Extenso_Regla_Lhopital_Silva_Soto_Cantoral

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Reconstrucción del significado matemático germinal del Teorema de 
L'Hôpital: Prácticas de un Seminario 
Héctor Silva Crocci, Daniela Soto Soto, Ricardo Cantoral Uriza 
hector.silva@ucv.cl dsoto@cinvestav.mx rcantor@cinvestav.mx 
Área de Educación Superior. Departamento de Matemática Educativa – Cinvestav IPN, México. 
Chile–México 
Introducción/Antecedentes 
La regla de L’Hôpital es presentada en los textos contemporáneos como un método 
sistemático, donde la naturaleza de su problemática tiene un carácter funcional, lo cual 
repercute en su enseñanza como un método algorítmico carente de significado. Sin embargo, a 
través de las prácticas1 de un seminario, se reconoce que la naturaleza de la problemática que 
hace emerger a la regla de L’Hôpital es distinta a la naturaleza de la problemática que 
presenta el Discurso Matemático Escolar, esto es el análisis gráfico de curvas que se 
aproximan al valor nulo, cuya principal herramienta de análisis es la diferencia infinitesimal 
entre dos valores sucesivos de la variable. En este trabajo reportamos las prácticas de un 
grupo de investigadores en formación del programa de Maestría en Ciencias del Área de 
Educación Superior del Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav IPN. 
Específicamente, reportamos algunas prácticas ocurridas dentro del “seminario de Análisis 
Matemático I”, cuya esencia fue, desde el enfoque Socioepistemológico, el trabajo colectivo 
en un ambiente de libre exploración. En dicho seminario, se realizó un análisis del Discurso 
Matemático Escolar de la regla de L’Hôpital a través de la revisión de textos contemporáneos. 
Por otra parte se analizaron fuentes primarias, así como también artículos de investigación. 
Como producto se diseñaron situaciones para la intervención didáctica. 
Descripción y objetivos de la experiencia 
Como integrantes activos de este grupo de investigadores en formación, a través de la 
observación participante, describimos procesos y productos –diseños didácticos– de las 
prácticas de reconstrucción del significado matemático germinal de la regla de L’Hôpital bajo 
el enfoque Socioepistemológico. Estos procesos y productos son resultados, entre otros, del 
análisis histórico/epistemológico hechos tanto al problema de la sección IX, §163 de la obra 
escrita por el Marqués de L'Hôpital (1696) “Analyse des infiniment petits pour l'intelligence 
 
1 Cuando nos referimos a las “prácticas” del seminario lo hacemos en un sentido sencillo. 
de lignes courbes” cuya solución es lo que se conoce como la regla de L’Hôpital, como a la 
interpretación y reorganización que hacen de esta obra los textos escolares contemporáneos. 
Como señala Cantoral (1995), la matemática escolar es un cuerpo autónomo de conocimientos 
que toma a la matemática como un saber de referencia, pero se distingue de ella, no solamente 
por su explicita pretensión didáctica sino también por el profundo cambio de su epistemología. 
Se asume como tesis que las prácticas sociales son la fuente del discurso matemático escolar. 
Bajo el enfoque Socioepistemológico, el objetivo de este reporte a través de los análisis antes 
señalados, será modelar las prácticas sociales que pudieron dar origen a la regla de L’Hôpital 
lo que implicará el diseño de situaciones para intervenciones didácticas. 
La aproximación Socioepistemológica 
Este reporte que muestra un análisis del discurso matemático escolar desarrollado dentro de 
las prácticas de un seminario, se sustenta bajo el enfoque Socioepistemológico. La 
Socioepistemología, siendo una aproximación que estudia la construcción social del 
conocimiento matemático atendiendo a sus dimensiones didáctica, epistemológica, cognitiva y 
social, nos brinda los fundamentos necesarios para el desarrollo de nuestro trabajo. “El énfasis 
Socioepistemológico no está puesto en el objeto preexistente o construido, ni en su 
representación producida o innata; sino más bien se interesa por modelar el papel de la 
práctica social en la producción de conocimiento a fin de diseñar situaciones para la 
intervención didáctica” (Cantoral, 2006). “La práctica social no es lo que hace en si el 
individuo o el grupo, sino aquello que les hace hacer lo que hacen” (Covián, 2005, citado en 
Cantoral, 2006). Desde esta aproximación, que considera a las prácticas sociales como fuente 
del conocimiento matemático, se desencadenan acciones que cambian el paradigma de 
investigación basado hasta el momento en los conceptos (Canul, 2007). Según Montiel (2005), 
las prácticas sociales son caracterizadas por medio de actividades sujetas a un contexto 
particular, contexto que a su vez es determinado por las prácticas de referencia. 
“Texto contemporáneo v/s fuente primaria” 
Uno de los pasajes del seminario constó en realizar un análisis del Discurso Matemático 
Escolar a través de la revisión de textos contemporáneos. Esta revisión no contó con 
bibliografía alguna, lo que llevó a que cada integrante del grupo hiciera la revisión de textos 
según sus propios criterios. A continuación, presentamos la definición que nos da Stewart en 
su texto “cálculo conceptos y contextos”, para posterior hacer un breve análisis de esta. Este 
texto que brinda esta definición, –según nuestro criterio– es un referente en el estudio de 
algunos cursos de cálculo. 
 
Regla de L’Hôpital. Stewart, J. (1999).
En la definición podemos observar que la regla de L’Hôpital es presentada como un método 
sistemático que permite calcular el límite de una función racional cuyo numerador y 
denominador tienden simultáneamente a infinito o cero. Es decir, esta definición presenta este 
concepto como el cálculo de límites en casos indeterminados, donde la naturaleza de la 
problemática tiene un carácter funcional. 
Otro pasaje del seminario giró en torno al análisis histórico/epistemológico de este objeto a 
través de la revisión del problema de la sección IX, §163 de la obra escrita por el Marqués de 
L'Hôpital (1696) “Analyse des infiniment…” en el cual se propone el siguiente problema: 
 
Sea AMD una línea curva ( ), ,AP x PM y AB a= = = tal 
que el valor de la ordenada y este expresado por una 
fracción, donde el numerador y el denominador se vuelven 
cada uno cero cuando x a= , es decir, cuando el punto P 
caiga sobre el punto dado B . Cabe preguntarse, ¿Cuál 
debe ser entonces el valor de la ordenada BD ? 
 Problema sección IX, §1632 “Analyse des infiniment…” (1696). Figura 1. 
Podemos observar que la naturaleza de este problema es de carácter gráfico, el cual se genera 
cuando los valores del numerador y el denominador de la ordenada y en la intersección x a= 
toman cada uno el valor nulo. Este problema lo ilustra a través de un ejemplo –con una 
explicación natural– con nociones de variación continua en los puntos a través de reglas del 
 
2 §163. Soit une ligne courbe AMD ( ), ,AP x PM y AB a= = = telle que la valeur de l’appliquée y soit exprimée par une fraction, 
dont le numèrateur & le dénominateur deviennent chacun zero lorsque x a= , c’est à dire lorsque le point P tombe sur le 
point donné B . On demande quelle doit être alors la valeur de l’appliquée BD . 
cálculo de diferencias. Bajo el enfoque Socioepistemológico este problema nos llevo a 
plantearnos ¿qué es lo aquello que le hizo hacer algo así al marqués de L’Hôpital? 
Este planteamiento nos llevó a un análisis histórico/epistemológico de la época en que se 
publicó esta obra –a través de la revisión de textos y artículos de investigación–, en el cual 
pudimos detectar toda una atmosfera de creación y desarrollo –Leibniz, Bernoulli– del cálculo 
infinitesimal, cuya principal herramienta de análisis es la diferencial. Es decir, la diferencia 
infinitesimal entre dos valores sucesivos de la variable. La publicación del “Analyse des…” 
hecha por L’Hôpital, es el producto de la recopilación de estos nuevos conocimientos 
matemáticos desarrollados por la actividad humana: “la presentación leibniziana del cálculo, 
basada en la cantidades infinitamente pequeñas o infinitesimales, se convirtió, así, en la 
herramienta principal para la obtención de una gran cantidad de conocimiento científico, sin 
embargo, después de un siglo de éxitos notables, pero ante un creciente cuestionamiento 
acerca de su fundamentación, el cálculo evolucionó gradualmente hasta abandonar totalmente 
el uso de los infinitesimales” (Arcos, 2007). Los infinitesimales fueron desterrados de las 
matemáticas durante el siglo XIX y sustituidos por la rigurosa noción de límite. Dentro del 
seminario no se planteó explícitamente cuál es la práctica social que norma este 
conocimiento, sin embargo, si se reconoció que la naturaleza de la problemática que hace 
emerger a la regla de L’Hôpital, es distinta a la naturaleza de la problemática que presenta el 
Discurso Matemático Escolar, esto es el análisis gráfico de curvas que se aproximan al valor 
nulo, cuya principal herramienta de análisis es la diferencia infinitesimal entre dos valores 
sucesivos de la variable. En nuestro caso, lo anterior nos motivó a enfocar nuestra atención a 
esta herramienta de análisis. 
Con estos antecedentes compartidos y discutidos en el seminario, se trabajó de manera 
individual en la elaboración de diseños para intervenciones didácticas. Cada propuesta fue 
presentada, discutiendo “los pro y los contras”. A continuación, hacemos referencia de un 
diseño que nace de todo este proceso que consta de cuatro secuencias, de las cuales 
presentamos la 2da y 3ra de ellas con los respectivos objetivos hechos por su autora3. Este 
diseño pretende promover una mejor aproximación al teorema de L’Hôpital, fundamentándose 
en dos características que ofrece el cálculo leibniziano: problemas de carácter geométricos y 
uso de procedimientos que radican en la aceptación de cantidades infinitamente pequeñas. 
 
3 Daniela G. Soto. 
Secuencia 2 de la propuesta 
 
Según su autora, esta secuencia permite un primer acercamiento al análisis del límite de 
cociente de funciones en el punto en que se intersectan. Le interesa que el análisis de los 
estudiantes tenga un carácter visual-gráfico, algebraico y operacional, donde establezcan 
relaciones entre lo algebraico y lo gráfico para encontrar el valor del límite acudiendo a las 
propiedades del cociente. Señala que es importante decir que en las gráficas propuestas 
subyace la intención de causar conflicto, que se presentara en el caso que las gráficas de 
funciones se intersectan con el eje de las x , ya que el límite dará como resultado 0 0. 
Secuencia 3 
 
Según su autora, esta secuencia pretende que el estudiante reconozca la problemática que 
surgió en la secuencia anterior y la haga suya abriendo espacios para la búsqueda de posibles 
conjeturas. Le interesa que el estudiante pueda seguir con un análisis visual-gráfico, algebraico 
y operatorio, como se definió anteriormente. En este caso los estudiantes deberán conjeturar 
acerca de los posibles valores que puede adoptar el límite cuando x tiende a a y 
( ) ( ) 0f a g a= = . Para el autor, es imprescindible que el estudiante reconozca la dependencia 
de este valor con la variación de las funciones en cuestión, es por eso que presenta algunas 
gráficas de funciones, en las cuales tendrán que hacer un análisis acerca del intervalo al cual 
pertenecerá el resultado del límite e ir observando la relación con la variación de la función. 
Comentarios finales 
En nuestra opinión, este trabajo de análisis colectivo ubicado al seno de la aproximación 
Socioepistemológica, nos permitió vislumbrar de forma cautivadora la naturaleza de la 
problemática que hace emerger el teorema de L’Hôpital, lo cual nos permite explicar los 
fenómenos de su construcción en escenarios escolares a través del análisis gráfico de curvas 
utilizando diferencias infinitesimales. Agradecemos afectuosamente a todos los integrantes del 
seminario –primer semestre 2008– por su disposición a nuestras peticiones. 
PALABRAS CLAVE: Prácticas, teorema de L’Hôpital, reconstrucción del Discurso 
Matemático Escolar. 
ÁREA TEMÁTICA: Historia y epistemología de la matemática. 
PRESENTACIÓN: Comunicaciones Breves. 
 
REFERENCIAS 
Arcos, J. et al. (2007). Desarrollo conceptual del cálculo. México: Editorial Kali. 
Cantoral, R. et al. (2006). Socioepistemología y representación: algunos ejemplos. Revista 
Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, Vol. 9, No. Especial, 83-102, México. 
Cantoral, R. (1995). Matemática, matemática escolar y matemática educativa. En Memorias de la 
Novena Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en 
Matemática Educativa, R. Farfán (Ed.), Ediciones de la UNAM, Vol.1 Cap. Plenarias, 1-10. Ministerio 
de Educación, La Habana, Cuba. 
Castañeda, E. et al. (2005). La regla de L’Hôpital y una controversia a su alrededor. Ciencia Ergo Sum, 
Vol. 12, No.003, 329-334, México. 
Canul, G. (2007). La práctica del bordado como generadora de conocimiento matemático. Tesis de 
maestría no publicada. México: Cinvestav. 
Covián, O. (2005). El papel del conocimiento matemático en la construcción de la vivienda 
tradicional: El caso de la Cultura Maya. Tesis de maestría no publicada. México: Cinvestav. 
L’Hôpital, M. (1696). Analyse des infiniment petits pour l'intelligence de lignes courbes. 
Montiel, G. (2005). Un estudio Socioepistemológico de la función trigonométrica. Tesis doctoral. 
México: Cicata-IPN. 
Stewart, J. (1999). Cálculo conceptos y contextos. Thomson (Eds.) [Trad. José Pérez], México.