CAPITULO_1-FUNDAMENTOS DE FISICA CUANTICA (1)

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MECANICA CUANTICA I CAP. 1. FUNDAMENTOS DE FISICA CUANTICA 
 
 
CAPÍTULO 1 
FUNDAMENTOS DE LA FÍSICA CUÁNTICA 
 
1. RADIACIÓN TÉRMICA 
Algunos Términos 
radiación térmica => radiación que emite todo cuerpo debido a su temperatura T > 0 
radiación térmica => radiación 
energía radiante => radiación electromagnética => radiación 
 
La energía radiante es transportada por ondas electromagnéticas que emite un cuerpo sólido, líquido o gaseoso. 
Consideramos el caso en que la energía térmica de un sólido o líquido incandescente se transforma en energía radiante 
 
El término radiación expresa la emisión continua de energía desde la superficie de un cuerpo; esta energía es energía 
radiante y es transportada por ondas electromagnéticas. 
energía radiante => radiación electromagnética => radiación 
 
T ( > 0 K )
Figura 1. Todo cuerpo por estar a una 
temperatura absoluta mayor a cero emite 
radiación. 
 
MECANICA CUANTICA I CAP. 1. FUNDAMENTOS DE FISICA CUANTICA 
 
1.1. Ley de Kirchhoff 
Para explicar la ley de Kirchhoff consideramos una envoltura en la que se ha hecho el vacío a temperatura uniforme T, 
dentro de la envoltura hay un pequeño cuerpo A. Se encuentra experimentalmente que cualquiera que sea la naturaleza 
del cuerpo y su temperatura inicial 𝑇𝐴, éste alcanza la temperatura de la envoltura. 
T
A
AT
T > TA
vacio
A T
T
 TA = T
antes despues
Figura 2. Una envoltura a temperatura T y en la que se ha hecho el vacío. En 
su interior se encuentra un pequeno cuerpo a una temperatura menor TA.
 
El proceso mediante el cual se logra el equilibrio de temperatura es la emisión y absorción de energía radiante 
(radiación) en las superficies de la envoltura y del cuerpo. Se explica el proceso como sigue: 
primero: la energía radiante emitida por la superficie interior de la envoltura incide sobre la superficie del cuerpo 
segundo: una parte de esta energía es absorbida, la otra reflejada y transmitida por el cuerpo (suponemos un cuerpo 
opaco el cual no transmite energía). La energía absorbida se transforma en energía térmica de los átomos. 
tercero: la superficie del cuerpo emite energía radiante, esta energía radiante es suministrada por la energía térmica de 
los átomos. Una vez alcanzado el equilibrio, la temperatura del cuerpo permanece constante y existe un equilibrio entre 
procesos. 
 
Flujo Radiante, P. 
Es la energía radiante que incide o atraviesa una superficie por unidad de tiempo. También, es la energía radiante emitida 
por una fuente. 
𝑃 =
𝑑𝐸
𝑑𝑡
 
en el SI la unidad del flujo radiante es 
𝑃 [=] 
𝐽
𝑠
 ; 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 1 
𝐽
𝑠
= 1 𝑤 (𝑤𝑎𝑡𝑡, 𝑣𝑎𝑡𝑖𝑜). 
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Irradiación, H 
La energía radiante que incide sobre una superficie por unidad de tiempo y por unidad de área se llama irradiación 
 
𝐻 =
𝑑𝐸
𝑑𝑡 ∙ 𝑑𝐴
=
𝑑𝑃
𝑑𝐴
 
en el SI la unidad de irradiación es 
𝐻 [=]
𝐽
𝑠 ∙ 𝑚2
 𝑐𝑜𝑛 1 
𝐽
𝑠 ∙ 𝑚2
= 1 
𝑤
𝑚2
 
Emisividad, W 
La energía radiante emitida por una superficie, por unidad de tiempo y unidad de área se denomina emisividad radiante 
de la superficie. (Emisividad ≡ Intensidad). 
𝑊 =
𝑑𝐸
𝑑𝑡 ∙ 𝑑𝐴
 
en el SI la unidad de emisividad es 
𝑊 [=] 
𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒
𝑠 ∙ 𝑚2
 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 1 
𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒
𝑠 ∙ 𝑚2
 = 1
𝑤
𝑚2
 
Si el cuerpo es pequeño comparado con la envoltura, la irradiación es la misma en todos los puntos de la superficie del 
cuerpo. Así la irradiación depende solo de la temperatura de la envoltura (fuente) → 𝐻 = 𝐻(𝑇). 
Una fracción del flujo incidente es absorbida y la otra reflejada (cuerpo opaco). La fracción reflejada se caracteriza por 
el poder reflectante de la superficie, r. La fracción absorbida se caracteriza por el poder absorbente de la superficie, a. 
𝑟 ∙ 𝐻: flujo reflejado, cantidad de energía reflejada por unidad de tiempo y por unidad de área. 
𝑎 ∙ 𝐻: flujo absorbido, cantidad de energía por unidad de tiempo y por unidad de área. 
W: emisividad, energía radiante emitida por el cuerpo por unidad de tiempo y por unidad de área. 
R. incidente
R. reflejada
R. absorbida
R. emitida
Figura 3. Esquema de una pequena porción del cuerpo A. Se muestra 
los procesos de absorción, reflexión y emisión en el equilibrio térmico.
 
MECANICA CUANTICA I CAP. 1. FUNDAMENTOS DE FISICA CUANTICA 
 
Realizando un balance de energía 
𝐻 = 𝑟 ∙ 𝐻 + 𝑎 ∙ 𝐻 → 𝑟 + 𝑎 = 1 
donde 𝑎 , 𝑟 son números abstractos entre 0 𝑦 1 que dependen de la superficie del cuerpo. 
En el equilibrio 𝑇𝐴 = 𝑇 existe un equilibrio entre el flujo absorbido y el flujo emitido por el cuerpo: 
𝑎 ∙ 𝐻 = 𝑊 → 𝐻 =
𝑊
𝑎
 → 𝐻 = (1/𝑎) ∙ 𝑊 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
que es una constante a una temperatura T dada, pues H solo depende de la temperatura del cuerpo y no de su 
naturaleza. La ley de Kirchhoff establece: la razón de la emisividad al poder absorbente es igual para todas las 
superficies a la misma temperatura. Por tanto, si el poder absorbente a de una superficie es grande la emisividad W 
también es grande. 
 
1.2. Cuerpo Negro 
Un cuerpo negro es un cuerpo que absorbe toda la energía radiante (r. t.) que incide sobre él, o sea absorbe energía en 
todas las longitudes de onda, y también emite energía en todas las longitudes de onda. 
Según la ley de Kirchhoff la razón (1/𝑎) ∙ 𝑊 es igual para todas las superficies que están a la misma temperatura, se 
deduce entonces que la superficie que tenga el máximo poder emisivo (emisividad) tendrá el máximo poder absorbente. 
Por otra parte, el máximo poder absorbente es 𝑎 = 1 esto es que toda la energía incidente es absorbida y ninguna es 
reflejada. Una superficie que absorbe toda la energía radiante parecerá negra, un cuerpo con esa superficie se denomina 
cuerpo negro. A una temperatura dada, ninguna superficie tiene una emitir mayor que un cuerpo negro. 
Un cuerpo negro es un cuerpo ideal, pero muchos cuerpos pueden aproximarse a un cuerpo negro, por ejemplo, una 
cavidad con una pequeña abertura a través de la cual puede entrar y salir energía radiante. Por consiguiente, la energía 
que escapa de la abertura es igual a la que emite un cuerpo negro a la misma temperatura que la cavidad. 
Figura 4. Una cavidad con una pequeña abertura a través de 
la cual puede entrar y salir energía radiante es una excelente 
aproximación de un cuerpo negro.
 
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Sea 𝑊𝑏𝑏 la emisividad de un cuerpo negro y 𝑊 la emisividad de una superficie cualquiera, por la ley de Kirchhoff 
tenemos 
𝑊𝑏𝑏
𝑎𝑏𝑏⏟
1
=
𝑊
𝑎
 → 𝑊 = 𝑎 ∙ 𝑊𝑏𝑏 
esto es que: A la misma temperatura 𝑇 cualquier superficie emite menos que un cuerpo negro en un factor a. 
 
Si un haz de radiación térmica desde un cuerpo negro se dispersa en forma de espectro, la lectura de un termómetro 
sensible colocado en el espectro indica la emisividad de un intervalo de frecuencias de onda para un cuerpo negro. 
 
 
Figura 5. El haz de radiación térmica de un cuerpo 
negro se dispersa formando un espectro constituido 
por radiación de distintas frecuencias de ondas.
=>
ESPECTRO DE CUERPO NEGRO
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.3. Espectro Electromagnético 
 
La radiación térmica está constituida por ondas electromagnéticas (son ondas electromagnéticas). 
Una onda electromagnética es una perturbación en movimiento que transportaenergía, se desplaza a la velocidad 
constante de 𝑐 = 3 × 108 
𝑚
𝑠
= 3 × 105 
𝑘𝑚
𝑠
 . La relación entre la longitud de onda 𝝀 y la frecuencia 𝝂 de una onda 
electromagnética esta dada por: 
𝜆 ∙ 𝜈 = 𝑐 
 
Onda Electromagnetica
c = velocidad de 
propagacion 
de la onda
c
Figura 6. Onda Electromagnética, consistente en un campo eléctrico 
y magnético oscilando perpendicularmente a la dirección de 
propagación. 
 
Consideramos el espectro electromagnético que muestra las ondas electromagnéticas de todas las longitudes de 
onda: 
Figura 7. Espectro Electromagnético
 
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En la física cuántica generalmente se usa el angstrom, abreviado Å , tal que: 
1 Å = 10−10𝑚 
400 𝑛𝑚 = 4 × 102 × 10−9𝑚 = 4 × 10−7𝑚
1Å
10−10𝑚
= 4 000 Å , 700 𝑛𝑚 = 7 000 Å 
Así, la luz visible esta entre los 4 000 Å y los 7 000 Å . En el extremo ultravioleta la luz azul tiene una longitud de 
onda de 4 000 Å y en el extremo infrarrojo la luz roja tiene una longitud de onda de 7 000 Å. La luz amarilla que 
emite el sol tiene una longitud de onda de unos 5 100 Å. 
 
 
1.4. Radiancia Espectral, 𝑹𝑻(𝝂) 
 
La radiación térmica es la radiación emitida por un cuerpo como consecuencia de su temperatura. Un cuerpo en estado 
sólido (o líquido) emite un espectro de radiación continuo, esto es, emite radiación en todas las frecuencias. Este espectro 
de radiación térmica emitida por un cuerpo caliente depende de su composición, y principalmente de su temperatura. 
 
Experimentalmente se encuentra que todos los cuerpos negros a la misma temperatura emiten radiación térmica con el 
mismo espectro independientemente de su composición, e. o. p. … El objetivo de los físicos alrededor de 1 900 era 
encontrar una explicación (ecuación, fórmula, …) para la forma del espectro del cuerpo negro. No se pudo con base en 
las teorías clásicas de la Termodinámica, el Electromagnetismo, y otras. 
 
Un cuerpo negro emite radiación con una distribución espectral especificada por la magnitud llamada radiancia espectral 
𝑹𝑻(𝝂), definida como la energá emitida por el cuerpo a la temperatura absoluta T por unidad de tiempo y por unidad de 
área y por unidad de frecuencia 
𝑅𝑇(𝜈)[=]
𝑊
𝑚2 − 𝐻𝑧
 , 
De modo que, 𝑹𝑻(𝝂) 𝒅𝝂, es la energía emitida en el intervalo de frecuencias entre 𝜈 𝑦 𝜈 + 𝑑𝜈. 
 
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Figura 8. Radiación Espectral de un cuerpo negro radiante 
como función de la frecuencia de radiación para 
temperatura de 1 000 K, 1 500 K, y 2 000 K. 
 
La radiancia espectral de un cuerpo negro a una temperatura dada, sea 1 000 °𝐾, muestra que: 
• la energía emitida en el intervalo de frecuencias 𝑑𝜈 es pequeña para frecuencias que 𝜈 → 0, por supuesto que la 
energía es cero cuando 𝜈 = 0. 
• la energía radiada en el intervalo 𝑑𝜈 aumenta rápidamente a medida que aumenta 𝜈. 
• la energía alcanza su máximo para 𝜈~1,1 × 1014 𝐻𝑧, esto es, la energía radiada con mayor intensidad ocurre a esa 
frecuencia. 
• la energía radiada disminuye lentamente a partir de valores más grandes que 𝜈 = 1,1 × 1014 , y la energía es cero 
(otra vez) cuando 𝜈 → ∞. 
Considerando la radiancia espectral de los cuerpos a 1 500 °𝐾, 2 000 °𝐾, se ve que 
• la frecuencia principal de radiación (frecuencia de energía máxima, frecuencia máxima) aumenta a medida que 
la temperatura aumenta. Aumenta linealmente con la temperatura. 
• la energía total radiada, en todas las frecuencias, es el área bajo la curva, y aumenta conforme la temperatura 
aumenta. 
 
La energía total emitida por un cuerpo negro a la temperatura T es la radiancia 𝑅𝑇 y esta dada por 
 
𝑅𝑇 = ∫ 𝑅𝑇(𝜈)
∞
0
𝑑𝜈 
que es el área bajo la curva, esta es la energía emitida en todas las frecuencias. De la Figura se obtienen los siguientes 
resultados experimentales: 
(i) La radiancia es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura T, este resultado es la ley de Stefan (1879) 
𝑅𝑇 = 𝜎 ∙ 𝑇
4 
donde 𝜎 = 5,67 × 10−8
𝑊
𝑚2−°𝐾4
, es la constante de Stefan-Boltzmann. 
 
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(ii) El espectro se desplaza a frecuencias cada vez mayores a medida que T aumenta, este resultado se conoce 
como la ley de desplazamiento de Wien 
 
𝜈𝑚 ∝ 𝑇 
donde 𝜈𝑚 es la frecuencia a la cual 𝑅𝑇(𝜈) alcanza su valor máximo para una T dada. A mayor T mayor la 
frecuencia de máxima energía. 
De la ecuación 𝜆𝜈 = 𝑐 → 𝜆𝑚𝜈𝑚 = 𝑐 → 𝜈𝑚 =
𝑐
𝜆𝑚
, sustituyendo en la última relación 
𝑐
𝜆𝑚
∝ 𝑇 → 𝜆𝑚 ∙ 𝑇 = 𝑏 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
con 𝑏 = 2,898 × 10−3𝑚 − °𝐾, es la constante de Wien. 𝜆𝑚, es la longitud de onda máxima. 
 
 
Estas dos leyes fueron obtenidas por primera vez de forma experimental, no deducidas de ninguna teoría. 
 
 
Problema 1. 
Si se supone que las superficies de las estrellas se comportan como cuerpos negros, se obtiene su temperatura midiendo 
𝜆𝑚. Para el sol, 𝜆𝑚 = 5 100 Å (en el visible); para la estrella polar, 𝜆𝑚 = 3 500 Å (en el ultravioleta), encontrar 
(a) la temperatura de la superficie de cada estrella, 
(b) la potencia radiada por 1 𝑐𝑚2 de superficie estelar. 
Solución. 
(a)_ Sol: 
𝜆𝑚⨀ ∙ 𝑇⊙ = 𝑏 → 𝑇⊙ =
𝑏
𝜆𝑚⊙
=
2,898 × 10−3𝑚 − °𝐾
5 100 Å ×
10−10𝑚
1 Å
= 5 700 °𝐾. 
Estrella polar: 
𝜆𝑚𝑝 ∙ 𝑇𝑝 = 𝑏 → 𝑇𝑝 =
𝑏
𝜆𝑚𝑝
=
2,898 × 10−3𝑚 − °𝐾
3 500Å ×
10−10𝑚
1 Å
 
= 8 300 °𝐾. 
(b)_ Sol: 
𝑅𝑇 = 𝜎 ∙ 𝑇
4 = 5,67 × 10−8
𝑊
𝑚2 − °𝐾4
× (5 700 °𝐾)4 ×
(1 𝑚)2
(100 𝑐𝑚)2
= 6 000
𝑊
𝑐𝑚2
 . 
Estrella polar: 
𝑅𝑇 = 𝜎 ∙ 𝑇
4 = 5,67 × 10−8
𝑊
𝑚2 − °𝐾4
× (8 300 °𝐾)4 ×
(1 𝑚)2
(100 𝑐𝑚)2
= 27 000
𝑊
𝑐𝑚2
. 
 
 
1.5. Teoría Clásica de la Cavidad Radiante 
 
Un cuerpo negro que nos interesa es un objeto con una cavidad y una abertura que la comunica con el exterior como se 
muestra en la Figura. La radiación que incide sobre la abertura penetra en la cavidad y se refleja en las paredes en todas 
las direcciones de modo que toda la radiación es absorbida por las paredes y no escapa casi nada por la abertura. Como 
toda la radiación que incide sobre la abertura es absorbida, esta abertura se comporta como un cuerpo negro. 
 
 
 
MECANICA CUANTICA I CAP. 1. FUNDAMENTOS DE FISICA CUANTICA 
 
Figura 9. Cavidad en un cuerpo 
comunicada por el exterior a través de 
una abertura. 
 
Si las paredes de la cavidad se calientan a la temperatura T, las paredes emiten radiación térmica que llenan la cavidad y 
solo una pequeña parte fracción sale por la abertura, así la abertura radia como cuerpo negro, y la radiación emitida tiene 
espectro de cuerpo negro, también la cavidad tiene espectro de cuerpo negro de temperatura T (recordar que el espectro 
de cuerpo negro solo depende de la temperatura T). El espectro emitido por la abertura se especifica por la 𝑅𝑇(𝜈), pero 
el espectro de la radiación dentro de la cavidad se especifica por la densidad de radiación 𝜌𝑇(𝜈), que es la energía 
contenida en la cavidad por unidad de volumen de la cavidad que esta a temperatura T, y en el intervalo de frecuencias 
entre 𝜈 𝑦 𝜈 + 𝑑𝜈. Esta claro que 
 
𝜌𝑇(𝜈) ∝ 𝑅𝑇(𝜈) 
𝜌𝑇(𝜈)[=]
𝐽
𝑚3 − 𝐻𝑧
 
 
El procedimiento de Rayleigh y Jeans para calcular la densidad de energía de la radiación emitida por una cavidad, que 
es un cuerpo negro, consiste en: 
Primero: usar la teoría electromagnética clásica para demostrar que la radiación en el interior de la cavidad existe en 
formas de ondas electromagnéticas estacionarias con nodos en las paredes metálicas. 
Segundo: con argumentos geométricos, obtener el número de ondas estacionariasen el intervalo de frecuencias entre 
𝜈 𝑦 𝜈 + 𝑑𝜈, y que es una función de 𝜈. 
Tercero: con un resultado de la teoría cinética clásica, calcular la energía total promedio de estas ondas estacionarias 
considerando el sistema en equilibrio térmico. Según la teoría clásica la energía promedio solo depende de la temperatura 
T. 
 
Primero: 
Sea la cavidad de paredes metálicas un cubo de lado a y llena de radiación electromagnética, como se muestra en la 
Figura. Consideramos el eje x, toda la radiación que incide en la pared 𝑥 = 0 es reflejada, de modo que las ondas 
incidentes y reflejadas se superponen para y forman ondas estacionarias. Una de estas ondas electromagnéticas 
estacionarias tiene un nodo en 𝑥 = 0 y 𝑥 = 𝑎, pues no puede existir campo eléctrico paralelo en las paredes. Lo mismo 
se aplica a los ejes 𝑦, 𝑧. Estas condiciones de los nodos permiten solo ciertas longitudes de onda, solo ciertas frecuencias 
de la radiación electromagnética son permitidas dentro de la cavidad. 
 
 
MECANICA CUANTICA I CAP. 1. FUNDAMENTOS DE FISICA CUANTICA 
 
Figura 10. Cavidad con paredes metálicas llenas 
de radiación electromagnética
 
 
 
 
Segundo: 
Consideramos el caso simplificado e ideal de una cavidad unidimensional de lado 𝑎, para luego generalizar al caso real 
tridimensional. La onda estacionaria a lo largo del eje x es el campo eléctrico E oscilando, y descrita por la ecuación 
 
𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐸0 sin(𝑘 ∙ 𝑥) sin(𝜔 ∙ 𝑡) 
 𝐸(𝑥, 𝑡) = 𝐸0 sin (
2𝜋
𝜆
∙ 𝑥) sin(2𝜋𝜈 ∙ 𝑡) 
 
donde 𝐸0 es la amplitud máxima, 𝜆 es la longitud de onda, 𝜈 la frecuencia. La última ecuación representa una onda cuya 
amplitud varia en el espacio sinusoidalmente, y que oscila en el tiempo con frecuencia 𝜈 como un oscilador armónico 
simple. La amplitud es igual a cero, en todo instante de tiempo, para las posiciones x que satisfagan la condición 
 
sin (
2𝜋
𝜆
∙ 𝑥) = 0 → 
2𝑥
𝜆
= 0,1,2,3, … 𝑐𝑜𝑛 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 0 
 
2𝑥
𝜆
= 𝑛, 𝑛 = 1,2,3, , … 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 𝑎. 
 
Esta última condición determina los valores permitidos de las longitudes de onda. Las frecuencias permitidas son 
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2𝑎
𝜆
= 𝑛; 𝜆 ∙ 𝜈 = 𝑐 
de donde 
 
𝜈 =
𝑛𝑐
2𝑎
 𝑜 𝑛 =
2𝑎
𝑐
∙ 𝜈 . 
 
 
En una gráfica, tal que los puntos se distribuyen uniformemente sobre la recta n, el número de valores permitidos de la 
frecuencia 𝜈 en el intervalo entre 𝜈 𝑦 𝜈 + 𝑑𝜈 es proporcional a 𝑑𝜈 pero no depende de 𝜈, y está dada por 
 
𝑁(𝜈)𝑑𝜈 = Δ𝑛 ∙ 𝑑𝜈 
𝑁(𝜈)𝑑𝜈 = (𝑛2 − 𝑛1) 𝑑𝜈 =
2𝑎
𝑐
𝑑𝜈 
 
que con la corrección por polarización (dos ondas por cada frecuencia), nos da 
 
𝑁(𝜈)𝑑𝜈 =
4𝑎
𝑐
𝑑𝜈 
 
que es el número de ondas estacionarias permitidas en el caso ideal de una cavidad unidimensional. 
 
Se extiende este cálculo al caso de una cavidad tridimensional de lado 𝑎 de la siguiente manera: el número de frecuencias 
permitidas en el intervalo entre 𝜈 𝑦 𝜈 + 𝑑𝜈 es igual al número de puntos contenido entre dos cascarones esféricos de 
radios 𝜈 𝑦 𝜈 + 𝑑𝜈 respectivamente 
 
𝑟 =
2𝑎
𝑐
𝜈; 𝑟 + 𝑑𝑟 =
2𝑎
𝑐
(𝜈 + 𝑑𝜈) 
 𝑑𝑟 = (𝑟 + 𝑑𝑟) − 𝑟 =
2𝑎
𝑐
𝑑𝜈 , 
 
el volumen entre los cascarones es 
 
𝑁(𝜈)𝑑𝜈 ∝ 𝑑𝑉 → 𝑁(𝜈)𝑑𝜈 ∝ 4𝜋𝑟2𝑑𝑟 
 𝑁(𝜈)𝑑𝜈 = 4𝜋 (
2𝑎
𝑐
𝜈)
2
(
2𝑎
𝑐
𝜈 𝑑𝜈) =
𝜋
2
 
8𝑎3
𝑐3
 𝜈2𝑑𝜈 , 
 
con la corrección por polarización, tenemos 
 
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𝑁(𝜈)𝑑𝜈 =
8𝜋𝑎3
𝑐3
 𝜈2𝑑𝜈 
en general: 
𝑁(𝜈)𝑑𝜈 =
8𝜋𝑉
𝑐3
 𝜈2𝑑𝜈, 
 
donde 𝑉 = 𝑎3 es el volumen de la cavidad. 
 
 
 
Tercero: 
Cálculo de la energía promedio contenida en cada onda estacionaria de frecuencia 𝜈. 
La teoría cinética clásica establece en su ley de equipartición de la energía que: en un sistema formado por un número 
grande de moléculas de gas, y en equilibrio térmico a la temperatura T, la energía cinética de una molécula con un grado 
de libertad es 
 
ℇ ̅ =
1
2
𝑘𝑇 , 
 
donde 𝑘 = 1,38 × 10−23 𝐽 − °𝐾, es la constante de Boltzmann. 
 
Ahora bien, la ley de equipartición de la energía es válida para cualquier sistema clásico en equilibrio térmico y con un 
número grande de entes del mismo tipo, que en nuestro caso los entes son las ondas estacionarias que tienen un solo 
grado de libertad: la amplitud de sus campos eléctricos. Sin embargo, cada onda estacionaria con movimiento armónico 
simple tiene una energía total igual al doble de su energía cinética promedio, por tanto, cada onda estacionaria en la 
cavidad tiene una energía promedio 
ℇ ̅ = 𝑘𝑇 
 
esta energía es independiente de la frecuencia 𝜈 de la onda. 
 
Para el espectro de cuerpo negro (la cavidad a temperatura T), ya se puede calcular la densidad de energía 𝜌𝑇(𝜈) en el 
intervalo de frecuencias entre 𝜈 𝑦 𝜈 + 𝑑𝜈 
 
𝜌𝑇(𝜈)𝑑𝜈 =
𝑁𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑛𝑑𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 × 𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑜𝑛𝑑𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑
 
 𝜌𝑇(𝜈)𝑑𝜈 =
𝑁(𝜈)𝑑𝜈 × ℇ ̅ 
𝑉
=
1
𝑉
 
8𝜋𝑉 𝜈2𝑑𝜈
𝑐3
 𝑘𝑇 
 𝜌𝑇(𝜈)𝑑𝜈 =
8𝜋 𝜈2𝑘𝑇
𝑐3
 𝑑𝜈 , 
 
esta es la fórmula de Raylieigh – Jeans para la radiación de cuerpo negro. 
 
 
 
 
 
MECANICA CUANTICA I CAP. 1. FUNDAMENTOS DE FISICA CUANTICA 
 
Al graficar la fórmula de Rayleigh – Jeans (espectro clásico) junto con el espectro experimental se ve claramente la 
discrepancia entre ambas. Aunque el espectro clásico se ajusta al experimental para frecuencias bajas, para frecuencias 
altas el primero tiende hacia el infinito, como se ve en la Figura. Este resultado inexacto para frecuencias altas se conoce 
como la “catástrofe ultravioleta”. 
 
Figura. Gráfica del espectro clásico, fórmula de Rayleigh – Jeans, 
comparada con el espectro experimental de la cavidad radiante. Se 
ve la discrepancia entre ambas llamada catástrofe ultravioleta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MECANICA CUANTICA I CAP. 1. FUNDAMENTOS DE FISICA CUANTICA 
 
1.6. Problemas 
 
Problema 2. 
Si se supone que la superficie del Sol se comporta como cuerpo negro, se puede obtener una buena estimación de su 
temperatura, midiendo 𝜆𝑚 para el Sol. Para el Sol 𝜆𝑚 = 510 𝑛𝑚. 
a) Encontrar la temperatura de la superficie del Sol. 
b) Utilizando la ley de Stefan y la temperatura recién obtenida, determinar la potencia radiada por 1 𝑐𝑚2 de superficie 
solar. 
 
(a)_ De la ley del desplazamiento de Wien 
𝜆 𝑚 ∙ 𝑇 = 0.289 ∙ 10
−2 𝑚 − °𝐾 
con 𝑏 = 0.289 ∙ 10−2 𝑚 − °𝐾 la constante de Wien, entonces 
𝑇 =
0.289 ∙ 10−2
510 ∙ 10−9
= 5667 𝐾 ~ 5 700 °𝐾 
(b)_ De la ley de Stefan: 
𝑅𝑇 = 𝜎 ∙ 𝑇
4 = 5.672 ∙ 10−8 ∙ 5 7004 = 5.987 ∙ 107
𝑊
𝑚2
 , 
el flujo radiante o potencia de 1 𝑐𝑚2 de superficie solar: 
5.987 ∙ 107
𝑊
𝑚2
× (
1 𝑚
100 𝑐𝑚
)
2
= 5.987 ∙ 107
1
104
= 5 987 
𝑊
𝑐𝑚2
~ 6 000 
𝑊
𝑐𝑚2
 . 
Problema 3 
La irradiación sobre la superficie de un cuerpo opaco es 50 
𝑤
𝑚2
 . La superficie absorbe 20 
𝑤
𝑚2
 . 
a) ¿Cuál es el poder reflectante de la superficie? 
b) ¿Cuál es su poder absorbente? 
c) Si el área de la superficie del cuerpo es 100 𝑐𝑚2, ¿Cuál es el flujo radiante total que incide sobre él? 
d) Si el cuerpo se encuentra en equilibrio térmico y solo puede intercambiar energía por emisión y absorción 
de energíaradiante, ¿Cuál será la emisividad de su superficie? 
e) ¿Cuál es la temperatura del cuerpo? 
f) ¿Cuál sería la emisividad de un cuerpo negro a la misma temperatura? 
 
Solución 
(a) y (b) 
el poder reflectante y el poder absorbente cumplen con 
𝑟 + 𝑎 = 1 → 𝑟 = 1 − 𝑎 
Sea H la irradiación (energía radiante) sobre el cuerpo, y sea 𝑊𝑎 la energía radiante absorbida 
𝑊𝑎 = 𝑎 ∙ 𝐻 → 𝑎 =
𝑊𝑎
𝐻
=
20
50
= 0.4 
 
El poder reflectante: 
𝑟 = 1 − 𝑎 = 1 − 0.4 = 0.6 
 
(c)_ El flujo radiante o potencia P: 
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𝐻 =
𝑑𝐸
𝑑𝑡 ∙ 𝑑𝐴
=
𝑑𝑃
𝑑𝐴
 → 𝑑𝑃 = 𝐻 ∙ 𝑑𝐴 
cuando la energía incidente es la misma en cada punto de la superficie: 
→ ∫ 𝑑𝑃 = ∫ 𝐻 ∙ 𝑑𝐴 = 𝐻 ∙ ∫ 𝑑𝐴 = 𝐻 ∙ 𝐴 → 𝑃 = 𝐻 ∙ 𝐴 
→ 𝑃 = 50 
𝑤
𝑚2
∙ (100 𝑐𝑚2 
1𝑚2
104𝑐𝑚2
) = 50 ∙ 10−2 = 0.50 𝑤 
que es la potencia que incide sobre todo el cuerpo: 
 
(d)_ Para un cuerpo opaco y en el equilibrio térmico: 
𝑊 = 𝑊𝑎 = 𝑎 ∙ 𝐻 = 0.4 ∙ 50 = 20 
𝑤
𝑚2
 
(e)_ Por la ley de Stefan: 
𝑊 = 𝑒 ∙ 𝑊𝑏𝑏 
 = 𝑒 ∙ 𝜎𝑇4 
 20 = 0.4 ∗ 5.672 ∙ 10−8 ∗ 𝑇4 
→ 𝑇 = 172,31 °𝐾 = 172,31 𝐾 
(f)_ Para un cuerpo negro a la misma temperatura, su emisividad es: 
𝑊𝑏𝑏 = 𝜎𝑇
4 = 5.672 ∙ 10−8 ∗ 172,314 = 50 
𝑤
𝑚2
 . 
 
Problema 4. 
La temperatura de un cuerpo negro es 3 000 °𝐾. Calcular la razón de su emisividad espectral para una longitud de 
onda de 1000 𝑛𝑚 (en el infrarrojo) a su emisividad espectral a 500 𝑛𝑚 (en la región visible). 
Solución. 
Considerar el espectro electromagnético: 
 
𝑇 = 3 000 𝐾 
𝜆1 = 1 000 𝑛𝑚 = 1 000 ∙ 10
−9𝑚 = 1 ∙ 10−6𝑚 
𝜆2 = 500 𝑛𝑚 
MECANICA CUANTICA I CAP. 1. FUNDAMENTOS DE FISICA CUANTICA 
 
 
Por la ley de Planck: 
𝑊𝜆 =
𝑐1𝜆
−5
℮
𝑐2
𝜆𝑇 − 1
 → 𝑊𝜆1 =
𝑐1𝜆1
−5
℮
𝑐2
𝜆1∙𝑇 − 1
=
𝑐1
𝜆1
5 ∙ (℮
𝑐2
𝜆1∙𝑇 − 1)
=
3.740 ∙ 10−16
(10−6)5(℮47.95 − 1)
=
3.740
6.674
∙
10−16
1020 ∙ 10−30
 
 = 0.560 ∙ 10−6
𝑤
𝑚2 − 𝑚
 
= 0.560 ∙ 10−15
𝑤𝑎𝑡𝑡
𝑚2 − 𝑛𝑚
 
𝑐1 = 2𝜋ℎ𝑐
2 = 3.740 ∙ 10−16 
𝑐2 =
ℎ𝑐
𝑘
= 1.4385 ∙ 10−2 
𝑐2
𝜆1 ∙ 𝑇
=
1.4385 ∙ 10−2
10−6 ∙ 3 ∙ 103
=
1.4385
3
∙ 102 = 0.4795 ∙ 102 = 47.95 
𝑊𝜆2 =
𝑐1𝜆2
−5
℮
𝑐2
𝜆2∙𝑇 − 1
= ⋯ 
𝑤𝑎𝑡𝑡
𝑚2 − 𝑛𝑚
 
𝜆1 = 1 000 𝑛𝑚; 𝜆2 = 500 𝑛𝑚 
𝑊𝜆1
𝑊𝜆2
=
𝑐1𝜆1
−5
℮
𝑐2
𝜆1∙𝑇 − 1
∙
℮
𝑐2
𝜆2∙𝑇 − 1
𝑐1𝜆2
−5 = (
𝜆2
𝜆1
)
5
× 
℮
𝑐2
𝜆2∙𝑇 − 1
℮
𝑐2
𝜆1∙𝑇 − 1
= 
𝑊𝜆1
𝑊𝜆2
=
0.560 ∙ 10−15
…
= 3.81 → 𝑊𝜆1 = 3.81 ∙ 𝑊𝜆2 . 
 
 
Problema 5. 
A que longitud de onda es máxima la emisividad espectral de un cuerpo negro si su temperatura es: 
a) 500 °𝐾; b) 5 000 °𝐾; c) ¿A qué temperatura se encuentra la emisividad espectral máxima para una longitud de onda 
de 555 𝑛𝑚, a la cual tiene el ojo su sensibilidad máxima? 
 
a) la ley de Wien 
𝜆 𝑚 ∙ 𝑇 = 0.289 ∙ 10
−2 𝑚 − °𝐾 → 𝜆 𝑚 =
0.289 ∙ 10−2
𝑇
=
0.289 ∙ 10−2
500
= 5.78 ∙ 10−6𝑚 ∙
1 𝑛𝑚
 10−9 𝑚
= 5 780 𝑛𝑚. 
que se encuentra en el infrarrojo. 
 
c) 𝜆 𝑚 = 555 𝑛𝑚, que se encuentra en el visible. 
𝜆 𝑚 ∙ 𝑇 = 0.289 ∙ 10
−2 𝑚 − °𝐾 → 𝑇 =
0.289 ∙ 10−2
555 ∙ 10−9
= 5.207 ∙ 10−4−2+9 = 5.207 ∙ 103 = 5 207 𝐾. 
 
Problema 6. 
Un pequeño cuerpo está suspendido dentro de una envoltura vacía cuyas paredes se mantienen a 300 °𝐾. Hallar la razón 
de la potencia necesaria para mantener el cuerpo a 500 °𝐾 a la que se precisa para mantenerlo a 400 °𝐾. Despreciar el 
calor por conducción. 
MECANICA CUANTICA I CAP. 1. FUNDAMENTOS DE FISICA CUANTICA 
 
envoltura
cuerpo
H 
W
aH
To
T1
T1 > To
 
La irradiación, H, no depende de la naturaleza de la envoltura ni del cuerpo, depende solamente de la temperatura 𝑇0. 
Por la ley de Stefan –Boltzmann: 
𝐻 = 𝜎𝑇0
4 
El cuerpo no está en equilibrio térmico con la envoltura. La cantidad de energía radiante emitida por la superficie del 
cuerpo a temperatura 𝑇1, es 
𝑊 = 𝑒 ∙ 𝜎𝑇1
4 
donde e es el coeficiente de emisividad del cuerpo, 𝜎 la constante de Stefan – Boltzmann. 
 
Un balance de energía para el cuerpo, nos da, que la energía emitida por el cuerpo se debe a la energía absorbida + la 
energía ganada: 
𝑊𝑒𝑚𝑖𝑡 = 𝑊𝑎𝑏𝑠 + 𝑊𝑔𝑎𝑛 
 𝑊 = 𝑎𝐻 + 𝑊𝑔𝑎𝑛 
 𝑒 ∙ 𝜎𝑇1
4 = 𝑎 ∙ 𝜎𝑇0
4 + 𝑊𝑔𝑎𝑛; 𝑎 = 𝑒 
 → 𝑊𝑔𝑎𝑛 1 = 𝑒 𝜎(𝑇1
4 − 𝑇0
4) 
La emisividad de un cuerpo está dada como la potencia por unidad de área 
𝑊 =
𝑃
𝐴
 → 𝑃 = 𝐴 ∙ 𝑊 
por tanto: 
𝑃𝑔𝑎𝑛 1 = 𝐴 𝑒𝜎(𝑇1
4 − 𝑇0
4) 
 
De forma análoga, cuando el cuerpo está a temperatura 𝑇2: 
𝑃𝑔𝑎𝑛 2 = 𝐴 𝑒𝜎(𝑇2
4 − 𝑇0
4) 
La razón de potencias es 
𝑃𝑔𝑎𝑛 1
𝑃𝑔𝑎𝑛 2
=
𝐴 𝑒𝜎(𝑇1
4 − 𝑇0
4)
𝐴 𝑒𝜎(𝑇2
4 − 𝑇0
4)
=
𝑇1
4 − 𝑇0
4
𝑇2
4 − 𝑇0
4 =
5004 − 3004
4004 − 3004
= 3.1 → 𝑃𝑔𝑎𝑛 1 = 3.1 ∙ 𝑃𝑔𝑎𝑛 2 .