos
da?
V V + «-2)3
cos t dt 
1
sen f + C ••• • • • • • •
arVx1 + a2
42. a + a?
a - a:
da:
^ Sofucion. Sea x = acos2i, entonces 0 isU-JC ctgf, da: 2a sen 2f di y 
a 4- x 
• • • • •• •• i 
a - x dx 4 a cos tdt 4 a ( " + 1\2 4 sen 21) + C 
a arcsen xa Va
2 - x2 + C, a ^ x < a •
If) C'ujtfll® I. Integral indeiinhla
4 3 *
< Solucion. A3 tomar x = 2a sen" t obtenemos (v. ej. 29)
/ X \ i d X ~ 8 a 2 / S e " 4 1 d t ~ ft2 ( 3 < - 2 sen 2i + i sen + C = 
3 a 2 a r c s e n - x) + C, 0 < x < 2a. > 
44
• / 
dx
y/{x~ a.)(b - x) 
4 Solucion, Ai tomar x—a = (b— a) son2 i, tras imas transformaciones elementalesobtenemos
f dx = , = 2 [ dt = 2t + C — 2 arcsen < / ? — ^ -V C, a < x < b. • 
J \/{x - a)(b - x) J \ b-a
45. / \/a2 f- a:2 (te,
Solucion. Sea x = a sh t, entonces dx = a ch f dt. Por consiguiente,
yja2(l \ sh2i) = a ch £ y 
j V a 1 + x1 dx = a2 J c h ? t d t = ~ sh 21 + ~ + C. 
A parfir de la igualdad sli t = - \ obtenemos ef - Dado que e! > 0,
entonces t = In \x+\fa2 + x*\—ln a. Evidenteiuente, sh 2t = 2sh t chf = 2 sh i \f 1 -f sh2t — 
2 + ^ — frVS1 + x2, por locual obtenemos deiinitivamente
2
s/a? + x? dx = + y ln|* + \/«2 + ®2j + C. • 
46.
J ]} x + a 
< Solucion. El integrando esta definido para x < —a y para x > a. Sea x > a. En este ease,
poniendo x — a — 2ash2t obtenemos
J y x+~a dx ~4a Jsh2< dt~ 8 sh 2t " lat + c
Teniendoencuenta que ash 2i - Vx2 — a2, sh f = ^ j — — -- ••, t = !n(\/a; + <i*f
V^— a ) — In \/2d obtenemos linaimente
/ i/xTa dx = V®2 -a2-2aln{v^"-i:a + VaT 7 ®) f C.
[i I. Inli^ralcri Irulrfliild»iri hiiiirdi.iLis 17 
.)
ii x < — af tomando x I a 2anW I liiilliimoM
i •• • taB I 
—- dx - -4a I sh2t dt a sh 21 I 2af, I C x a 
\/x2 + a2 -I- 2a In(yf-x - a -I- y/^-x + a ) + C. • 
4 7 . / a A x + + 6) dx. 
Nolucion. Suponiendo que b>ayx + a>0, x -\-b> 0, tomemos a; + a — (b ™ a) shz J 
l-nlonces i/(® + + b)dx = (chU - 1) dt y 
I Ulo que t = ln(y/x^+Vx + b ) ™ln Vb - a, sh41 = i/fr + + ft) hallamos
hnalmente
\/{x + + 6) dx - 2a; + + b y/{x a)(x + 6) - ln(V® + a+ + ft ) + C.4 v , • /v > / 4
Si ,r | o < 0, x |fc < 0, b> a, tomando x + i = —(b — a) sh t obtenemos
j + a)(x + 5) dx=-(b 4 a ) / (ch4f - 1) ttt = - s h 4 f + ( b ^ t + C = 
- 2 a : + a + v ^ T a ^ T f e ) + ^ ^ + + C. • 
•ii •• i III •••• i i i » w r m - 11 M • • ™ • •• • ^ I M I M I • • ! • || • 
Aplicando el metodo de integration por partes hallar las integrates siguientes:
4 8 . f x 2 arccos x dx 
Solution. Integrando por partes obtenemos
arccos x dx = / arccos x d I — = ~ arccos x -f
1 r x3 dx 
111—1111 • •• ii
3 3 J v T ^
X-clvccosx-~ f x2 di^f1 - x2) — arccos x - \/l - / ^/\-x2 d(x2)
3 3 3 -3
3 JL 3> 3J /I n 2 arccos x - ~ x2 — ~\/(l - x2)3 + C, («} ^ 1. • 
3 3 T 9 
4 9 . f ^ 
18 t'api'Uilo I. Integral i n d e l l n i d a
S o l u t i o n . Se liene
arcsen x j' , / 1 \ 1 f dx , . .. 
— dx — I arcsen x d — I = — arcsen x + I •-. x / 0, x < 1.x7- J \ xJ x J xVl ~xl
La ultima integral se calcuia del modo siguiente:
f dx _ f dx = f sgn«ri(|ar|)
J x V l ^ ' J ^ ( f c f - i 1 sgrtar-l̂ vW"
I
A l ' - l + C = In +a
Finalmente teneinos
.wc/>n T acimon T * "1"arcsen x . arcsen x , . — dx = h In
1 -1 VI - .J:2
50 j arctg V F
Solucion. Usando el metudo de integration por partes obtenemos
j arctg -Jx dx — x arctg \fx - j = 
m t T ^ ) d x =
— x arc:tg \fx — y/x + J = X arc Eg \/x — \/x + arctg y/x + C, x >. 0 
5 1 . j arcsen2x dx. 
Solucion. Tenemos
/
2 f 2x 
arcsen z dx — x arcsen x — I • -== - - arcsen x dx, — J VT^li? 
= x a r c s c n 2 ® + 2 f arcsen x d[\/1 - x2 ) — 
= x arcsen2a; + 2 y / l - x2 arcsen x — 2x -f C , |x| ^ 1. • 
5 2 . J Xarcsen2® dx, 
A Solution. Integrando pbr partes y hadendo uso del ejemplo anterior hallamos
J x arcsen" x dx = x J arcsen x dx -- J arcsen2® dx = (x — 1)J arcsen2® dx — 
= (® — l) (x arcsen2® f 2\/1 — x2 arcsen x — 2x) + C, |x| <: 1. • 
|i I, Inlr^nilcn Indi'firtidfi* lnnirtliiiUis
j tlx 
J WT^f' 
•4 Soluci6n. Al realizar aims tr.in^forni.u ioiu's rviilcntcs <.; integrar por partes obtenemos
i
dx I f (a2 + x2) - xl
• ••• • 11 • i — - ••
+ x2)2 a2 J (a2 + x2)2
1 X 1 f x / I \ 
, X | X f dx X — 4 C 
"3 arctS " + 2a2(a2 + x2) " 2? / ~ 2a2(a2 + ^ + 2a3 g a + •
i iii i i • i II
54. j y a2 - x2 dx, \x\ ^ a. 
-4 Snlucion. Integrando por partes obtenemos
I \/a2 - X2 dx — X\f a2 — X2 + / = Xycfi 
J J v a2 — x2
x2
2 2 2 
+ f — a dx = x\fa2 — x2 — f a2 — x2 dx + a2 arcsen — C\ 
J Va2 - x2
Krsolviendo esta ecuacion respecto a J va 2 — x2 dx obtenemos
f j f j / ^ 
a2 - a;2 daj = ™ y a2 - x2 + — arcsen — + a / 0. • 
55, j x2 a2 + x2 dx. 
4 Solution. Tenemos
j x \f a2 -f" x2 dx — j xd{^[a2 + x2¥^ = ^{a2 + x2y
2
(a2 + x2)\/a2 ±x2dx + C^ ~(a2 + x2y - j t y/a2 + a?2 dx + C\ 
t alciilemos la ultima integral
/ / • 1 j f j 
I \f a2 ^ x2 dx = xy a2 + x2 — I • • - , dx = xy a1 + x2
J J va2 + ar
(x2 + a2) - a2 j 
— , — / 7 T 
j _ . i ., . L u l/U 
v a2 + x2
r • L 
07yV + x2 - / yfa2 + x2 dx + a2ln\x+ \/a2 + x2\ -1- C; 
2
\A2 + ar2 dx = | + y ln|x + Va2 + a21 + C. 
lin definitiva hallamos
x2\/a2 + a:2 dx = + a ^ + #2 - ~ tal® + V ^
o o 1 + x
2 + C. • 
S6. / a; sen \/x dx. 
7.0 C'api'Uilo I. Integral i n d e U t i i
•4 Solucion. Tomando en consideraei6n que x dx « 2{v/x):i d(y/x) i! intcgrando por partes
obtenemos
J x sen \fx dx — 2 J(Vx)3 sen y/x d{\/x) — - 2 J{*/xf d(cos y/x) = 
= -2\/x3 cos y/x, + 6j x cos \fx d(s/x) — —2yfi?cos -Jx bjx ti(sen Vx) = 
- -Isfx? cos -fx + 6x sen yfi — 12 J V® sen \/x d(\fx) — 
cos y/x + 6® sen y/x -f 12 / y/x rf(cos y/x) = 
= - 2 y/xi cos y/x + 6x sen s/x + 12Vi cos y/x - • 12 sen s/x + C = 
= 2y/x (6 - x) cos \/x + 6 (x - 2) sen y /x + C , x > 0 .
5 V -
4 S o l u c i o n . Integrando por partes obtenemos
f S ^ l d x = f = _ f dx = 
J (1 + x2 ) ! ' JvT+ x1 J v/(l i - r f
" VTTx2 / V H " ? ' / l ' - f ? v T + ; ? J {\\-x2)i ' 
de donde J = ^ - ^ - e ™ 1 * ! * + C .
5 8 . I\ ~ J e<1*CiK dx> h = j sen bx dx. 
< S o l u c i o n . Eviden'emente ,
?! _ I f cos bx d(eai) = --eM cos to + - / sen bx dx = V * cos to + -/2;a J a a J « a 
I2 =5 — f sen to d(e ' J I ) = - e " sen to - -- / e"* cos to d x = -eni sen bx - -ly, a J a a J a a 
eax(a cos to + b sen to) ea:c{ttsen to - &eos bx) 
h = ••- - o t2 = — ; t j b C .a1 + r a- -t- r 
5 9 . j e2xsen2xdx.
•4 Solucion. litiUzando el ejemplo anterior obtenemos
J e'1 sen2 x dx — J e2* dx — ~ J e2x cos 2x dx = 
= 7 f i 2 1 " 5 e21 (sen 2x + cos 2x) + C. • 4 o 
ft I. Inlc^mleN IihIi*IIiiIdtiN InmcdialaN xi I 
Nota. I\f ivilrnJo tic Ins inU'ftmh'H t|uo vIimii'm m snnHimmlon rit* Jmh;i cn In reduction de tin Iriuomio
cuiu Initio n (a Ion mi canon k\i y on ol cmplm Lii* JiijimuLim;
/ = ; S i 'A «/<>.
IK. / ^ r = ±|jn|az±®z|-|-6'.
V. f ^ y/z-i.111 = In I® + vV ± a
z| + C, a > 0.
«• Si 
iv. / 
VI. / 
e/tf
h — ••• •• I l|M
-X
dx
2a In
fl | ft
a
V <r
xdx
y/a2±x2
--•- arcsen - | C,
rt
- ±Va2 ± a?2 -f C 
VH. / Vrt2 - tf2 r/;;; fVo2^ a;2 -f v arcsen ~ + C, a > 0 
VIII. / Vx2 dt a1 dx 
|R| I la I far las integrates:
a 2 ±*r In Jar -h Vx2±a2\ + C,
60
• i dx3x2 — 2x - I 
4 Solucion. Tenemos
da:
3x2 -2x-l 
d(X M3J
• •II I LJ_(x 1 _ 4 3/ 9 
X 1
3a;+ 1 
1
+ C, a ; ^ - - , •
1111 ii II
6 1 .
x dx 
x4 - 2x2 - 1 
4 Solucion. Evidentemente,
x dx 
x 4 - 2a;2 - 1 
d(x -1) 1
(x2 ™ l)2 - 2 4V2
x
In x
V2. •
1 - V 5
x2 - 1 + V2 
+ c, 
��
• I X + 1 x2 + a: + 1 dx
< Solucion. Teniendo en cuenta la propiedad d) del p, 1.2 hallamos
x 1
X2 + X + 1 
da; ( * + ; ) + § 
(x + 1 
d f x 4-
^ V3 v3
63. / da;
sen a; + 2 cos a: + 3 
� Solucion. Tenemos
m
dx
2 sen | cos | X 1
• • • •l4 cos2 | 2 * (tg I )
tg f + 1 a r c tg j — + "'
( tgf + l) + 4
2wk — < x < 7T + 2n?r.
2 2 C'ii|iiluln I. In tegra l i m l e f m i d a
Como la primitiva dcbe ser continua, entonces dent' quo wHIienrse
m | 27J.7T - 0) = I (IT •(- 2mr I 0), n £ Z, | 4 C'„ = - 1 | CH+,t C„+i = JT + CH.
A partir de estas expresiones determinamos C„ — mr + C, donde C = Co es una constants
arbitraria. Como 2mr - n < x < tt 4 2nw, cs deeir,
n < <7i + l, entonces n — ———
 2ir 
De este modo,
I(x) = arctg t 8 4 x j + C , + 2n?r;
I(tt + 2?(7r) = lirn L{x), n f Z. • 
as—
64
• / 
X d®
V5 4 x - x2
Solucion. Evidentemente,
x dx _ 1. dx 
\/5 4 x - x1 y/5 + x — xi 2 v ^ F - i ) 2 '
de donde
f x d3: fcTZ 1 2x 1 „ I - y g ^ > 1 4 V21I — = = = = = =s - v 5 + ar -- + - arcsen — + C, - — < a; < . 
J V5+x - x2 2 V21 2 2 
65
• / 
dx
v'x4 - 2x2 - 1'
•4 Solucion, Para |®| > \/lb \/2 se tiene
x3 dx _ x2 d{x2) (x2 - 1) d(x2 - 1) , 1 d(x2 - 1}
— — 4 - • 
Va? - 2x2 -• 1 2yJ(x2 - I)2 - 4 2y/{x2 — l)2 - 4 2 - 1 ) 2 - 4 '
de donde
x 3 dx
y v x - - 2 x 2 - 1 2 2 1 ' 
66, j' \/l + x - x2 dx. 
•4 Solucion. Para 1 < x < 2 se tiene
/ ^ r r ^ d ® = J J 9 - - ( * - ( ® - i )
2x - 1 / r - — t ... '••§• 2x - 1 , ' — - — v 2 + x — x* 4 5 arcsen —-—- + C. • 
4 o 3 
ft I. Intc^idli'N InilHIiiiriji* Imm*di«i1«m
i 7 / ( I x I -ft2) dx
* * ™ t p • • ^ ^ 1 1 • • i • • • • i J xvl \ x a:2
SnlucUin. Para x ]
* • m 
2
< Y'f x / 0, teuemos
I
I XV
- X -f x 
xVl + 
••• • an i i tm • m i l ia
X — X 
d x
dx
J xVl + x — x2
+ a? - 1 
v T T a: - x 
dtiy2
Kn la primera integral sustituyamos £y entonces queda
da?
? V I + x — x 
dt
yt2- + fsgnsc - 1 
Ink + 
sgn a:
2
+ <\ft2 + t sgna; 1 In 2- + jb + 2VT+a; - x 
2"
La segunda integral se calcula directamente
(x — I) dx 
J ~~ I I I I I •11 II I B i l l I 1
V I + x - X2
( - 2 x + 1 ) dx 
2 V l + X - X2
d (x - \)
I:iilalmente hallamos
(X I^22
r I I I I I I
)
I I I I I I B I W I I Mill I I I II • I I I I 
yl + x - x2
x
1 2x — - arcsen — —
2 y / 5
1
I In 2 + x + 2>/l + x - x
1
x y / i + X ™ X 
1 2x - 1 - arcsen ———K C.
2 V5
6 8 , a? 1
xVx4 + 1 
da?
Solucion. Para x ^ 0 tenemos
a r + 1 
Vx4 + 1 
dx = sgn x 
1 + i
sgnx - In x 
x1 + 
1
x
x
dx = sgn x 
1
x
d ( x
i )X / 
v v 7 ! ) + 2 
+ C — sgn x • inx
1 - 1 + Va;4 + 1 
• II • ••• ••••• •• I 
x
I - L • • • 
lijercicios
Calcular las integrates:
L J v'l - Ax dx. 2. f - dx
2 - f - 4 a : + 4/ dx1 fens$_ 7 r t i l•>$' /m J dx 4 a :
2 - M t f + S
dx
x'
4 - f - a
sen 2x dx 
2 cots2 x i tPscn2 x - 5 f v3̂ 2 dx 
dx
X
3/2 ' 
10
15.
��
f _ J COScos ir serr 11. f -^T. 12, fcos3xdx. 13, 14. f ex2x dx. X O COST x *f 0 
. IS. J dx. 19, J cos2 a? dx.
COB
I n 2 X 16, f ^ d s . 17. f ^ J ar ar J ® J a: v In x 
f xV^TT dx, 21+ / (ar + \/xz + x + 1 dx. 22, / ^ | 1) dx -H" 2 3 . /
(X ( J) dx 
2A Caplttilo I. integral indt-llitld.i
24. j fy, x > I. 25. / i f c . O I. 26. / lnl«| dx,X 27. J p—p , ® > I.
m J M U ^ , . 3 0 . / ^ . 3 
J gfetf l j j 3 3 L / ^ r t o . S t / p g ^ f e
35. / A/1 - 2x2 -f x4 dc. 36. / arcsen (sena!) dx, 37. arccos (cosx) rfi, ar € IK.
38. J a?v"T+a? do:. 39. / x\l + xf3dx. 40. / 
Calcular las integrales siguicntcs etnpleattdo el metodo de susiituci6n:
M
-'Gifer « 
a , . / a c t * . , s o . / j f f e * . n - j ^ : ; * , , . H . / ^ s ^ S .
53 f .j**-" rfx
Calcular las integrales siguientes empltrando cl metodo de integracion por partes:
54. J a;3 In x dx. 55. J" a:3 sen a; rfa. 56. J ^f^, 57. f x2 cm x dx, 58. J x sei\! x dx. 
60. 62. f arcsen | da;. 63. / £ arcsen * da?.
fi4. / x2arctg x dx. 65. J ^ arctg f rfar. 66. / a; arcctg a: dx. 67. J da:. 68. / ^e1" dx. 
69. / e " cos2 x dx. 70. J dx. 71. JWxdx. 72. / x3 In2 as (fa. 73. / ^ r dx. 
74. / ln(ar + v V -h I 2 ) dar, 75. / a;" ln(ar + v V - a2)dx. 76. f x sh « dx. 77. / x shJaf dx. 
78. / ar'ch ar dx. 79. / dx. 80. / aitsen x arccos x da:. 81. / dx. 
82. / * V sen ar d*. 83. / ^ dar. 84. / 85. / 8 6 . / ^ .
§ 2. Integracion de funciones racionales
Como es sabido, loda fraction propia
P(x) P{x)
Q(x)~ ft » fri(® -
i=t j=i 
donde los ceros de los trinomios cuadrados ayx2 + bjx -h qj son complejos, admite el
desarrollo siguicnte;
m y^f jg I , 4<} \,
<2(x) ^^(X-Xj)"' (x--^)^-1 Z-XiJ 
1 / R ' S t + r 1 ' 1 + C 0 ' , dO'L , /-K \ 
j-^\(ajX2 + bjx + Cj)m> (ajX2 + l>jx + Cj)mJ"1 rtj.x1 + bjX Cj/' 
I,as constantes A^, B\P y C^' se determinan por el inetodo de los coefidentes indetermi-
oados.
t\ *. Irtlrgracirin de luiu-mmv* rationales 2i>
Hn algunos casus am delerminar las cnjislimteH /l,n An ,.., A\ correspond Irs
.1 lot* factores (a; -- :«()" en el desarrollo
P(x) P(x) An An..., A, R(x) 
— • ! ! ' ' ' - - ' " " ' m w i _ • I • l • r n >_ L — 1 - 4 |ll • — > 4 ™ "• — • I / I 
Q(x) " (.x - xt)nr(x) (x - x{)n (x - ari)" 1 x - xv r(x) 1 x
en ronveniente utilizar el metodo siguiente,
AI multiplicar la igualdad (2) por (x — X\)n obtenemos
® - An + (x - ZAA.-X + --- + {x~ a + {x- a , ) " ( 3 )
liMiieudo en cuenta que para x — x\ todos los sumandos del segundo miembro de la
ij;iiiildad (3), salvo el primero, son iguales a cero tenemos
A r(x) (4)I X ^ X | 
I Vrivando luego la igualdad (3) hallamos
) - An+2(x - )An^2 + •. - + (n - - X! r 2 ^ + - a?!) + (a? - ^i)""1 ^ 
tie iltmde tenemos
a 1 =n̂—1 — I r(x) J (5)X=V\
lu'pitiendo sucesivamente el proceso descrito llegamos a la formula
1 (m\(w
(jiu' se usa para determinar las constantes An) A,t-.i>, >., A\ correspondientes al factor
x j )n.
De un modo analogo se calculan las constantes del desarrollo (1) correspondientes
ii olros ceros reales del polinomio x i—> Q{x). 
Aplicando el metodo de desarrollo de fracciones en factores mas simples calcular las
inlegrales siguientes:
f o x ^ \ ^ . dx. 
J ar - 5ar -f 6a:
Solucion* Separando la parte entera de la fraction
x3 + l 1 , 5xz-6x + l 1 H—
x3 — 5#2 6a: a?3 - 5xz -f 6x* 
V descomponiendo el denominador en un producto de factores obtenemos
5a?2-6x + l 5X2-6X + 1 A B , C 
— h r H 
','H ( ' . i j t j inlo I. tiilijJii.il l inli ' l i i i it l , !
73. f 
J 3^+1 
Solucion. Dado que ar'1 4-1 = (x | l)(xz — x +1), entonces
-.A f J ^ + f ^ L d x .J +1 y «+i + i 
De modo habitual se oblierte el sistema
x 2
x]
0 = A + B, 
0 = -A 4 B+ C, 
1 = A+ C, 
de donde A = B — — p C — Asi pues, para x £ — 1 
f dx i 1 /• g - 2 , K , t i I 1 / ( * - l ) d * ' 
2 J ( x - l r + l 3 6 
1 2 x - \ _ 1 ( x 4 l ) 2 , 1 , 2 » - l i i j
4 —p arctg —7=— + C = - In ~ ~ -'--- + arctg —7=— + C. ;
V3 b V3 b x?- ~ x h y/3 
7 4 . f 4 ^ - .
J xi - i 
4 Solucion. Tenemos
/
x dx _ . / d® f Bx + C , 
J - ;i ~A J x-i 1 J x2 + x + i a x '
do donde hallamos x = A(x2 + x + 1) 4 (Bx 4 C)(x - I); 
x 2
x 1
x°
t=A + B, 
\ = A-B \ C, 
0 — A ~ C. 
Resolviendo el sistema obtenldo tenemos
4 = 1 . B = -\, E^1-.
3 ' 3 ' 3 
Por consiguientc,
+ 1 arctg ® E ± 1 + C = i t o - f e ^ 4 4 = <* # 1).
75. f -p. 
7 ar* + 
liUefti.uinti de Itini'luiM'N liirloiMlcH 2{>
Hiiliit icMK Dado t|ue
xA 1 - (x2 + I f ~ 2x' {x* | xJl | !)(*' xs/2 |-1), 
wimuM ii kiscar cl desarrollo del integrando en fraceiones simples en la forma
1 Ax + B Cx + D 
x4 + l x2 + xy/2 +1 x2-xV2 + l 
A piiilir de la identidad
1 = (Ax 4- B)(x2 - xV2 + 1) + (Cx + D)(x2 + xV2 +1)
His iiMinie el sistema de ecuaciones
x3
x2
x1
, 0
 A + C, 
0 = -V2A + B + V2C + D, 
0^A-VlB + C+V2D, 
xu [ 1 = 5 + 2?,
ilt- 1I1 tinlc A — -C — -X^, jB = D = Por consiguiente,
[ * + ^ dx--±- f dx 
•J'1 I I 2\/2 J x2 + aV2 + l 2V2J x2-xy/2 + l 
4 , , 1 f dx I f »- ^ dx + -
s/2 J x2 + xVl4-1 4 J (x + £\2 + l 2V2J x2 - xVl + l 1 2V2J 
1 11 •• 1 11 rrm n- dx + 
lomando en consideracion las formulas de sumacion de las funciones arctg (v. ej. 268
tlrl a\\>. I, 1.1), obtenemos defiriitivamente
t dx 1 . x2 + xVl+l 1 xV2 , 7T ' = / —I—7 = Jn —: 7= h —7= arctg =• H — £{x) + C,
w ' x4 + l 4V2 x2-xV2 + l 2V2 °l-x2 2V2 
it 1111 u 11
+1 si x > 1, 
e{x) = { 0 si \x\ = 1, 
si X < 
/(I) = lim I(x); J ( - 1 ) = lim I(x). • 
x—>1 ar^-t
••"••II MM I • 
7(i. dxX4 + X2 + 1 
M m ion. Dado que x4+x2 + l = (x2 +1)2 - x2 = (x2 - a? 4- l)(x2 + x + 1), el desarrollo
iMisra en la forma
1 ^I + B t Cx + D 
+
I m2 1 1 \ ™ i 1 .... ™ 1 1
; ! 0 t.'np/tulo I. Integral i m l e l i n i d a
D e la idenlidad I = (Ax 4 JJ)(x2 - x 4 1) + (Cx + D)(x2 + x + 1) se obt iene el sistema
0 « A + C ,
0 = -A I B 4 C I D, 
0=A-B + C + D, 
1 ~ B + D, 
dc donde A = B = ~C = D = De cste modo,
f ^ I / » + * dx - 1 f x ~ • dx = 
y x 4 ! ® 2 - ! ! 2J x2 \ x |-1 2 J x z - x + l
1 a;2 4- x _+1
~ 4 x2 - x + 1 ' 2V5 1
•1 , 1 / . 2x I 1 , , 2 x — 1 \ 
^ + a r c t g - ^ J h 
v 5
Notese que (v. e j . 2 6 8 de! cap. 1, t. I)
2 x + 1 
arctg :
. 2 x — 1 . , . 
+ arctg = arctg — - j + 1t£(x), 
donde la Juncidn e(x) se inlrodujo en el ejemplo anterior, y los valores de la funcion arc
del segundo miembro en los puntos x — son iguales a sus valores limites en dichj
puntos.
Finalmente tenemos
/ dx 1 xV3, = \ In % * x •( V a r c t g + + C.x + + x2 + 1 4 x2 - x 4 - 1 t - x 2 2 ^
77
• / 
dx
x 6 4 1 
^ Solucion. En primer lugar transformemos el integrando
1 (x" + 1 ) 4 (1 - x 4 ) x 4 + 1 1 - x 4 (x' - x2 4 1) 4 x 2
x 6 + 1 2(x6 + 1) 2 (x6 I 1) 2 (x6 4 1) 2 (x2 4 1 )(x4 - x2 4 1)
(1 - x 2 ) ( l 4 x2) 1
1-
x 2 - l
2 (x4 — + 1 )(1 + x2) 2 (x2 + 1 ) 2(x6 + 1) 2(x4-x2 + 
Los dos primeros sumandos se integran con facilidad, por eso, hallaremos
dcsiurollo en fracciones simples solo del ultimo sumando. Tenemos
-x2 +1 Ax + B Cx 4 D 
2 (x4 ~x2 + l)~ x2 + i/3x 4 1 x2 ~ \/3x4 l '
-y + = (Ax 4 B)(x2 - V 3 x + 1) + (Cx 4 D)(x' + S x + 1); 
0 - A + C, 
- ~y/3A 4 B + y/5C + D, 
0 — A - V3B + C + 
A = It 4- />
J?/ Inli'j*raci6n do (uiuioiicN ration,lies
It* donde A - —C B I) por lo t'tiitl
1
-f
x
II • • I "f
1 * -I f X 2
X4* I-1 2 (x2 + 1) 2 (.x6 + 1) 2a/3 X2 + V3X 1 2V3 x2 - V3x + 1 
Integrando esta igualdad obtenemos
dx
x6 4 -1 2 
arctg x + — arctg x -\ ^ In — h C. 
6 4V5 x2 - V 3 x + 1 
r m H T T T n I I • IB I I II
7H
x4 + x3 - a;2 + x — 1 
Moliiciorn Dado que x3 - x* + a;3 - x^ + x - 1 — x4(x - 1) + xz(x — 1) + (a: - 1)
(.1= l)(:i;4 + x2 + 1) = (x - \){x2 + x + l)(x2
I ( tones simples tiene la forma siguiente:
x + 1), el desarrollo del integrando en
1
x x4 -h x3 — x2 + x — 1 X — 1 
A . Bx + C Jlx + E 
X̂ IC -f" 1 X X -f-1 
I v Li identidad 1 = A(x 
i tintemos el sistema
+ x1 + 1) + (Bx + C)(x - l)(x2 -x + l) + (Dx + E)(x3 - 1)
x
X'
ar
x
x
i
o
 A + B + D, 
0
0
0
1
- 2 B + C + E, 
A + 2JB - 2C,
- J 3 + 2 C - Z ? ,
A - C - JS.
^r'uilviendo dicho sistema tenemos
A B i C 
3 ' 0
- i D 
6'
Am |uies,
dx
• ••• • ••••••• - • •••••••• i • 
r'' x4 + x? - x2 + x - 1 I In I®-II
I
6
2
In | a: +a; + l 1 , 2x - 1 , ^ 
V5 "v^T"
1 , (x - l)2
7 ^ ~> 7 6 ar + x + 1 
1 2x -
V=3 ^^ 
1 + C, x ^ 1. • 
• ' h •• • • • • • • • • » • • -• I I I I I I -
74). i Bajo que condicion el resultado de la integration f — ax -f- bx + c 
x3{x - 1) dx proporciona
ui luncion racional?
Solution. La integral sera una funcion racional si en el desarrollo
ax2 + bx + c _ A^ B^ D 
x3(x — l)2 x3 x2 x 
E
(x - 1) +
F
x — 1 
Ion rocficientes D y F son iguales a cero. Imponiendo, pues, dicha condicion tenemos
ax} 4- hx A-r = A(x2 - 7x + 11-1- B(x? - 2x2 -I- x) 4- Ex?.
.'W Capfltilo i. Integral indduiida
jgualando los one licit-nit's tie Ins lerminos con igual potuneia de x obtenemos el sistema
x3 0 = B f E, 
x1 a. — A - 2B,
b = -2JL + B, 
c — A. 
Eliminando de este sislema las ine6gnitas A, B y E hallamos la condicion requerida 
a + 2b + 3c = 0. • 
H Aplicando cl metodo dc Ostrogradski hallar las integrales:
�� f xdx
J (x-l)2(x + W 
A Soluci6n. Tenemos
jc dx Ax2 -I Bx + C ( dx f jtx ( x - l ) 2 ( x + 1):! ~~ (x - l ) ( x +1)2 + J x - 1 + J X I 1 '
Derivando ambos miembros de la igualdad hallamos
(x2 - 1)(2 Ax -I B) - ( S i - l p i V f l r f C ) D 
- H - • + E(as - l)z(® + l)3 (x - l)2(x + l)3 ' x ~ 1 ' x +1'
Redunendo a comiin denominador e igualando los numeradores obtenemos
x = -Axi + (A - 2 B) x2 + { - 2 4 + B-3C)x + C- U + 
I D{x - + ?>x2 |- 3x +1) + E(x4 - 2x2 + 1). 
igualando los coefieientes dc los terminos con igual potencia de x en ambos miembros de
esta identidad llegamos al sistema
® 4 0=p D + E, 
x3 0 = -A + 2D, 
x2 0 = A-2B- 2E, 
1 = - 2 A + B-3C-2D, 
x° o - C-B-D \ E, 
dc donde results
Con si g uien te mente,
x dx I x-bx-!-2 , I . -f — m {x - J.)2(as + 'I)-' 8{a; - l )(s +1)2 16 \x-\ x + 1 C, x^ ±1. 
8 i - I whf 
fjj. hiLc^radiin de fiiiii'lom^M im'ioii.ilea
4 SoluciAn. 'Ihnenuw
dx
(a;3 + I)2
Ax H- Bx + C , _ 
i -i l X+ 1 � � � � � x2-x + �
i Jerivando esta igualdad y reduciendo el resultado a comun denominador obtenemos
In ii frntidnd 1 
(/V.r | F)(x4 + x3 + x + 1), de donde
x5 I 0 
Ax4 - 2Bx3 - 3Cx1 + 2Ax + B + D(x or4 + x3 + x2 - ® + 1) -I 
xA
x
X
X
X
1
0
0
0
0
0
1
D + E, 
-A- D + E + F, 
- 2 B + D + F, 
—3C + D + E, 
2 A-D + E + F, 
B + D + F; 
A^-C^O, B 1
3 '
D E - 2
9'
4
A
tlx x
(X t):
f I In I® + 1| - | 
3(®3 + l) 9 aj
x
2
x-2 * 
_ _ _ _ _ / f m• II I B •••••• I I I I III I • f • • 
2 - x +1 
. 2 . 2x-
2 ^ + i + ^ a r c t g " v f
1 + C7 ® ̂ -1 •
8 2 . x
2 dx 
I IB •• II B l l I 
(x2 +2x + 2)2'
4 Solution. Tenemos
a; Ax + B 
2 + 2x + 2 )2 x2 + 2x + 2 +
Cx + D Jax j x2 + 2x + 2 
lr donde, derivando y reduciendo a comun denominador, llegamos a la identidad
x1 = A(x2 +2x + 2)- (Ax + B)(2x + 2) + (Cx + D)(x2 +2x + 2).
Jara deterrninar los coeficientes incognitos hay que resolver el sistema siguiente:
x'
x
x
X
I
0
0 = C,
1 A + 2C + D> 
0 - -2B + 2C + 2D, 
0 = 2A-2B + 2D, 
* r 4 limde se obtiene
A = Q, J3 — 1, C=0, JD-1 
t 'nf i uices
x dx 1
I I II 1 BTTTB
(x2 + 2x + 2)2 x2 + 2x + 2 arctg (x + l) + C. • 
HX dx
( ^ T T r
ij||>Itulo I. Integral I ihIHIi iM.i
S o l u c i o n . luiK!mtis
f - ^ ± 
J (*4 4 I)2
Bx {-Cx + D . f Ex I- Fx' H Gx + If , 
•j — xun a;4 + 
de donde
1 = (3Ax2+ 2Bx + C)(x4-\ 1) - 4x3(Axi+ Bx2+ Cx -I D) + (:x4 I- Fx2+ Gx -f H), 
0 = 
0 = -A + F, 
0 = -IB 4 G, 
0 -3C 4 H, 
A1 rosolver dicho sistema tenemos
C = - AD 4 E, 
0 = 3 4 4 F, 
0 — 2B I- G, 
1
Por consiguiente, / dx 77 + 3 /' da4 J sc* + r (ai4 + l)2 i ( » * 4 1) 4 
Haciendo USO de 1cm resultados del ej. 75 finalmente obtenemos
dx x I 4 ~ — I n — s — r -I- — ^ arctg - _2 4 ^ 4 C,(x4 + 1)? " 4.(ic4 •+1)16V5 s2 - -H 1 8V2 
donde £(x) es el niismo que en e) ej. 75. • 
1 - x ^ t>V2
A Solution. Aplicando la formula de Oslrogradski podemos representor la integral en la
forma/ dx Ax7 + Bx6 4- Cx5 + Dx4 + Ex3 -+ Fx2 + Gx + H {x*-^ f (a:'1 - l ) 2 / Kx3 4 Lx2 4 Mx 4-JVa * - 1 dx.
Dcrivando csta igualdad y reduciendo el re sulfa do a comun denominador obtenemos
la identidad
1 = (ar4 - l)(7Axs 4 6Bx5 |- SCx4 4 4Dx3 + 3Ex 2 +2Fx-r G) -
- fix3(Ax7 + Bxb + Cx" + Dx4 4 Ex3 + Fx2 + Gx + H) 4 
+ - 2x 4 1)(Kx3 t- Lx2 4 Mx 4 N). 
Comparando los coeficientes de las iguales poteneias de x en ambos miembros de
la igualdad tenemos
X11 0 — fir, X5 0 = -6B - 6F - 2M, 
x10 0 = -A | i , x4 0 = ~5C - 7G -2N,
X9 0 = -2B + M, 0 = -4D - 8B 4 K,
x8 0 = -3C + N, X2 0 = - 3 E 4 L,
X7 0 = -4D - 2K, X1 0 = ~2F f M, «6 0 = -7A -SE-2L, 1 - - G 4 N. 
'(','. Jnlr^iai ion do lutn iotirn iJiiniMfrs I ' l r
Ki'fuilvirndo el sistemii hallamos
A H - D = J'J - F = H - iiT - L - M (h <7 7
321
I h- ivik' inodo,
(a;4 - 1):
7x5 - 11a: 21
32 (a;4 - I)2 + 32
dx
x' 1
< almlando la ultima integral obtenemos finalmente
dx
Cx4 - 1):
7x5-UX 21 , 
32 (a4 - l)2 128
x 1
i ii • i • •• ••• i 
X + 1 
21
64
21G ~ —, JV : 
32' 32
arctg x + C. • 
—n 1 1—i—••• h i HI
I >HI»I minar la parte racional de las integrales siguientes:
H.ri x
2 + l 
• • • • • • • 
(x4 + a?2 + l)2
dx
H u \ 11 r i 6 n. Tenemos
x2 + 1 
(x* + x2 + 1): dx
Ax3 + Bx2 + Cx + D 
• • • Ml
X4 + x2 + 1 +
Ex3 + Fx2 + Gx + H 
i •• ••• •• i 
xt + X1 + 1 dx,
lr Jumle hallamos la identidad
i " I [ (x* + x2 +- l)(3Ax2 + 2Bx + C) -
- (4a?3 + 2x)(Ax3 + Bx2 + Cx + D) + (x4 + x + l)(Ex3 + Fx2 + Gx + H). 
A partir del sistema de ecuaciones
x
x
x
x
6
0
0
0
-A + Ft
-IB - G + E 
0-A-3C + F + H, 
x
X
x
X
3 J 
1
0
0
1
0
1
-4D + G + E, 
3A - C + H + F> 
2B - 2D + G, 
C + H 
iMi'iirmos = = D = = H _ _ 2 6' v 3' ~ — - - 67 " — 3 * 
I )e este modo, la parte racional es igual a la expresion
x + 2x 
6 (a?4 + x2 + 1)' •
HU• i 4 ®
5 - 1 
(x5 + x + 1): dx.
Nulm ion. El desarrollo se busca en la forma
I 4 a5 - 1 
I I ���� D:
dx Ax
4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E 
I I I B I II • • I I 
a?5 + x +1 +
Fx* + Gx3 + Ha? + Kx + L 
X5 +x + 1 
dx
n11
k
Ini ide se obtiene la identidad
(x5 + x + l)(AAx3 + 3Bxz + 2Cx + D)-
- {5x4 + l)(Ax4 4- Bx3 Cx2 + Dx + E) + 
+ (x* + x + l)(Fx4 + Gx3 + Hx2 + Kx + L): 
C';i[iilli!o f. Inlt-g!>il Intli'tfilillii
Ai rosoSvor el his lo in a dt1 ccUtK'i tines
x" 0 =» t\ x'1 0 , 3A -- 5li + G i- F, 
x* 0 = --A 4 G, x3 0 = 4 A +2B+G + B, 
ar7 0 - ~2B \ H; x3 0 = 3 B + C + K+E, 
a;6 0 = - 3 C + K , a 1 0 = 2C + L + K, 
x5 4 — -W + L 4- F, a:0 -1 - D - E E, 
obtenemos A = B = C — E — F ~ G = H = K - L - Q, D — - 1 . De este modo, la
integral se reduce a SLI parte rational
— x
X5 + X + l' \
1 Empleando disttntos metodos hallar las integrates siguiertfes: j 
f
J x*> + \ 
 Solucion. Tenemos
f >J, - A f L. 1 f d(xz) 
J x6 + l 3 J x* + 1 + 2 J x^ + r 
Had en do uso del ej. 73 tenemos • 
f x2 \-x . I _ 3 , J 2x2 - 1 1 . ( a j 2 - l ) 2 w
I ~T-T7 dx = ~ arctg ar + — = arctg - •• - + — In - -, + C. • 
j i ' + l 3 6 2 < & V3 12 a s 4 - ® 2 * !
88. f J" ^ dx. J x(xs + 3a;4 + 2 )
Solucion. Tomando = t obtenemos I
f x4 -3 . 1 f (t-3)dt
J xixs + 3a;4 + 2) 4 J t(t - \)(i ~ 2 f
El desarrollo de la funri6n en fracciones simples se busca en la forma
t -3 _ A D^ 
t(t | +2) ~ t t +1 t • 2' \
de donde t~3=A(t I 1)(t + 2) I- Bt(t + 2) + Ct(t + I).
AI to mar sucesivamente t — 0, — 1, —2, obtenemos
a = 4 b = 4 > c = 4 1
De este modo,
= - I In ®4 + ln(x4 +1) - | \u(x4 +2)+C, xj- (1. >\
(> o 
/
Jln-1* d x
xn + 1 
v.' I iitc^i.u iui) tie funi'ioiH'N J.u inn.iIrN [\7 
4 Solution. Se tiene
n J x" -j I n J xn + 1 xI I
n
iliihilc oo < x < foo para n par y x - 1 para n impar (n / 0). • 
«m. / ' — d x
J xU x{xl° + I)2 ' 
4 Hnliuion. Multiplicarido el numerador y el denominador por x tenemos
I tlx 1 f d(x5) I f (x10 + 1) - sc10 5
I .i-(a:«r+ l)2 " 5 J x5(xw + l)2 5 J x5(xw + I)2 ' 
•, 5 r w„io , -n „io _s
. / Vx5(x10 + 1) (a;10 +1)
\ 5 , i / ^ + 1 ) — a? w . s ,
1 x5 x5 \ „ fk 1 , • 5 1 , , 10 . 1 
5 I I I • IT) = To + x) + TnTx^TTi + c •' ar s1 0 + l (x10 + l ) 2 / v ' 5 ' 10 ' ' 10(xlo + l)
1 / . x10 . 1 •
()| f 1 - s 7 d
4 Noliirinn. Sea x = entonces obtenemos
I ® 
.!'( I | X7) 7J t(l + t) 7 J f(l + f 7 J \t 
2 ^ dt 
1 + f /
| (In \t | - 2 In [1 +11) + C = | In ^ ' + C, a ^ 0 , - 1 . • 
• I II I •• • • • I ' l l ' * ••
<)2. / „ dx.
a;4 + «2 + 1 
4 "ml m i on. Para x ^ 0 tenemos
/ + J rrfx= I 1 + dx= f ^ 
+ 1 ./ x2 + 1 + A X ( * - £ ) + 3
J_ x2 - 1 (Ci si x> 0, 
g xV3 {Ci s i 33 <0-
Como la primitiva debe ser continua, tiene que verificarse
*<-0) - fig + C2 _ - ^ + C, = #(+0),
<!>(:*:) es la primitiva del integrando.
De este modo,
a?4 + a2 4-1 a x = o.
X ('iipilulii I, Integral iml i ' lh i id . i
• • f 93. / dx.tf t- x? h xl + x + 1 
< Solucion. Tms lii realization de vaiias transformaciones evidcntes tenemos
f I z k d x = f £ f c ± i l =
J a*+a?+a* + x +1 J x2 +* + 1 + ± + £ ,/ (x + 1)J + + I) - { 
-
J ( j B + i + I ) * - ! v^ 2 ^ + ( l f v / 5 ) x + 2 
•4 Solucion. Par analogue con el ejemplo anterior lenemos
-U- 1 r w+p , i h
95
y X s + i
A S o l u c i o n , A1 efectuar unas transformariones apropiadas obtenemos
f x l ± l f + + j /" f x2 dxJ a* + 1 dX ~ J (a^ + lX^-^ + l) J + l j xb +1
96.
Deducir la formula de recurrencia para el cakulo de la integral /„ ss f > j-1^.—.„,
a / 0, Empleando dicha formula calcular /3 = / ^Tz'̂ iiy -
Solucion. Hatiendo uso de Ja identidad
a:c2 + 6® f e ==• ^ ({2«a: + i»)2 + (4rtc - b2})
y efectuando la sustitueion 2 « x + b ~ i obtenemos
A1 integrar por partes /„ _ [ queda
r (4«)n_I / f , f f + A-A 
W 1 * _ (4a)" " ' ( 1 — Tt) [ dt /' ^
2a(t2 + A)" - 1 a J {t2 + A)'1-1 ' (i J (t2 + A)" '
es d e d x A - i = a j g ^ L - 2(1 ~ n)In A + 
t
Ji'f. InU'gracion tit- luni ioiu'N in.uiou.ilrs IV)
Kesolviendu t\sl<i igualdad res pec to i i /„ lia I Ian inn
(4 a)nH (3 In) 2a 
n " A(1 - n)(t2 + A)»"J 1 ( I n)A " " 
Sustituyendo t por su valor tenemos
T 2ax + 6 2n 2a T
W ^ — m — n n i l I J I I I H I , , , , . — , „ M J M M ^ ^ ^ ^ ^ M ^ ^ ^ ^ ^ — • i •• • • i m i i i i m i • i • G- • • • JT . j
B ~ (n - l)A(aa;2 + bx + c)""1 n - 1 A 
l(n el ejemplo propuesto a = & = c — 1, n — 3, A = 4. De este modo/
2x + 1 . f dx 2x + l 2x + l 
J O V I WU(x2 4- x + l)2 J (a:24-xH-l)2 6(x2±x + l)2 3(x2 + x + l )
2 f dx 2x + 1 2a;+ 1 , . 2x + l 
• • • ™ " ~ I 1 i~~| I I •• • L ' • • • • • • ••••i—m n—n—• 1, 1 •• • i—•—i • • • • • F . , . . . .
I'.jrtvicios
II a I tat las integrales empleando el metodo de los coeficientes indeterminados;
•/' OT 88. / dx. 89. / dx.
I > 1 ' ' J \ * / " / JJ+x+A 
llallar la parte racional de las integrales siguientes:
-M /' dx 94 f f2~3a+a;2) rfj, Q5 f ^ rfar 96 f Iz^r.?/ d x
§ 3, Integracion de funciones irracionales
Yhdiante la transformation de los integrandos en una combination de funciones
i iir i oil ales hallar las integrales siguientes:
M7. j dx, x ^ -1, 
x 4- v 2 + x 
Solucion. Tomando x + 2 — t tenemos
x+y/I+x J P + t-2 j V (f, - +1 - 2) 
f dt
4* 21 +J (£ — l)(f2 + f + 2)
Alii ultima integral se le puede aplicar el metodo de los coeficientes indeterminados
3t2-6t A , Bt + C 
~ r(i-l)(t2 + t + 2) t-1 t2 + t + 2>
dr donde hallamos
4 4 2 
v < .ilnilamos luepT) la integral
4 0 Capil i i lo I. Integral i n d r t l n l d a
t - i„ _& f _dt,_ 15 [ ^ 
1 + 2) " 4 j t - l + 4 J t2 + / !• 2 
„ In j f c * 1| + f In 112'+ * 2| - arctg + C
Asi pues , tenemos
/ x - t f T + x , 3 , 4 3 . 2 3 in — 
1 5 . ,,2 , . , 27 . 2£ ••!•1
dx - -T - ™ r - 7 In - 1| + 
x + 4 2 4 
98. /' X dx 
./ - x) 
Solucion. Rs evidenle que
f = [ { p ! L Q < x < a .
J yx*(a -x) J \ a - x
' Iras la sus t i ludon = t l legamos a la integral de una (unci6n racional
Inlegrando p o r partes obtenemos
f f t* .. erf5 f dt at f dt I = a - - t l - a j - ^ M - ^ - a t + a f = + . j 
La ultima integral se calcula transform a ndo el integrando del modo siguiente:
f dt 1 f (1 +t2) |- (1 - i2),, I f 1 +t2 I f t2 - 1 .. 
j n i 3 ~ 2 / i+i*
2 J P + jz 2 J + i 2 j (t-})Z + 2 2./ 2 — (l + j) 
- a n * » — 1 - — In + + 1
Asi pues, obtenemos
at a . f2 + (i . j g - j , „ t/ = — - — t t t —7= In — — - - — a r c t g — p - - C. • 
99. / —;_-.. - . - — = = . (n es un niimero natural).
I "/7„. „ M l + l . MIl-1
fj.'l, Integration do fuiiriniit^ lihumii.tU's
Nnlik'itin. Obsorvetims tjntr
I dx
'<A
rn—run—•-
x - a)n+l(x - b)n— L 
dx
i 11 * n " i i —
x—bkmos - - - — tn, entonces r~x -a ! r—
da; —if'1"1 dt y se tiened—a
I b
n f tn~l
- a J tn~l dt
n
b dt
n
b - a t + C 
n
b - a 
A|>lii jndn la formula
Pn(x)
• •••i ••
y
dx = Qn-i(x) y + a 
dx
V
5
In
X b
x — a + a • 
111 • ••• ii • • i i rn
J • • 1
iliMide y y/ax2 + bx + c; A es un numero; Pn0c) es un polinomio de grado w y 
*Ju es un polinomio de grado n — 1 calcular las integrales siguientes:
100 X I ni l I • I • 
V l + 2x - a?2
41 Si>lu( ion, Tenemos
x3 dx
V l + 2 x - x2
(Ax2 ±Bx + C)V1 + 2x - x2 + A dx
y/2-{x- 1):
I if i ivando esta identidad y reduciendo el resullado a comun denominador obtenemos x 
IJ I /?)(! + 2x - x2) -f (^x2 + Bx -1- C)(l - x) + A, de donde
.....
x
x
X
X
1
0
1 3,4
0 = 5A - 2B 
0
0
2A + 3B-C, 
B + C + A,
B _ 5
6 '
Asf pues, para |x — 1| < V2 tenemos
1
3J
C 193 ' A = 4
x dx 
• •• • 
101
Vl + 2x - x2
• j x4 \/a2 - x2 dx. 
2x + 5x +19
r r n 1 u
6
s/l + 2x — x2 4- 4 arcsenx — 1 
V2
• + C. • 
4 Solucion. Tenemos
s/a?-- X2x2 dx V - X
6
^ — • III • —"
v a2 — x2
dx
(Ax5 + Bx1 + Cx3 + £>x2 + Ex + F ) V a 2 - x2 + A dx
x
^ donde
, 4 . ^ n 3 . 2 . n m \ / . . 2 2\ / 3 , T-k 2 • i T 7 I \ i \
42 CapiLulo I. Integral ind«? fluid.1
Para deternmiar los cocficicntos del desarrollo qt>mparemos los coefirientes de la
iguales potencias de a1:
x
x5
0 = 3Ca2 - 2E.,
0 = 2Da2 - F, 
0 = Ea2 + A.
- 1 =» - 6 4 ,
0 - - 5 B ,
a2 - 5urA - 4C, 
0 - 4Ba2 - 3P,
A partir de este sistema obtenemos
4 = 4 i l - 0 , = F = 0, X = a~
Por consiguiente,
^ ~ x2 dx = ( y ~ 3T ~ ~ x2 + 16 arCSen jf| + C> M ^ l«l-/
102
• I -
J (x 4 
dx
(x +1)5 Jx2 \- 2x 
A Solution. A1 uSilizar la sustitucion x -f 1 — j obtenemos
f dx f t4 jjej 
~ ./ (x -| I)5 Vxl + 2x ~ J vT^F' 
Calcularemos
- J ^Ml (A\t\3 + B\t\2 + C\t\ 4 />) vA - f2 4 A j d\t\
Derivando respecto a |f| y reduciendo el resullado a comun denominador obtenemos 1,
identidad -\t\'1 - (34|(|2 4 2B\t\ 4 C ) ( l - Jij2) - li|(4if3 4 J5[i|2 I C\t\ 4 d) 4 A
donde
!*|4
\t\3
\t\2
- 1 = —44,
0 - -SB, 
0 - 34 - 2C,
\t\
1*1°
0 = 2 B - D ,
0 = C + A ,
14 = j , B = 0, C= X> = 0, A = - | .
De este modo,
•= (—L
\4 ® 4 14|:e 4 1 |3 S|ar 4 1|w1 1 3 11 - t - r= - - arcsen ; — 4 C -••=(® 4 l)2 8 |® 4 1|
3®2 + 6® + 5 / T 7 7 3 1 , . . ^ n — - arcsen l- 1 + C , x < - 2 , a: > 0. » 8(3 4-1)4 > + l|
103.
[j.i, tnlegtacitin de (iimimicrt h ia* ioiules
NoluciYm. Tenemos
-f-2 x2 + 2 I 1 
®z + l (a2 + l)Va? + 2" \/x? -1 2 ' (x2 l )v / 5 r +2 '
= In (x + + 2 ) .
I'ara calcular la integral / cambiemos de variable = t, entonces
jiird.i
A dx f dt _ _ a? 
(a2 + i)Vs?Tl " J t2 +1 " a r c s
J W i •< isiguiente,
J llll I 1 I I 
, dx = In + v W 2 ) + arctg . x 4- C.
^ +1 v 7 y/x2 + 2 
•
Mmhitiendo los trinomios cuadrados a su forma canonica calcular las Integrales
Nt^mcntes:
104 x dx 
(4 - 2x + x2)V2 + 2x - x
Fiolmiori. Tenemos
( . x2 dx f dx f (2x - 4) dx 
W II • • 11 1 • • ••••• • I I I • I M I • I 111 I •••• • I I I • I • • I I • I I I • M^M • ••• • • • • • • I | L H—r^H
B J J ! • • • • | P • ••• I • • •• • • J " ™ ™ M • ' ~ ™ • •••! • I 
• •• •••• I I I I •• I I I I •• I I 
(4-2x + x2)V2 + 2x-x2 J V2 + 2x-x2 J (4 - 2x + x2)V2 + 2x 
I | imera de estas integrales se calcula directamente
— + 
x
I dx f dx x -1 arcseny/2 + 2a? - x2 J - (x - l)2 V3 
11 k U segunda integral tomaremos x — 1 = z, luego
dz,
(3 + zl)V3 - z 
integral obtenida se descompone en dos
T . T I 2 zdz „ f dz -*•! "t" J-2 — i ; • ^ 
(3 + zz)V3 - z2 J (3 + z2)V3^z
I ii primera de ellas se calcula mediante la sustitucion y/3 - z2 = t: 
.Zi — 2 / — — — —̂ r In
6 ~t2 Ve V6-ti 
V6 +1
Kty+ivsando a la variable x tenemos
T 1 , Vfi + V2 + 2as - x 
44 CiipHulo 1. Integral i i u M i n u l a
IVirn calcular la integral I\ •-- —2J ponemos t, enlonci'S
, 2 r dt y/2 yz. y/2 . V2(x - \) 
De este modo, finalmente tenemos
1 . V6 + V2 + 2x-x2 V2 . V2(x ~l) , _ 
? = arcsen—= = In — .. — arctg , — = = + C. • 
V3 V6 s/b - V2 + 2x - x1 3 6 V2 + 2X 
1 0 5 . Calcular la integral
! = f 
7 (a:2 - ® + l)\/®r+® + 1 
haciendo uso de la sustituciftn lineal fractional x = **
•4 Solution. Aplicando la sustituci6n propuesta obtenemos
J- _ 1 <g i - f f l r -a+t ) («+tu )+( i +t?
1 J ! + l r ' n L (1 + f )
tn j. fttW J. n 
x + x +1 = .2 . _ , , (<* + pt)
2 + (l+t)(a+pt) + ( l - t f
(i + ty- • j
Defmamos los numeros a y p a partir de ia condicion de que los coeficieiites dc t 
sean iguales a cero. Tenemos
2a/3 — a — 0 +2 = 0, 2a,8 +a ]-p + 2 = 0. 
AI resolver el sistema obtenemos a — 1 y j3 — —1, luego
l - t , -2 dl L . 3t2 41J - — ; , dx ~ - ® — 3S 1 = 
1 + f " (1 + f ) 2 ' (1 i )i2'
V P + ® + 1 = (si 1 -1-1 > 0, es decir, si x > - I ) .
De este modo,
j _ _2 f (t + Vdt_ _ 2 f tdt _ f 
� � p P � l ) V F T 3 � (3t2 + 1 ) v F + 3 "
dt
Para elcalculode Laprimera deestas integrates utilicemos la sustitudon \>zz + 3 = w.
Obtenemos
2 f tdt f du _ 
J (312 f l ) / £ + 3 J 8 - 3n 2
1 J I- y/3u J _ h 2V2 + ^/W + 3)
2V6 ' 2s/2 - Vlu 2 V6 2y/2-y/W+S) 
Regresando a la variable x tenemos
2 . tdt _ J _ h | ( 1 + x)V2 + n /3(® 2 + ® + 1)
/mi i fn~r~o . rn 
f| V Integration de f'umfoiieN hiwioiiiileH I :>
ii :ie|;iiiida integral Nec.ilnilii media rite la susliludOn yp - ^ t 
' ./ (3£
I • • - ~ | | • | 
(3£2 f l)y/iTT5
2 + :l \/2 iirdg
f i V 
V2
V2 (I x) • • • • • 1 • I-:/: I I 
Hnalmente tenemos
/ 1
V6
z In
(1 + s)v/2 + ^/3(x2 + x + l)
vx2 — X + 1 
L a r c t -
V2 arC S Vx1 + x + 1 
x) + a • 
I M • M • I • • 1 1 1 • • i • • • i • 
fH Impleando las sustffwciorces de Euler: 
. _ _ • • i • i _ 
1) \J(ix2 + bx + c = ±.y/ax + z si a > 0;
I I i — m i • • I I r w n V ^ ^ n r B ^ H B ^ ^ V ^ H
J) \f aw* bx + c — xz dz V e si c > 0;
M \f <txz + bx + c = \/ate — — x2) = z(x — £Ci)r hallar las integrates sigu-
lenles:
I (H>. / - da:
x + 
rn n—•—n• - — • • • • • • • • • • • • • 
-ar + 1
4 Solut ion, En dicho ejemplo a = 1 > 0, por tanto apliquemos la primera de las sustituciones
s/x2 + x + 1 x + z, 
2 j 
lr donde x = ^, dx = dz. A1 sustituir estos valores en la integral obtendremos2Z
2+2Z+2.
I 2z + 2z + 2 • • • • • • 
2(1 + 2 zf dz.
Ill desarrollo del integrando se busca en la forma
2z2 + 2z + 2 
z(l + 2zf 
A B C 
11 •••• I | I I I , i m ^ ^ ^ ^ • i i i i i i i i • i i • i • 11 •• h a m ^ ^ m r r
(1 + 2 zf 1 + 2 z- z 
IWi determinar las incognitas A; B y C tenemos el sistema 2 — 2B+4C, 2 
) C, de donde A = -3/ B - 3 , C = 2.
De este modo.
A + B + AC, 
/ dz
(1 + 2z)2
3 dz
1 T 2 z
+ 2 dz 3
4
-I- — In
2(1+2b) 2 |l + 2sj3 + C,
^ ^ n l - n r * - n n i • iiiaiiHHHaiia 1 • •••• i • • 
donde z — x vx1 + x + 1, x £ -1, • 
107. dx
l + Vl-2x- a:2
4 Nnlut'ion. Dado que C — 1 > 0, entonces aplicando la segunda sustitucion de Euler
W I - Vl - 2x - x2 obtenemos
I dx
1 + Vl - 2a: - x2
-iz+2t± 1 
t(f - 1)(£2 + 1) dt
I Jru ompongamos el integrando en fracciones simples
t2 + 2t + 1 
i(t ™ l)(i2 + 1)
jL
1 1 
B Ct + D 
+ £2 + 1 
i npllulo 1. i i ik 'g f i i l Imft'l inULi
Keduzcamos la ultima igualdad a eomuii dcmmtlniidtir
-A1 2t + 1 = yl(i3 - r + f -1) + B(t3 + () + £71 I D)(f - t) 
e igualemos ios coefidentes de las potendas iguales de t: 
e
t1
t i
t°
0 = A f B + C, 
-I = -A-C + D, 
2 = A+&-D, 
1 = -A, 
de donde obtenemos A = - 1 , B = 1, C = 0 y D -2. 
Por consiguiente,
r _ _ f <M i f f 
J t + J t-1 AJ fi+l ~ 
siendo xt = 1 + vT — 2x — -j?. > 
In - - - ! - | - 2 a r c t g * + C,
108 - + 3x + 2 
:+Vx2 + 3x |-2 
A Solucitin. Dado que x2 + 3x-r2 = (x + l)(x+2), podemos tomar Vx1 -f ox + 2 - t(x i-l)
(tercera sustituciop de Euler). Tenemos
2-tX - --; 
i
t2-V
dx = It di 
(t2 - l)'2'= / -J x + 
x -- Vx- + 3x^2 dx S= 
v x 2 + 3 ® + 2 
El desarrollo del integrando se busea en la forma
-2t~ — 4t A , 1 
I- d t2)(t - l)(t !• IP • 
C D S
+ • • + 7 1-
(t - 2)(t - 1 )(*-i-1)3 (£-| i)3 ' (t + l)2 ' t - f 1 t - i t-2'
de donde
-2f 2 -At = A(t - 2:)(( - 1) + B(t - 2)(t2 - 1) •+ C{t2 -31 + 2)(l2 + 2f + 1 ) + 
+ D(t - 2)((;1 + 312 +3t +1) + E{t - l)(f3 4 312 + 314 1).
Tomando sucesivamente t — —1,1,2 obtenemos A = D = | y E — 
Igualando en la identidad ios coefidentes de fA y f?, llegamos al sistema 0 = C +D + E, 
0 = B — C + D 4- 2E, de donde hallamos los coeficientes inc6gnitos restantes
108' 18'
De este modo,
7 = -
)i l I n l r ^ u c m n do funcliiiion lt r»u inn.ilos '17
Nnlit. Milium Ios do un IHnomio iliforoncial
xm(a \ hx")1' (Ar, 
tlmidc mr 11 y p son numcros rationales, puedenreducirso a iniogracionos de las funciones racionalos
mi ill m hon(o cn ios tres casos siguientes:
! 1 p mi numero entero, Hacomos la sustitucion a; = t s , donde N es el denominador amuln dt;
Wi li.urionos m y n. 
i 'l(M '"..Li entero, Hacemos la sustitucion a + bx71 = tN r donde N es el denominador do la
n f
(liti ( Inn
1 1 h •( i -}-p entero. Apliquemos la sustitucion ax~n -\-b — t , donde N es el denominador do In
llili i ion ft,
fj I, Ios casos considerados equivalen a los siguientes: 1) p es entero; 2) m es entero; 3) m | p 
#>< iMiloro.
I hitler las integrales siguientes:
/> _ _
^ B • • I I I I I • I I I • I M 
I0CJ. Vx3+x*dx.
4 Solucion. Para x > 0, asi como para x < —1, se tiene
I ^ J dx - j x2(x X + 1 y dx. 
Ai |iii v• — m = 2 y • es entero. Cambiando de variable x + 1— t obtenemos
' I fiw = ~ 2 I 3 - 2 I * > d o n d e ^ = / W^W' n = 3 ' 4 -
Hallemos la formula de recurrencia para el calculo de la ultima integral. Sea
I,n f d t „ ^ nM n n m i • I I ^ B I I • I I 1 1 • • I f fl ^ J ^ ^ ft 1 J (t2 „ a2)n > a r U-
n(o|',rando por partes Jn_i tenemos
dt t _ ^ f t dt t 
11 - b • • • • • • • • • • • • • • • •" 1 ./ (t2 - a2)""1 " (tz - a2)n J (t2 - a2)" ~ (t2 - a2)"-1
- 2(» ~ 1) / {t\f t i t / dt = {t2 _ [ly, f - 2(» - 1 ) / ^ ! + 2{» - 1 k 2 / „ ,
i |r donde
r _ t 2 w - 3 _ 
M • • 11 ••• • • •• • • • • • • ••••• • b i i i i m • I H B I M p|
rt . - r t ^ . 1 - - - — 1 * 
" 2(» - 1 )a2(f - a2)""1 2(n - 1 )a 
A|'Ik .indo sucesivamente esta f6rmula (para a — 1) obtendremos
1 5,\_ t l r
Z{ 6(t2 — l ) 3 6 / ~ 3(tz - l ) 3 3 
1 If ~t 3 \ t t 1( -t 1 \ _ 
:i<if2 - l)3 3 V4 (t2 - I)2 4 V 3(f2 - l)3 12 (t2 - l)2 4 \2(t2 - 1) 2 V"
t , t t 1, 
^^^^^ • I I I l l l l l II I I I • • •• I I • ' •- I W • 
3(t2- lf 12(t2 -1)2 8(t2 -1) 16
t - 1 
t + 1 
•I C.
AI icgresar a la variable x tenemos
r / , 8x2 + 2® - 3 , 1 , y / r + x ^ + 1 w1 — \/x — x — h x I n — — — = = h C . • 
2 4 8 ^ ^
... j d.X. 
(i mm n o . f 
M Solucion. iin este ejemplo p — —2. Aplicando la primera su9tltuci6n x — tG obtenemos
6,3 . „ f dt , f i2 dt 
Dado que / (f+w=41td (i+?)=- 2{TT̂5 +1
el resultado es
i = 6 i 5 - 4i3 + 18f 4 — - 21 arete t + C, t = x 6 . • 
5 l + i 2 ° 1
1 1 1 . / 
Solucidn. Se tiene m - 1, ti = = y ~ Tomemos 1 + x' = t?, entonces
V T i ^ 2 5
siendo t - y/1 -f v ' ? . • 
1 1 2 . J y/3x~a?dx. 
Solucion, A qui m = n — 2, p — | y 4-p = 1. Sustituyamos 3x~2-1 = t3, entonces
'-/^--ff^rlH^O-^U-V dtt3 +1' 
Dado que (v. ej. 73)
/ dt l f di 1 , (i +1)2 , 1 t 1 
tenemos
, 3/ 1 (f + 1 ) " V l . 2t - 1 „ 
J = 2 T T l ) " J * 1 * * - T a r t ' t g " v T + 6 '
donde i = 0 < a f ^ V 3 , j p < - V &
ercicios
MaJlar las integrates de las funciones irtacioilales siguientes:
( V w i + l l v W ^ I ' ' ^ n/Ws^U
!
A'+l ' 
105. f - ^ ' ^ J ^ d x . 106. f - ^ - d x . 107. f 108. f ^ ^ rf*. 
101. f - i f c . 102. f 103. f , — . 104. / — —1
fH hiloj^Lit ion ilc fiiiuinm-h (rl^oiiomelnraH
§4. Integration de funciones trigonometricas
Las in teg rales doJ lipo
m ri . sen x cos xdx, 
iluntli'm y n son numeros enteros, se calculan bien utilizando transformaciones bastantc
iirliliciales, bien aplicando las llamadas formulas de reduction de las polencias. 
11 id I a i las integrates siguientes:
i i . i3.
J Si
cos X 
sen3 x 
dx.
No I in* ton. Integrando por partes obtenemos
A
MS X 
URN* X 
dx — ~~ 
2
cos3 x d( 1V sen2 x 2 \ sen2 x 
cos2 ar
sen x 
3
2
cos x — cos X 
2 sen2 x 
3 , I , a?
2 H* 2 x ^ A , feGZ. • 
4 j
114. dx
senv a?
4 Solucion. Por analogia con el ejemplo anterior
dx
.son1 x 
d (ctg x) 
sen x 
dx
sen° x 
ctgx
sen x 
tg
x
2
cos2 X 
sen3 x 
cos x 
dx — cos x 
sen2 x 
dx
sen" x -f In
x
2
2 sen2 x + C, £ ^ kw. • 
I I 5 .
sen3 a: cos5 as
4 Solucion. Tenemos
dx
a; cos5 a?
2 * dtzx 
i + t g 2 ® 3 - § -
1
2 tg2^
I tg a; dx. 
4 Solution. Evidentemente,
I j d a : 1 f (sec2, - I)2 ( s e c 2 ; ' : )
&7T
T
sec2 a?
sec4 a? 1 sec2a? + - 1n(sec2a?) -j- C ~ 
= t g ^ _ ^ - In I cos a?l + C\ a ^ » 4- Jfeir
t.i bien
/ tf* - / (sk•-*)*-ir -/•»• = 
tg4af tg2x
4 In | cos x\ + C. 
117 . Jctfxtix. 
A Solucion. Tras la realization de van as transformaciones evidentes tenemos
J ctg4® dx - / ctg4* ( - 4 ^ - l ) * - ~ / ctg2* - l ) dx = 
ctg5 a; c tg 3 x
_ — i L . . a. - ctg x - x + C, x ^ tor. 
118 (ix
cos xv'serr a;
A Solucion. Tomando t1 — sen x, x / y , tenemos que
[ _ _ = f rf(senx) 3 j" _ 3 f dt_ ^ 3 f _dt^ 
J cossv ' s i r f® 7 (1 - seii2x)(sen2 x) i J 1 - " 2 J I - i? ^ 2 J 1 + * 
1 . o -t)2 , V3 2i 4-1 1 . (l + o 2 , . 2 i - l
119. Deducir las fannul us de reduction de pot end us para las integ rales
a) In ~ f sen" x dx; b) Kn = [ — , n > 2. J J cos" x 
-4 Solucion. Integrando por partes obtenemos
a) In - - J sen" - ' x d (cos x) = - cos x sen'1"1 x + (n — 1) J sen"~^ x cos2 x dx = 
= - cos x scn"^1 x + (n - l)In~2 — (» — 1)T
de donde
/„ = -{(w - l)?n~2 ~ cos x sen""1 ar), n = 3 , 4 , . . - . 
b ) * „ = f * dX = - S f - f r W )
J c o s " ' 1 ! COSn+l SB J cos"1 1 X cos X 
de donde
hife^racirin do funcionoH (ri^ntiomrti ic.in 5
llill/.jnrio las fdrmulas:
noil sen = - (cos(tt — fi) — cos(<* + /? ) ) ,
11 » * \ cos {') = 
urn a 0
�
_ (cOS(CK
- (senta
/3) + cos ( a + j0)) ,
j8) + sen(a + £ ) )
I I I las integrates siguientes:
1 2 0 . f ssen x sen ^ sen ^ da?.
Nntucion. Tenemos
•icn x son ™ sen ^ dx 
2 3 
1
4
1
2
cos 3x\ x j cos — I sen - dx 2 ) 3 
x 5x 7x llx\ sen — + sen — -j- sen — — sen —- J 
6 6 6 6 / 
dx
3 x 3 5x 
2COS6-10COST
3 7x 3 11® r ^ 
14 C 0 S I T 32 0 0 5 ~6~
•
- u 'g 1 I 1 
1 2 1 . f tsen 2x cos2 3ar dx 
Nulut'ion. Utilizando la formula III tenemos
i 2 nrn 2x cos 3x dx 1
8
(3 sen 2a? — sen 6x)(l + cos 6a;) dx 
3 3 sen 2x — - sen 4x + - sen 8x 2 2 
1sen 6x — ~ sen 12# j dx 
3 3 cos 2a; + — cos 4a?
16 64
3 1 1cos 8a; + — cos 6x ^ cos 12a? + C, 
128 48 192 I
• • i ••••"•
lfitll.il ias integrates de a continuation empleandolas formulas siguientes:
V «m(nr — jfl) = sen ( { x + a) — (x + /?)), 
V MtnUv — (3) = cos(-te + a) — (x + / 3 ) ) -
122 dx
sen(# + a) sen{x + b)' 
Niiliicion. Tenemos
dx 1
.• • • • •.
?ion(a; 4- a) sen(# + b) sen(a - b) 
sen ((ar + a) - (x + &)) 
sen(a? + a) sen(x + 6) dx
1
sen(a - b) 
cos(a? + 6)
sen(a? + b) 
1
dx
sen(a - b) 
In
cosfar + a) _ \ —; r dx I sen(ar + a) J 
senfo + b) 
sen(x + a) I sen(a - b ) £ 0. » 
N2 C.ipilulo L Integral indelinida
1 2 3 . / — .J sen x — sen a 
M Solucion. A partir de la identidad cos a = cos — ilegamos a que
f dx _ 1 f COS ( ( f e e ) - ( i ± g j , i 
J sen « - sen n 2 cos a 7 s e n c o s 2±»
rfx — 
2 2 
cos a / 0. sen X / sen g, • 
COS (JL
In
sen :
cos .- tc. 
- i -a
124. J tgx tg(a; + a) dx. 
< Solucion. Tenemos
I tg x %(ss + ft) dx = s x cos(x + a} + sen x sen (a; I- a)
I cos # cos(a: 4- a)cos a - 0
dx — 
dx — x — —x + ctg <i In
cos x cos(x + a) 
sen a ^ 0, cos x •/• 0, cos(ir + ft) f- 0. > 
cos x 
cos(a; -I- n) +
^ Not a. I.as integrales del tipo IR (sen sp, cos x)dx,
donde R es una funci6n racional, se roducen, en el caso general, a la integration de las funcior
rationales mediants la sustittidon tg 3 = I.
a) Si se verifies la igual dad
J? ( - sen x, cos a:) — —11 (sen x, cos x) 
0
R (sen x, - cos x) = —R (sen a;, cos»),
results apropiadp apficar la sustitticion cos a; = t o sen x — t, rcspectivamente.
b) Si se verifier la igualdad
H (— sen x, - cos x) = R (sen x, cos a;),
aplicamos la sustiturion tg x = f.
Hi Hallar las integrales:
1 2 5 . I = / • 
J 2 sen x - cos x -(- 5 
 Solucion. Tbmando t = tg (2n ~ l)w < x < (In + I n £ Z, obtenemos
I ^ 
^ J otz + 2t+2 = ^ arc,s + c,1 = vlarcts — 7 T ~ + v
Dodo que la primitiva es ttna funcidn continua, debe veriiicarse
I(2n* 4- v - 0) - I(3m + ar 4- 0), + C„ = + Cn+U
'vl- htlr^iaiion do luncUmcH til^onnmcHruas
I domic hallamos I 1 t'r siondi) C ('o mm conularilo iirhilraria. D11 la dcHLgiiiildad
* x I 7T < {2n I 2) ; ri <_* ^ < n I, sc dodiuv <|uo u bf;'" . Do este modo,2jt
;t; I fl 
1 3 l g f + l x It 
( \ X 4- (2n -h 1)tt; 
J — lim /(a?) — —-~-7r, x = (2n -t- wGZ. • 
m f = / sen2 as cos2 a? ^ 
sen0 x + cos® x 
Holui ion. Cambiemos de variable t — tg2x, ^ - ~ < x < J + n 6 Z, Entoncos
/ t2dt 1 + V2 / y/2-1 f dt 
r '+8i 2 + 8 2 J t2 + 4 + 2y/2 V2 7 t2 + 4 - 2 ^ 2
V2+V2. t V2-V2 . t t „ 
• » * i j ^ m — 4 j r m + c - =
V l + y/2 . tg2ar y/l-y/2 . tg2xarctg arctg - = = + 
2 V 4 + 2V2 4 V 4 - 2
Dado que la primitiva es continua, se verifica
\/2+ V5 7T V2+V2 IT , _ V 2 +V2 7T , V2-V2 7T , _ 
~ 4 ~ ' 2 " 4 ' 2 + c , i " 4 ' 4 ~ " 2 + C " + 1 '
lo donde (por analogia con el ej. 125) obtenemos
Cn = + V 2 - V 2 )
4a? + 7T
2tt
IW ronsiguiente,
1/2TV2 t tg 2x \/2-V2 , tg 2a?/{,!.•) - — - arete ——• .—--•.— arete —j + 
4 v / 4 + 2 V l 4
4
~ ) — lim I(x\ • 
2 / 
2 + V 2 - V 2 ~ V 5 ) [ ^ ] + C 7 a ^ * ™ 4 2 ' 
127. Demostrar que
dx Asenx + Bcosx f dx 
4 - c (a sen ar -f b cos x)n (a sen x + b cos x)n~x J [a sen a? + b cos * 
donde A, B y C son coefidentes indeterminados.
. iij'iiuiw i. imr^ini liiiM iiiiKiii
<4 So Union. IiitiigiUndo por pmtes obtenemus
j f d( -a cos x -I- h son x) — a cos x -f b ann x ^ f (a cos x — b sen
" J (a sen x + b cos a:)"11 (a sen a; + b cos a:)"+1 J (a sen x f 6 cos
x) dx 
-a cos x 4 6 sen
(a sen x 4- d cos as)B+1
:r , J I f (a cos x — b sen
+ l ) j
x)n+2
x)2 + (6 cos x -j- a sen xf 
x + b cos a;)"+2
tie donde
In = 
( « - i M a 2 +
( T , b sen x - a cos x \ 
Vft ~ , + (a sen x + b cos 0 '
128. Hailar ,/ (sen a; + 2 cos a:)-1
•4 Solucidn. Iimpleartdo la formula demostrada en el cjemplo anterior, hallamos
j _ j / t dx j 2sen a: — cos x \ 
10 \J sen x + 2 cos x (sen x + 2 cos x)3 / 
3 2 9 . Demostrar que
r dx A sen x { g t dx , Q f 
J (a f 6 cos x}" (a + b cos a-)"-1 J (a -r f> cos a;)11"1 ' J (a + b cos ' 
j«| * |6|,
y determinar los coefidentes A, B y C, si n es un numero natural superior a nno.
< Solucion. Integrando por partes obtenemos
_ f dx f a j- b cos x . _ f d sen x 
J {a + b cos xy~2 ~ J (a 4 b cos x)" 1 x ~ a n _ 1 + J (a + b cos X)tt~l " 
_ r b sen x _ f _ b2 sen? x . 
" ^ (a + bcos ar)'"1 lTi J J (a + bcosar)"
de donde, haciendo uso dela identidad b2 sen2 x = ~(cr-b2)-i 2a(ai-b cos x)-(a+b cos x) 
obtenemos
In-2 = + , „_i + - b2)(n - 1)7,, - lain - 1 ) 1 ^ +{n- 1 )/n.2,(a f i>cosx ) "
f> sen x ft - 2 
(» - l)(a ' - ti2)(a f b cos ar)*-1 (n - l}(a2 - b2) " 1 {ft - l)(a2 - bz)-Jn-2
A&t pnes,
A - — (2n - 3)a C = n-2
(n - l){f.2 - b2)' (n - l)(a2 - b2)' (n - l)(a?- - b2)'
1 3 0 . Hallar Sidx4 £ cos a; si: a) 0 < e < I; b) s > 1. 
i. hilegiavion tit* luiuliiiirH litiNrnuhMiloH 55
ftoliuion, Tomemos h Ij; , (2u l)'/r < x ^ (?.n I I ' , n < Kn lonces,
M II
[
/
dx
1 4- £ COS X 1
2 f dt 
> J e I IT 
il) / 2
vT
• • •• -ci rc
VT4
4 Cn
2
VT
n h - -.•= arctg
v/l X
Vl + z 
€ 2 
I'm *uiulogfa con la solucion del ej\125 obtenemos
2
Vl-
v l ^ e t g f 2TT
arctg r—- •••— 4- - X + 7T " ii—
v T + V T ^ e 1 L 2tt
4 C, a; / (2n 4 1> ,
l ( (2« 4 1)tt) = lim I(x), $-*(2n+l}ir
b ) /
1 In^̂ —̂—Ve5—I
t £±1
£ + /f+TV ^ 
+ C7 x ^ 2n?r + tt
131 . Hallar
da;
(1 + £ COS
si 0 < e < 1.
4 Solution. Apliquemos la formula obterrida en el ej. 129. Suponiendo a = 1, b = ef n — 2, 
uhiriiemos
dx
�� �� £ cos x)2 l - e t i l
e send?
+ e cos x - + 
dx
1 + e cos x 
1 —£ sen x 
1 - e1 \ 1 + e cos x + arctg
vT
V l T e
+ 2tt
a: # 2n.Tr + TT,
I(2n7r + ?r) = lim I{x). 
z-»2njrf?r •
VT^e 2
X + 7T"
2tt + C,
hjrrcicios
Kail at las integrales de las funciones trigonom£tricas:
MW. f dx(cos x-l-sun ft} 
dx
aia>4 4 S sen-1
if a;
[IX C—f* . 114, f -F sen1 cos J 
da;
111. f — J cos*
sen tf a \/ŝ n4 tf-J-cas4 a:- . us , r 1 ~ 
ar-ŝ rr r • ii2- j r,(sen 2 see ' 
v' sen da;, 116. J dx443 tgs
§ 5, Integracion de funciones trascendentes
Demostrar que si P(x) es un polinomio de rc-esimo grado, se cumple la igualdad
P{x) eax dx^e ax(P(x) P'(x) 
v a a
f fS
^ Sa l i i i ' iAn. L.I deinostrai idn jto ufccttia nvdianlt* t'l nteiodo tie integracion por partes
T e n e m o s
f P(x) e" dx = ~e"xP(x) - - f e*P%t) dx -- \ 
J a, a J ; 
= ~eaxP(x) - - (- eazP'(x) - - [ e""P"(x) daA = 
a a\a a J > 
_„axip{x) p ' f r h
I a a2 ) 
Empleando el metodo de induction matematica obtenemos
+ ~ J caxP"(x) dx 
+ < - 1 ? 1 f e**Pi*+v
k + 1 J 
(;X) dx, k <11 
Suponiendo k — n y tomando en consideration que P(n'H'(;r) = 0 obtenemos !a formula
requerida. > 
1 3 3 . Demostr . ir que si P(x) es u n polinomio de grado n, resulta
P"(x) J f W f r )/
/
, , sen ax / „. , , F'"' re \ , P(x) cos ax dx - — — - I P(a;) - —4—' 4 r I + a \ a~ a? / 
(i- \ a£ a / 
+ - ( p . w
a1 \ re' a 4 / 
P(x) sen ax dx - - cos
Soluci6n. En (a demos tracion utilizamos el ej. 132. Sustituyendo en el mismo a por ire
donde i — obtenemos
I P{x) e!az dx ,P{x) P'(x) .P"{x) <«/ ,P��� P'( — e I —f— — + —7 \ a a: + i )4 c. 
Haciendo uho de la formula dc Euler y separando las paries reales e i magmarias
obtenemos el resultado requerido. • 
1 3 4 . Demostrar que la integral J R (a;) enx dx, donde R es una funcion racional cuyo
denominador posee solo raiccs males, puedc ser expresada a traves de las f unci ones
elementales y la funcion trascendente
J dx - li li (eQT) 4- C, 
donde li x R <tx 
" J In®' 
|i!i. JnU'j»j«icirtn tic liiiH'loiu4P4 Immvmh'iilrs V/
hot i ic iO n. 'lodii fund on rational puede ser rrpiVHculmlii rn l.i lorn hi
n<x) M{x)
W ~ TV (x)' 
1 M{x) y N(x) son polinomios. Sep a rando la parle cntcra P(x) (si est a existe) do la
I hi it ion racional tenemos
R (x) = P(x) + 
iiiiMHio mk la multiplicidad de la rafz xif y A^j los coefidentes indeterminados. Integrandt
tf('i') hallamos
>
mk
R (x) eax dx - I P(x) d® + V V Aki I -r dx. 
ax
„ (x - xkY
k i=1 " K
La primera integral se calcula integrando por partes / veces (i es el grado del
|iolinomio P(#)). Calcularemos la segunda integral
— I •
{v-XkY j ' \ (i~\){x-xkyj (i-l)(x-xky
' -i J dx ax f 1 ® e/: \ J (;x-xkY-1 V (i - 1)(® » arjfe)̂ 1 (i - 1)(» - 2)(a? - a*)1""2
a^2 \ , a{~2 f eax dx +(i - l)(i - 2) . . . l(x - Xf.) J (i- l)(i - 2) . . . 1 J x - xJt
f
i - 2) . . . 1 J 
1 a a'~2
t: , + • * • + T: ttt^ r I + (i - l)(s - Sfc)-1 a - l)(i - 2){X - xky-2 (i - ! ) ! ( » — Xf.) Xt,}/
a l)! j v^x,d(x ~Xk) = v(T~ i)(x -
+ 77 7777 777 m * + ' " + 77 7777 T 1 + "77 TTp ll [€ 1(i - i)(i - 2)(x - Xhy~2 (i- iy.(x-xk)J (i -1)1 
AMI |urns,
���
R (x) ea" dx = + J»' * 
t i=i
• • • • •• • H • I 
I * 15, ^Bajo que condiciones el resultado del calculo de la integral j ^ donde
( ) -- ao + — H h y a>u • • • j an son constantes, proporciona una funcion
olntHiital?
I ftnlucion. Utilizaremos las notaciones del ej. 134. Integrando por partes obtenemos
a2 $ , „ t: fX\ a3 a3 , a3 / an,loC* + a i n ( e - ) - + a2 Ii (e*) ^ ^ - ^ + ^ li (e^)
x lx1 2x 2 y ' (n- l)x1l~l
J- • --» li fo*\ 
l in C'npilitlo I. Intertill Imletinid.l
Vcinos, pues, que si so verifica la condition
1 IT 21 (« - 1)1
entonces la integral dad a cs una funcion elemental. • 
1 3 6 . Calcular J (l-^Vda;. 
•4 Solucion. Utilizaremos las notaciones del ej.134. Integrando por partes obtenemos
- e* - 41i(ex) - -ex + 41i (e1) = e* (l - 4 C, x / 
\ a; / 
0.
^ Ejercicios
Hallar las integrales de las func tones troncendentes siguientes:
• m . S ^ d x . 1 1 8 . / ? , ; , . 1 2 0 . / ^ .
121. / ch'icte. 122. /ch2»sh2® dx.123. / - - ^ ^ dx. 
§6. Ejemplos varios de la integracion de funciones
11 Hallar las integrales:
1 3 7 . / , , ,J I T a:4 + Xs
<4 Solucion, Rep resent a ndo el denominador en la forma 1 + x4 4 a;8 — (a;4 4 l)2 - x* 
(of 4 x2 4 l)(a:4 — xz 4 1) desarrollemos el integrando en fraccioncs simples
1 _ 1 j x. 4 1 _ ( 1 - x 
1 4 x'1 4 a:8 2 V a;4 4 x2 + 1 X* - x2 4 
Integremos cada uno de los sumandos del scgLindo miembro de esta exprest6n
[ + d x , f I k t z i L = ( g -1 & sgn x si 0,
J x* + x2 + t J + j \ o si jb = 0,
f } - f , = - f - 4 
J x 4 x 4 1 J i ) 2 , 3 2V3 + 
Asi j>ues, la integral buscada es igua! a 
c. si X — 0.{
138. I - f dx
J {2 4 sen a:)2
f'jcniplos varioH dc la inlcjtjvhion dc lumionos
Soluci6n, Hariendn usodcl resultado dd oj. 131 Icnrmnri
dx
(2 + sen a;)2
d(f-as)
(2 +cos ( | - ® ) )
/ f p . . . . .
:» 2 
cos a; 2 /'
1.F- — - . I — J M ^ U J - I - - - >- m 
I son x 3 J 
dx
2 -{- sen a;
* .ilculemos la ultima integral utilizando la sustitucion t — tg 2n7r - ?r < a; < 7r -[- 2n7r
» t 7/j(i , 
I(x) = 
2 tg | - 1
Cn-
da? _ 2 
2 + sen a; ~ ^ S V3
I >r la condicion /( + 2wk — 0) = J(7r + 2 * + 0), obtenemos (en forma parecida a la
it'Noludon del ej,125)
Cn
2?r
V3
n + C, C =-- C, 0i 2fwr - 7T < a; < 7T -f 2n?r.
IV este modo,
1 cos a? , 4 2 t g f + 1 , 4 — arete ——3 2 + senj; 3y/3 V3 3V5
x ^ 2mr + tr; 
I(2?wr + ir) = lim I(ar). • 
�� + sen a;)2
X -f 7T 
~2TT + C,
139, / n da?.
4 Solucion. Si x > 0 tenemos
a? dx x2 + Ci
Analogamente, si ar < 0 
a? da? a;
2 + C2,
De acuerdo con la definicion de primitiva, en el punto a? — 0 debe verificarse
t - C2 = Cf siendo C una constante arbitraria. Por tanto, para cualquier x tenemos
x\ dx — sgn x + C = — x2 + a • 
B n 
140. j ip(x) dxf donde tp(x) es la distancia del numero x al numero entero mas proximo.
4 Nnlucion* Segun las condiciones del problema <p(x) x-n\, n- i ^ a? < n + \f n G Zq,
|ior eso
I(x) I 1 1 <p(x) dx = ^(a? - n)|a? - n\ + Cny n — - ^ x < n + 
^ M Ahk
i'liiendo en cuenta que la primitiva debe ser continua obtenemos
j ( n + l 0 ) = / ( » + ! )
60 ('iijiilulo I. Iiilcj'iitl imlt'llhiilii
i»i dedi1, A I ('„ t'( 1 C'„ ||, C,L|, - Cyl -I- j , dt: donde C,'ti ~ 2 + C, siendo C Ca ana
constat! le artnlraria.
Dado que n <: x + | < n + 1, resulta q u e n~ \x -f- | ] . Finalmente, hallamos
1 4 1 . j [x\\sei\ftx{dx. 
Sofuci6n. Conforme a la definicion de parte entera tenemos
[x] | sen ttx\ --- { - l )n7t senira:, « < a: < n +1 , n £ Z^. 
Por eso
f M) 
I [x] | sen ttx| dx = — n cos nx -j-Cn, n ^x <n +1.
J V 
En virtud de que la primitiva es continua, en los puntos x — n + I se verjiican las
igualdades
r ( - l ) " ' f l 11 r ( - l ) B «
|———ncos7ra + C„j = ^ (n 1) cos k x + Cn+i
i=n-i i 
de donde CN. j = C„ + Resolviendo esta ecuacion obtenemos C„ — C + C — Cq.\
For eso,
v*+1
n ^ x < n -f 1, 
p/ -j 1 ^ 
[as] | sen nx\ dx — y——— cos ?rx + n.J — + C, 
Dado que x varia dentro de los limites indicados, cutonces n = [a;]. De este modo,
tenemos definitivamente
J [a:] jsenir&i = ^ (£»1 - ( - I p cos xx) +C, 
donde C es una constants arbitraria. • 
1 4 2 . Sen /(a:) una funciort continua monotona y / {ar) su funcion inversa. Deniostrar
que si J f(x)dx - F(x) -(• C, entonces
J f \x) dx = xrHx) - P{J~\at)) + C. 
< Solucion, En virtud de las condkiones del prohiema se verifica la igualdad
Integrando I a respectoa obtenemos
I xd{r\*))=F(r\«)) + c ,
de donde
J xd(f \x))=xf~\x)- J ri(x)dx^F(f-1(x))+C.
!i 7 hilc^MciVin de luiuioni'H vcrlurkileH 61
0
Kmplcimdo variow mtflotlos apropiados hallar las liiLrgftilcrt ttiguicnteg: 
* dx. 125. / 4x
dT 129 f -i110— dx 130 f — 131 f — 
d X r 1ZV. J llfcosac a®- J ^ w u j , laisx)3' J (sun a?-®
133, f jfe r. m r®*(l + lna!)da?, 135. f 
J 1 | Hl'll -X J C O S a ^ l + C O S t f ) J ^ y ±f € r
/ . ' ^S) <**•137- /(l« + - I1 - dx- 138- / V*(l - dx. 
§ 7, Integracion de funciones vectoriales
y de matrices funcionales
Teorema 1. La funcion vectorial F = (Fi,F2, ..., Fm) es la primitiva de hi funcion 
iU'ilttrial f = (/i, ft, -.., fm) en el intervalo X fc 1R. si y solo si en dicho intervalo Inn 
fMH'iortes Ft son las primitivas de las funciones fi, i = 1, m. 
Teorema 2. Por analogia, la matrix funcional B = (btJ-) es la primitiva de la ma friz 
fittu iumil A = (dij) en el intervalo X si y solo si en dicho intervalo las funciones bij son las 
fftinfUivas de las funciones aij, i — 1, m, j — 1? n. 
S I la liar las integrales de las funciones vectoriales:
l43- / (vT-
1 1 1 , -dx.
x2 ' \fA-x1' 1 + 4 + a;2
4 Solucion, Designaremos medxante el simbolo I la integral indefinida de la funcion vectorial
d.ula. Conforme al teorema 1 se tiene
^arcsen x, arcsen—, arctg x, ^ arctg ^ + C , |a;| ^ 1 
donde C € R 4 es un vector constante. • 
I
4 Soluci6n. Por analogia con el ejemplo anterior
I fa:) = (In |1 + x|, In y / l + ® 2 , . . -, In 7 1 + s m ) + C • 
145 . (cos x, cos 2x,..., cos mx) dx. 
4 Solucion. Tenemos
, „ . , ( sen2& senm#\ , _ (cos x, cos 2Xj..., cos ma;) dx — I sen — - — , . . . , — — - j -f C.
t lipmmo I. imcgrtii iiitli'iiiiidii
Ilatlar l<is integrates ill* las matrices funcionate.s:
P / win :i: sen 2x sen 3a: sen 4x \ 
146 . I j cosx cos2x cos3x cos4® I 
J \ tg x tc2x tg 3a: tg 4a; ) 
dx.
tg i tg 2x tg 3x tg i 
< Solucion. Designaremos mediante A la matriz primitiva correspondiente, entonces
A(x) = 
/ —* cos x \ 
2 3 4 
sen 2a1 sen3z sen4x
sen x - - ~ — 
In | cos a:) - In y/\ cos 2x\ — In \/| cos 3x\ - In {/]cos 4a:| / y la integral es igual a la matriz fundonal x i-* A(x) + C, donde C es una matrij
cons tan te. • 
147, I (dij) dx, donde a,j = I J , i = 1, m, j = \,n, x > 0.
m Solucion. Para i y j fijos / • 7 iiia;j dx - - x J + Cij. 1 + 3 J
Por consigLiiente, j f e j ) dx = (fey) + C, donde 6jjf = x J y C — (cy) es una matriz
constants.
1 4 8 . Demosttar que/ (E + Ax)n dx - —Jl— A~\E+ Axfrl + C, {1) n 4-1
donde n es un mSmero natural; E es la matriz unidad; Ay C son matrices constantes de
un mismo orden y, ademas, A es regular.
-4 Solucion. Para demostrarlo es suficiente comprobar que la derivada del primer miembro
de la ecuaciSn (1) es igual a la matriz que figura en el integrando. De acuerdo con la regla
de dit'erenciacidn del producto de matrices tenemos
j r ' m + v r ) ' -
A " I 
= —— UE + AxfA + (E + Axf^AiE + Ax)+->- + A(E + Axf). 
n + 1 v ' 
Dado que las matrices Ay E + Ax con mu tan entre s i tenemos
\E + Aar)"1'1)' - ~rA{n + I ){E + 4ar)'1 - (E + Axf. • 
V TIR "T" L R XB "I" 1 
0 F jerc ic ios
Hall ar las integrates de las funciones vector! ales:
142. /(son x, cos x) dx. 143. j'(tg x, tg 2x, tg 3x) dx, x G ! 0, \ f .
144. J(t sen a;, x sen . . . , a- sen mx) da-. 145. J(xex\ j?e* , 
|„l,.Ki.uion de funeloiH'H v.'. IniL.l .s
n*,x\...,rw)<l*- 147. / < « y , . . . , « - > m * •«•
il.dlnr las integralen de matrices funck»nalw>
/• 2a; I cos 2® * * 1 hC" A 1 " |n' ) <**•
- * sen* + cos a: I ^ - sen* lna cos '' 2 ^ 
sen x 
In a; J \ -sen®
; i s y T i .
, a 2 i
„, f ( ̂ ' ( x ) + A'<*)A<*)) dx = ^ t ® ) + C;
) ( ( f ^ ' W + 4- * = ^ («) + C.
' V n U ' S t r a r ^ / (M^Bix) + * ( . > ) = + C >
llolulc Ay B son matrices funcionales cuadradas
. , „ ,, una matriz cuadrada constante. Definamos la matnz e medrante igu<
A* = lim (JS? + * �
a ^ c c
I >,mostrar que f eA* dx = Ae** + C, 
,l,„K1e C es una matriz cuadrada constante arbitraria.
C a p j ' t u l o 2 
Integral definida
§1. Integral de Riemann
1.1. Integrates de Riemann superior e inferior. i 
Criterio de integrabilidad de funciones
Definicion 1. Se denomina partition TT de un segmento (ft, 6] a un conjunto finite
de puntos , . . . , x„}, donde o = «o < < • " < » « — &- i 
Sea / ; [ft, ft] — R una funcf6n acotada en el segmento To, 6] y sea TI una partition
arbitraria de dicho segmento.
Se denominan sumus integrates superior e inferior correspondientes • la partition II,
a los numeros
ft—1 n-1
Sa(f) = J2 M>Ax<> 5n(/) = J2 mAxi, 
i-0 i=U
donde Mi — sup (f(x)}, m, = inf {/{x)}, Ax, — a -̂n - .t, . 
Definicion 2, Los numeros
f f dx — inf (Sdf)h