Boletin 97 de Soc PUIGADAM

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SOCIEDAD «PUIG ADAM» 
DE PROFESORES DE MATEMÁTICAS
BOLETÍN N.º 97 
JUNIO DE 2014 
Número especial dedicado al Profesor Julio Fernández Biarge
ÍNDICE 
 
 
 
 Págs. 
Acta de la Asamblea General Ordinaria de 2014 …………………........ 4 
XVIII Concurso de Primavera de Matemáticas, 
 por Esteban Serrano Marugán ………………………………….. 7 
La 50 Olimpíada Matemática Española (OME), 
 por Joaquín Hernández y Juan Jesús Donaire............................ 9 
Problemas propuestos en la 50 OME ...................................................... 16 
Fallecimiento de nuestro Tesorero Prof. Aizpún..................................... 22 
Sobre el problema 15 del libro VII de la Aritmética de Diofanto, 
 por Ricardo Moreno Castillo ........................................................ 26 
Software libre y propietario en el contexto de la Educación Superior 
en España: elementos para un debate, 
 por Antonio Souto Iglesias ........................................................... 32 
Cauchy-L'Hôpital contra L'Hôpital, con aplicaciones y comentarios, 
 por Aurel Muntean ........................................................................ 49 
Reflexiones sobre la fundación de la Real Academia de 
Ciencias Exactas, Físicas y Naturales, 
 por José Aldeguer Carrillo ........................................................... 58 
Del teorema de Viviani, del principio de reflexión y de otros hitos 
camino del punto de Fermat, 
 por Francisco J. Baena ................................................................. 63 
La Escuela de Traductores de Toledo, 
 por Mª Concepción Romo Santos................................................. 84 
Reseña de libros ...................................................................................... 91 
Instrucciones para el envío de originales .............................................. 93 
Adquisición de números atrasados de nuestro Boletín ............................ 95 
Boletín de inscripción ............................................................................. 96 
ESTE BOLETIN SE DISTRIBUYE GRATUITAMENTE 
ENTRE LOS SOCIOS DE LA 
SOCIEDAD "PUIG ADAM" DE PROFESORES DE MATEMATICAS. 
NO SE VENDE NI SE ADMITEN SUSCRIPCIONES. 
Recensiones de los artículos aparecen ahora en “MathEduc”, es decir, en lo 
que antes era Zentralblatt für Didaktik der Mathematik (ZDM), que ha 
cambiado su nombre. 
La confección de este número ha estado a cargo de Antonio Hernando, Eugenio 
Roanes Lozano y Eugenio Roanes Macías. 
ISSN: 1135-0261 
Depósito Legal: M-7762-1995 
Gráficas Loureiro, S.L.- San Pedro, 23 bis -28917 Leganés (Madrid). 
Telf.: 91 611 59 94 – e-mail:loureiro@graficasloureiro.es 
En la portada de este número aparece la figura adoptada como logotipo de la 
Sociedad “Puig Adam” de Profesores de Matemáticas. Esta figura ya apareció en 
portada de uno de los libros más emblemáticos de D. Pedro Puig Adam, el titula-
do “La Matemática y su enseñanza actual”, publicado en 1960 por el entonces 
Ministerio de Educación. 
Toda la correspondencia debe dirigirse a la sede de nuestra Sociedad 
SOCIEDAD “PUIG ADAM” DE PROFESORES DE MATEMATICAS 
Facultad de Educación (Dpto. de Algebra) Despacho 3215 
Rector Royo Villanova, s/n - 28040 - Madrid 
Teléf.: 91 394 62 48 
Página web de la Sociedad “Puig Adam”: 
http://www.sociedadpuigadam.es
Todo lo relativo a publicación en el Boletín (de artículos, etc), debe hacerse 
a través del correo electrónico: puigadam@mat.ucm.es
3
JUNTA DIRECTIVA 
Presidente:
JOSÉ JAVIER ETAYO GORDEJUELA
Vicepresidentes: 
EUGENIO ROANES MACÍAS
F. JAVIER PERALTA CORONADO
VICENTE MENDIOLA-MUÑOZ MORALES
Vocales:
ENRIQUE RUBIALES CAMINO (Relaciones Institucionales) 
EUGENIO ROANES LOZANO (Gestión de publicaciones) 
JOAQUÍN HERNÁNDEZ GÓMEZ (Actividades y concursos) 
JUAN JESÚS DONAIRE MORENO (Redacción de Publicaciones) 
Secretario:
JOSÉ MARÍA SORDO JUANENA
Vicesecretaria: 
MARÍA GASPAR ALONSO-VEGA
Tesorero:
FERNANDO LISÓN MARTÍN
Bibliotecario:
ANTONIO HERNANDO ESTEBAN
Mantenedoras página web: 
BEATRIZ BARRERO DÍAZ
CAROLINA BRAVO SANZ
4
Acta de la Asamblea General Ordinaria 
de 2014 de la Sociedad Puig Adam 
de Profesores de Matemáticas 
En la Facultad de Matemáticas de la UCM, sita en la Ciudad Universitaria, a las 
doce horas del día 26 de abril de 2014, en segunda convocatoria, reunidos los 
miembros de la Sociedad, bajo la presidencia de D. José Javier Etayo Gordejuela, 
dio comienzo la Asamblea General Ordinaria del año dos mil catorce. 
Se desarrolló con arreglo al siguiente
ORDEN DEL DÍA 
1. Lectura y aprobación, si procede, del acta de la sesión anterior. 
Se procede a la lectura del acta de la Asamblea de 6 de abril de 2013, que queda 
aprobada por unanimidad. 
2. Informe del Presidente sobre las actividades de la Sociedad. 
El Presidente informa que desde la Asamblea anterior se han publicado los 
números 94, 95 y 96 del Boletín. 
El Presidente dedica unas bonitas palabras de recuerdo a los profesores 
Fernández Biarge y Etayo Miqueo. También recuerda que los boletines 94, 95 y 
96 se han dedicado de forma especial a la memoria de dichos profesores. 
En esta misma línea, el Presidente comunica el fallecimiento del Profesor Alberto 
Aizpún López, resaltando de él su gran labor como Profesor y Director del 
Departamento de Didáctica de las Matemáticas de la UCM y en particular como 
Tesorero de nuestra Sociedad, amigo muy querido por todos los miembros de la 
Sociedad. Un número especial de nuestro Boletín será dedicado a la memoria del 
Profesor Alberto Aizpún López. 
También informa de los concursos Puig Adam, Intercentros y de la fase regional 
de la Olimpiada Matemática Española: 
5
Concurso Puig Adam: El XXXII Concurso de Resolución de Problemas Puig 
Adam se celebrará el 14 de junio de 2014 y se espera una buena participación 
como otros años. 
Concurso Intercentros: Al igual que otros años se celebró el penúltimo sábado de 
noviembre en la Facultad de Matemáticas de la UCM. Con una buena 
participación de centros y estudiantes de nuestra Comunidad. En el Boletín nº 96 
aparece una reseña de los resultados del XIII Concurso Intercentros. 
También se informa que el sábado 5 de abril se ha celebrado el XVIII Concurso 
de Primavera de Matemáticas de la Comunidad de Madrid. Este año participaron 
40141 alumnos en la primera fase del Concurso, que se realiza en los 481 
Centros Escolares inscritos y 3197 alumnos en la 2ª fase del Concurso en la 
Facultad de Matemáticas de la UCM. Hay que destacar que algunos miembros 
del equipo organizador del Concurso son miembros de la Sociedad. 
3. Informe del Tesorero. Presentación y aprobación, en su caso, de las 
cuentas de ingresos y gastos. 
El Tesorero en funciones, D. Fernando Lisón Martín, reparte entre los asistentes 
la documentación relativa a los movimientos de tesorería, explicando 
detalladamente los ingresos apuntados y los gastos efectuados. Se someten a 
aprobación las cuentas desde el 6 de abril de 2013 hasta el 5 de abril de 2014. 
Pasando a la votación quedan aprobadas por unanimidad. 
Se propone el cambio de fecha en el cobro de los recibos, pasando del mes de 
marzo al de enero, fundamentalmente para saber por cuantos socios hemos de 
pagar la cuota a la Federación de Sociedades Matemáticas (por la que recibimos 
la revista SUMA), tratando de evitar que abonemos a la Federación la cuota 
anual por algún socio que se haya dado de baja. Se somete a votación y se 
aprueba por unanimidad. 
El Presidente, en nombre de toda la Junta Directiva, agradece al Profesor D 
Fernando Lisón Martín el gran trabajo que ha realizado al sustituir de forma 
provisional al fallecido Tesorero D Alberto Aizpún López. 
4. Elección de nuevos cargos directivos. 
El Presidente manifiesta que procede el cese delos siguientes miembros de la 
Junta Directiva de la Sociedad, el Presidente D Javier Etayo Gordejuela, 
6
Vicepresidentes D Eugenio Roanes Macías y D Vicente Mendiola-Muñoz 
Morales, Vicesecretaria Dª María Gaspar Alonso-Vega. 
Se pasa a la nueva elección de dichos cargos, quedando de la siguiente manera:
Presidente D Javier Etayo Gordejuela. 
Vicepresidentes D Eugenio Roanes Macías y D Vicente Mendiola-Muñoz 
Morales.
Vicesecretaria Dª María Gaspar Alonso-Vega. 
También se nombra Tesorero a D Fernando Lisón Martín, en la vacante produci-
da por el fallecimiento de D.Alberto Aizpún López. 
5. Asuntos de tramite: 
Se recuerda que el 14 de junio se celebrará el XXXII Concurso de Resolución de 
Problemas Puig Adam y se agradece la colaboración de todos los patrocinadores 
del Concurso. 
6. Ruegos y preguntas: 
No hay 
Sin más asuntos que tratar, el Presidente levanta la sesión a las doce y cincuenta 
minutos del día de la fecha arriba indicada. 
Vº Bº El Presidente El Secretario 
7
XVIII Concurso de Primavera de Matemáticas
Tanquam ex ungue leonem 
 ¡Dieciocho ediciones! La gran fiesta de las matemáticas de la Comunidad de 
Madrid ya puede sacarse el carné de conducir. 
 En la primera fase de esta edición participaron 40140 estudiantes de 451 centros 
educativos de la Comunidad de Madrid. La segunda fase, celebrada en la Facultad 
de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid el sábado 5 de Abril, 
congregó a 3495 alumnos. 
 ¿Qué esconden las matemáticas para enganchar a tantísimos estudiantes?, ¿qué 
fuerza intangible les empuja a querer resolver problemas que nunca antes habían 
visto en sus libros de texto?, ¿por qué un niño de once años, después de hora y 
media resolviendo veinticinco problemas de matemáticas, vuelve a la carga y bus-
ca a su profesora para preguntarle cómo se resolvía aquel problema? Lo que está 
claro es que los docentes de matemáticas tenemos aprovechar esta fuerza que tie-
ne nuestra materia para quitar esa espantosa máscara que la otra gran parte de 
nuestros alumnos ve en las dichosas matemáticas. Volviendo a las preguntas ante-
riores, ¿quién las contesta? Tal vez Newton o su sobrina... 
 En 1696, Johann Bernouilli desafió a los mejores matemáticos que ahora viven 
en el mundo con este reto: ¿cuál es la curva por la que un cuerpo desciende en el 
menor tiempo posible, desde un punto a otro más bajo que no esté en su vertical, 
movido solo por la gravedad? Al cabo de un año solo cuatro matemáticos habían 
contestado correctamente: Leibniz, los dos Bernouilli (Jakob y Johann) y el conde 
de Tschirnhaus. Pero llegó también una solución anónima que en nueve líneas (¡se-
tenta y siete palabras!) identificaba dicha curva como la cicloide. Cuando Johann 
leyó la solución del matemático anónimo exclamó: "¡es Newton! lo reconozco co-
mo al león por sus garras". Cuando la sobrina de Newton escribió sus memorias 
relata este hecho diciendo que "cuando mi tío recibió este reto, no durmió hasta que 
hubo resuelto el problema, lo que sucedió hacia las cuatro de la madrugada". 
8
 Debemos cuidar a todos estos chicos y chicas que, como Newton, son capaces 
hasta de dormir poco para resolver un problema. 
 En señal de agradecimiento a todos los estudiantes, profesores y familiares, 
aquí van las garras de los tres primeros leones clasificados por niveles: 
PRIMER NIVEL (5º y 6º de Primaria) 
1. Andrés Villegas Taillafer. 6º Primaria, Colegio San Agustín, Madrid 
2. Jimena Lozano Simón. 5º Primaria, Colegio Alemán, Madrid
3. Beltrán Meliá García. 6º Primaria, Colegio Retamar, Pozuelo 
3. Javier Artero Mompó. 6º Primaria, Colegio Everest, Pozuelo 
3. Daniel Carreño López. 6º Primaria, Colegio Casvi, Boadilla del Monte 
3. Pablo Mateo Torrejón. 6º Primaria, CEIP Gonzalo Fdez de Córdoba, Madrid 
3. David Sánchez González. 6º Primaria, CP Andrés Segovia, Ciempozuelos 
SEGUNDO NIVEL (1º y 2º ESO) 
1. Diego Sierra Corredera. 2º ESO, Colegio San José del Parque, Madrid 
1. Alejandro Epelde Blanco. 2º ESO, Montessori School, Los Fresnos 
3. Alberto Pérez Mugía. 1º ESO, Colegio Amor de Dios, Madrid 
TERCER NIVEL (3º y 4º ESO) 
1. Jialin Yang. 4º ESO, Colegio Liceo San Pablo, Leganés
1. Daniel Puignau Chacón. 4º ESO, IES Alameda de Osuna, Madrid 
3. Saúl Rodríguez Martín. 3º ESO, Colegio Villa de Griñón, Griñón 
CUARTO NIVEL (1º y 2º Bachillerato) 
1. Ángel Prieto Naslin. 2º Bach, Liceo Francés, Madrid 
2. Marc Isern Hacker. 1º Bach, Colegio Alemán, Madrid
3. Janos Meny. 2º Bach, Colegio Alemán, Madrid
Esteban Serrano Marugán 
Miembro del Comité Organizador del 
Concurso de Primavera de Matemáticas 
9
La 50 Olimpíada Matemática Española 
por Joaquín Hernández y Juan Jesús Donaire 
 Desde el curso 2004-2005, los responsables de la Olimpiada Matemática Es-
pañola (OME) en la Comunidad de Madrid intentamos que los estudiantes que 
acuden a la última prueba de selección en nuestra Comunidad para la fase nacio-
nal de OME hayan superado previamente algunas pruebas, no sólo para que la 
selección sea lo más fiable posible, sino, fundamentalmente, para que no sean 
tantos los estudiantes que observan una diferencia abismal entre la dificultad de 
los problemas que normalmente hacen en sus centros y los problemas que suelen 
aparecer en la fase local de la OME. En esa línea, llevamos diez años organizando 
una primera prueba, de opción múltiple, en la que de los aproximadamente 400 
participantes seleccionamos a los 75 con mejor nota en dicha prueba. 
 En el curso 2013-2014 hemos añadido una prueba más: Esos 75 estudiantes 
han debido pasar una prueba de diez problemas cortos, de donde salieron los 18 
ganadores de la OME en la Comunidad de Madrid (recordad que las normas de la 
OME recogen que en cada comunidad habrá tantos ganadores como el triple de 
universidades públicas). Finalmente, estos 18 estudiantes acudieron a la última 
prueba de la que han salido los 9 representantes de la Comunidad de Madrid en la 
fase nacional de la OME, celebrada en Requena a finales de marzo. 
 Merece la pena destacar el entusiasmo de todos los participantes, máxime sa-
biendo -ya llevamos tres años así- que no hay ningún premio en metálico para 
ningún ganador de la fase local, por lo que esos 400 estudiantes, luego 75, luego 
18 y finalmente 9, han participado con la única intención de poner a prueba su 
talento, su dedicación y su capacidad para resolver problemas en un tiempo con-
trolado.
 Desde estas páginas queremos dar las gracias a todos ellos y a sus profesores 
y, como no podía ser de otra manera, hacer notar los nombres y los centros de 
nuestros nueve representantes en la fase nacional, en la que estamos convencidos 
que obtendrán, como siempre, resultados brillantes. 
10
 Los enunciados de las diversas pruebas de selección los podéis ver en nuestra 
página web. Aquí tenéis los de las dos últimas pruebas: la prueba de selección 
para elegir los dieciocho ganadores en la Comunidad de Madrid y la última prue-
ba, que junto a esta nos ha servido para seleccionar a nuestros nueve representan-
tes en la fase nacional. 
Fase Local en la Comunidad de Madrid 
 Como hemos establecido desde el año 2004, la “Fase Cero”, primera prueba de 
la fase local, consistió en 30 cuestiones de opción múltiple, a desarrollar en tres 
horas, que se celebró el viernes 29 de noviembre de 2013 en la Facultad de Ma-
temáticas de UCM. Más de 350 estudiantes, obviamente la mayoría de Bachillera-
to pero también estudiantes de 4º y alguno de 3º de ESO, se presentaron a dicha 
prueba de la que quedaban seleccionados los 75 que obtenían mayor puntuación. 
En nuestra página web podéis ver el contenido de la misma. 
 Como hemos manifestado más de una vez, creemos que ha sido un acierto es-
tablecer esta prueba como primera selección, pues son muchos los buenos estu-
diantes poco acostumbrados a resolver problemas pero sí que se sienten atraídos 
por pruebas de este estilo, ya que con ella pueden tener contactocon este mundo 
fascinante de la Olimpiada Matemática Española. 
 Los 75 estudiantes con más alta puntuación pasaron a la segunda prueba de la 
fase local, que tuvo lugar el jueves 19 de diciembre de 2013, en la Facultad de 
Matemáticas de la UCM. 
 Esta segunda prueba, que se establecía este año por primera vez, nos iba a ser-
vir para fijar los 18 ganadores de la Olimpiada en la Comunidad de Madrid, de los 
que con pruebas posteriores saldrían nuestros 9 representantes en la fase nacional. 
Consistió en la resolución de 10 problemas cortos, en un tiempo de tres horas y 
media, que podéis ver al final de esta crónica.
 La respuesta de los participantes fue igual de entusiasta y responsable que en la 
prueba anterior y nos ha parecido que merece la pena continuar con ella en los 
próximos años. 
11
 Finalmente, los días viernes 17 de enero y sábado 18 de enero tuvo lugar la 
última prueba de la fase local: la resolución de 6 problemas, 3 cada día en un pe-
riodo de tres horas y media, que no pudo celebrarse los dos días en la Facultad de 
Matemáticas pues, por problemas de apertura de los sábados, tuvimos que despla-
zarnos a la Facultad de Odontología el sábado 18 de enero. 
 Los enunciados de los 6 problemas, así como la relación de los 18 participan-
tes, aparecen también al final de esta crónica. Los 9 estudiantes con mayor pun-
tuación, entre esta prueba y la anterior, acudieron el viernes 28 y el sábado 29 de 
marzo a la fase nacional de la 51 Olimpiada Matemática Española, que se celebró 
en la Comunidad de Valencia, en concreto en Requena, una ciudad que, gracias 
fundamentalmente al trabajo de nuestro compañero Antonio Ledesma y un grupo 
de profesores de Matemáticas de allí, se ha convertido en un referente en las Ma-
temáticas de todo el territorio nacional. 
Relación de los 18 Ganadores de la Fase Local 
en la Comunidad de Madrid 
Primer Premio
1.- Miguel BARRERO SANTAMARÍA (2º Bto., IES Alameda de Osuna) 
2.- Ismael SIERRA DEL RÍO (1º de Bto., IES San Mateo ) 
3.- Álvaro RODRÍGUEZ GARCÍA (2º de Bto., IES San Mateo) 
4.- Janos MANY (2º Bto., Colegio Alemán de Madrid) 
4.- Ruizhe YU XIA (1º de Bto., IES Don Pelayo) 
6.- Ángel PRIETO NASLIN (2º Bto., Liceo Francés de Madrid) 
12
Segundo Premio
7.- Mark ISERN HACKER (1º Bto., Colegio Alemán de Madrid) 
8.- Gonzalo GÓMEZ ABEJÓN (1º Bto., IES Ramiro de Maeztu) 
8.- Víctor SAINZ UBIDE (2º de Bto., Colegio Santa Joaquina de Vedruna) 
8.- Jialin YANG (4º ESO, Liceo San Pablo) 
11.- Daniel PUIGNAU CHACÓN (4º de ESO, IES Alameda de Osuna) 
11.- Javier SÁNCHEZ-BLANCO BOYER (2º Bto., IES San Mateo) 
Tercer Premio
13.- Álvaro PEÑA PASTOR (2º Bto., Colegio Brains) 
13.- Javier RAMOS GUTIÉRREZ (1º Bto., IES San Juan Bautista) 
15.- Javier GONZÁLEZ (4º ESO, IES San Juan Bautista) 
15.- Guillermo PASCUAL PÉREZ (2º Bto., Colegio Fray Luis de León) 
15.- José Ignacio GARCÍA GONZÁLEZ (1º Bto, IES Príncipe Felipe) 
18.- Andrés BARRUECO GARCÍA (2º Bto., Colegio San Viator) 
Fase Nacional 
 Como hemos apuntado ya, el último fin de semana de marzo tuvo lugar en 
Requena la fase nacional de la 50 Olimpiada Matemática Española (OME). 
 Organizar la fase nacional de una OME requiere trabajo y dedicación de un 
numeroso grupo de personas durante más de un año. Trabajo y dedicación que, 
naturalmente, se hace sin ningún tipo de compensación económica ni reducción 
en los horarios de otras actividades, lo que para algunos, fundamentalmente si son 
profesores de Secundaria y sin ninguna posibilidad, por tanto, de abrir un parénte-
sis en su trabajo diario, supone un esfuerzo importante. Por eso, la Comisión de 
Olimpiadas de la Real Sociedad Matemática Española acoge de muy buena gana 
13
cualquier sugerencia de una Comunidad ofreciéndose como sede. Pero, si alguna 
vez la fase nacional de la OME se celebrara como premio en la ciudad que más 
hubiera aportado a las Matemáticas para jóvenes de Secundaria, nadie, con cierta 
información, tendría ninguna duda, en que Requena sería sede. El trabajo de An-
tonio Ledesma, desde hace muchos años, así lo justificaría. 
 Así fue este año, y no como premio, pues el esfuerzo y la dedicación ya sabe-
mos que no suele ser premiado en nuestro país, sino porque Antonio consiguió 
convencer a un Ayuntamiento entusiasta que colaboró para hacernos pasar unos 
días verdaderamente agradables. 
 Merece la pena resaltar la participación de los 9 estudiantes de nuestra Comu-
nidad. Como probablemente sabéis, en la fase nacional de la OME participan 75 
estudiantes de todo el territorio nacional, de los que a la Comunidad de Madrid le 
corresponden 9 y en el reparto final de medallas se premia a los 36 mejores: 6 
oros, 12 platas y 18 bronces. Los 9 estudiantes de nuestra comunidad estuvieron 
entre esos 36, 2 de ellos entre los 6 oros y 4 entre las 12 platas, aparte de que el 
ganador absoluto, Ismael Sierra, es uno de nuestros chicos. 
 Naturalmente que la razón fundamental del éxito de nuestros estudiantes es su 
talento, pero el talento suele estar uniformemente repartido a lo largo de todo el 
territorio nacional. Posiblemente influya también el hecho de que en nuestra Co-
munidad hemos sabido sembrar un interés, en algunos chicos entusiasmo, con 
nuestros Concurso de Primavera, Concurso Intercentros, Concurso Puig Adam, 
Proyectos ESTALMAT y EPM Miguel de Guzmán, desde edades muy tempranas, 
pero también en muchas otras Comunidades existen concursos de problemas y 
proyecto ESTALMAT. 
 Pero en la Comunidad de Madrid hay un grupo de antiguos olímpicos que tra-
bajan desde hace años desinteresadamente cada sábado con los chicos a los que 
les gusta hacer problemas. Este grupo, por razones debidas a estancias en el ex-
tranjero o ausencias por motivos de estudio, se ha visto este año extraordinaria-
mente reducido, a un solo estudiante. Pero, creemos que hay que decirlo aquí, ese 
estudiante de 2º año de Matemáticas-Informática, Jaime Mendizábal –antiguo 
olímpico- acude cada sábado a la Facultad de Matemáticas de la UCM a trabajar 
con estos chicos. Creemos que, aunque la recompensa más importante que Jaime 
tendrá será la satisfacción por su trabajo, no estaría fuera de lugar que la Adminis-
tración o algún otro organismo contemplara alguna otra, para él y para otros estu-
diantes que en los próximos años seguro que le van a ayudar. 
14
Ganadores de los 6 Oros de la Fase Nacional 
1.- Ismael SIERRA DEL RÍO (de Madrid) 
2.- Gerard ORRIOLS GIMÉNEZ (de Cataluña) 
3.- Gonzalo CAO LABORA (de Galicia) 
4.- Raúl ALONSO RODRÍGUEZ (de Galicia) 
5.- Janos MANY (de Madrid) 
6.- Damià TORRES LATORRE (de Valencia) 
En la foto (cedida por cortesía del Presidente de la Real Sociedad Matemática 
Española) aparecen los seis ganadores de medallas de Oro y también Jesús Due-
ñas Pamplona (de Castilla y León), que obtuvo la 1ª Medalla de Plata y sustituirá 
a Janos Meny (por tener este pasaporte alemán) en el Equipo Español que partici-
pará en la Ciudad del Cabo en la Olimpiada Internacional del presente año. 
15
 La próxima edición de la Fase Final de la Olimpíada Matemática Española está 
previsto que se celebre en Badajoz, organizada por la delegación de la RSME en 
la Universidad de Extremadura. 
 El Presidente de la RSME ha sugerido que se dedique a la memoria del Prof. 
Carlos Benítez Rodríguez, recientemente fallecido, que fue entusiasta impulsor de 
la OME en dicha universidad. 
16
Problemas propuestos en la 
50 Olimpíada Matemática Española 
Enunciados de los 10 problemas de la 2ª Prueba 
de la Fase Local en los Distritos de Madrid
Problema 1 
En las figuras adjuntas se observan dos cuadrados iguales de lado b, y en su inter-
ior dos cuadrados iguales de lado a y dos cuadrados, S y T, uno en cada una de las 
figuras. Los lados del cuadrado S son paralelos a los de lados a y b, y las diagona-
les del cuadrado T también son paralelas a los lados de los cuadrados de lados a yb. Calcula el cociente (área de S) : (área de T). 
Problema 2 
Seis vacas se comen toda la hierba de un prado –que crece a ritmo constante– en 
tres días. Tres vacas, con la misma hambre, se la comen en siete días. ¿Cuántos 
días tardaría una vaca en comerse toda la hierba si estuviera ella sola? 
S
b
a
T
b
a
17
Problema 3 
Considera todos los números de cinco cifras cuya suma es 43: por ejemplo, el 
número 79 999. Si elegimos uno de ellos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que 
sea múltiplo de 11? 
Problema 4 
Cada casilla del cuadro siguiente se rellena siguiendo las siguientes reglas: 
H Horizontales Verticales 
2: suma de cifras de 2 
vertical (dos cifras) 
1: producto de dos 
primos (dos cifras) 
4: número primo (dos 
cifras)
2: múltiplo de 99 
(tres cifras) 
5: 1 vertical + 2 hori-
zontal + 3 vertical 
(tres cifras) 
3: cuadrado de 4 
horizontal. (tres
cifras)
Problema 5 
Halla todos los conjuntos de tres enteros positivos diferentes tales que cada uno 
de ellos divida a la suma de los otros dos. 
5
4
321
18
Problema 6 
La figura muestra un rectángulo ABCD con AB = 16 y BC = 12. Si el ángulo 
ECA ˆ es recto y CE = 15, calcula el área del triángulo ACF.
Problema 7 
La suma de cinco enteros consecutivos es un cuadrado perfecto, y la suma de los 
tres centrales es un cubo perfecto. Si todos son menores que 2013, halla la raíz de 
su suma. 
Problema 8 
Determina la menor distancia posible desde el origen de coordenadas a los puntos 
(x, y) de la curva de ecuación (x – y)xy = 8 situados en el primer cuadrante. 
Problema 9 
En un triángulo rectángulo de lados enteros, el radio de la circunferencia inscrita 
es 12. Calcula el mayor valor posible para la hipotenusa de dicho rectángulo. 
Problema 10 
En el trapecio ABCD, de bases AD y BC, se verifica que DA = DB = DC. Sea E el 
punto de corte de la mediatriz del lado DC con la prolongación del lado AB. Si 
DECECB ˆ·2ˆ = , calcula ECB ˆ .
E
F
D C
BA
19
Enunciados de los 6 problemas de la última Prueba 
de la Fase Local en los Distritos de Madrid
Problema 1
Se considera un polígono de 90 vértices, numerados del 1 al 90 de manera aleato-
ria. Demostrar que siempre podemos encontrar dos vértices consecutivos cuyo 
producto es mayor o igual que 2014. 
Problema 2
Hallar todas las soluciones enteras de la ecuación x 4 + y 4 = 3x 3y.
Problema 3
Se considera un cuadrado ABCD y su circunferencia circunscrita K. Sea P un 
punto de K. Demostrar que la distancia de P a alguno de los vértices del cuadrado 
debe ser un número irracional. 
Problema 4
Sean a y b números reales positivos. Demostrar que 
2
22 ba
abba
+
+≥+
Problema 5
Encontrar las tres últimas cifras del número 7 2014 . 
Problema 6
De un prisma recto de base cuadrada, con lado de longitud L1, y altura H, extrae-
mos un tronco de pirámide, no necesariamente recto, de bases cuadradas, con la-
dos de longitud L1 (para la inferior) y L2 (para la superior), y altura H. Las dos 
piezas obtenidas aparecen en la imagen siguiente: 
20
Si el volumen del tronco de pirámide es 2/3 del total del volumen del prisma, 
¿cuál es el valor de L1/L2?
Enunciados de los 6 problemas de la Fase Nacional
Problema 1
¿Es posible disponer sobre una circunferencia los números 0, 1, 2,…, 9 de tal ma-
nera que la suma de tres números sucesivos cualesquiera sea, como mucho: 
 a) 13, b) 14, c) 15? 
Problema 2
Dados los números racionales r, q y n, tales que 
qrnrqqnr +
=
+
+
+
111
, probar 
que
1
3
+
−
n
n
 es un número racional. 
Problema 3
Sean B y C dos puntos fijos de una circunferencia de centro O,que no sean diame-
tralmente opuestos. Sea A un punto variable sobre la circunferencia, distinto de B 
y C, y que no pertenece a la mediatriz de BC. Sean H, el ortocentro del triángulo 
ABC; y M y N los puntos medios de los segmentos BC y AH, respectivamente. 
La recta AM corta de nuevo a la circunferencia en D, y, finalmente, NM y OD se 
21
cortan en el punto P. Determinar el lugar geométrico del punto P cuando A reco-
rre la circunferencia. 
Problema 4
Sea (xn) la sucesión de enteros positivos definida por x1 = 2 y nnn xxx +=+
3
1 2
para todo n ≥ 1. Determinar la mayor potencia de 5 que divide al número 
.122014 +x
Problema 5
El conjunto M está formado por números enteros de la forma 
22 13ba + , con a y 
b enteros distintos de cero. 
i) Demostrar que el producto de dos elementos de M es un elemento de M.
ii) Determinar, razonadamente, si existen infinitos pares enteros (x, y), tales que 
x + y no pertenece a M, pero 1313 yx + sí pertenece a M.
Problema 6
Se tienen 60 puntos en el interior de un disco unidad (es decir, un círculo de radio 
1, y su circunferencia frontera). Demostrar que existe un punto V de la frontera 
del disco, tal que la suma de las distancias de V a los 60 puntos es menor o igual 
que 80. 
22
Fallecimiento del Prof. Alberto Aizpún López 
 Con profundo pesar, comunicamos a nuestros socios y lectores el fallecimien-
to, el pasado mes de febrero, de nuestro querido compañero el Tesorero de nuestra 
Sociedad, Profesor Alberto Aizpún López. 
 Nuestro querido Alberto tuvo una larga y fructífera vida. Nació en Pamplona 
en 1920. Comenzó como Maestro de Enseñanza Primaria en 1945, con el número 
uno de sus Oposiciones. En 1953 obtuvo la Licenciatura en Matemáticas por la 
Univ. de Barcelona. En 1959 obtuvo la Cátedra de Matemáticas de la Escuela de 
Magisterio "Maria Díaz Jiménez" de Madrid, por oposición libre, con el número 
uno. Y fue Director de la misma casi diez años. 
 Fue Miembro de la Junta de Gobierno de la Universidad Complutense como 
representante de Directores de Escuelas Universitarias. 
 Formó parte de numerosas Comisiones nacionales para la elaboración de Pla-
nes de Estudio de Magisterio. Entre ellas, en 1979 fue nombrado por el Ministerio 
de Universidades para redactar un Proyecto de Planes de estudio y organización 
de las Escuelas Universitarias de Profesorado. 
 También fue designado como miembro de numerosas comisiones internaciona-
les relativas a la Formación de Maestros, en París, Estrasburgo, Alemania, Reino 
Unido y Estados Unidos. 
 Asistió a muchos congresos internacionales sobre enseñanza de la matemática 
e impartió numerosos cursos y seminarios relacionados con la Formación de Pro-
fesorado en diversas universidades públicas y centros privados. 
 Es autor de numerosos libros y manuales de texto para alumnos de Escuelas de 
Magisterio y dirigió colecciones de libros de matemáticas para la Educación Ge-
neral Básica. También dirigió una colección de libros publicados por la Universi-
dad Nacional de Educación a Distancia. Así como diversos temas de Matemáticas 
para la promoción de adultos, publicados por el Ministerio de Educación. 
 También publicó numerosos artículos en Revistas de Pedagogía y de Magiste-
rio, así como entrevistas y reportajes. 
23
 Pero quizás lo más original que publicó Alberto fue la colección de cintas 
magnetofónicas, editadas por la Fonoteca del Ministerio de Educación y Ciencia 
para los Centros de EGB en distintos niveles, sobre diversos temas matemáticos. 
 También fue Presidente de la Asociación Nacional de Catedráticos y profeso-
res Agregados de Escuelas Universitarias del Profesorado de E.G.B. 
 En cuanto a nuestra Sociedad fue siempre uno de sus miembros más activos y, 
en especial, uno de sus miembros fundadores. En la actualidad continuaba siendo 
el Tesorero de nuestra Sociedad, llevando siempre personalmente todos los que-
haceres inherentes al cargo: actualización de altas, bajas, de cambios de cuenta 
bancaria de socios, de emisión de facturas, de comunicación con la entidad banca-
ria donde se ubica la cuenta de la Sociedad, etc. Todo ello, no sólo lo llevaba 
siempre actualizado por escrito, además lo llevaba con todo detalle en su cabeza, 
de modo que, cuando se le preguntaba por un socio, te daba todo detalle de su 
adscripción, sin necesidad demirar ninguna lista. Solo en los últimos meses, 
cuando su enfermedad empeoró y le obligó a permanecer al nivel del mar, necesi-
tó la asistencia del Tesorero adjunto, Fernando Lisón, nuestro actual Tesorero. 
 Como dato anecdótico de su amor por la Sociedad, alguna vez, cuando, por 
ejemplo, había que pagar a la imprenta la elaboración de un número de nuestro 
Boletín y no quedaba dinero suficiente en la cuenta corriente de la Sociedad, él 
adelantaba el dinero de su cuenta corriente particular y no se resarcía hasta que el 
Banco hubiera cobrado los recibos a los socios. De ello no nos enterábamos hasta 
que nos presentaba por escrito las cuentas anuales en la Asamblea General. Alber-
to era un Tesorero muy especial. 
 Más de una vez, los demás miembros de la Junta Directiva le invitamos a 
hacerse cargo de la Presidencia de la Sociedad, lo que rechazaba diciendo que ello 
le supondría mayor esfuerzo, ya que tendría que seguir dirigiendo la Tesorería, 
cuyos entresijos sólo él conocía a fondo. Menos mal que, previendo su final, por 
su avanzada edad, puso al día a su Tesorero Adjunto, que le ha sucedido. 
 Por otra parte, siempre colaboró activamente en la selección y corrección de 
artículos publicados en nuestro Boletín. Y también como autor de varios artículos 
publicados en él, el último de ellos titulado “Las matemáticas y la gente”, publi-
cado hace dos años en el número 91 de nuestro Boletín. 
24
 En esta fotografía aparece Alberto (cuarto de derecha a izquierda) ante la por-
tada de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense, junto con 
otros miembros de la Sociedad, tras la celebración de la Asamblea General del 
año 1998. 
 Pero su aportación a la Sociedad no se limitaba, a las propias de la Tesorería. 
Cada vez que la Junta Directiva se reunía para seleccionar los Problemas a propo-
ner en el Concurso de Resolución Problemas “Puig Adam” (que organizábamos 
conjuntamente con el Colegio Oficial de Doctores y Licenciados), él traía una 
gran colección de problemas originales, de la que siempre se elegían unos cuan-
tos. Y lo mismo sucedía con otros concursos en los que miembros de nuestra So-
ciedad colaboran, como el “Concurso de Primavera”, el “Concurso Intercentros” 
de Matemática de la Comunidad de Madrid, la Fase Local de la Olimpíada Mate-
mática Española que organiza la Real Sociedad Matemática Española, etc. 
25
 Alberto entendía la matemática como un sacerdocio, como los antiguos pitagó-
ricos. Cuando alguno de nuestros socios se daba de baja por jubilación académica, 
se mostraba contrariado, manifestando que “nuestra profesión nadie debe aban-
donarla, mientras viva”.
 Su entrega en todo lo relativo a nuestra Sociedad no tenía límites. En los últi-
mos tiempos Alberto tenía que asistir a nuestras reuniones con su botella de oxí-
geno, ayudado por su esposa, Mercedes, también miembro de nuestra Sociedad 
(ambos fueron durante muchos años los dos Asesores de la revista SUMA repre-
sentantes de nuestra Sociedad). 
 En la Asamblea General de 2014, celebrada el pasado mes de abril, se 
aprobó por unanimidad la dedicación al Prof. Alberto Aizpún de un núme-
ro especial de nuestro Boletín, invitando a presentar artículos a cuantos 
compañeros, alumnos y amigos lo deseen. 
 Querido Alberto, nunca podremos olvidar tu calidad humana, tu dedicación a 
la Sociedad y el entusiasmo que ponías en todo lo relativo a ella. Así te recorda-
remos. 
La Junta Directiva 
Boletín de la Soc. Puig Adam, núm 97 (Junio 2014)
26
Sobre el problema 15 del libro VII 
de la Aritmética de Diofanto 
Ricardo Moreno Castillo 
Catedrático de Instituto jubilado 
moreno_castillo@hotmail.es
Abstract
This article provides a method to find all the solutions to a problem set 
out in Diofanto’s Arithmetics. 
Dedicado a Julio Fernández Biarge. 
Enunciado del problema 
El problema 15 del libro VII de la Aritmética de Diofanto dice lo siguiente: 
Dado un cuadrado, descomponerlo en cuatro sumandos, de manera que 
si al cuadrado se le restan el primero o el segundo, den cuadrados, y si se 
le suma el tercero o el cuarto, también den cuadrados.
 Para encontrar todas las soluciones del problema, necesitaremos del siguiente: 
Lema aritmético: Si 2ac < , entonces: caaaca −−<−+ 22
Demostración: La desigualdad a demostrar equivale a acaca 222 <−++ ,
de donde se deduce que 2242 422 acaa <−+ lo que da lugar a su vez a 
224 aca <− . Elevando al cuadrado ambos miembros tenemos que 
424 aca <− , lo cual es obviamente cierto. 
27
2. Resolución del problema 
Si el número cuadrado que nos dan es 2a , se trata de encontrar cuatro números x,
y, z y t tales que
2atzyx =+++ , 22 uxa =− , 22 vya =− , 22 wza =+ y 22 rta =+
Esto significa resolver el siguiente sistema lineal en x, y, z y t:
2utzy =++
2vtzx =++
22 wtzyx =+++
22 rtzyx =+++
Resuelto el sistema, llegamos a lo siguiente: 
2222 2 vurwx −−+=
2222 2vurwy −−+=
222 rvuz −+=
222 wvut −+=
De aquí tenemos que: 
)()( 222222222 vruwvurwa −+−=−−+=
Cada desglose de 2a en dos sumandos da soluciones al problema. Si cba +=2 ,
no hay más que resolver las ecuaciones 
buw =− 22 y cvr =− 22
aunque no todas sus soluciones nos servirán. En efecto, para cada par de números 
racionales p y q tenemos las soluciones: 
p
pb
w
2
2
+
=
p
pb
u
2
2
−
=
q
qc
r
2
2
+
=
q
qc
v
2
2
−
=
Necesitamos ahora saber cuáles son los p y q que hacen que x, y, z y t sean positi-
vas.
28
 Como 22 uax −= , ua > , en consecuencia 022 >−+ bpap y 
abap −+> 2 . Además, 22 awz −= , luego aw > , 022 >+− bpap y 
baap −−< 2 . Entonces: 
baapaba −−<<−+ 22
Del mismo modo se demuestra que: 
caaqaca −−<<−+ 22
El lema garantiza la existencia de unos intervalos por donde p y q pueden mover-
se. En todos los ejemplos que vienen a continuación, supondremos 252 =a (co-
mo así es en la Aritmética). 
Ejemplo I 
Hacemos 20=b y 5=c . Las acotaciones son 7.28.1 << p y 
526.0478.0 << q . Si tomamos 2=p y 21=q , entonces:
6=w , 4=u , 421=r , 419=v .
En consecuencia:
9=x , 1639=y , 11=z , 1641=t .
Comprobación: 
24925 =−
2
4
19
16
39
25 =− 261125 =+ 
2
4
21
16
41
25 =+
Ejemplo II 
Sean ahora 15=b y 10=c . Las acotaciones son 80.135.1 << p y 
10.192.0 << q . Tomamos 23=p y 1=q . Entonces: 
29
423=w , 417=u , 211=r , 29=v ,
16111=x , 419=y , 16129=z , 421=t .
Comprobación: 
2
4
17
16
289
16
111
25 ==− 
2
2
9
4
81
4
19
25 ==−
2
4
23
16
289
16
129
25 ==+ 
2
2
11
4
121
4
21
25 ==+
Ejemplo III 
Hacemos 350=b y 325=c . Las acotaciones son 112.2455.1 << p y 
916.0776.0 << q . Cogemos 35=p y 65=q . Entonces: 
635=w , 625=u , 1265=r , 1255=v ,
1441100=x , 144575=y , 1441300=z , 144625=t .
Comprobación: 
2
6
25
144
2500
144
1100
25 ==− 
2
12
55
144
3025
144
575
25 ==−
2
6
35
144
4900
144
1300
25 ==+ 
2
12
65
144
4225
144
625
25 ==+
Esta es la solución que se proporciona en la Aritmética.
Ejemplo IV 
Con la misma partición, caben más elecciones para p y q. Por ejemplo, 2=p y 
54=q . Entonces: 
30
631=w , 619=u , 120673=r , 120627=v ,
36539=x , 1440027071=y , 3661=z , 1440092929=t .
Comprobación: 
2
6
19
36
361
36
539
25 ==− 
2
120
577
14400
332929
14400
27071
25 ==−
2
6
31
36
961
36
61
25 ==+ 
2
120
673
14400
452929
14400
92929
25 ==+
¿Podría el problema tener soluciones enteras?
Para que existan soluciones enteras, b y c tendrían que descomponerse en produc-
to de dos factores de la misma paridad: ∗= ppb y ∗= qqc , y entonces las solu-
ciones serían: 
2
∗
+
=
pp
w
2
∗
−
=
pp
u
2
∗
+
=
qq
r
2
∗
−
=
qq
v
Ahora bien, puesto que baap −−< 2 , tenemos también que 
paba −<−2 , lo que nos lleva a que 222 2 papaba +−<− , lo cual a su 
vez da lugar a 22 papb −> . Como ∗= ppb , tenemos que pap −>∗ 2 . Pero 
bapaapa >>−+=− )(2 , luego entonces bp >∗ , lo cual es imposible. Por 
tanto,el problema no tiene nunca soluciones enteras. 
Agradecimientos
Hago constar mi reconocimiento a Mercedes Sánchez Benito, quien leyó y corri-
gió este texto, hurtando así tiempo a otras labores más amenas que la de leer este 
artículo.
31
Bibliografía
DIOFANTO (2007), La Aritmética y el libro Sobre los números poligonales, Edi-
torial Nivola, Madrid. 
Boletín de la Soc. Puig Adam, núm 97 (Junio 2014)
32
Software libre y propietario en el contexto de la
Educación Superior en España: elementos para un
debate.
Antonio Souto-Iglesias
ETSI Navales, UPM
antonio.souto@upm.es
Resumen
Se pretende establecer en este art́ıculo un marco para poder debatir
sobre la utilización de software libre y propietario en el contexto de la
formación universitaria en España. Para ello se han revisado las fun-
ciones de la universidad como institución que forma profesionales com-
petentes en la realización de tareas ya existentes pero también capaces de
aportar desde la cultura de la innovación, vinculando ambas funciones
con las ideas de software propietario y libre respectivamente. Se contex-
tualiza después este debate incorporando al mismo el coste económico
que tiene para la universidad el que software propietario forme parte de
su oferta formativa y la influencia que tiene en ese coste el que existan
o no alternativas libres competitivas.
Abstract
The objective of this article is to establish a framework to discuss
the use of free and proprietary software alternatives in the context of
higher education in Spain. With this aim, the functions of university as
an institution that trains competent professionals, capable of carrying
out existing tasks but capable also of contributing through innovation,
are reviewed. Such functions are linked to the ideas of proprietary and
free software respectively. This debate is later contextualized incorporat-
ing the economic cost of including proprietary software as part of the
training offer as well as the influence on such cost of the existence of
competitive free alternatives.
33
Nuestros alumnos se han de enfrentar a lo largo de su vida
con problemas mucho más graves, y sobre todo más dinámicos,
que los que tuvo cualquier generación pasada; ciertamente
dispondrán de medio mucho más eficaces y poderosos, que,
en gran medida dependerán de la Informática. Ayudémosles,
por tanto, a valerse de esos medios en su tarea de
construir un mundo mejor.
Julio Fernández Biarge, 1984
1. Introducción
En los últimos años ha aumentado el número de asignaturas que han in-
tegrado como parte de sus competencias las de de utilizar un determinado
software (SW), el cual puede ser necesario tanto para otras asignaturas como
durante la vida profesional. En general, las competencias transversales rela-
tivas a tecnoloǵıas de la información y la comunicación están entre las más
valoradas por los empleadores, como se puede comprobar por ejemplo en los
libros blancos de titulaciones de grado tan representativas como Ingenieŕıa
Industrial [1] y Economı́a [2], donde aparecen datos estad́ısticos que justifican
dicha afirmación.
Julio Fernández Biarge fue uno de los pioneros de la utilización de la in-
formática en el contexto universitario en España. Como investigador del Con-
sejo Superior de Investigaciones Cient́ıficas (CSIC) colaboró en la creación de
su centro de cálculo en 1962 y fue su primer director durante esos primeros
años. Desde su cátedra en la Escuela Técnica Superior de Ingenieros Navales
(ETSIN) de la Universidad Politécnica de Madrid, conseguida en 1960, in-
corporó la programación en FORTRAN a los planes de estudio de Ingeniero
Naval de la UPM de los años 1964 (y su reestructuración alargándolo 6 años
en 1976) mediante el diseño de diagramas de flujo en Álgebra de primer
año y a través de una parte completa de la asignatura Cálculo Numérico,
Informática y Estad́ıstica, de tercer curso.
Julio Fernández Biarge participó también en el desarrollo de programas
de generación de despieces y planos de corte para Astilleros Españoles desde
1971 a 1984, contribuyendo a que ese grupo se convirtiese en uno de los
mayores fabricantes de buques del mundo en la época. En conversaciones
34
con él me contaba que esa relación con la industria aquellos años fue muy
enriquecedora para él y los recordaba como un momento muy feliz de su
carrera profesional.
Una vez jubilado a principios de los años noventa y ya como profesor
emérito, Julio fue clave para introducir en la ETSIN la enseñanza de SW
de diseño asistido por ordenador (CAD) a través de la impartición de cur-
sos de MICROSTATION y AUTOCAD, los cuales formaban parte de las
asignaturas del área de expresión gráfica.
Como compañero y amigo de Julio Fernández Biarge y coordinador de
la enseñanza de la informática en la ETSIN desde el año 1996, me siento
muy honrado de participar en este número especial en su memoria. Aunque
lo hago hablando de un tema no estrictamente matemático estoy convencido
que lo hubiese considerado propio, en consonancia con la trayectoria arriba
reseñada y la cita que precede a estas ĺıneas.
En la universidad moderna, a menudo hay interés por parte de los em-
pleadores eh que los estudiantes adquieran competencias en SW espećıfico
durante su formación. En particular, en el contexto de la ingenieŕıa, esto
sucede en cálculo de estructuras, diseño de circuitos, mecánica de fluidos
computacional, modelado geométrico, gestión de proyectos en ingenieŕıa [16],
programación [15], etc. En otros contextos sucede lo mismo con paquetes de
ofimática, bases de datos, ERPs, etc.
Para estas aplicaciones existen a menudo alternativas libres [5] (”free and
open-source software, FOSS”) y alternativas propietarias [4], normalmente
de pago estas últimas. La necesidad de este gasto ha sido puesta en cuestión
por los representantes sindicales en febrero de 2013 en la UPM a ráız del
anuncio del despido de 302 PAS, sugiriendo como medida de ahorro el paso
paulatino a SW libre. Las referencias asociadas [20, 3, 19] son particularmente
interesantes para los debates sobre SW libre y propietario en el contexto de
una educación superior con fuertes restricciones presupuestarias.
La Comisión sectorial de Tecnoloǵıas de la Información y las Comuni-
caciones de la Conferencia de Rectores de Universidades Españolas (CRUE-
TIC) viene realizando un trabajo importante documentando la situación de
las TIC en el sistema universitario español. Para ello ha publicado en los últi-
mos años los informes UNIVERSITIC [17] sobre y organizado las Jornadas
CRUE-TIC con fines similares. Aunque el SW es solo una pequeña parte de
35
esos informes, es reseñable que uno de los objetivos que se marca la CRUE
es “facilitar el acceso a herramientas de software libre y código abierto”.
En el art́ıculo realizamos primero una valoración de los aspectos forma-
tivos del SW, de su influencia en la cultura de la innovación y la formación
continua. A continuación revisamos la información existente sobre los costes
asociados a SW en la universidad española, terminando con unas valoraciones
generales y conclusiones. El autor empezó a trabajar sobre estas ideas para
una presentación realizada en las jornadas SAGE/Python de Vigo en Ju-
nio 2012 y aqúı aparecen desarrolladas, ampliadas y estructuradas como un
art́ıculo.
2. SW libre y propietario
No es el objeto de este trabajo entrar en detalles sobre las diferentes
clasificaciones de SW libre ni proporcionar definiciones exhaustivas de los
conceptos de SW libre y propietario. Para ello hay referencias muy comple-
tas en la literatura (e.g. [5, 18]). Sin embargo, śı que vamos a establecer que en
este art́ıculo nos referiremos a SW libre como aquel cuya utilización sea gra-
tuita tanto en entornos formativos como profesionales, independientemente
de que sea de código abierto o no. SW propietario será el que no cumple esta
condición.
3. Formación
3.1. General
El contextoal que se refieren estas reflexiones es el de la faceta formativa
del sistema universitario español. Sin embargo, los costes asociados al SW en
la universidad y su utilización transcienden a la faceta formativa y son parte
esencial de la gestión de la misma y de sus actividades de investigación y
transferencia de resultados de investigación.
3.2. Formación para la profesión
La misión de la universidad en su vertiente formativa es la de propor-
cional al mercado de trabajo titulados con ciertas competencias. Esta misión
36
está “consagrada” por la Ley Orgánica de Universidades de 2001, que indica
que una de las funciones de la universidad es la “preparación para el ejerci-
cio de actividades profesionales que exijan la aplicación de conocimientos y
métodos cient́ıficos y para la creación art́ıstica”.
Además, actualmente en prácticamente todos los perfiles profesionales
cubiertos espećıficamente por titulados superiores se exigen competencias en
el manejo de determinados paquetes informáticos. De hecho, por ejemplo, el
conocimiento a nivel intermedio del entorno Windows y del Ms-Office se da
por supuesto. Se invita al lector interesado el plantear estas dos preguntas al
ćırculo de amigos que ejerzan la profesión fuera de la universidad:
1. ¿Qué SW te hubiese gustado saber utilizar al dejar la universidad?
2. ¿Qué SW ha sido importante para ti profesionalmente de entre el que
aprendiste a utilizar en la universidad?
Comprobará ese lector probablemente que el SW cuyo conocimiento se
demanda es en general propietario y bastante espećıfico de las diferentes
titulaciones. En el entorno de la ingenieŕıa, por ejemplo, es muy habitual
que se requieran conocimientos de programas de cálculo estructural, diseño
detallado, simulación en mecánica de fluidos, etc. Una búsqueda online de
“NASTRAN + trabajo” (NASTRAN es un paquete de cálculo estructural)
muestra el tipo de ofertas vinculadas a manejo de SW a las que me refiero.
En otros entornos sucede algo similar con el ERP SAP, ORACLE, etc...
Esta situación de partida lanza un mensaje muy claro al sistema univer-
sitario patrio: Las competencias en el manejo de ese SW deben ser parte de
los objetivos de las diferentes titulaciones. Debe ser una formación creo que
integrada con la general de cada materia pero formación espećıfica en esos
paquetes al fin y al cabo. Una opción es plantear que toda la formación de-
beŕıa realizarse con SW libre, algo que sucede por ejemplo en la UOC [5],
ejemplo en nuestra opinión no muy significativo dado que esta universidad
funciona básicamente a través de plataformas de tele-enseñanza. También
en nuestra opinión, realizar toda la formación con SW libre supone ignorar
una parte importante de la realidad del mercado de trabajo en la actualidad,
tal como comentábamos más arriba, algo que la universidad no debe hacer,
siendo pragmáticos.
37
Sin embargo, también es importante que la universidad esté atenta a
tendencias del mundo profesional en la ĺınea de incorporar SW libre en sus
actividades como sucede por ejemplo con OPEN-FOAM en el mundo de la
simulación en mecánica de fluidos o con Python como sustituto de MAT-
LAB para scripting de procesos aśı como para análisis de datos. Para que
las migraciones de estas empresas a productos de SW libre tengan éxito es
fundamental que dispongan de personal formado en esas tecnoloǵıas [13].
3.3. Formación para la innovación
La universidad debe formar titulados que ayuden a las empresas a dar
un salto cualitativo en determinados aspectos de su modelo de negocio. Es
interesante que los nuevos titulados que se incorporen a las empresas puedan
tener un brillo diferente al personal existente y puedan aportar ideas y solu-
ciones que sea viable implementar en su entorno de trabajo. El SW libre,
competitivo con el propietario en multitud de campos, ofrece oportunidades
muy interesantes en ese sentido, debido a su bajo o nulo coste, facilidad de
customización, etc. Esta es una idea que se ha potenciado a nivel europeo a
través de diferentes proyectos que tratan de utilizar las potencialidades del
SW libre para impulsar el desarrollo y la innovación [4]. También es algo
que se ha visto como una oportunidad de desarrollo de las PYMES [7], las
cuales pueden acceder mediante SW libre a multitud de soluciones a proble-
mas complejos a bajo coste y en determinados casos apoyarse en las mismas
para ofertar servicios de gran calidad.
Esto tiene una lectura interesante también desde la perspectiva del SW
propietario, y aśı se la hicieron ver al autor en las jornadas SAGE/Python
de 2012 mencionadas, en el sentido de que de algún modo cargas/penalizas
a un estudiante al que solo formas en tecnoloǵıas propietarias, que después
demanda en su trabajo y que suponen un coste adicional muy importante
para las empresas (en general entre uno y dos órdenes de magnitud más
grande que el que suponen las licencias de uso académico o de investigación).
Este coste extra es mitigado a menudo por la utilización de SW pirata no
licenciado, pero esto es algo con lo que no se puede contar en general y con lo
que además no se puede ofertar servicios a determinados niveles profesionales.
38
3.4. Formación básica
La utilización de determinado SW se ve en la universidad moderna en
muchos casos no como un fin en si mismo sino como un medio que ayuda a
comprender determinadas materias [12], a menudo básicas. La enseñanza de
ese SW puede ser utilizada además como laboratorio virtual de los conceptos
teóricos. No se entiende un curso de cálculo numérico sin la utilización de
SW de apoyo por ejemplo, ni uno de cálculo de estructuras, ni quizá uno de
cálculo o álgebra básicos. La selección de ese SW no es inocente y la dicotomı́a
libre/propietario aparece de modo habitual. Julio Fernández Biarge [9] ya
adivinó los cambios metodológicos que la Informática generaŕıa en los diseños
curriculares, afectando por ejemplo a su evaluación [14]. También insistió en
la importancia que se debe dar a la formación básica, en un contexto tan
cambiante [8]. Si escuchamos únicamente a los empleadores, podemos quedar
atrapados en el discurso de la tirańıa de lo relevante [10], de lo momentáneo,
olvidando que la formación básica es la que permite construir profesionales
capaces de adaptarse a entornos cambiantes.
3.5. Formación en valores
La utilización de SW libre está percibida socialmente como un medio
para perseguir el bien común, mitigando la componente económica de los
avances tecnológicos [18]. De hecho, el SW libre tiene mucho de formación en
valores de trabajo colaborativo, algo que es muy importante para funcionar
bien en organizaciones en las que ser proactivo es importante. Hay universi-
dades como Macquarie, en Australia, que han hecho de este tipo de aspectos
éticos/formales de la educación una parte central de sus curriculums.
3.6. Formación continua
La Ley Orgánica de Universidades identifica de modo expĺıcito las cuatro
funciones principales de la universidad española. Además de la ya comentada
referida a la preparación para las actividades profesionales, otra de esas cuatro
funciones principales es “la difusión del conocimiento y la cultura a través
de la extensión universitaria y la formación a lo largo de toda la vida”.
Mientras que universidades de otros páıses están tremendamente implicadas
39
en la formación continua a las empresas, la universidad española contribuye
relativamente poco a cubrir esas necesidades del mundo profesional [6] a pesar
de disponer de personal cualificado e infraestructura para hacerlo.
A menudo, dicha formación adicional se refiere a temas en los que el
manejo de determinado SW, libre o propietario, es parte central de la misma
(gestión de proyectos, Python, MATLAB, bases de datos, SAP, etc.). Que
ese SW sea libre facilita en general la organización de la acción formativa.
4. Consideraciones sobre costes
4.1. General
No se ha encontrado informacióngeneral sobre lo que se gasta en España
en SW, ni sobre importaciones de SW. Por ejemplo, MICROSOFT, SAP y
ORACLE facturan en torno a 600, 300 y 200 Me/año, respectivamente1.
No parece exagerado estimar que el total invertido en SW ronde 4000Me,
teniendo en cuenta que no se dispone de los datos de IBM, uno de los mayores
proveedores. La mayor parte de estos costes suponen un impacto directo
sobre la balanza de pagos. A estos costes se añaden los correspondientes al
soporte que prestan a grandes empresas (bancos, cadenas de supermercados,
eléctricas, etc...) otras grandes empresas como TECNOCOM, por ejemplo,
con una facturación en 2011 de 400Me.
Se ha encontrado escasa información sobre costes de SW en el contexto
universitario en España y no se dispone por tanto estad́ısticas de costes totales
ni de parciales por universidades, tipos de estudios, paquetes espećıficos, etc...
Dentro de los informes CRUE-TIC citados [17], que corresponden a encuestas
realizadas a 65 universidades, cubriendo el 92% del alumnado, se indica que
el presupuesto centralizado dedicado al mantenimiento de licencias SW en
explotación es, en media, de 480.000e/año por universidad. Para valorar
esta cifra hay que tener en cuenta que hay licencias permanentes y otras
de renovación anual, que este gasto no incluye el realizado por facultades y
departamentos y que tampoco permite discriminar el gasto de SW que se
dedica a tareas formativas del que se dedica a temas de administración y
1Para tener una idea de la magnitud de estos valores, la renta per capita en España en
2012 fue, de acuerdo con el INE, de 22772e
40
gestión.
Las empresas que desarrollan y comercializan SW están generalmente bas-
tante interesadas en que su SW pase a la oferta formativa de las universidades.
La idea es que si ese SW se enseña en la universidad ello incidirá después en
que sea demandado por esos usuarios cuando pasen al mundo empresarial.
Debido a ello estas empresas ofertan licencias educacionales a un precio sig-
nificativamente inferior al de mercado. Por ejemplo, IBERISA, distribuidor
de todo el conjunto de productos NASTRAN, ofrece un set completo de todo
su SW como licencias flotantes (100) por un fijo de 2500e más un manten-
imiento anual de 625e, que es una oferta bastante atractiva.
Sin embargo, el coste sigue siendo significativo y esto es un aspecto central
a considerar en el debate sobre SW libre y propietario en educación superi-
or, sobre todo en un contexto de recortes extremos en las posibilidades de
gasto por parte de las universidades. De hecho, como se comentaba en la
introducción, este tema ha sido puesto sobre la mesa por los representantes
sindicales en febrero de 2013 en la UPM a ráız del anuncio del despido de
302 PAS, sugiriendo como medida de ahorro el paso paulatino a SW libre
[20, 3]. La respuesta del equipo rectoral [19] a esa propuesta saca a la luz
un tema que puede ser relevante en determinados aspectos: “SW libre no es
SW gratis, pues normalmente incluye costes de instalación, particularización
y mantenimiento, aunque se ahorre el coste de algunas licencias”. Aunque
ese pueda ser el caso para determinado tipo de aplicaciones, lo habitual es
que las solicitudes de servicios de mantenimiento del SW propietario utiliza-
do en la universidad para formación sean mı́nimas, como lo son también las
de SW libre utilizado en tareas formativas. Además, es importante destacar
que la gestión de licencias de SW propietario en sistemas de usuarios como
los habituales en las escuelas y facultades plantea problemas muy serios al
personal informático, que se traducen en tiempo y dinero, mientras que la
instalación de SW libre es en general muy sencilla.
La universidad considera como un activo de su oferta formativa el poder
incorporar la formación en determinado SW a diferentes asignaturas. Por
ejemplo, no se concibe un arquitecto que termine su carrera sin saber utilizar
AUTOCAD. Sin embargo, el punto de equilibrio precio/valor no está nada
claro. En mi opinión, con alternativas de SW libre competitivas, el coste que
pagan las universidades podŕıa reducirse e inclusive podŕıa negociar cobrar
41
de las empresas de SW por incorporar dicho SW a su oferta formativa.
Este SW, cuando es muy espećıfico, se suele licenciar promovido por algún
profesor con cierto apoyo departamental. El siguiente nivel son aquellas licen-
cias que se gestionan a nivel Escuela/Facultad como puede ser RHINOCEROS
o MAXSURF en nuestra escuela, y que afectan a asignaturas estrella de las
titulaciones como “Sistemas CAD” o “Proyectos” en estos casos respecti-
vamente. Finalmente, otras licencias se gestionan para toda la universidad
mediante lo que se conoce como licencias CAMPUS. Dado su impacto en
costes y el valor más general de los razonamientos al respecto de este tipo
de licencias, nos ocuparemos en este art́ıculo principalmente de las mismas,
analizando si existen alternativas libres para ellas y valorando si merece la
pena el abandono de la alternativa propietaria. En general, cuando se quiere
introducir SW propietario en una determinada asignatura, se atacan esos tres
niveles para conseguir la financiación.
4.2. Licencias CAMPUS
Conocer el coste de las licencias campus de diferentes paquetes informá-
ticos utilizados en docencia en las universidades españolas no es una tarea
fácil. Esa información no figura en general en la web de las empresas, salvo
excepciones como National Instruments, ni tampoco en el desglose de gastos
de la universidad, al menos de un modo accesible.
Sin embargo, la respuesta del equipo rectoral citada [19] facilita una
cifra sobre el coste total en SW que paga la UPM desde servicios centrales
(300.000e), con algunos detalles extractados sobre los que más adelante dis-
cutiremos. Algo de información detallada se puede encontrar en el “perfil
de contratante”2 de las diferentes universidades y en el caso de la UC3M
esa información está bastante detallada. Damos unos datos genéricos (sin
IVA) combinando información de los perfiles de contratante UPM y UC3M
aśı como alguno entresacado de [19]:
1. MICROSOFT (100000e/año) Windows, Office, Visio, Project, Visual
Studio, etc. Este conjunto de SW transciende completamente las tareas
de formación dado que Windows es el sistema operativo de la mayor
2http://www.upm.es/perfildelcontratante
42
parte del PDI y de la práctica totalidad del personal de gestión, y Office
su herramienta habitual de ofimática.
2. MATLAB (70e/licencia para licencias flotantes - UC3M 2010): no
está claro en la documentación del perfil pero parece que se compran
licencias permanentes flotantes, quizá del orden de 100. Hay que tener
en cuenta que la licencia de MATLAB crudo sin toolboxes para un pro-
fesional cuesta del orden de 6000e. Las alternativas libres son Octave o
directamente Python. En opinión del que esto escribe esas alternativas
no son tales por diferentes razones que escapan a los objetivos de este
art́ıculo.
3. NI LabView suite. 14649e/año. Se usa en la enseñanza de electrónica
y control. Es un SW muy relacionado con el Hardware de adquisición
de datos y control de National Instruments. Su posición en el mercado
es dominante y no hay alternativa libre disponible.
4. MAPLE: 30798e. No está claro que MAXIMA o el propio SAGE sean
alternativas libres competitivas.
5. SPSS y STATGRAPHICS, con los que compite R (libre). Se desconoce
el coste de sus licencias académicas.
En la medida en que haya SW libre competitivo, el precio que la universidad
paga por SW propietario podŕıa ser reducido mediante una negociación entre
partes. Esto no es aśı en algunos casos como hemos visto más arriba (MAT-
LAB, LabView, etc.), y mucho menos en otros campos más espećıficos. Por
ejemplo, en el mundo offshore no existe ninguna alternativa libre a los paque-
tes informáticos para cálculo de movimiento de objetos flotantes y fondeos.
La enseñanza de tecnoloǵıas como estas se ha convertido en un valor añadido
fundamental para nuestrostitulados y el hecho de que no haya un SW libre
competitivo es utilizado por las empresas para imponer unos precios dif́ıcil-
mente asumibles por la universidad. Esto probablemente sucede en muchas
otras áreas, no solo de la ingenieŕıa, sino de biblioteconomı́a, diagnóstico
genético, etc.
43
4.3. Licencias escuela/facultad
El siguiente nivel son aquellas licencias que se gestionan a nivel Es-
cuela/Facultad como las de los programas RHINOCEROS o MAXSURF
en mi escuela, necesarios para asignaturas estrella de las titulaciones como
“Sistemas CAD” o “Proyectos”. El número de licencias suele depender del
número de puestos en el aula de ordenadores. Suponiendo unos 6.000e/año
por escuela, en una universidad del orden de 20 facultades como la nuestra
tendŕıamos unos 120.000e /año por universidad.
4.4. Licencias a nivel asignatura/departamento
No hay un apoyo espećıfico ni a nivel universidad ni a nivel escuela y es el
propio profesor interesado el que tiene que tratar de buscar soluciones a bajo
coste, financiación externa, etc... La capacidad de negociación a este nivel
es pequeña. Suponiendo 1.500e/departamento/año, el total puede rondar en
cada universidad en torno a 100.000e/año.
A este nivel, las licencias son normalmente soportadas por el caṕıtulo
de fungible de cada departamento encargado de la asignatura. Si hay buena
sintońıa con la dirección del departamento, hay algún remanente de fungible,
y se trata de licencias permanentes, se puede intentar. Cuando las licencias
son de renovación anual, asumir ese coste fijo por parte de un departamento
es a menudo inviable.
4.5. SW de gestión
Las universidades utilizan SW también para aspectos internos de gestión,
como la gestión de matŕıcula y calificaciones, gestión económica, el VPN,
biblioteca, etc. En general es SW propietario. Incluso las universidades que
más han apostado por SW libre recurren a SW propietario para gestión de
matŕıcula, gestión económica, de personal, etc. [11].
El coste asociado al SW de gestión es en general bastante alto y con cierta
dificultad se encuentra información sobre el mismo en el perfil de contratante
de cada universidad. Entre este tipo de SW destacan ORACLE, cuya licencia
se gestiona en la UPM de modo bianual por un importe total de 172.000e(es
del mismo orden en otras universidades), y el SW de biblioteca (SUMMON),
44
que ha supuesto 19.136e/año en la adjudicación de 2013. En general creemos
que convendŕıa separar el coste asociado a este SW, que puede suponer en
torno al 50% del total pagado desde servicios centrales, de aquel dedicado
a temas vinculados de modo directo con la formación, aunque hay licencias,
como la campus de MICROSOFT Windows y OFFICE que se utilizan tanto
para gestión como para formación e investigación.
Una mención aparte merece el SW libre MOODLE, sobre el que se han
articulado la gran mayoŕıa de las plataformas de tele-enseñanza en nuestro
páıs. Nos preguntamos el coste que tendŕıa prestar esos mismos servicios que
todos disfrutamos utilizando una plataforma propietaria. Probablemente el
nivel de implantación y desarrollo de estos sistemas hubiese sido muy inferior.
4.6. SW libre y propietario y actividades de investigación y
transferencia de tecnoloǵıa en la universidad
Un aspecto adicional a considerar es que el SW no se usa en la univer-
sidad solo para temas de formación. Se utiliza de modo rutinario en tareas
de investigación y transferencia de tecnoloǵıa, a menudo con proyectos de
prestación de servicios LOU83. Estos proyectos pueden consistir en servicios
de consultoŕıa técnica que suponen una compensación económica para el in-
vestigador contratante; parte del valor de dicho servicio nace de la utilización
de dicho SW.
Esta utilización del SW para proyectos de prestación de servicios es una
de las razones por las que las empresas de SW son reacias a facilitar su SW a
un precio incluso inferior al que ya ofertan las licencias académicas. La razón
es que a menudo se confunden las funciones formativas con las de prestación
de servicios, utilizando licencias cuya misión es de formación para prestación
de servicios.
Siendo realistas, hay que valorar en cualquier caso que para poder enseñar
determinado SW es muy importante que el docente utilice ese SW de modo
rutinario en sus tareas de investigación y transferencia de tecnoloǵıa. En
general, hay que buscar cierta sintońıa - partnership - entre empresas de SW
y universidad, tratando de ser pragmáticos con estos temas que tienen que
ver con implantación de SW propietario, calidad de la enseñanza, prestación
de servicios, etc.
45
4.7. Estimación de costes totales
Tras el análisis previo, no parece muy aventurado estimar que el coste
total de SW propietario en la UPM para formación esté en el entorno de los
400.000e/año, y el coste total para las universidades españolas alrededor de
25Me/año .
5. Consideraciones finales
Con unos costes totales aproximados de 25Me/año y una población uni-
versitaria de 1.5M, el coste por estudiante del SW propietario es de unos
17e/estudiante/año. Teniendo en cuenta que se maneja una cifra estándar
de 10000e/estudiante/año, 17e suponen un porcentaje mı́nimo de esta canti-
dad total, y por tanto quizá un poco irrelevante preocuparse espećıficamente
de ella.
Por otro lado, la importancia del SW en la vida profesional de nuestros
titulados, y en particular en su productividad, es cada d́ıa más importante,
y también lo son los costes que estas herramientas suponen a las empresas.
Que cada estudiante reciba una formación que lo capacite adecuadamente en
su utilización es, por tanto, algo a lo que se debe prestar atención.
Respecto a la dualidad SW libre y propietario, el autor cree que la uni-
versidad debe saber moverse entre esos dos mundos con sutileza, tratando
de sacar lo máximo de los mismos, y haciendo valer su importancia como
mecanismo de introducción de determinado SW en el mercado a efectos de
fijar precios a pagar por el mismo; debe saber también formar a nuestros
estudiantes en la utilización de soluciones libres que les permitan aportar
valor añadido en el mundo profesional a bajo coste y estar alerta a las opor-
tunidades que, a todos los niveles, ofrece el mundo del SW libre.
6. Conclusiones
Se ha tratado en este art́ıculo de establecer un marco en el que se pueda
debatir sobre la utilización de alternativas de software libre y propietario en
el contexto de la formación universitaria en España. Para ello se han revisa-
do las funciones de la universidad como institución que forma profesionales
46
competentes en la realización de tareas ya existentes pero también capaces
de aportar desde la cultura de la innovación. Mientras que la formación de
profesionales en lo que demanda el mercado laboral está normalmente vin-
culada a la utilización de software propietario, la cultura de la innovación se
potencia de modo más eficaz desde el contexto del software libre. Se ha con-
textualizado después este debate incorporando al mismo el coste económico
que tiene para la universidad el que software propietario forme parte de su
oferta formativa. Aunque podŕıa pensarse que la universidad debeŕıa recibir
ese software de modo gratuito por parte de las empresas, ese no es el caso.
La universidad debe potenciar que sus estudiantes adquieran competencias
en el manejo del software (tanto propietario como libre) que se utiliza en
el mundo profesional, y asumir que debe pagar por ello cuando sea nece-
sario. Sin embargo la universidad debe negociar con fuerza para reducir esos
costes utilizando como arma de negociación la existencia de alternativas li-
bres competitivas cuando las hay, que no siempre es el caso, y estar alerta a
las oportunidades que ofrece el dinámico mundo del software libre.
Para terminar, me gustaŕıa volver a la figura de Julio Fernández Biarge.
En la cultura universitaria española comparten espacio varias sub-culturas.
La primera de ellas, la caciquil,es heredera de la universidad franquista de
la mediocridad y el desmoche del talento, y se perpetúa hasta nuestros d́ıas
a través de los procesos endogámicos LRU y post LRU. Pero también hay
una sub-cultura del conocimiento, que cree que la universidad es una de
las herramientas más poderosas de las sociedades modernas para impulsar su
progreso tanto técnico como social, capaz de canalizar enerǵıas para la cŕıtica,
para la formación de profesionales competentes, para generar conocimiento
y para dar contrapunto a las necesidades técnicas de la industria. A ella
pertenećıa Julio y, aunque le tocó vivir muchos años la hegemońıa de aquella
otra universidad, tuvo la fuerza suficiente como para mantener su carrera
profesional vinculada a este segundo modelo. Su memoria sirve de inspiración
a los que compartimos sus ideas.
Agradecimientos
Se agradece a José Luis Cercos-Pita y Guillem Borrell su paciencia e
interés para discutir de modo habitual sobre estos temas.
47
Referencias
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[2] ANECA. Libro Blanco. T́ıtulo de Grado en Economı́a y en Empresa,
2005.
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Abiertas en las Universidades y Centros de I+D españoles. Technical
report, Centro Nacional de Referencia de Aplicación de las TIC basadas
en Fuentes Abiertas, 2009.
[5] H. Coll, D. Bri, M. Garcia, and J. Lloret. Free software and open source
applications in higher education. In Proc. 5th WSEAS/IASME int. conf.
on Engineering education, EE’08, pages 325–330, 2008.
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españolas. Technical report, Comisión de Formación Continua, Consejo
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48
[12] Allan Jones. Proprietary software tools as learning aids. In AACE Ed-
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[13] L. Lin. Impact of Users’ Expertise on the Competition between Propri-
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[14] A. Souto-Iglesias. Pruebas de evaluación en un aula de ordenadores.
In XX CUIEET, Congreso Universitario de Innovación Educativa en
las Enseñanzas Técnicas. Universidad de Las Palmas de Gran Canarias,
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[15] A. Souto-Iglesias and J. L. Bravo-Trinidad. Implementación ECTS en un
curso de Programación en Ingenieŕıa. Revista de Educación, (346):487–
511, Mayo 2008.
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neering Software Applications in a Shipbuilding Context. International
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de las TI en el Sistema Universitario Español. Technical report, Confer-
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[18] Shahron Williams van Rooij. Adopting open-source software applica-
tions in U.S. higher education: A cross-disciplinary review of the litera-
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[19] J. Vazquez-Minguela and C. Perez-Garcia. Respuesta del equipo rectoral
a las propuestas de los representantes de los trabajadores en la mesa
de negociación. Technical report, Universidad Politécnica de Madrid -
UPM, March 2013.
[20] J. Vila-Baceiredo. Propuestas de los representantes de los trabajadores
en la mesa de negociación relativa a los recortes de la UPM. Technical
report, Universidad Politécnica de Madrid - UPM, March 2013.
Boletín de la Soc. Puig Adam, núm 97 (Junio 2014)
49
Cauchy/L’Hôpital contra L’Hôpital
con aplicaciones y comentarios
Aurel Muntean
IES Marqués de Santillana de Colmenar Viejo (Madrid)
Doctor en Matemáticas por la Univ. “Babes-Bolyai“ de Cluj-Napoca, Rumanía
aurelmuntean@yahoo.com
Abstract
The aim of this article is to emphasize some subtleties of the
L’Hôpital type rules and to provide the Cauchy/L’Hôpital version. In
the paper are analyzed different examples of the indeterminate forms
when the L’Hôpital’s rule cannot be applied and the usual procedure is
the Cauchy/L’Hôpital theorem. Finally, we have established relationships
between sets of functions defined in terms of the applicability of the
L’Hôpital type rules or the Cauchy/L’Hôpital theorem.
Introducción
Aunque la regla de L’Hôpital es un tema muy estudiado, en Bachillerato
no se suele ahondar mucho en ”detalles”. Así, las sutilezas que presentan
las reglas de tipo L’Hôpital pasan desapercibidas para los libros de texto de
Bachillerato, profesores y estudiantes.
El presente artículo está enfocado a destacar, a través de ejemplos, la
utilidad de la versión Cauchy/L’Hôpital como herramienta para ”salvar” inde-
terminaciones donde no sea aplicable la regla de L’Hôpital. La consideración
de ellas en el ámbito del análisis matemático, no es nueva.
Las relaciones entre los campos de aplicabilidad de las reglas de tipo
L’Hôpital y del teorema de Cauchy/L’Hôpital, que presentamos al final del
artículo, no son más que una nueva combinación de viejas ideas de Bernoulli-
L’Hôpital-Cauchy.
50
1 Comentarios sobre el uso y mal uso de las reglas de L’Hôpital
Esta útil regla se ha usado y mal usado para intentar obtener ciertos límites,
algunos de los cuales ni siquiera se pueden deducir a partir de la regla
aunque ésta pueda aplicarse. Según Martínez de la Rosa [3], la regla de
L’Hôpital es el típico resultado que se suele aplicar de manera automática,
sin embargo su uso indiscriminado puede llevarnos a resultados falsos. Con
una visión también concreta, en un trabajo de carácter didáctico (Muntean
[4]) analizamos algunos errores en la aplicación de la regla de L’Hôpital,
siendo los libros de texto de Bachillerato y algunos textos universitarios el
punto de partida.
Ejemplo 1. Se pretende determinar mediante la regla de L’Hôpital el límite
l = ĺım
x→0
x2 sen
1
x
x
. Intentando aplicar la regla obtenemos:
ĺım
x→0
x2 sen
1
x
x
= ĺım
x→0
2x sen
1
x
− cos
1
x
1
= no existe .
Sin embargo, el límite pedido existe y vale l = ĺım
x→0
x sen
1
x
= 0 . Esta
situación se debe a que no se cumple la hipótesis sobre la existencia del
límite del cociente de las derivadas antes de aplicar la regla de L’Hôpital.
¿Es válido el recíproco del teorema de L’Hôpital? Es decir, ¿es válida la
implicación
(∃) ĺım
x→x0
f(x)
g(x)
=⇒ (∃) ĺım
x→x0
f ′(x)
g′(x)
?
Veámoslo con el siguiente contraejemplo:
Contraejemplo 1. Tomemos f(x) = x+ cosx y g(x) = x.
ĺım
x→+∞
f(x)
g(x)
= ĺım
x→+∞
x+ cosx
x
= ĺım
x→+∞
(
1 +
cosx
x
)
= 1,
mientras que
ĺım
x→+∞
f ′(x)
g′(x)
= ĺım
x→+∞
1− senx
1
= no existe .
51
2 Cauchy/L’Hôpital versus L’Hôpital
El teorema de L’Hôpital da condiciones suficientes para el cálculo de límites
de la forma ĺım
x→x0
f(x)
g(x)
cuando se presenta una indeterminación de tipo
0
0
o
∞
∞
, suponiendo que x0 ∈ [a, b] ⊂ R y las funciones f, g : (a, b)\{x0} → R
son derivables, etc. Surge el interrogante:
¿Qué pasa cuando x0 es finito y las funciones f, g son derivables sólamente
en x0 ?
Es por lo tanto lógico contemplar nuevas hipótesis bajo las que el cálculo
de tales límites de