EJERCICIOS-RESUELTOS-1

Vista previa del material en texto

IES SIERRA DE GRAZALEMA MATEMÁTICAS 2º ESO
http://iesgrazalema.blogspot.com http://www.slideshare.net/DGS998
ESTADÍSTICA
EJERCICIOS RESUELTOS
Estadística
 1.- En un estudio sobre la edad a la que se caen los dientes de leche, hemos escogido 50 niños de 
 Grazalema. Determina:
a) La población. b) La muestra y su tamaño.
c) Los individuos. d) La variable estadística.
Estadística Edad a la que se caen los dientes de leche en Grazalema
Población Todos los niños de Grazalema
Muestra 50 niños escogidos
Individuo Cada uno de los niños de Grazalema
Tamaño de la muestra 50 niños
Variables estadísticas Edad a la se caen los dientes de leche
 2.- Señala en que caso es más conveniente estudiar la población o una muestra. Razona tu
 respuesta.
 a) La longitud de los tornillos que fabrica una máquina de manera continua durante un día.
 Muestra. La población es muy grande.
 b) La estatura de los turistas extranjeros que visitan España en un año.
 Muestra. La población es muy grande.
 c) El peso de un grupo de cinco amigos.
 Población. Son pocos individuos.
 d) La duración de una bombilla hasta que se funde.
 Muestra. La población es muy grande.
 e) El sueldo de los empleados de una empresa.
 Población, si la empresa no es muy grande. Muestra, si la empresa es muy grande.
 3.- Se quiere realizar un estudio estadístico de la altura de los alumnos de 2º ESO de un instituto, y
 para ello se mide a los alumnos de 2º A. Determina: 
a) La población. b) La muestra.
c) Los individuos. d) La variable estadística.
Estadística Altura de los alumnos de 2º de ESO de un instituto
Población Todos los alumnos de 2º ESO
Muestra Alumnos de 2º A
Individuo Cada uno de los alumnos de 2º ESO
Variables estadísticas Altura
1
http://iesgrazalema.blogspot.com/
http://www.slideshare.net/DGS998
Tipos de variables estadísticas
 4.- Clasifica las siguientes variables estadísticas:
A.- Número de aprobados en un curso. B.- Peso de los recién nacidos en un hospital.
C.- Color de las manzanas de una frutería. D.- Peso de los melones de una frutería.
E.- Libros leídos por un grupo de alumnos. F.- Goles en los partidos de una jornada.
G.- Número de pulsaciones por minuto. H.- Profesión de los padres del alumnado.
I.- Número de compañeros de clase. J.- Perímetro craneal.
K.- Estado civil. L.- Empleados en una empresa.
M.- Medida de la palma de la mano. N.- Deporte preferido.
Ñ.- Distancia desde casa al instituto. O.- Sexo de los recién nacidos en un hospital.
P.- Temperaturas mínimas en una semana. Q.- Veces que se va al cine en un año.
R.- Género de cine preferido. S.- Tiempo semanal dedicado a hacer deporte.
T.- Veces por semana que se come pescado. U.- Número de hermanos.
V.- Nacionalidad. W.- Número de calzado.
X.- Edad. Y.- Ingresos diarios en una frutería.
Z.- Color de ojos.
 
Cualitativas Cuantitativas discretas Cuantitativas continuas
C – H – K – N – O – R – V – 
– Z 
A – E – G – I – L – P – Q – 
– T – U – W – X 
B – D – J – M – Ñ – S – Y 
Recuento de datos. Frecuencias
 5.- Construye una tabla estadística con estos datos obtenidos al lanzar un dado 33 veces:
4 3 2 4 1 5 6 6 4 1 1
2 2 3 5 5 5 1 4 3 6 3
1 3 2 6 3 2 1 4 4 5 6
 Variable estadística cuantitativa discreta
xi fi hi pi Fi Hi Pi
1 6 0,18 18 % 6 0,18 18 %
2 5 0,15 15 % 11 0,33 33 %
3 6 0,18 18 % 17 0,52 52 %
4 6 0,18 18 % 23 0,70 70 %
5 5 0,15 15 % 28 0,85 85 %
6 5 0,15 15 % 33 1 100 %
33 0,99 = 1 99 % = 100 %
2
 6.- Haz una tabla estadística con los datos sobre la duración, en minutos, de 20 películas.
 Estadística 
 Duración, en minutos, de 20 películas.
 Datos estadísticos
90 120 122 95 145 75 66 195 45 77
148 69 110 180 88 90 95 110 85 125
 Variable estadística cuantitativa discreta con datos muy dispersos
 Número de intervalos o clases 
 k=√N ⇒ k=√20⇒k=4,5⇒k=5
 Recorrido de la variable 
 A=X max−X min⇒ A=195−45⇒ A=150
 Amplitud constante de cada intervalo 
 a=
A
k
⇒a=150
5
⇒a=30 
Límites de los intervalos
l0=X min=45
l1=l0+a=45+30=75
l2=l 1+a=75+30=105
l3=l 2+a=105+30=135
l4=l 3+a=135+30=165
l5=l 4+a=165+30=195=X max
Intervalos o clases
[ 45, 75)⇔ 45⩽ x<75
[ 75, 105 )⇔75⩽x<105
[ 105, 135 )⇔105⩽x<135
[ 135, 165 )⇔135⩽x<165
[ 165, 195 ]⇔165⩽x⩽195
 Tabla estadística 
Intervalos
[li-1, li)
Marcas de clase
(ci)
fi hi pi Fi Hi Pi
[ 45, 75)
45+75
2
=60 3 0,15 15 % 3 0,15 15 %
[ 75, 105 )
75+105
2
=90 8 0,40 40 % 11 0,55 55 %
[ 105, 135 )
105+135
2
=120 5 0,25 25 % 16 0,80 80 %
[ 135, 165 )
135+165
2
=150 2 0,10 10 % 18 0,90 90 %
[ 165, 195 ]
165+195
2
=180 2 0,10 10 % 20 1 100 %
20 1 100 %
3
 7.- Calcula las marcas de las siguientes clases de datos:
Clase 0,5 x3,5 3,5 x6,5 6,5 x9,5
Marca de clase
0,53,5
2
=2 3,56,5
2
=5 6,59,5
2
=8
 8.- Dadas las edades de los componentes de una compañía de teatro juvenil. Elabora una tabla de
 estadística.
15 17 14 19 17 16 13 12 15 16 13
12 19 13 12 18 17 16 15 14 13 12
 Variable estadística cuantitativa discreta 
xi fi hi pi Fi Hi Pi
12 4 0,18 18 % 4 0,18 18 %
13 4 0,18 18 % 8 0,36 36 %
14 2 0,09 9 % 10 0,45 45 %
15 3 0,14 14 % 13 0,59 59 %
16 3 0,14 14 % 16 0,73 73 %
17 3 0,14 14 % 19 0,87 87 %
18 1 0,04 4 % 20 0,91 91 %
19 2 0,09 9 % 22 1 100 %
22 1 100 %
 9.- Haz una tabla estadística con la masas, en kg, de 25 recién nacidos.
1,90 3,50 1,70 2,80 2,10
1,80 3,60 4,10 4,20 2,70
3 2,70 2 3,20 3,30
4,20 2,20 3,60 2,10 2,80
1,80 3,50 3,70 3,10 3,40
 Variable estadística cuantitativa continua
 Número de intervalos o clases 
 k=√N ⇒ k=√25⇒k=5
 Recorrido de la variable 
 A=X max−X min⇒ A=4,2−1,7⇒ A=2,50
4
 Amplitud constante de cada intervalo 
 a=
A
k
⇒a=2,50
5
⇒a=0,50
 Intervalos o clases 
 
[ 1,70− 2,20 )⇔1,70⩽ x<2,20
[ 2,20− 2,70 )⇔ 2,20⩽x<2,70
[ 2,70− 3,20)⇔2,70⩽x<3,20
[ 3,20− 3,70 )⇔3,20⩽ x<3,70
[ 3,70− 4,20]⇔3,70⩽ x⩽4,20
 Tabla estadística 
Intervalos
[li-1, li)
Marcas de clase
(ci)
fi hi pi Fi Hi Pi
[ 1,70− 2,20 )
1,70+2,20
2
=1,95 7 0,28 28 % 7 0,28 28 %
[ 2,20− 2,70 )
2,20+2,70
2
=2,45 1 0,04 4 % 8 0,32 32 %
[ 2,70− 3,20)
2,70+3,20
2
=2,95 6 0,24 24 % 14 0,56 56 %
[ 3,20− 3,70 )
3,20+3,70
2
=3,45 7 0,28 28 % 21 0,84 84 %
[ 3,70− 4,20]
3,70+4,20
2
=3,95 4 0,16 16 % 25 1 100 %
25 1 100 %
10.- Los datos representan la duración, en minutos, de 10 llamadas telefónicas. Elabora una tabla
 estadística.
8 4 7 4 8 6 5 4 7 8
 Variable estadística cuantitativa discreta 
 Tabla estadística
xi fi hi pi Fi Hi Pi
4 3 0,3 30 % 3 0,3 30 %
5 1 0,1 10 % 4 0,4 40 %
6 1 0,1 10 % 5 0,5 50 %
7 2 0,2 20 % 7 0,7 70 %
8 3 0,3 30 % 10 1 100 %
10 1 100 %
5
11.- Los datos reflejan el número de libros publicados por 40 editoriales:
0 20 25 15 13 10 13 5 16 5 3 23 10 6 12 3 12 6 19 6
14 30 21 17 3 7 14 10 18 2 8 22 9 11 2 11 16 4 4 12
 
 Dado que el número de datos es alto, elabora una tabla estadística utilizando marcas de clase.
 Variable estadística cuantitativa discreta con alto número de datos
 Número de intervalos o clases → k= N ⇒ k= 40⇒ k=6,3⇒ k=6
 Recorrido de la variable → A=X max−X min⇒ A=30−0⇒ A=30
 Amplitud constante de cada intervalo → a=
A
k
⇒a=30
6
⇒a=5
Intervalos
[li-1, li)
Marcas de clase
(ci)
fi hi pi Fi Hi Pi
[0, 5 ) 2,5 8 0,20 20 % 8 0,20 20 %
[5, 10 ) 7,5 8 0,20 20 % 16 0,40 40 %
[10, 15 ) 12,5 12 0,30 30 % 28 0,70 70 %
[15, 20 ) 17,5 6 0,15 15 % 34 0,85 85 %
[20, 25 ) 22,5 4 0,10 10 % 38 0,95 95 %
[25, 30 ] 27,5 2 0,05 5 % 40 1 100 %
40 1 100 %
 
12.- Construye una tabla de frecuencias con esta lista de números:
11 10 12 14 14 17 13
13 17 10 10 10 11 14
11 14 13 12 12 11 10Variable estadística cuantitativa discreta
 Tabla de frecuencias
xi fi hi pi Fi Hi Pi
10 5 0,24 24 % 5 0,24 24 %
11 4 0,19 19 % 9 0,43 43 %
12 3 0,14 14 % 12 0,57 57 %
13 3 0,14 14 % 15 0,71 71 %
14 4 0,19 19 % 19 0,90 90 %
17 2 0,10 10 % 21 1 100 %
21 1 100 %
6
Gráficos estadísticos
13.- La tabla recoge la edad de un grupo de jóvenes encuestados.
Edad (años) 15 16 17 18 19
Frecuencia absoluta 5 8 2 20 5
 a) Realiza un diagrama de barras. 
 b) Dibuja el polígono de frecuencias.
 Variable estadística cuantitativa discreta
 Gráfico estadístico
 Diagrama de barras con polígono de frecuencias.
Construcción: Diagrama de barras con polígono de frecuencias
7
15 16 17 18 19
0
5
10
15
20
25
5
8
2
20
5
EDAD DE UN GRUPO DE JÓVENES
Años
N
úm
er
o 
de
 jó
ve
ne
s
file:///Users/damiangomezsarmiento/Documents/UNIDADES%20DIDA%CC%81CTICAS%20INTEGRADAS.pdf/MATEMA%CC%81TICAS%202%C2%BA%20ESO.pdf/ESTADI%CC%81STICA.pdf/ESTADI%CC%81STICA.%20Documentos/DIAGRAMA%20DE%20BARRAS%20CON%20POLI%CC%81GONO%20DE%20FRECUENCIAS.%20CONSTRUCCIO%CC%81N.odt
file:///Users/damiangomezsarmiento/Documents/UNIDADES%20DIDA%CC%81CTICAS%20INTEGRADAS.pdf/MATEMA%CC%81TICAS%202%C2%BA%20ESO.pdf/ESTADI%CC%81STICA.pdf/ESTADI%CC%81STICA.%20Documentos/DIAGRAMA%20DE%20BARRAS%20CON%20POLI%CC%81GONO%20DE%20FRECUENCIAS.%20CONSTRUCCIO%CC%81N.odt
14.- En el estudio estadístico realizado en un instituto se han obtenido los siguientes datos:
Peso (kg) [50, 55) [55, 60) [60, 65) [65, 70) [70, 75]
Número de alumnos 10 40 25 20 5
 a) Organiza una tabla estadística. 
 b) Construye el histograma y el polígono de frecuencias.
 Variable estadística cuantitativa continua
 Tabla estadística
Intervalos
[li-1, li)
Marcas de clase
(ci)
fi hi pi Fi Hi Pi
[50, 55 )
5055
2
=52,5 10 0,10 10 % 10 0,10 10 %
[55, 60 )
5560
2
=57,5 40 0,40 40 % 50 0,50 50 %
[60, 65 )
6065
2
=62,5 25 0,25 25 % 75 0,75 75 %
[65, 70)
6570
2
=67,5 20 0,20 20 % 95 0,95 95 %
[70, 75 ]
7075
2
=72,5 5 0,05 5 % 100 1 100 %
100 1 100 %
 Gráfico estadístico
 Histograma.
8
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
PESO DEL ALUMNADO DE UN INSTITUTO
[50, 55)
[55, 60)
[60, 65)
[65, 70)
[70, 75]
Kilogramos
N
úm
er
o 
de
 a
lu
m
no
s
 Gráfico estadístico
 Polígono de frecuencias.
15.- A 30 jóvenes se les ha preguntado sobre sus revistas favoritas y el resultado se recoge en esta
 tabla.
Tipo Deportes Científicas Divulgación Animales Históricas
Número de jóvenes 10 2 12 5 1
 
 a) Forma la tabla estadística.
 b) Representa los datos mediante un diagrama de barras.
 c) Representa los datos mediante un diagrama de sectores.
 Variable estadística cualitativa
 Tabla estadística
xi fi hi pi Fi Hi Pi
Deportes 10 0,33 33 % 10 0,33 33 %
Científicas 2 0,07 7 % 12 0,40 40 %
Divulgación 12 0,40 40 % 24 0,80 80 %
Animales 5 0,17 17 % 29 0,97 97 %
Históricas 1 0,03 3 % 30 1 100 %
30 1 100 %
9
[50, 55) [55, 60) [60, 65) [65, 70) [70, 75]
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
10
40
25
20
5
PESO DEL ALUMNADO DE UN INSTITUTO
Kilogramos
N
úm
er
o 
de
 a
lu
m
no
s
 Gráfico estadístico
 Diagrama de barras.
 Gráfico estadístico
 Diagrama de sectores. 
 
360º
30
= D
10
⇒ D=360º ·10
30
⇒ D=3.600º
30
⇒D=120º
 
360º
30
=C
2
⇒C=360º ·2
30
⇒C=720º
30
⇒C=24º
 
360º
30
= d
12
⇒d=360º ·12
30
⇒d= 4.320º
30
⇒d=144º
 
360º
30
= A
5
⇒ A=360º ·5
30
⇒ A=1.800º
30
⇒ A=60º
 
360º
30
= H
1
⇒H =360º ·1
30
⇒ H=360º
30
⇒ H=12º
10
Deportes Científicas Divulgación Animales Históricas
0
2
4
6
8
10
12
14
10
2
12
5
1
REVISTAS FAVORITAS DE 30 JÓVENES
Tipos de revistas
N
úm
er
o 
de
 jó
ve
ne
s
10
2
12
5
1
REVISTAS FAVORITAS DE 30 JÓVENES
Deportes
Científicas
Divulgación
Animales
Históricas
16.- Los componentes de un grupo juvenil de baile tienen las siguientes edades:
14 14 13 16 18 17 13 14 14 17 14 16 13 13 15 18 16 17
15 18 14 14 13 16 13 14 16 13 13 14 14 14 15 15 16 17
 a) Realiza un recuento y construye la tabla estadística.
 b) Dibuja el diagrama de barras.
 c) Dibuja el diagrama de sectores.
 Variable estadística cuantitativa discreta
 Tabla estadística
xi fi hi pi Fi Hi Pi
13 años 8 0,22 22 % 8 0,08 8 %
14 años 11 0,31 31 % 19 0,53 53 %
15 años 4 0,11 11 % 23 0,64 64 %
16 años 6 0,17 17 % 29 0,81 81 %
17 años 4 0,11 11 % 33 0,92 92 %
18 años 3 0,08 8 % 36 1 100 %
36 1 100 %
 Gráfico estadístico
 Diagrama de barras.
11
13 14 15 16 17 18
0
2
4
6
8
10
12
8
11
4
6
4
3
EDADES EN UN GRUPO JUVENIL DE BAILE
Años
N
úm
er
o 
de
 jó
ve
ne
s
 Gráfico estadístico
 Diagrama de sectores. 
 
360º
36
=13 años
8
⇒13 años=360º ·8
36
⇒13 años= 2.880º
36
⇒13 años=80º
 
360º
36
=14 años
11
⇒14 años=360º ·11
36
⇒14 años=3.960º
36
⇒14 años=110º
 
360º
36
=15 años
4
⇒15 años=360º ·4
36
⇒15 años=1.440º
36
⇒15 años=40º
 
360º
36
=16 años
6
⇒16 años=360º ·6
36
⇒16 años= 2.160º
36
⇒16 años=60º
 
360º
36
=17 años
4
⇒17 años=360º ·4
36
⇒17 años=1.440º
36
⇒17 años=40º
 
360º
36
=18 años
3
⇒18 años=360º ·3
36
⇒18 años=1.080º
36
⇒18 años=30º
12
8
11
4
6
4
3
EDADES EN UN GRUPO JUVENIL DE BAILE
13 años
14 años
15 años
16 años
17 años
18 años
17.- Pesos, en kilogramos, de los bebés nacidos en una clínica durante un fin de semana:
 
2,350 3,300 2,950 4,100 4,350 3,450 3,100 3,785 3,920 4,000
3,750 2,800 3,100 2,400 2,900 2,550 4,200 3,250 2,800 3,400
 a) Construye la tabla estadística.
 b) Representa los datos en un histograma.
 
 Variable estadística cuantitativa continua
 Número de intervalos o clases 
 k= N ⇒ k= 20⇒ k=4,4⇒ k=4
 Recorrido de la variable 
 A=X max−X min⇒ A=4,350−2,350⇒ A=2
 Amplitud constante de cada intervalo 
 a=
A
k
⇒a= 2
4
⇒a=0,500 
 Límites de los intervalos
 
l 0=X min=2,350
l 1=l 0a=2,3500,500=2,850
l 2=l 1a=2,8500,500=3,350
l 3=l 2a=3,3500,500=3,850
l 4=l 3a=3,8500,500=4,350=X max
 Intervalos o clases 
 
[2,350 , 2,850 )⇔2,350x2,850
[2,850 , 3,350 )⇔2,850x3,350
[3,350 , 3,850 )⇔3,350 x3,850
[3,850 , 4,350 ]⇔3,850 x4,350
 Tabla estadística 
Intervalos
[li-1, li)
Marcas de clase 
(ci)
fi hi pi Fi Hi Pi
[2,350 – 2,850) 2,600 5 0,25 25 % 5 0,25 25 %
[2,850 – 3,350) 3,100 6 0,30 30 % 11 0,55 55 %
[3,350 – 3,850) 3,600 4 0,20 20 % 15 0,75 75 %
[3,850 – 4,350] 4,100 5 0,25 25 % 20 1 100 %
20 1 100 %
13
 Gráfico estadístico
 Histograma.
18.- El diagrama de barras refleja el idioma que cursan un grupo de estudiantes de una escuela de
 idiomas.
 
 Construye la tabla estadística.
 Variable estadística cualitativa
 Tabla estadística
xi fi hi pi Fi Hi Pi
Francés 10 0,21 21 % 10 0,33 33 %
Inglés 18 0,37 37 % 28 0,58 58 %
Alemán 12 0,25 25 % 40 0,83 83 %
Italiano 8 0,17 17 % 48 1 100 %
48 1 100 %
14
0
1
2
3
4
5
6
7
PESOS DE LOS BEBÉS NACIDOS EN UNA CLÍNICA
[2,350 – 2,850)
[2,850 – 3,350) 
[3,350 – 3,850) 
[3,850 – 4,350]
Peso (kg)
N
úm
er
o 
d
e 
be
bé
s
Francés Inglés Alemán Italiano
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
IDIOMAS EN UNA ESCUELA
Idiomas
N
úm
er
o 
de
 a
lu
m
no
s
19.- El número de hijos de 18 familias seleccionadas al azar es el siguiente:
1 2 3 0 2 1 1 0 5
2 1 0 2 2 1 4 1 6
 
 a) Realiza el recuento de datos.
 b) Construye la tabla estadística.
 c) Dibuja un diagrama de barras y el polígono de frecuencias.
 
 Variable estadística cuantitativa discreta
 Tabla estadística
xi fi hi pi Fi Hi Pi
0 3 0,16 16 % 3 0,16 16 %
1 6 0,33 33 % 9 0,49 49 %
2 5 0,27 27 % 14 0,76 76 %
3 1 0,06 6 % 15 0,82 82 %
4 1 0,06 6 % 16 0,88 88 %
5 1 0,06 6 % 17 0,94 94%
6 1 0,06 6 % 18 1 100 %
18 1 100 %
 Gráfico estadístico
 Diagrama de barras con polígono de frecuencias.
15
0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
6
7
3
6
5
1 1 1 1
NÚMERO DE HIJOS DE 18 FAMILIAS
Número de hijos
N
úm
er
o 
d
e 
fa
m
ili
as
20.- Se han revisado 30 paquetes de tornillos y en cada uno se han encontrado estos tornillos 
 defectuosos.
1 1 0 1 1 2 1 1 0 0 1 3 0 1 0
4 0 1 2 0 0 2 2 3 4 1 2 1 0 1
a) Recuento de datos. b) Tabla estadística. c) Diagrama de sectores.
 Variable estadística cuantitativa discreta
 Tabla estadística
xi fi hi pi Fi Hi Pi
0 tornillos defectuosos 9 0,30 30 % 9 0,30 30 %
1 tornillo defectuoso 12 0,40 40 % 21 0,70 70 %
2 tornillos defectuosos 5 0,16 16 % 26 0,86 86 %
3 tornillos defectuosos 2 0,07 7 % 28 0,93 93 %
4 tornillos defectuosos 2 0,07 7 % 30 1 100 %
30 1 100 %
 Gráfico estadístico
 Diagrama de sectores.
 
360º
30
=0 t.d.
9
⇒0 t.d.=360º · 9
30
⇒0 t.d.=3.240º
30
⇒0 t.d.=108º
 
360º
30
=1 t.d.
12
⇒1 t.d.=360º ·12
30
⇒1 t.d.= 4.320º
30
⇒1 t.d.=144º
 
360º
30
=2 t.d.
5
⇒2 t.d.=360º ·5
30
⇒2 t.d.=1.800º
30
⇒2 t.d.=60º
 
360º
30
=3 t.d.
2
⇒3 t.d.=360º · 2
30
⇒3 t.d.=720º
30
⇒3 t.d.=24º
 
360º
30
=4 t.d.
2
⇒4 t.d.=360º ·2
30
⇒4 t.d.=720º
30
⇒4 t.d.=24º
16
9
12
5
2
2
NÚMERO DE TORNILLOS DEFECTUOSOS EN 30 PAQUETES
0 tornillos defectuosos
1 tornillo defectuoso
2 tornillos defectuosos
3 tornillos defectuosos
4 tornillos defectuosos
21.- Construye la tabla estadística correspondiente al siguiente histograma.
 Tabla estadística 
Intervalos
[li-1, li)
Marcas de clase 
(ci)
fi hi pi Fi Hi Pi
[10, 20) 15 5 0,20 20 % 5 0,20 20 %
[20, 30) 25 10 0,40 40 % 15 0,60 60 %
[30, 40) 35 6 0,24 24 % 21 0,84 84 %
[40, 50] 45 4 0,16 16 % 25 1 100 %
25 1 100 %
22.- Dados los siguientes datos; completa una tabla estadística y construye un histograma.
Intervalos Frecuencias absolutas
10 x20 7
20x30 20
30x40 15
40x50 8
 Tabla estadística
Intervalos
[li-1, li)
Marcas de clase 
(ci)
fi hi pi Fi Hi Pi
[10, 20) 15 7 0,14 14 % 7 0,14 14 %
[20, 30) 25 20 0,40 40 % 27 0,54 54 %
[30, 40) 35 15 0,30 30 % 42 0,84 84 %
[40, 50) 45 8 0,16 16 % 50 1 100 %
50 1 100 %
17
0
2
4
6
8
10
12
5
10
6
4
[10, 20)
[20, 30)
[30, 40)
[40,50]
 Gráfico estadístico
 Histograma.
23.- El deporte preferido de un grupo de escolares viene dado por esta tabla:
Deporte Fútbol Baloncesto Natación
Alumnos 305 215 80
a) Tabla estadística b) Diagrama de barras c) Diagrama de sectores
 Variable estadística cualitativa
 Tabla estadística
xi fi hi pi Fi Hi Pi
Fútbol 305 0,51 51 % 305 0,51 51 %
Baloncesto 215 0,36 36 % 520 0,87 87 %
Natación 80 0,13 13 % 600 1 100 %
600 1 100 %
 Gráfico estadístico
 Diagrama de barras.
18
0
5
10
15
20
25
7
20
15
8
[10, 20)
[20, 30)
[30, 40)
[40, 50)
Fútbol Baloncesto Natación
0
50
100
150
200
250
300
350 305
215
80
DEPORTE PREFERIDO DE UN GRUPO DE ESCOLARES
Deportes
N
úm
er
o 
de
 e
sc
ol
ar
es
 Gráfico estadístico
 Diagrama de sectores.
 
360º
600
= Fútbol
305
⇒ Fútbol=360º ·305
600
⇒ Fútbol=109.800º
600
⇒ Fútbol=183º
 
360º
600
= Baloncesto
215
⇒ Baloncesto=360º ·215
600
⇒Baloncesto=77.400º
600
⇒ Baloncesto=129º
 
360º
600
= Natación
80
⇒ Natación=360º ·80
600
⇒Natación=28.800º
600
⇒ Natación=48º
24.- La alturas, en cm, de 20 plantas de una determinada especie son:
6,10 5,30 6,20 5,60 4,80 4,90 5,20 5,60 6,10 6,20
5,90 5,80 5,70 5,10 4,90 5,20 5,30 6,10 5,90 5,80
a) Tabla estadística. b) Histograma.
 Variable estadística cuantitativa continua
 Número de intervalos o clases 
 k= N ⇒ k= 20⇒ k=4,4⇒ k=4
 Recorrido de la variable 
 A=X max−X min⇒ A=6,20−4,80⇒ A=1,40
 Amplitud constante de cada intervalo 
 a=
A
k
⇒a=1,40
4
⇒a=0,35 
19
305
215
80
DEPORTE PREFERIDO DE UN GRUPO DE ESCOLARES
Fútbol
Baloncesto
Natación
 Límites de los intervalos
 
l 0=X min=4,80
l 1=l 0a=4,800,35=5,15
l 2=l 1a=5,150,35=5,50
l 3=l 2a=5,500,35=5,85
l 4=l 3a=5,850,35=6,20=X max
 Intervalos o clases 
 
[ 4,80−5,15 )⇔4,80x5,15
[5,15−5,50 )⇔5,15 x5,50
[5,50−5,85 )⇔5,50x5,85
[5,85−6,20 ]⇔5,85x6,20
 Tabla estadística 
Intervalos
[li-1, li)
Marcas de clase 
(ci)
fi hi pi Fi Hi Pi
[4,80 – 5,15) 4,975 4 0,20 20 % 4 0,20 20 %
[5,15 – 5,50) 5,325 4 0,20 20 % 8 0,40 40 %
[5,50 – 5,85) 5,675 5 0,25 25 % 13 0,65 65 %
[5,85 – 6,20] 6,025 7 0,35 35 % 20 1 100 %
20 1 100 %
 Gráfico estadístico
 Histograma.
20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
4 4
5
7
ALTURA DE 20 PLANTAS
[4,80 – 5,15)
[5,15 – 5,50)
[5,50 – 5,85)
[5,85 – 6,20] 
Altura (cm)
N
úm
er
o 
de
 p
la
nt
as
Parámetros estadísticos de centralización
25.- Calcula la media aritmética, la moda y la mediana de este conjunto de datos:
1 2 1 5 1 0 1 2 3 2 1 2 1 3
1 2 2 4 2 2 0 2 2 1 2 1 2 0
 
 Tabla estadística
xi fi fi · xi 
0 3 0
1 9 9
2 12 24
3 2 6
4 1 4
5 1 5
N=28 ∑  f i · x i=48
 Media aritmética 
 
 x=
∑  f i · x i
N
=48
28
=1,7
 Moda
 Mo=2
 
 Mediana
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 4 5
 Me=
x N
2
 x N
2
1
2
= 22
2
=4
2
=2
26.- Para hallar la puntuación final de una prueba de atletismo se multiplica por 3 el resultado de la 
 primera marca, por 4 el de la segunda y por 5 el de la tercera. Las marcas de Belén son 9, 5 y 2.
 Halla la media ponderada que obtiene.
 Estadística
 Marcas de Belén en una prueba de atletismo.
 Datos estadísticos
9 5 2
21
 Media aritmética
 x=
952
3
=16
3
=5,3 
 Interpretación del resultado
 Si las tres marcas tienen la misma importancia, la marca media es 5,3.
 Media ponderada
Marcas (xi) 9 5 2
Pesos (wi) 3 4 5
 x=
∑ w i · x i
∑ wi
=9 ·35 ·42 ·5
345
=272010
12
=57
12
=4,75
 Interpretación del resultado
 La nota media ponderada es 4,75.
27.- En un examen de Matemáticas se da un peso de 5 al apartado de problemas, un peso de 4 al
 apartado de cálculo y un peso de 1 al apartado de teoría. Beatriz saca 8 en el apartado de
 problemas, 7 en el apartado de cálculo y 10 en el apartado de teoría. ¿Cuál es su calificación
 final?
Problemas Cálculo Teoría
Notas (xi) 8 7 10
Pesos (wi) 5 4 1
 x=
∑ w i · x i
∑ wi
=8 ·57 ·410·1
541
=402810
10
=78
10
=7,8
28.- Elabora una tabla estadística para estos datos.
147 145 148 150 156 162 152 164 146
145 140 153 142 147 158 161 164 154
 Halla la media aritmética, la moda y la mediana.
 Número de intervalos o clases
 k=N ⇒ k=18⇒ k=4,24⇒ k=4
 Recorrido de la variable 
 A=X max−X min⇒ A=164−140⇒ A=24
 Amplitud constante de cada intervalo 
 a=
A
k
⇒a= 24
4
⇒a=6 
22
 Tabla estadística
Estatura (m)
xi
Marcas de clase
ci
fi Fi fi · ci 
[140 – 146) 143 4 4 572
[146 – 152) 149 5 9 745
[152 – 158) 155 4 13 620
[158 – 164] 161 5 18 805
N=18 ∑  f i · c i=2.742
 
 Media aritmética
 x=
∑  f i · c i
N
=2.742
18
=152,33
 Moda
 {Mo=149Mo=161}⇒Serie bimodal
 Para más precisión
 
Mo=L i−1
D1
D1D 2
· ai=146
5−4
5−4 5−4
· 6=146 1
11
·6=1461
2
·6=1466
2
=
= 1463=149 kg
 Mediana
Estatura (m)
xi
Marcas de clase
ci
fi Fi fi · ci 
[140 – 146) 143 4 4 572
[146 – 152) 149 5 9 745
[152 – 158) 155 4 13 620
[158 – 164] 161 5 18 805
N=18 ∑  f i · c i=2.742
 N=18⇒
N
2
=18
2
=9=F2 ⇒[ Li−1 , Li]=[146, 152 ]
 Me=Li−1
N
2
−F i−1
f i
· ai=146
9−4
5
·6=146
5
5
·6=1461 ·6=1466=152
23
29.- La tabla expresa el precio de varios ordenadores personales en una tienda de informática:
Precio (€) Número de ordenadores
600 x900 60
900x1.200 124
1.200 x1.500 30
1.500x1.800 15
1.800 x2.100 3
 Determina la media aritmética, la moda y la mediana.
 Variable estadística cuantitativa continua
 Tabla estadística
Estatura (m)
xi
Marcas de clase
ci
fi Fi fi · ci 
[600 – 900) 750 60 60 45.000
[900 – 1.200) 1.050 124 184>116 130.200
[1.200 – 1.500) 1.350 30 214 40.500
[1.500 – 1.800) 1.650 15 229 24.750
[1.800 – 2.100) 1.950 3 232 5.850
N=232 ∑  f i · c i=246.300
 Media aritmética
 x=
∑  f i · c i
N
=246.300
232
=1.061,64 €
 Moda
 Mo=1.050 €
 Para más precisión
 
Mo=L i−1
D1
D1D 2
· ai=900
124−60
124−60 124−30
·300=900 64
6494
·300 =
= 900 64
158
·300=90019.200
158
=900121,50=1.021,52 €
 Mediana
 N=232⇒
N
2
=232
2
=116⇒F 2=184116⇒[Li−1 , L i]=[900, 1.200 ]
 Me=Li−1
N
2
−F i−1
f i
· ai=900
116−60
124
·300=900
56
124
·300=900
16.800
124
=
= 900135,48=1.035,48 €
24
30.- Calcula la media aritmética, la moda y la mediana de los siguientes datos:
 a)
12 8 15 12 7 8 8 15 8
 Tabla estadística
xi fi fi · xi 
7 1 7
8 4 32
12 2 24
15 2 30
N=9 ∑  f i · x i=93
 Media aritmética
x=
∑  f i · x i
N
=93
9
=10,33
 Moda
Mo=8
 Mediana
7 8 8 8 8 12 12 15 15
 Me=x N 1
2
=8
 b)
1,3 0 2,7 1,2 0 0 1,3 2,4 0 0,9
 Tabla estadística
xi fi fi · xi 
0 4 0
0,9 1 0,9
1,2 1 1,2
1,3 2 2,6
2,4 1 2,4
2,7 1 2,7
N=10 ∑  f i · x i=9,8
 Media aritmética
 x=
∑  f i · x i
N
=9,8
10
=0,98
 Moda
 Mo=0
25
 Mediana
0 0 0 0 0,9 1,2 1,3 1,3 2,4 2,7
 Me=
x N
2
 x N
2
1
2
=0,91,2
2
=2,1
2
=1,05
 c)
3 4 2 3 3 5 1
 Tabla estadística
xi fi fi · xi 
1 1 1
2 1 2
3 3 9
4 1 4
5 1 5
N=7 ∑  f i · x i=21
 Media aritmética
x=
∑  f i · x i
N
=21
7
=3
Moda
Mo=3 
 Mediana
1 2 3 3 3 4 5
 Me=x N 1
2
=3
 d)
6 5 4 3 7 6 5 4 3 0 7 5
 Tabla estadística
xi fi fi · xi 
0 1 0
3 2 6
4 2 8
5 3 15
6 2 12
7 2 14
N=12 ∑  f i · x i=55
26
 Media aritmética 
 x=
∑  f i · x i
N
=55
12
=4,58
 Moda
 Mo=5
 Mediana
0 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 7
 Me=
x N
2
 x N
2
1
2
=55
2
=10
2
=5
31.- El ahorro de 100 familias a lo largo de un año viene expresado por la siguiente tabla.
Precio (€) Número de ordenadores
0x600 11
600x1.200 15
1.200 x1.800 25
1.800 x2.400 39
2.400x3.000 10
100
 Determina la media aritmética, la moda y la mediana. Representa el histograma y el polígono 
 de frecuencias.
 Variable estadística cuantitativa continua
 Tabla estadística
Estatura (m)
xi
Marcas de clase
ci
fi Fi fi · ci 
[0, 600) 300 11 11 3.300
[600, 1.200) 900 15 26 13.500
[1.200 – 1.800) 1.500 25 51>50 37.500
[1.800 – 2.400) 2.100 39 90 81.900
[2.400 – 3.000) 2.700 10 100 27.000
N=100 ∑  f i · c i=163.200
 Media aritmética
 x=
∑  f i · c i
N
=163.200
100
=1.632 €
 Moda
 Mo=2.100 €
27
 Para más precisión
 
Mo=L i−1
D1
D1D 2
· ai=1.800
39−25
39−2539−10
·600=1.800 14
1429
·600 =
= 1.80014
43
·600=1.8008.400
43
=1.800195,35=1.995,35 €
 Mediana
 N=100⇒
N
2
=100
2
=50⇒ F3=5150⇒[ Li−1 , L i]=[1.200, 1.800 ]
 Me=Li−1
N
2
−F i−1
f i
· ai=1.200
50−26
25
·600=1.200
24
25
·600=1.200
14.400
25
=
= 1.200576=1.776 €
 Gráfico estadístico
 Histograma.
 Gráfico estadístico
 Polígono de frecuencias.
28
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
11
15
25
39
10
AHORRO DE 100 FAMILIAS EN EL AÑO
[0, 600)
[600, 1.200)
[1.200, 1.800)
[1.800, 2.400)
[2.400, 3.000)
Ahorro (€)
N
ú
m
er
o 
d
e 
fa
m
ili
a
s
[0, 600) [600, 1.200) [1.200, 1.800) [1.800, 2.400) [2.400, 3.000)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
11
15
25
39
10
AHORRO DE 100 FAMILIAS EN EL AÑO
Ahorro (€)
N
ú
m
er
o 
d
e 
fa
m
ili
a
s
32.- Los datos representan el número de libros leídos durante un año por un grupo de estudiantes.
3 4 7 8 2 1 5 0 7 2 6 3 5 4 6 3 3 5
2 3 5 4 7 6 3 3 1 5 4 3 5 4 9 5 7 4
 Calcula la media aritmética, la moda y la mediana. Representa el diagrama de barras y el
 polígono de frecuencias.
 Variable estadística cuantitativa discreta
 
 Tabla estadística
xi fi fi · xi 
0 1 0
1 2 2
2 3 6
3 8 24
4 6 24
5 7 35
6 3 18
7 4 28
8 1 8
9 1 9
N=36 ∑  f i · x i=154
 Media aritmética
 
 x=
∑  f i · x i
N
=154
36
=4,28 libros
 Moda
 Mo=3 libros
 Mediana
0 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4
4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 8 9
 Me=
x N
2
 x N
2
1
2
= 44
2
=8
2
=4 libros
29
 Gráfico estadístico
 Diagrama de barras y polígono de frecuencias.
33.- El número de pilas recicladas por 15 personas en un mes son:
8 5 4 4 6 6 3 2 1 5 4 4 5 2 3
 Elabora una tabla estadística. Calcula la media aritmética, la moda y la mediana. Representa el
 diagrama de barras y el diagrama de sectores.
 
 Variable estadística cuantitativa discreta
 Tabla estadística
xi fi fi · xi hi pi Fi Hi Pi
1 1 1 0,067 6,7 % 1 0,067 6,7 %
2 2 4 0,133 13,3 % 3 0,200 20,0 %
3 2 6 0,133 13,3 % 5 0,333 33,3 %
4 4 16 0,267 26,7 % 9 0,600 60,0 %
5 3 15 0,200 20,0 % 12 0,800 80,0 %
6 2 12 0,133 13,3 % 14 0,933 93,3 %
8 1 8 0,067 6,7 % 62 1 100 %
N=15 ∑  f i · x i=62 1 100 %
 Media aritmética
 
 x=
∑  f i · x i
N
=62
15
=4,13 pilas
30
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
LIBROS LEIDOS, DURANTE UN AÑO, POR UN GRUPO DE ESTUDIANTES
Número de libros
N
ú
m
er
o 
de
 e
st
ud
ia
nt
e
s
 Moda
 Mo=4 pilas por persona al mes
 Mediana
1 2 2 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 8
 Me=x N 1
2
=4 pilas por persona al mes
 Gráfico estadístico
 Diagrama de barras.
 Gráfico estadístico
 Diagrama de sectores.
Parámetros estadísticos de dispersión
34.- Las edades de los miembros de un grupo de música son:
15 34 18 25 29 14 22 31 29 16 32
 Calcula el rango, la desviación media, la varianza y la desviación típica.
31
1 2 3 4 5 6 8
0
1
2
3
4
5
PILAS RECICLADAS POR 15 PERSONAS EN UN MES
Número de pilas
N
ú
m
er
o 
de
 p
er
so
na
s
1
2
2
4
3
2
1
PILAS RECICLADAS POR 15 PERSONAS EN UN MES
1
2
3
4
5
6
8
 Variable estadística cuantitativa discreta
 Tabla estadística
xi fi fi · xi 
14 1 14
15 1 15
16 1 16
18 1 18
22 1 22
25 1 25
29 2 58
31 1 31
32 1 32
34 1 34
N=11 ∑  f i · x i=265
 Media aritmética
 
 x=
∑  f i · x i
N
=265
11
=24
 Tabla estadística
x1 f i x i−x ∣x i−x∣ ∣x i−x∣· f i x i2 · f i
14 1 – 10 10 10 196
15 1 – 9 9 9 225
16 1 – 8 8 8 256
18 1 – 6 6 6 324
22 1 – 2 2 2 484
25 1 1 1 1 625
29 2 5 5 10 1.682
31 1 7 7 7 961
32 1 8 8 8 1.024
34 1 10 10 10 1.156
N=11 ∑ ∣x i−x∣· f i =71 ∑  x i2 · f i =6.933
 Rango o recorrido
 Rg  X =X max−X min=34−14=20
32
 Desviación media
 Dm=
∑ ∣x i−x∣· f i 
N
=71
11
=6,45
 Varianza
 S2=
∑  x i2 · f i 
N
−x
2=6.933
11
−242=630,27−576=54,27
 Desviación típica
 S=S 2=54,27=7,37
35.- Los datos corresponden a los viajes que han realizado los coches grúa de dos empresas a lo 
 largo de la semana:
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Empresa pública 6 7 6 4 3 10 12
Empresa privada 3 0 5 6 7 9 11
 Calcula los parámetros estadístico de dispersión y determina la empresa que tiene datos menos 
 dispersos.
 Variables estadísticas cuantitativas discretas
 Tablas estadísticas
Empresa pública Empresa privada
xi fi fi · xi xi fi fi · xi 
3 1 3 0 1 0
4 1 4 3 1 3
6 2 12 5 1 5
7 1 7 6 1 6
10 1 10 7 1 7
12 1 12 9 1 9
N=7 ∑ ( f i · xi )=48 11 1 11
N =7 ∑ ( f i · xi )=41
 Medias aritméticas → Viajes diarios
 x̄ Pública=
∑ ( f i · x i)
N
=48
7
=6,86 x̄ Privada=
∑ ( f i · xi)
N
=41
7
=5,86
33
 Tablas estadísticas
Empresapública
x1 f i x i−x ∣x i−x∣ ∣x i−x∣· f i x i2 · f i
3 1 – 3,86 3,86 3,86 9
4 1 – 2,86 2,86 2,86 16
6 2 – 0,86 0,86 1,72 72
7 1 0,14 0,14 0,14 49
10 1 3,14 3,14 3,14 100
12 1 5,14 5,14 5,14 144
N=7 ∑ (∣xi− x̄∣· f i )=16,86 ∑ (xi2 · f i )=390
Empresa privada
x1 f i x i−x ∣x i−x∣ ∣x i−x∣· f i x i2 · f i
0 1 – 5,86 5,86 5,86 0
3 1 – 2,86 2,86 2,86 9
5 1 – 0,86 0,86 0,86 25
6 1 0,14 0,14 0,14 36
7 1 1,14 1,14 1,14 49
9 1 3,14 3,14 3,14 81
11 1 5,14 5,14 5,14 121
N=7 ∑ (∣xi− x̄∣· f i )=19,14 ∑ (xi2 · f i )=321
 Rangos o recorridos
 RgPública (X )=X max−X min=12−3=9 RgPrivada(X )=X max−X min=11−0=11
 Desviaciones medias
 DmPública=
∑ (∣xi− x̄∣· f i )
N
=16,86
7
=2,41 DmPrivada=
∑ (∣xi− x̄∣· f i )
N
=19,14
7
=2,73
 Varianzas
 S Pública
2 =
∑ ( x i2 · f i )
N
− x̄ 2=390
7
−6,862=55,71−47,06=8,65
 S Privada
2 =
∑ (xi2 · f i )
N
− x̄ 2=321
7
−5,862=45,86−34,34=11,52
34
 Desviaciones típicas
 S Pública=√S Pública2 =√8,65=2,94 
 S Privada=√S Privada2 =√11,52=3,39
 Dispersión
 Rango, desviación media, varianza y desviación típica son menores en los datos de la empresa
 pública. La empresa pública tiene los datos menos dispersos.
 
36.- Halla la desviación media de cada grupo:
Grupo A 72 65 71 56 59 63 61 70 52 49
Grupo B 53 93 90 70 69 68 72 71 70 71
 
 ¿Qué conclusión puedes sacar a la vista de los resultados obtenidos?
 Variables estadísticas cuantitativas discretas
 Tablas estadísticas
Grupo A Grupo B
xi fi fi · xi xi fi fi · xi 
49 1 49 50 1 50
52 1 52 68 1 68
56 1 56 69 1 69
59 1 59 70 2 140
61 1 61 71 2 142
63 1 63 72 1 72
65 1 65 90 1 90
70 1 70 93 1 93
71 1 71 N=10 ∑  f i · x i=724
72 1 72
N=10 ∑  f i · xi=618
 Medias aritméticas
 
 x A=
∑  f i · x i
N
=618
10
=61,8 
 x B=
∑  f i · x i
N
=724
10
=72,4
35
 Tablas estadísticas
Grupo A
x1 f i x i−x ∣x i−x∣ ∣x i−x∣· f i
49 1 – 12,8 12,8 12,8
52 1 – 9,8 9,8 9,8 
56 1 – 5,8 5,8 5,8 
59 1 – 2,8 2,8 2,8 
61 1 – 0,8 0,8 0,8 
63 1 1,2 1,2 1,2
65 1 3,2 3,2 3,2
70 1 8,2 8,2 8,2
71 1 9,2 9,2 9,2
72 1 10,2 10,2 10,2
N=10 ∑ ∣x i−x∣· f i =64
Grupo B
x1 f i x i−x ∣x i−x∣ ∣x i−x∣· f i
50 1 – 22,4 22,4 22,4 
68 1 – 4,4 4,4 4,4
69 1 – 3,4 3,4 3,4
70 2 – 2,4 2,4 4,8
71 2 – 1,4 1,4 2,8
72 1 – 0,4 0,4 0,4
90 1 17,6 17,6 17,6
93 1 20,6 20,6 20,6
N=10 ∑ ∣x i−x∣· f i =76,4
 Desviaciones medias
 DmA=
∑ ∣x i−x∣· f i 
N
=64
10
=6,4 
 DmB=
∑ ∣x i−x∣· f i 
N
=76,4
10
=7,64
 DmA=6,47,64=DmB ⇒ DispersiónADispersiónB
36
37.- Los jugadores de dos equipos de fútbol se han pesado y los datos, en kg, son los siguientes.
Equipo A 72 65 71 56 59 63 61 70 52 49 68
Equipo B 61 82 84 73 77 70 69 68 72 71 70
 Calcula el rango, la desviación media, la varianza y la desviación típica. ¿Qué equipo tiene los
 datos más dispersos?
 Tablas estadísticas
Equipo A Equipo B
xi fi fi · xi xi fi fi · xi 
49 1 49 61 1 61
52 1 52 68 1 68
56 1 56 69 1 69
59 1 59 70 2 140
61 1 61 71 1 71
63 1 63 72 1 72
65 1 65 73 1 73
68 1 68 77 1 77
70 1 70 82 1 82
71 1 71 84 1 84
72 1 72 N=11 ∑  f i · x i=797
N=11 ∑  f i · xi=686
 Medias aritméticas
 
 x A=
∑  f i · x i
N
=686
11
=62,36 
 x B=
∑  f i · x i
N
=797
10
=72,45
37
 Tablas estadísticas
Equipo A
x1 f i x i−x ∣x i−x∣ ∣x i−x∣· f i x i2 · f i
49 1 – 13,36 13,36 13,36 2.401
52 1 – 10,36 10,36 10,36 2.704
56 1 – 6,36 6,36 6,36 3.136
59 1 – 3,36 3,36 3,36 3.481
61 1 – 1,36 1,36 1,36 3.721
63 1 0,64 0,64 0,64 3.969
65 1 2,64 2,64 2,64 4.225
68 1 5,64 5,64 5,64 4.624
70 1 7,64 7,64 7,64 4.900
71 1 8,64 8,64 8,64 5.041
72 1 9,64 9,64 9,64 5.184
N=11 ∑ ∣x i−x∣· f i =69,64 ∑  x i2 · f i =43.386
Equipo B
x1 f i x i−x ∣x i−x∣ ∣x i−x∣· f i x i2 · f i
61 1 – 11,45 11,45 11,45 3.721
68 1 – 4,45 4,45 4,45 4.624
69 1 – 3,45 3,45 3,45 4.761
70 2 – 2,45 2,45 4,9 9.800
71 1 – 1,45 1,45 1,45 5.041
72 1 – 0,45 0,45 0,45 5.184
73 1 0,55 0,55 0,55 5.329
77 1 4,55 4,55 4,55 5.929
82 1 9,55 9,55 9,55 6.724
84 1 11,55 11,55 11,55 7.056
N=11 ∑ ∣x i−x∣· f i =52,35 ∑  x i2 · f i =58.169
 Rango o recorrido
 Rg A X =X max−X min=72−49=23
 Rg B X =X max−X min=84−61=23
38
 Desviación media
 DmA=
∑ ∣x i−x∣· f i 
N
=69,64
11
=6,33
 DmB=
∑ ∣x i−x∣· f i 
N
=52,35
11
=4,76
 Varianza
 S A
2 =
∑  x i2 · f i 
N
−x
2=43.386
11
−62,362=3.944,18−3.888,77=55,41
 S B
2 =
∑  x i2· f i 
N
−x
2=58.169
11
−72,452=5.288,09−5.249=39,09
 Desviación típica
 S A= S A2=55,41=7,44
 S B=S B2 =39,09=6,25
 Dispersión
 DmA=6,334,76=DmB ⇒ DispersiónADispersiónB
38.- Observa el diagrama de barras. → Repaso a toda la Unidad Didáctica.
 Construye una tabla estadística y calcula los parámetros estadísticos de centralización: media
 aritmética, moda y mediana.
 Construye una tabla estadística y calcula los parámetros estadísticos de dispersión: rango o
 recorrido, desviación media, varianza y desviación típica. 
39
11 12 13 14 15
0
10
20
30
40
50
60
37
51
32
26
19
EDADES DE LOS JÓVENES QUE PARTICIPAN EN UN CAMPAMENTO DE VERANO
Edad (años)
N
ú
m
er
o 
de
 jó
ve
ne
s
 Variable estadística cuantitativa con un número de datos alto
 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS DE CENTRALIZACIÓN
 Tabla estadística
xi fi hi pi Fi Hi Pi fi · xi
11 37 0,224 22,4 % 37 0,224 22,5 % 407
12 51 0,309 30,9 % 88 > 82,5 0,533 53,3 % 612
13 32 0,194 19,4 % 120 0,727 72,7 % 416
14 26 0,158 15,8 % 146 0,885 88,5 % 364
15 19 0,115 11,5 % 165 1 100 % 285
N=165 1 100 % ∑  f i · x i=2.084
 Media aritmética
 
 x=
∑  f i · x i
N
=2.084
165
=12,63 kg 
 
 Moda
 Mo=12
 Mediana
 N =165⇒
N
2
= 165
2
=82,5⇒ F 2=8882,5⇒Me=12
 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN
 Tabla estadística
x1 f i x i−x ∣x i−x∣ ∣x i−x∣· f i x i2 · f i
11 37 – 1,63 1,63 60,31 4.477
12 51 – 0,63 0,63 32,13 7.344
13 32 0,37 0,37 11,84 5.408
14 26 1,37 1,37 35,62 5.096
15 19 2,37 2,37 45,03 4.275
N=165 ∑ ∣x i−x∣· f i =184,93 ∑  x i2 · f i =26.600
 Rango o recorrido
 Rg  X =X max−X min=15−11=4
40
 Desviación media
 Dm=
∑ ∣x i−x∣· f i 
N
=184,93
165
=1,12
 Varianza
 S2=
∑  x i2 · f i 
N
−x
2= 26.600
165
−12,632=161,21−159,52=1,69
 Desviación típica
 S=S 2=1,69=1,28
39.- El peso, en kg, de 46 personas es: → Repaso a toda la Unidad Didáctica. Ampliación.
 
79,5 65 67,5 56,5 53,5 66 73 72 59,5 68 52 65,5
69 77 84,5 75 79 68,5 73 66 72 74 56 60
63 64,5 76,5 69,5 64,5 82 55,5 72,5 62,5 73,5 61,5 74,5
73 71 64 67 62 66,5 76 84 55 69
 
 Agrupa los datos en intervalos de amplitud 5 kg.
 a) Calcula los parámetros estadísticos de centralización y de dispersión.
 b) Representa los datos, gráficamente, utilizando un histograma y un polígono de frecuencias.
 
 Variable estadística cuantitativa continua
 Tabla estadística
xi ci fi Fi fi · ci
[50, 55) 52,5 2 2 105
[55, 60) 57,5 5 7 287,5
[60, 65) 62,5 8 15 500
[65, 70) 67,5 12 27 > 23 810
[70, 75) 72,5 10 37 725
[75, 80) 77,5 6 43 465
[80, 85) 82,5 3 46 247,5
N=46 ∑  f i · c i=3.140
 Media aritmética
 
 x=
∑  f i · c i
N
=3.140
46
=68,26 kg
41
 Moda
 Mo=67,5 kg
 Para más precisión
 
Mo=L i−1
D1
D1D 2
· ai=65
12−8
12−812−10
·5=65 4
42
·5=654
6
·5=6520
6
=
= 653,33=68,33 kg
 Mediana
 N=46⇒
N
2
=46
2
=23⇒ F 4=27>23⇒[ Li−1 , Li ]=[65, 70 )
 Me=Li−1
N
2
−F i−1
f i
· ai=65
23−15
12
·5=65
8
12
·5=65
40
12
=653,33=68,33 kg
 Tabla estadística
x1 c i f i c i−x ∣c i−x∣ ∣c i−x∣· f i c i2 · f i
[50, 55) 52,5 2 – 15,76 15,76 31,525.512,50
[55, 60) 57,5 5 – 10,76 10,76 53,80 16.531,25
[60, 65) 62,5 8 – 5,76 5,76 46,08 31.250,00
[65, 70) 67,5 12 – 0,76 0,76 9,12 54.675,00
[70, 75) 72,5 10 4,24 4,24 42,40 52.562,50
[75, 80) 77,5 6 9,24 9,24 55,44 36.037,50
[80, 85) 82,5 3 14,24 14,24 42,72 20.418,75
N=46 ∑ ∣c i−x∣· f i =201,08 ∑  c i2 · f i =216.987,50
 Rango o recorrido
 Rg  X =X max−X min=85−50=35 kg
 Desviación media
 Dm=
∑ ∣c i−x∣· f i 
N
=281,08
46
=6,11 kg
 Varianza
 S2=
∑ c i2 · f i 
N
−x
2= 216.987,50
46
−68,262=4.717,12−4.659,43=57,69 kg
 Desviación típica
 S=S 2=57,69=7,60 kg
42
 Gráfico estadístico
 Histograma.
 Gráfico estadístico
 Polígono de frecuencias.
Resolución de problemas
40.- Calcula el valor de la letra x para que la media de:
 a) 2, 3, x sea 4
 x=4⇒
23 x
3
=4⇒ 5 x
3
=4⇒
35 x
3
=3 ·4⇒5 x=12⇒ x=12−5⇒ x=7
 b) 5, 6, x sea 6
 x=6⇒
56 x
3
=6⇒ 11x
3
=6⇒
311 x
3
=3 ·6⇒11x=18⇒ x=18−11⇒ x=7
43
0
2
4
6
8
10
12
14
2
5
8
12
10
6
3
PESO DE 46 PERSONAS
[50, 55)
[55, 60)
[60, 65)
[65, 70)
[70, 75)
[75, 80)
[80, 85)
Peso (kg)
N
ú
m
er
o 
de
 p
er
so
na
s
[50, 55) [55, 60) [60, 65) [65, 70) [70, 75) [75, 80) [80, 85)
0
2
4
6
8
10
12
14
2
5
8
12
10
6
3
PESO DE 46 PERSONAS
Peso (kg)
N
ú
m
er
o 
de
 p
er
so
na
s
41.- Halla el dato que falta en la serie sabiendo que la moda es 5.
7 6 5 4 3 7 6 5 x
 
 Tabla estadística
xi fi
3 1
4 1
5 3
6 2
7 2
N=9
 Mo=5⇒ f 3=3⇒ x=5
42.- Se realiza una encuesta a 3 cursos de 2º de ESO sobre las tareas domésticas. Una de las
 preguntas es sobre el tiempo que se tarda en hacer la cama. Los resultados han sido los
 siguientes:
Duración (min) 1 x2 2x3 3 x4 4x5 5 x6
Número de alumnos 11 0 25 28 4
 
 a) ¿Hay algún alumno que tarde 6 min en hacer la cama? ¿ Y 1 min? Razona las respuestas.
 5 x6⇒No hay ningún alumno que tarde 6 min
 1 x2⇒Hay algún alumno que tarde 1 min
 b) ¿Cuánto tiempo tardan, de media, los alumnos en hacer la cama?
 Tabla estadística
Duración (min)
xi
Marcas de clase
ci
fi hi pi fi · ci 
[1, 2) 1,5 11 0,162 16,20 % 16,5
[2, 3) 2,5 0 0 0 % 0
[3, 4) 3,5 25 0,367 36,70 % 87,5
[4, 5) 4,5 28 0,412 41,20 % 126
[5, 6) 5,5 4 0,059 5,90 % 22
N=68 1 100 % ∑  f i · c i=252
44
 Media aritmética
 
 x=
∑  f i · c i
N
=252
68
=3,706 min
 3,706 min=3 min0,706·60 s=3 min 42,36 s
 c) ¿Qué porcentaje de alumnos tardan menos de 2 min en hacer la cama? 
 16,20 % de los alumnos tardan menos de 2 min
43.- Un grupo de amigos, después de medirse, han obtenido los siguientes resultados en cm. 
165 167 162 175 171 169 172 170 169 171 172 175 169 170 172 166
 Faltaba por llegar Luis, que mide 196 cm.
 a) ¿Se altera el valor del rango?
 Rango sin Luis
165 167 162 175 171 169 172 170 169 171 172 175 169 170 172 166
 X min=162 X max=175
 Rg  X =X max−X min=175−162=13
 Rango con Luis
165 167 162 175 171 169 172 170 169 171 172 175 169 170 172 166 196
 X min=162 Luis  X max=196
 Rg  X =X max−X min=196−162=34⇒Se altera el valor del rango
 b) Si Luis hubiese medido 174 cm, ¿se habría alterado el valor del rango?
 Rango con Luis
165 167 162 175 171 169 172 170 169 171 172 175 169 170 172 166 174
 X min=162 Luis 174 X max=175 
 Rg  X =X max−X min=175−162=13⇒ No se altera el valor del rango
45
44.- La media aritmética de 5 números es 39,2. La media de otros 7 números diferentes es 64,8.
 Calcula:
 a) Cuánto suman los 5 primeros números.
 x=39,2⇒
∑ x5
5
=39,2⇒∑ x5=39,2 ·5=196
 b) Cuánto suman los otros 7 números.
 x=64,8⇒
∑ x7
7
=64,8⇒∑ x7=64,8 ·7=453,6
 c) La media de todos los números juntos. 
 x=
∑ x5∑ x7
57
= 196453,6
12
=649,6
12
=54,13
45.- Observa el histograma y calcula la media aritmética y la moda.
 Tabla estadística
xi ci fi fi · ci 
[5, 10) 7,5 3 22,5
[10, 15) 12,5 9 112,5
[15, 20) 17,5 6 105
N=18 ∑  f i · c i=240
 Media aritmética
 x=
∑  f i · c i
N
=240
18
=13,33
 Moda
 Mo=12,5
 Para más precisión
 
Mo=L i−1
D1
D1D 2
· ai=10
9−3
9−39−6
·5=10 6
63
·5=106
9
·5=1030
9
=
= 103,33=13,33
46
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
[5, 10)
[10, 15)
[15, 20)
46.- Carmen y Lola, Andrea y Mar están haciendo unas pruebas de natación sincronizada. Los
 jueces les dan las siguientes puntuaciones: 
Técnica Compenetración Ritmo
1.- Carmen y Lola 9,6 8,9 9,0
2.- Andrea y Mar 9,1 9,5 9,2
 El peso de la puntuación de Técnicas es 2, el de Compenetración es 3 y el de Ritmo es 1. 
 ¿Cuál de los dos equipos obtiene mayor puntuación?
 Media ponderada 1
 x 1=
∑ w i · x i
∑ wi
=2 ·9,63 ·8,91·9,0
231
=19,226,79,0
6
=54,9
6
=9,15 
 Media ponderada 2
 x 2=
∑ wi · x i
∑ w i
=2 ·9,13 ·9,51 ·9,2
231
=18,228,59,2
6
=55,9
6
=9,32 
 x 2=9,32x 1=9,15⇒Puntuación2Puntuación1
47.- Completa los datos que faltan en la tabla.
xi fi hi Fi
2 3 2º →
3
20
=0,15 3º → 3
4 4º → 8−3=5 5º →
5
20
=0,25 8
6 6º → 0,4 ·20=8 0,4 7º → 88=16
8 8º → 20−16=4 9º →
4
20
=0,2 N=20
1º → N=20 10º → 0,150,250,40,2=1
48.- Las parejas A y B de patinaje artístico han obtenido las siguientes puntuaciones:
A 5,3 5,2 5,1 5,3 5,3 5,4 5,5 5,3 5,3
B 5,3 5,3 5,3 5,3 5,3 5,3 5,3 5,4 5,2
 Gana aquella pareja que tenga la puntuación media más alta. En caso de empate, gana la pareja
 que tenga la menor desviación media. ¿Cuál resultará ganadora?
47
 Tablas estadísticas
Pareja A Pareja B
xi fi fi · xi xi fi fi · xi
5,1 1 5,1 5,1 0 0
5,2 1 5,2 5,2 1 5,2
5,3 5 26,5 5,3 7 37,1
5,4 1 5,4 5,4 1 5,4
5,5 1 5,5 5,5 0 0
N=9 ∑  f i · x i=47,7 N=9 ∑  f i · x i=47,7
 Medias aritméticas
 x A=
∑  f i · x i
N
=47,7
9
=5,3 
 x B=
∑  f i · x i
N
=47,7
9
=5,3
 x A=x B
 Tablas estadísticas
Pareja A
x1 f i x i−x ∣x i−x∣ ∣x i−x∣· f i
5,1 1 – 0,2 0,2 0,2
5,2 1 – 0,1 0,1 0,1
5,3 5 0 0 0
5,4 1 0,1 0,1 0,1
5,5 1 0,2 0,2 0,1
N=9 ∑ ∣x i−x∣· f i =0,6
Pareja B
x1 f i x i−x ∣x i−x∣ ∣x i−x∣· f i
5,1 0 – 0,2 0,2 0
5,2 1 – 0,1 0,1 0,1
5,3 7 0 0 0
5,4 1 0,1 0,1 0,1
5,5 0 0,2 0,2 0
N=9 ∑ ∣x i−x∣· f i =0,2
48
 Desviaciones medias
 DmA=
∑ ∣x i−x∣· f i 
N
=0,6
9
=0,067 
 DmB=
∑ ∣x i−x∣· f i 
N
=0,2
9
=0,022 
 DmB=0,0020,067=DmA ⇒La pareja B resulta ganadora
49.- La estatura media de 5 personas es de 167 cm. Laura se junta al grupo y la estatura media de 
 las 6 personas es de 169 cm. ¿Cuál es la estatura de Laura. 
 x 5=167 cm⇒
∑ x5
5
=167 cm⇒∑ x5=5 · 167 cm=835 cm
 
x 6=169 cm⇒
∑ x5x Laura
6
=169 cm ⇒
835 cmx Laura
6
=169 cm⇒
⇒835 cm xLaura=6· 169 cm⇒835 cmx Laura=1.014 cm⇒
⇒ xLaura=1.014 cm−835 cm=179 cm
 
50.- Un pediatra hace un estudio sobre la edad, en meses, a la que los bebés comienzan a caminar y
 obtiene los siguientes datos:
12 13 12 11 15 12 13 10 14 11 12 13
 
 Calcula los parámetros estadístico de centralización y los parámetros estadístico de dispersión.
 
 Variable estadística cuantitativa
 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS DE CENTRALIZACIÓN
 Tabla estadística
xi fi hi pi Fi Hi Pi fi · xi
10 1 0,08 8 % 1 0,08 8 % 10
11 2 0,17 17 % 3 0,25 25 % 22
12 4 0,33 33 % 7 0,58 58 % 48
13 3 0,25 25 % 10 0,83 83 % 39
14 1 0,08 8 % 11 0,91 91 % 14
15 1 0,08 8 % 12 0,99 99 % 15
N=12 0,99 99% ∑ ( f i · xi )=148
49
 Media aritmética 
 x̄=∑ ( f i · xi)
N
=148
12
=12,33 meses 
 
 Moda
 Mo=12 meses
 Mediana
10 11 11 12 12 12 12 13 13 13 14 15Me=
xN
2
+x N
2
+1
2
=12+12
2
= 24
2
=12 meses
 PARÁMETROS ESTADÍSTICOS DE DISPERSIÓN
 Tabla estadística
x1 f i x i−x ∣x i−x∣ ∣x i−x∣· f i x i2 · f i
10 1 – 2,33 2,33 2,33 100
11 2 – 1,33 1,33 2,66 242
12 4 – 0,33 0,33 1,32 576
13 3 0,67 0,67 2,01 507
14 1 1,67 1,67 1,67 196
15 1 2,67 2,67 2,67 225
N=12 ∑ (∣xi− x̄∣· f i )=12,66 ∑ (xi2 · f i )=1.846
 Rango o recorrido
 Rg (X )=X max−X min=15−10=5
 Desviación media
 Dm=
∑ (∣xi− x̄∣· f i )
N
=12,66
12
=1,055
 Varianza
 S 2=
∑ ( x i2 · f i)
N
− x̄ 2=1.846
12
−12,332=153,833−152,029=1,804
 Desviación típica
 S=√S 2=√1,804=1,343
Enlace interactivo: Calculadoras estadísticas
Ejercicios resueltos: Estadística by Damián Gómez Sarmiento is licensed under a 
Creative Commons Reconocimiento-CompartirIgual 4.0 Internacional License.
50
http://www.alcula.com/es/calculadoras/estadistica/